DEUXIÈME PARTIE

h, z, m et g des perpendiculaires sur xy , on fera ab = ab = l'y = 5' , ch = cm = 0 et d z = 8 J-' d’après l’échelle 1 , et on tracera les lignes bb, cc, dd, bd, bd et df, et ainsi le corps principal de la figure se trouvera représenté. On fera d’autre part, hi — m l = 2 -/ échelle 1 , et on tracera au-dessus de il une demi-ellipse i kl (comme étant la projection du demi-cercle 1KL), pour laquelle sont donnés deux axes du 4' de longueur d’après les échelles I et 111. Enfin, on fera mm' =■ 2’ (échelle II), et on mènera la perpendiculaire m'/', ainsique la partie apparente de l'ellipse semblable, ainsi que cela se voit dans la figure. Pour la représentation du prisme quadrilatéral supérieur, on fera kp' = J’ , échelle I, et on déterminera le point u’ soit en traçant il part le carré N O PQ, et en menant la diagonale , ou bien en faisant p" u’ =

|/ 1 '-fl ■ — j{/2 ‘ = 0,707. On mènera ensuite par «’

une ligne parallèle à xy, on fera u’ u — 2^’ et uu = 7~, échelle 11. D’autre part , on fera p’n — P N et y" n = 1,414 d’après l'échelle III , c’est-à-dire égal à QOouégalàPN, mais d’après l’échelle III , et on tracera le parallélogramme n'o'p'q", dont le point central est»’. Enfin on tracera aussi en net u deux parallélogrammes nnpy , qui sont égaux à celui en u’ , et on mènera les lignes un et pp aussi loin qu'elles se montrent dans la figure, et la projection se trouvera exécutée.

Si les points b,ceid , comme aussi /', e et d sont reliés non par des lignes droites, mais, comme c’est le cas dans la fig. IV, par des lignes courbes; il faut alors, pour les représenter dans la fig. VI, tracer d'abofd une des courbes, par exemple E F. On partagera ensuite la ligne MG, ainsi que sa correspondante m y dans la fig. VI en un certain nombre de parties égales , par exemple en 4, et on déterminera par desabeisseset des ordonnées, dans la fig. VI, les points 2, 4 et 6 qui, reliés avec cet f, forment la projection de la courbe E F. On procédera de même pour la représentation des courbes de, de et bc , et pour la courbe ikl, si I KL n'est pas un demi-cercle, mais une ligne courbe quelconque. Enfin il ressort de ce qui a été dit jusqu'à présent, et par la fig. 71, comment les cylindres I L et RS dans la fig. VI doivent être représentés si leurs distances et leur diamètre ont été donnés.

1 58 dessin GéosrtrrniQUE.

On voit en même temps , par ce qui vient d’être dit , que lorsque l'on'a à tracer des lignes courbes qui ne soient pas des cercles on des arcs, on n’atteindra point le but avec les échelles proportionnelles, et qu’il faudra encore faire usage de quelques autres constructions auxiliaires. Malgré cela, tout le travail s’exécute, en général, plus promptement et plus facilement; car l’on a pas besoin des deux plans horizontaux, et on peut en outre se servir des échelles établies pour la détermination des différentes ahurisses et ordonnées.

§ 227. — 11 est évident que lorsqu’une ligure est déjà dessinée dans la position représentée dans la tig. 71, VI, on pourra prendre de nouveau et de la manière la plus simple les mesures des lignes droites partielles, à l'exception des lignes bd , df.qn. d’après les échelles qu’on a dressées. Mais s’il s'agit de trouver aussi la longueur de ces lignes , il faudra ou tracer le triangle lidf. d’après l'échelle I, par laquelle on obtiendra le triangle UDF (fig. IV), puis mesurer les côtés 15 Del DF, d’après l'échelle I ; ou bien on pourra aussi trouver cette longueur par le calcul bd = (/ ,)*• + |» ; en mesurant d avec l’échelle I et b ■> avec l’échelle III , et sulistituant la longueur trouvée dans cette formule.

§ 228. — l.a construction indiquée ici à l'aide d’échelles proportionnelles est d’une exécution d’autant plus facile qu’il y a un moins grand nombre de lignes courbes à dessiner et que l’objet à représenter ( comme c’est en général le cas) a une position pnrniléle à l’un de deux plans de projection. S’il en était autrement, c’est-à-dire si cA objet a une position inclinée vers les deux plans de projection à la fois; dans ce cas sa représentation exige, en priucipe du moins, même lorsqu’il ne se compose que de lignes droites, un dessin auxiliaire, comme on le verra dans la proposition suivante.

Mais comme ces dessins auxiliaires, dans les cas indiqués, ne doivent contenir d’abord que le contour principal, la forme et les parties principales, et qu'en second lieu (ce qu’il faut bien remarquer ici), ils ne doivent pas être exécutés sur la même feuille de papier, sur laquelle on projette le dessin incliné vers le plan de projection verticale, car il vaut mieux se servira ici d’une feuille de papier séparée ; il s'ensuit que

Dei’xiEiiE partie.

les inconvénients signalés, en troisième lieu, dansle§22i, n'existeront point.

