TRAITÉ OU 1>ESSIS GÉOMÉTRIQUE

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égale et parallèle avec» b. parce qwe, dans les deux cas-, on pourrait toujours construire le parallélogramme a-*? b.

Si , d’ autre part . a' h' n’était pas parallèle à op. sur le plan horizontal, et par suite a g' |ias égal à l>' h, alors ou eherrlu»raitdc nouveau les ombres des points «et b comme on l’a indiqué plus haut, et on Icsrclierait par une ligue droite qui, duo» ce cas, sera ni égale ni parallèle à mb.

ï- 331. Si ab [fi g. lo t ) était la projection d’un plan gu' b' b rectangulaire, non transparent, posé perpendiculairement sur mnop, alors l’ombre porléc. que projette ce plan sur mnop y. sera égale au parallélogramme a *£, et *5 sera l’ombre de ub. a x celle de a ' ij et bj celle de b' h, attendu que le point a est la projection de la ligne «’j, comme b est celle de la ligne li' h. par suite aussi a », * et (5 b devrait é.tra le contour de Tombe* portée.

§ 332. — Si Ton devait trouver l’ombre portée, projetée |iar un plan rectangulaire nbrd ijlg. 104) non transparent, cl parallèle avec la surface mnop ; et si Ton suppose que la distance de leur projection n'b sur le plan horizontal est égal à alors, il faudra chercher de nouveau les ombres des points h, b, c et it , et les relier entre elles par des lignes droites. Si maintenant u’ e est la projection du rayon lumineux sur le plan horizontal, et a» celle sur le plan vertical, alors » sera le point d’ombre de a , è celui de b, v celui de c, > celui de 4 ; ainsi doue, *,6 l’ombre de « b, ‘ y celle de bc. y «’ celte de i:d . et f x celle de do ; conséquemment. *|Sy » sera l’ombre de « brd. Kn effet, les rayons lumineux, arrivant parallèlement entre eux, toucheront la surface n bed dans les lignes de contour a h, br .< il et ila , et ne pourront, à cause de l’opacité de la surface, éclairer l’espace *5 y ’> ; c’est aussi pourquoi il se formera entre les lignes *%> y-yieta* un manque partiel de lumière , c’est-à-dire une ombre portée.

Si, au contraire, la surface a bed tout en restant parai lé b* avec mnop, avait une position inclinée vers o p. telle que la ligne a b formât quelque part un angle avec celle-ci , alors a' ne sera pas ht projection des deux points net d, ni b celle des points b el c; mais les points o, b.celd auront leurs différentes projections sur le plan horizontal , et se Ironvcront toujours

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encore placés sur la ligne a' h' ou sur son prolongement. Pour trouver dans ce. eas lu forme de l'ombre portée, il faudra chordwr J'ombre de chaque point a, b,c et d, dont on connaît l'éloignement vertical de np\ chercher l’ombre, puis relier les points trouves les uns avec les autres pur des lignes limites.

>5 333. — Si, enfin, abcd ( fig . 104 ) ôtait la surface antérieure d'un parullélipipèdc non transparent, posé perpendiculairement sur mnop , alors l'ombre portée qu'il projettera sur rn.no /», aura lu forme de u , e y c A a ; et l'on pourra se représenter que *,Sy f est l’ombre portée de la surface abcd, b fi te celle de la surface latérale du parai lélipipéde situé sur b' h, « » jd celle de la surface siluéesur »'</, abfi celle de la surface inférieure du |«irallelipipède , et deyt celle de la surface supérieure, lesquelles surfaces sont toutes deux égales bga'b’h. Il ne faut pas oublier que le contour de l'ombre portée, tel qu’il se forme ici, n’est produit que par les lignes <ib,bc,a'g cl h'h, (lesquelles lignes doivent être considérées connue si a cl c étaient leur projection), et ces lignes formeront aussi, dans le cas présent, la teinte de l'ombre du corps . de telle sorte que les plans figurés par « b et b <■ se trouveront dans l’ombre. Mais connue les différentes ombres qu’on vient rie faire connaître sc recouvrent en partie ou tombent en partie derrière le corps , elles détermineront alors la forme de l’ombre portée décrite il n'y a qu'un instant, et qui ap|iarailra de nouveau à la surface m n o p comme étant un manque partiel de lumière.

Si l’on admet que la direction du rayon lumineux est égale à la diagonale d’un cube placé sur m nop, alors la largeur de l'ombre portée, c’est-à-dire *i et y A', sera égale au développement a' g; car les ligues *« el a c formeront alors avec ab «I o p un angle de 45 degrés ( § 310 et 312).

§ 333 (o). — Si le plan mnop (fig, 104 n), sur lequel se trouve la parallélipipède dh, avait une position po' inclinée vers le tableau, et s'il s’agissait de trouver ensuite l’ombre portée de ce parallélipipède sur ce plan ; étant données en outre les projections aoet a' «' des rayons lumineux sur le plan vertical et sur le plan horizontal; on sc conformera alors exactement au procédé indiqué au paragraphe précédent pour déterminer les points d'ombre y et «f, puis on reliera les points

a et », ainsi que g et v , par des lignes droites , de telle sorte que » soit l’ombre de ae ou «V, et g y celle de gc ou b' A' , que par suilo e » ,S y g devienne le contour de l’ombre portée , et que la face brgh se trouve dans l’ombre. L’exactitude de ce procédé ressort de ce qui a été dit précédemment , et est rendue évidente |>ar la figure elle-même.

§ 33 4. — Si uncligneoA (fig. 105) avait une position inclinée vers m no)i , telle qu’elle forme avec ce plan un angle BAo, et si les directions des rayons lumineux (f et l' ) sont données d'après le § 318, il sera alors évident que l’ombre portée de cette ligue devra commencer près de n, et devra également être une ligne droite. Il ne s'agira donc plus que de trouver encore un point d’ombre pour pouvoir donner la direction des lignes droites qu’on cherche. A cette fin. on choisira sur a b un point à volonté c, on le projettera sur b b' et aussi en c' , eu le prnjettant d’abord eu C puis en C' , puis en faisant b' c' = Be.

Si ensuite on mène c’ f parallèlement à si on élève en f sur op la perpendiculaire fe, et si on coupe cette perpendiculaire li partir de c par la ligne c y, menée parallèlement à /, alors la ligne ad, (pic l’on mène par a et y, sera l’ombre de a b, en tant qu’elle projette cette ombre sur le plan m nop. La ligne b' d sera l'autre partie de l’ombre , de sorte que toute la ligne a b engendrera une ligne brisée ad b' qui sera l'ombre projetée de celle ligne sur les deux plans de projection.

Si, au lieu du plan horizontal, on fait choix d’une face latérale, on pourra trouver le point d'ombre par un moyen encore plus simple, eu menante / parallèlement à V, de y une autre ligne parallèle à op , et en coupant celle-ci en y A l'aide d’une ligne menée depuis c parallèlement à l ( comparez avec §336).

Il ressort aussi de celte figure que ad est l’ombre portée de AG et />■ d celle de BG.

Si «A est lu projection d’un plan non transparent ABo, alors le triangle ad b sera son ombre sur le plan vertical , et bdb' celle sur le plan horizontal. La même chose a lieu pour un corps K, K', dans ce cas la ligne a b, qui forme le contour de l’ombre, sera en même temps la limite de l’ombre du corps.