TROISIÈME PARTIE

En effet , si l'on se représente un plan placé verticalement au-dessus de la projection a'cdans le plan horizontal, alors ce plan, dans lequel le véritable rayon lumineux (L) doit se trouver et qui, pour celte raison, sera dorénavant désigné sous le nom de plan lumineux , coupera ou touchera le tableau suivant la ligne droite al. C’est aussi sur celte droiteque devra se trouver le point dans lequel le rayon lumineux véritable L passant para atteindrait la surface mnop, si a ne se trouvait |»aslàou était Iranspareut ; or comme l’un et l'autre de ces cas n'existe pas, alors l'ombre du point n se trouvera n’importe en quel point sur cil et là précisément où cette ligue est coupée par la projection / du mémo rayon lumineux sur le plan vertical , c'està-dire en x. parce (pie x est en même temps le point dans lequel le rayon lumineux réel (pii passe dans l'espace par le |K>inl a atteint le plan mnop, lorsqu'on se représente sur ns et «’c des plans verticaux élevés sur les deux plans de projection dont l'intersection est le véritable ravon lumineux ( comparez Un. 101 et 102).

§ 325. — Si l’on admet une direction autre pour les rayons lumineux , telle par exemple que la projection d'un de ces rayons soit représentée sur le plan de projection verticale par la ligne ak et sur le plan de projection horizontale par la ligne u’c'i dans ce cas, ou trouvera l'ombre s’ du point a en suivant en tout point le procédé indiqué dans le paragraphe précédent, puisqu'on élève sur op au point c’, où la projection du rayon lumineux sur le plan de projection horizontale coupe la ligne op, on élève sur op la perpendiculaire c'd' qui est coulée en s’ par ak. Le véritable rayon lumineux se trouve de nouveau situé dans l'espace là où les deux plans élevés perpendiculairement sur a'c' et as' se coupent.

Les deux projections a A- et u'c' n’ont du reste aucune relation au point de vue de leurs angles kab el c'a' b et sont complètement indépendantes lesuncsdesautres. Ces angles nesont ni complémentaires, ni supplémentaires, et l’inclinaison des lignes a k et a'c ' vers op est seule laissée au choix du dessinateur.

§ 326. — Lorsque, par ce qui précède , on aura été mis à même de trouver l'ombre d'un point , on pourra alors aussi

2Î2 DESSIN ('.foXU-TRIOIE.

trouver celle de tout autre point , même t elle d'u ne ligue droite ou courbe. Mais comme l’ombre d’un corps sera toujours une surface dont le contour se composera d'un assemblage de lignes droites ou courbes, nu des unes et des autres, on trouvera alors l'ombre portée, en admettant sur les lignes gui engendrent eette ombre, certains points qui serviront à lu déterminer, en donuanlensuite les jirojections decespoints sur un autre plan de projection en cherchant, ù l'aide de la direction choisie des rayons lumineux, les ombres de ces points par lu construction géométrique indiquée an § 321 , et en reliant enfin ces points d’ombre par des lignes droites ou courbes. Mais la ligne qui engendre l'ombre portée est toujours en même temps la ligne de séparation d’ombre et de lumière du corps, et comme on ne peut avant tout trouver l'ombre portée que lorsqu'on a d'abord déterminé la ligne qui lu produit, il s'ensuit que dans la recherche de l'ombre portée, on aura chaque fois à chercher d'abord la ligne de séparation d'ombre et de lumière, puisque l'ombre portée n’est que l'ombre de cette ligne.

J5 327. — Si l’on envisage d’après cela a b ( fig . 1 03) comme étant une ligne droite non transparente et si sur elle on admet plusieurs points e, f, etc., à volonté, alors «' sera sur le plan horizontal la projection de tous ces points, et c'est pourquoi aussi tous les rayons lumineux que l'on a fait passer par ces points en suivant la direction décrite au § 324, se trouveront situés sur le plan lumineux élevé perpendiculairement sur a’c. qu’ils porteront par suite l'ombre sur la ligue cd, savoir / en c, <• en y. etc. Car les projections des rayons lumineux passant par cet fui teignent la ligne cd en cet g suivant laquelle le plan lumineux est coupé parle plan de projection, et la mômedérnonsl ration indiquée dans le §324, |tcut s'appliquera chaque point de la ligne a b. Comme /'est placé de telle sorte que son ombre c tombe exactement dans op, alors sc sera l’ombre de la ligne «/', parce qn’alors tous les rayons lumineux qui atteignent celte ligne sont arrêtés par elle, ne peuvent atteindre le tableau, et conséquemment il se formera sur celui-ci mi manque partiel de lumière, c'est-à-dire formera l’ombre portée de la ligne af. qui doit être une ligne droite, et le côté opposé d’un parallélogramme. La portion fb de la ligne ub ne peut plus, à la

TROISIÈME PARTIR

vérité . dans cet éloignement de mnop porter d'ombre sur ce dernier, mais elle engendrera sur le plan de projection horizontale la ligne d’ombre a'c, de telle manière que toute l’ombre portée de la ligne a b formera sur les deux plans de projection une ligne brisée sca'.