Mais il faut encore rappeler ici, en général, les deux théorèmes suivants, dont l’observation facilite beaucoup dans la pratique ces constructions:

1* Deux points déterminent la direction et la longueur d'une ligne droite.

2" Les lignes qui sont parallèles dans l'espace, le sont aussi dans toutes leurs projections.

§ 229. — Problème . — Soit donné dans la lig. 72 AB = 10, BC = 4, l'épaisseur des deux parallélépipèdes parallèles = I, leur écartement dd' = 2’; d’autre part EF = 2, EH = 3, la longueur de ce corps lih — 6 et l'angle CI) y qu’elle forme avec le plan horizontal. L'on doit représenter la projection verticale de ces corps à l’aide d'échelles proportionnelles, quand ils sont inclinés sous un angle de 45 degrés vers le plan de projection verticale.

Solution. — Comme l'angle d'inclinaison formé avec la surface du plan vertical, doit être égal à 45 degrés, on n'aura besoin que des deux échelles I et 11 pour la représentation de ladite ligure, dont on trouvera les longueurs respectives à l'aide du dimi-cercle m p* d’aprèsle (§ 225), après avoir exactement établi cette échelle; puis on dessinera d'après l'échelle 1 toute lu vue le rapport de (Jig. III) dans une position parallèle à la surface du plan vertical. Ensuite on abaissera du [K>int C sur x g la perpendiculaire CI, on prendra à volonté le point i Jig. IV) on mène la perpendiculaire ic(fiif. IV) = IC ((ù). III); de plus, on mesurera la ligne II) (Jig. 111) avec l'échelle I, et on portera la mesure ublcnuc d'après l'échelle II de i en d (fig. IV). Si maintenant on mène la ligue cd, elle sera la projection de la ligne CD, comme aussi edi sera la projection de l'angle CUI, D'autre part ou abaissera du point D (fig. 111) sur xy la perpendiculaire BK, on mesurera avec l'échelle ll'K, et ou portera cette mesure sur l'échelle il dans la ftg. IV de i en k. En K on élèvera surxÿ une perpendiculaire, on fait kb =KB(/îg. III) et on mènera lie ; cette ligne sera de nouveau la projection de la ligue BC fig. lit), de même que l’angle obtus bed (f ig . IV) , sera la projection de l'angle droit BCD (fig. III). Après quoi

on fora dans la fig. IV dd = 1 dd' = 2' et d'd' = 1 < d'après l’échelle 11, et on mènera les lignes ad et a'd' parallèlement à bc', les lignes ah et a'b' parallèlement à cd, et les lignes aa, a'a', bb, b'b' parallèlement à xy, cl ainsi se trouvera terminée la projection des deux parallélépipèdes.

Un suit la môme voie pour la représentation du corps KFGH. On mesurera I H avec l’échelle 1 et on portera cette mesure dans la fig. IV de «en h' avec l’échelle 11. Après quoi ou déterminera les points c’ et /’ d’après E et K de la même manière que le b a été déterminé par II; on mènera les lignes e’/’ et e'h' (dont la dernière n’est menée que jusqu’à la ligne cd) etainsi e'f sera parallèle à cd, de même que ch le sera à bc. parce que EF était parallèle à CD et EM à BC. Enfin, on fera la ligne, c e menée parallèlement à xÿ= 1’ d’après l’échelle U, et on mène ch parallèlement & ch, cf et h y parallèlement à ef, ftj parallèlement à ch, ff' parallèlement à ce; on lèra Itb' = 0’ de l’échelle 11, puis alors on mènera li q parallèlement à c'h' .

Par la figure et par ce qui a été dit plus haut, on comprendra comment on parvient à projeter dans la fig. IV le cylindre joint au plan EFG H, dont le diamètre doit être égal à 1 ; et la longueur à ; il ne sera cependant pas inopportun de faire remarquer que le grand axe nm de l’ellqisc mon/i n’est point parallèle à ch ou fg, mais doit, au contraire, être vertical sur la ligne de terre xy, et qu’il importe surtout pour la projection du cylindre de déterminer le point <] du plan cfgh de la fig. IV. Mais ce point sera trouvé, soit en employant le procédé mis eu usage pour la recherche des points c, f, ij, h, soit en partageant en deux la ligne ef, un mènant de ce jioint de partage une parallèle à ch, et en déterminant sur cette dernière le point q, de telle sorte qu’il soit à la même distance de xy, que U l est de xy. Après quoi on transportera avec l'échelle 11, 71/ = 2 y, et on dessinera la demiellipse mon comme aussi ellipse entière, m'o'n'p' comme étant la projection du ccrle MUNP.

§ 220. (a.) — Un point S étant donné, peu importe dans quelle partie du plan ABCD fig. 72, III, et la projection de ce point doit-elle être déterminée dans la fig. IV; on abaissera alors