DEUXIÈME PARTIE

plan qui passe par les (leux axes E H et BD (/y. 1 ) lui soit parallèle , alors la projection F' C de ce plan, dans le plan de projection horizontale [fig. il ) qui n'est que la moitié antérieure de la figure , est parallèle à x y. Comme maintenant les points m et n ( fig . i ) , où la surface de la sphère est coupée par les côtés EF et E(J du cône, sont deux points de la courbe cherchée, alors leurs projections m’ et »’ sur la ligne F’ C' (/i;/. Il) seront aussi deux points de la projection de la ligne d'intersection. Pour trouver ensuite un plus grand nombre de points de ce genre , on tracera à une distance à volonté entre m et n, dans la lig. 1 , une ligne qq parallèlement à xy , on projettera les points q et q, comme aussi les points r et a, où la circonférence de la sphère et les côtés du cône sont coupés par la ligne qq, sur la ligne F' C' (fig. II) pour les points q', r’, s' et q ' , et là on décrit du point B’ en passant par r',q', et de E’ en passant par ï’ q' les demi-circonférences r’ ;/ y et v p‘ q' . On projettera alors le point p’ où les deux moitiés du cercle se coupent dans la lig. 1 sur la ligne q q au point p ; p sera alors dans la lig. 1 et p' dans la tig. II un point de la ligne d’intersection cherchée des deux corps sur le plan vertical et horizontal.

En effet, si l’on se représente (pie l’on a fait passer par la ligne q q [fig. 1) un plan parallèlement au plan horizontal, alors la projection de ce plan d’intersection, s’il |iasse par la sphère, formera le demi-cercle r’ p' q' , et s’il passe par le cône , le cercle s' p' q ' . Or, comme ces deux cercles appartiennent à la surface des deux corps, il faut aussi que le (xiint p', dans lequel ils se coupent se trouvcsituéàla surface des deux corps et comme tel, être un point de la ligne d’intersection des deux surfaces courbes tant sur le plan vertical que sur le plan horizontal.

Si l’on veut , pour déterminer d’une manière plus rigoureuse la fonne de la courbe, choisir encore d’autres points, dans ce cas , on mènera dans la figure 1 , entre m et « , quelques autres lignes parallèles à q q ou x y ; on suivra du reste le môme procédé précédemment décrit, et l’on projettera de nouveau les points d’intersection de la demi-circonférence engendrée de la même manière, de la figure II sur les lignes droites de la figure t. Si enfin on relie ces points ainsi trouvés dans

la lig. 1 par la courbe m pn, et dans la fig. Il par la courbe tn'p'w , on obtiendra ainsi dans les deux ligures les projections des lignes d'intersection cherchées.

Il va sans dire que, dans la fig. II. lu seconde moitié de la projection horizontale, que l'on n’a pas représentée ici, sera tout-à-fail symétrique.

Il faut encore faire observer que, dans la fig. I, la courbe /ne, suivant laquelle le cône traverse la partie supérieure dé la sphère, peut être trouvée de la même manière que mpn ; il en sera de même dans la fig. Il pour la courbe l'u'v.

Enfin , il va encore à ajouter que, lorsqu’on donne à la projection horizontale Jig. 11} une position inclinée vers xij, comme cela a eu lieu dans la fig. 00 (IV), on pourra trouver par la voie indiquée alors les projections des lignes d’intersection sur le pian vertical correspondant.

§ 1 Si. — Dans la fig. CI 111 , la sphère et le cône qui la traverse ont été dessinés dans une position telle que le plan qui passe par leurs deux axes n'est plus parallèle au plan vertical, mais lui est perpendiculaire. Pour trouver les lignes d'intersection mkn k' et v ui u' dans celte figure , ou suivra les règles données dans le § précédent. Les points n et m se présentent facilement d'eux-mêmes, et l’on fera ck^ek' (fig. III) = E'A' (/;/. II), zp=zp‘ (/g. III) = : p (//g. H), etc. Les points k et k'f.g. III) sont les projections du point A (fig. I), où le côté EH du cône est coupé par l'intersection mn.

§ 1 8ij. — Si l'on mène par le sommet E du cône (fig. 61 I) , et en même temps par le point Dde la sphère un plan parallèle au plan vertical, par conséquent par les lignes EH et BD, alors la ligue droite F‘C‘ sera dans fig. II la projection de ce plan ; dans la figure 1 , le plan d’intersection apparaîtra au contraire sous la forme du triangle EFG et celle d'un cercle A BCD , et les points m et u ainsi que / et t> , oii ils se coupent , seront des points qui se trouveront situés sur la ligne d’intersection de deux surfaces courbes. Si l’on se représente maintenant que IL (fig, II) est la projection horizontale d'un autre plan parallèle à celui mené par El et B, alors ce plan formera sur le plan vertical (fig. 1 ) une hyperbole s'il passe par le cône, et un cercle concentrique s’il passe par la sphère , lignes fa-