DEUXIÈME PARTIE

droite A B et on lu i donnera une longueur égale à celle de l’unité de mesure de l’échelle du modèle, on divisera cette ligne au point C en deux parties égales et on décrira «le C avec A C audessus de AB en demi-cercle. I-a copie doit-elle maintenant n’étre que moitié aussi grande que le modèle? on élèvera alors en Cunc perpendiculaire CD sur AB, on mènera AD, et cette ligne sera alors une unité de mesure de l'échelle cherchée. Pour faire une copie qui soit le tiers de l’original, on divisera A B en E et F en trois portions égales, on élèvera en E une perpendiculaire EG sur AB, on mènera AG, et on obtiendra par là la longueur de chaque unité de mesure de l’échelle demandée. Si l’on divisait AB en quatre portions égales, de telle sorte queAH =-j AB, si l’on élevait en HsurABIa perpendiculaire B K et si on menait AK, alors cette ligne donnera la longueur d’une unité de mesure de l’échelle d’un dessin qui serait le quart de l’original , etc.

§ 254. — Problème. — Déterminer l’échelle à l’aide de laquelle la surface de la copie soit, avec celle du modèle, dans un rapport déterminé, par exemple, comme 3 est à 7, tig. 78.

Solution . — On décrira sur AB, fig. 78, qui doit être la longueur de l’unité de mesure de l’échelle du modèle, un demicercle, on divisera A Ben sept portions égales, on élèvera enC, qui est le point d’extrémité de la troisième portion, une perpendiculaire CD sur AB, l'on mènera A D, et cette ligne donnera la longueur d’une unité de mesure de l’échelle cherchée (1).

(!) La preuve de cette solution et celle des deux § précédents ne sera pas difficile à faire à l’aide de la géométrie, si l’on songe ijue la copie et le modèle sont deux figures scmtdaldes et que les surlaces de deux figures semtdabtes sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, et par suite, comme les carrés des échelles respectives. Ainsi, par exemple, dans la (ig. 76, j" = îa'; si maintenant on fait la surface de l’original ~ Q et celui de la copie =• q, alors Q : q = «< : X'. par suite Q : q — a* : 2 a', c’est-à-dire Q : q = ! : 2^; ainsi donc q — 4 Q, de même y =3 a', parce que B F = 2 a' et ainsi Q : q = a • : 3 o\ c’est-à-dire Q : q = I : 3, ainsi q = 3 Q et ainsi de suite, l’ar le calcul, on aurait trouvé x =r p/ a t — a j/ 4, de

§ 255. — On ferait une grande faute si, dans la réduction «les échelles, on voulait partager l’unité de mesure de l'échelle de l’original en deux, trois, quatre, etc. parties, ou prendre deux, trois, quatre, etc., de ces unités pour donner à la copie un rapport proportionnel deux, trois, quatre fois plus grand ou plus petit que n’est l’original lui-méme. Kn effet, si on prenait, pourohtenirunc copie qui, par exemple, devrait devenir quatre fois plus grande que l'original, quatre fois l’unité de mesure de l’échelle de l’original , et si on employait celte ligne quatre fois plus grande, comme une unité de mesure de l’échelle de la copie, celle-ci ne serait pas quatre fois, mais 4’= 16 fois plus grande que ne l'est l'original. Si, effectivement, la copie devait être faite quatre fois plus grande que l’original, cela ne veut pas dire que chaque mesure de longueur de la copie soit à peu près quatre fois plus longue que celle de l'original, mais que toute la figure de la copie, c’est-à-dire que sa surface soit faite quatre fois aussi grande que l'original. Le même raisonnement est applicable lorsqu'il s’agit de diminuer un dessin.

même y — j/ .'J <r = a j/ 3 , d’anlre part Z = y' J o’ = 2 a et ainsi de suite.

Si on met dans le § 253, fig. 77, AB = a et AD = je, «lors a: x = ainsi x' = ainsi Q : q = o' c’est-à-dire Q : y = z : I , par suite q — {Q. Sien met, d’autre part, A(’> = y, alors a : y = y: ^ conséquemment y* =i‘, ainsi Q : q = a" = •*, c'est-à-dire Q :q = 3 ; 1, ainsi q = j Q. Par le calcul on aurait trouvé J = = a y/ j = ÎÎÜ y =

Si dans le £ 254, iig. 78, on met que AU = 7 et AO = x, alors 7 : x = x : 3, ainsi x' = 2t — comme, dans cet exemple, Q : q = 7’ : x’, alors Q ■ q — aussi 49 : 21, c'est-à-dire Q : q = 7:3. Par le calcul, on trouve x— 1 / 21 .