DEUXIÈME PARTIE

près plusieurs échelles proportionnelles dont les rapports doivent être déterminés d’avance, comme on va l’expliquer dans le paragraphe suivant.

§ 223. — Soit donc maintenant aij ( fig . 68) le plan vertical, a' b' c' <ï le plan horizontal d’un parallélipipède qui forme une inclinaison de 45 degrés vers la ligne de terre xy\ soit , d'autre part, a e la hauteur égale à la largeur a' b' = 3 mètres, la longcur l>' c’ = 5 mètres, il sera alors évident que, si des points de partage de la ligne a' h' et b' c' on élève des perpendiculaires vers le plan de projection verticale, la ligne o b sera alors partagée en trois parties égales, et la ligne bc également en cinq parties égales, et que les portions des deux lignes doivent être égales entre elles auprès de l'angle d'inclinaison de 45 degrés. Comme maintenant les longueurs qui en résultent pour la ligne né se comporteront aux portionsde la ligne a’ b', comme la ligne b o avec la ligne b'o', ou bien comme p’o' avec h • o', et comme o'p'b' est un triangle rectangle isocèle , alors chaque partie de la ligne a b se comportera à l’égard de la ligne a 'b 1 comme le côté du carré avec la diagonale. Comme d'autre part, avec cette inclinaison, l'angle cd'c' doit être égal à l’angle ad'a', il est clair que les portions de la ligne bc devront être avec les portions de la ligne b'c dans le même rapport, de même que /)'</’ avec b’q.

S'il s’agit donc de dessiner le plan vertical d'un parallélipipèdcavec les mesures données, lel qu'il ait comme ici, vers le plan de projection, une inclinaison <lc 45 degrés, et si l'échelle pour la mesure des hauteurs est donnée, alors on prend une des portions de cette échelle, par exemple, un mètre, comme étant la diagonale d’un carré que l’on construira en suivant la voie connue, et l’on adopte, pour la mesure des longueurs et largeurs, ce côté comme étant un mètre de la nouvelle échelle ; après quoi , on obtient la longueur donnée bc , ainsi que la largeur né d’après la nouvelle échelle ; mais la hauteur ne, au contraire, d'après la diagonale; et on obtient ainsi immédiatement la projection du corps incliné vers le plan vertical, sans dessiner d’abord le plan horizontal; il en résulte aussi le grand avantage qu’on peut réciproquement prendre, avec une seule mesure sur la nouvelle échelle, les distances des li-

TRAITÉ DU DBâSlK GEOMETRIQUE. 20

DESSIN GÊOarëTBIQUE.

pies a b el de vues en raccourci (comme cela a lieu pour un dessin qui représente un objet dans une position parallèle avec son plan de projection ). Si le corps à représenter n’est pas d’une forme aussi simple que celui ligure ici , le procédé ici décrit restera néanmoins applicable pour la représentation de ces quelques lignes et aussi pour les autres ligues horizontales el verticales quel que soit leur nombre , pourvu que toujours les mesures de celles-ci soient connues.

§ 224. — Mais si le parallélipipède ag avait , comme dans la lîg. 09. une inclinaison vers le plan de projection verticale telle ipie la ligne a' d’ du plan horizontal forme, par exemple, un angle de 00 degrés et la ligne c'd' un angle de 30 degrés avec la ligne de terre xg ; alors les triangles o'b'p' et b'r'q' seront rectangles el semblables entre eux, mais non isocèles, comme c'est facile à démontrer, et dans ce cas, la longueur de chaque partie de la ligne ah se comportera à l'égard de chaque partie de la ligne a'b', comme o'p' cuvers o' b', c'est-àdire comme le côté opposé au plus grand angle est à l'hypoténuse. De la même 'manière se comporteront aussi les portions de la ligne bc il l'égard de celles de lu ligue b c, comme r q’k q'b', ou comme le côté opposé au petit angle, estàrii\|K>téuusc. Ainsi donc, les portions de la ligue ah n'étant pas égales dans ce cas, comme dans la fig. 68, aux parties de la ligne bc, il faudra, outre l’échelle pour mesurer les hauteurs, avoir encore deux autres échelles pour la représentation des longueurs et des largeurs, dont l'une servira pour les longueurs et l'autre pour les largeurs. Celles-ci peuvent , par conséquent , être facilement retrouvées , en ce qu’on trace au-dessus de o b un triangle o'p' b' à angle droit, dont le côté o'p' formera avec o'b' un angle de 30 degrés, cl le côté p'b un angle de 60 degrés. Ainsi l’hypoténuse o’b servira d'échelle pour les hauteurs, le côté o'p' pour les largeurs et le côté p'b' pour les longueurs; car p'b’ = r' q' comme il est facile de le démuulrer.

Pour la représentation du parallélipipède dans la position de la lig. 69 sur le plan de projection , on n'a pas non plus besoin d’un plan horizoulal , mais ou porte les longueurs données en chilTresdes lignes ab et bc sur leurs échelles correspou-