Remarquons encore que pour trouver la portion de la ligne a b qui portera ombre sur mnoyi dans les projections du rayon lumineux ak et a'c' on n’a liesoin quede mener de c' une ligne parallèle avec ak jusqu'à ce qu elle coupe en p la ligne a h. Alors *’ c’ sera l’ombre de la ligne «/ j.

§ 328. — Si , d’un autre côté , le point a est sur le plan de projection verticale lu projection d’une ligne droite imUiriclle n'l> [fig. 103), qui est posée perpendiculairement sur mnop , alors les rayons lumineux qui frappent «7* suivant la direction qu’on leur suppose , seront arrêtés par la non transparence de lu ligne en question, ils ne pourront atteindre le plan mnop, et porteront alors une ombre as sur ce plan, puisque sur la ligne as il y aura un manque partiel de lumière, lai effet , de même que s est l’ombre du |ioint a . de même ou pourra montrer que le point h, que l’on voulait prendre à volonté surn'i, portera son ombre sur la ligne as et même en i, puisque» est la projection de tous les points de la ligne a'b.

§ 32!). — Si enfin mise représente un plan non transparent élevé perpendiculairement sur le plan de projection horizontale au-dessus de a'b (fig. 103), plan qui touchera la surface mnop le long de ab ; dans ce cas, ce plan , dans l’hypothèse admise ici jiour la direction des rayons lumineux, portera sur in no p une ombre aseb. En effet, ainsi qu’on l’a fait voir dans les paragraphes précédents, frétant l’ombre de a b, c’est-àdire de la limite antérieure du plan projetant l'ombre as et l'ombre de la limite supérieure de ce même plan, et comme celui-ci est non transparent, il faudra qu'ici il se trouve aussi sur le tableau un manque partiel de la lumière entrens, se, cb et ab, parce que tous les rayons lumineux qui atteignent le plan vertical élevé au-dessus de a'b ne pourront, à cause de la non transparence de ce dernier, atteindre la surface mnop audessous de la tig. asc b.

Les lignes as et sc formeront d’après cela le contour de

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l'ombre portée et ce sont ces lignes que, dans ce cas, on avait essentiellement besoin decherclier pour |K>uvoir construire celte ombre. Mais si l'on voulait indiquerceltc ombre portée surle plan de projection horizontale, elle sera alors lignrée par le triangle a'bc, attendu que. d’après le § .',27. la ligne u'c formera en ce point la limite de l’ombre, et que conséquemment le triangle a’bc ne pourra pas être atteint par les rayons lumineux.

Comme dans cette direction des rayons lumineux bc, sera égal à a h, il s'ensuit que la largeur de l’ombre portée sera égale à la largeur du plan qui projette l’ombre, et la distance de I) ii c sera alors celle qu'il faudra mesurer pour trouver par la largeur de l'ombre portée celle du corps portant l'ombre; la distance de n à s ne pourra être obtenue de cette manière, car dans ce cas, celte ligne (■ pourra jamais être égale à a'b.

Il va. du reste, sans dire, que la construction de l’ombre portée ne sera nullement changée si ab (//</. 103) était l’arête du corps Ket K" de forme parallépidique . auquel cas les lignes ab et a'I donneraient simultanément les limites de l'ombre (§320;.

§329 (a). — Si l'on applique aux fig. 101 et 102 ce qui a été dit jusqu'ici . on verra bien vite dans la distribution de lumière et d'ombre qui existe ici, que si on se représente af comme étant une ligne matérielle portant ombre, fg sera l'ombre portée de cette ligne, de même que sur le plan horizontal. J g sera l'ombre portée de la ligne uil portant ombre.

§329(6). — Comme la chose essentielle pour la construction des ombres portées, c'est île trouver l'ombre de certains points (§ 320) , il ne sera pas surperllu de montrer aussi dans la ligure 103 a comment on obtient, à l’aide des indications préliminaires du § 103, l'ombre * du (Hiint donné a. Soit mnop le plan vertical, et opqr le plan horizontal, et» un point matériel donné dans l’espace, dont les projections sur le plan vercal et horizontal sont les deux points «' etn” ; soit d’autre part os ou L le rayon lumineux réel, et soient a' c [f ) comme aussi a" s (/}, ses projections sur le plan vertical et le plan horizontal ; alors le plan lumineux perpendiculaire sur a’ c et (tassant par as coupera le plan vertical mnop le long de c il. C'est donc sur cette ligne cd que devra se trouver située l'ombre du