TROISIEME PARTIE

§335. — Problème. — Trouver sur un plan mnop <jùj. 106) l'ombre portée d’une croix; étant donnée la projection de celle-ci sur le plan vertical et sur le plan horizontal . et les directions / et /’ des rayons lumineux.

Solution. — D'après ce qui a été dit jusqu’à présent , on saura bien vite trouver le procédé à suivre ici. On cherchera d’abord l’ombre du plan faisant face à l’observateur et parallèle à mnop, dont la ligne T D’ est la projection sur le plan horizontal , d’après le § 330 : ainsi a sera le point d'ombre de A , b celui de 15, c celui de C, etc. Ensuite on cherchera l’ombre du plan postérieur dont la ligne l' D' est la projection sur le plan horizontal ; on obtiendra ainsi les points d'ombre a', b', k‘ , i' .... et on reliera ces deux ombres par les ombres des lignes B' B' , A' A', l’T, D’D', etc., qui sont les ligues b b ' , aa', kk', i *', h h', etc.

§ 336. — La construction de cette ombre (quelque simple qu’elle soit à cause de la régularité du corps, puisque cette ombre n’est limitée que par des ligues droites et parallèles, et que l’on peut aisément trouver les points qui les déterminent sur le plan horizontal et vertical) fournit matière à des considérations fort instructives; en effet, on voit :

I* Comment on trouve l’ombre q «’ b' br d’un parallélipipède G' ABF posé verticalement ;

2° Que celle ombre doit être plus large que A' B' (ainsi que cela se voit promptement eu comparant les lignes qr et çs), et qu’elle deviendra toujours plus large, plus l'angle sous lequel les rayons lumineux vont frapper la ligne up deviendra aigu, comme d’un autre côté elle deviendra égale à A’ B' lorsque les rayons lumineux seront perpendiculaires à op ;

3“ Comment on peut trouver l’ombre i’ e d’une poutre à I E situé horizontalement dans l’espace;

4" Comment on peut trouver l’ombre a’ b' ba d’un plan horizontal figuré par AB, cl i h' hi celle d’un plan vertical figuré par I H, lorsque ces plans se trouvent situé dans l’espace au-devant de m n o p.

§ 337. — Problème. — Le plan mnop ifnj. 107) sur lequel on doit trouver l’ombre des deux parallélipèdcs A C et 11 F placés de manière à avoir une position po' inclinée vers la sur-

i’<» DKSHlft (îf.OMKIHlVtJE.

face du plan vertical, et les pavons lumineux sont donnés dans une direction arbitraire.

Solution.. — Ainsi que .cela se voit par la ligure, on trouvera l’ombre lout-à-fuit d après le même procédé que celui emploie |tour des plans parallèles, n bc d sera donc l’oiubre du plan A It Cil, ehhi celle de K 11 GF, et a' b' c' d' celle du plan -(■ostérioiir ligure pari)’ O. De meme b b’ c'c sera l’ombre du plan représente par DC. comme au' d' d celle indiquée |»ar Al), ■badin ce’ It' h sera l’ombre du plan EE’ll'll, et //'/ sera :la ■limite de l’ombre du côté gauche du corps 11F placé perpen- •dicu lai rement.

§33K. — Si mno/i n’était point unplan, mais au contraire ■une surface courbe ;/qo . et si ou devait trouver l'ombre perlée ■que projet te sur lui un corps AD CD (//</. lO.i), étant donné une direction arbitraire des rayons lumineux; on poun'u alors mil (ployer, pour tous les cas analogues, tout ce qui a élé dit jusqu'ici, dans les § 324. 32ti . ainsi que cela ressort nettement ■de la ligure dans laquelle le contour de 1‘ ombre portée a pris • lu forme de D decb D.

§ 330. — 1 1 y aurait encore eu général à observer ce quisuil:

1“ L’ombre du plan ABCD, lorsqu'on l’envisage isolément sur ia ligure, uhb ce du. Les deux ligues «//et bc sont droites, parce que les projections de tous Les points que l’on adopterait entre A D et BC, sont représentés sur le plan horizontal par les {■oints A' et B’ , et /pic , par suite , les ombres de ces points devraient toutes tomber dans les lignes a d et //, c. Mais les ■ courbes a h b et ced sont les ombres des droites A B et C I) , et l’on trouvera leur courbure avec d’autant plus d’exactitude que l’on admettra sur A D et C D un plus grand nombre de {■ointe pour leur détermination;

2”. Les parallélogrammes A ad D et Déc Csout l'ombre des •plans figurés par AD , A’ F et D C , D' G. Quelque surprenant qu'il puisse paraître , au premier abord , de voir l’ombre dame droite A’ F apparaître sur une surface courbe sous la forme d’une droite I) d , autant cela deviendra évident si l’on songe que la ligue 1) d est la: projection du plan lumineux qui est tangent au corps A DC1) le loug de l’arètc A F et , qu'elle engendre le contour de l’ombre. l‘ar suite D d sera aussi la

projection «l’un plan perpendiculaire à la surface ilu labliau.i't comme telle elle «lovra apparaître sous forme de Itipic tirait*. La ligne il'omhre , envisagée isolément . apparaît à la surface courbe sous la forme d’une courbe, et elle formera même une portion d’ellipse . si n q // est la portion d’un cercle ; mais sa projection dans un dessin apparaîtra dans celte position du plan lumineux, par rapport an tableau . sous la forme d’une ligne droite. La construction justifiera encore ce que l’on vienld'avancer . si l’on admet sur la ligne A’ F, qui engendre l’ombre, les points F , K’ , et si on recherche sur le plan vertical leurs points d'ombre I. K qui. tous, se trouveront situés en l)d, puisque I) est la projection de tous ces points sur le plan vertical. Lis que l’on vient de dire de la ligne d’ombre I) <1 , s’applique également à il b, C. c et A n ;

3‘. Les figures R/i/iaA et Ce edi) sont les ombres des plans représentés par A II et (il) dont le plan A' 11' (ï F est la projection sur le plan horizontal. Nous ajouterons seulement que les ligues a h b et il e. c devront apparaître sous forme dé courbes , tant à cause de la construction , que parce que les lignes génératrices A II et li I) ont une position telle , que les plans lumineux qui leur sont tangents reçoivent une direction oblique vers la surface courbe m no p. Si mn n p est la portion d'une surface cylindrique , alors les limites d’ombre réelles sont des portions d’ellipses, et les lignes ah b et dt r , comme étant leurs projections, seront de même aussi des portions d’ellipses; ou bien elles pourraient aussi apparaître sous forme d’arcs de cercle (§ 138).

§ 310. — On peut également trouver, d’après les indications des § 321 et 320 , l'ombre d’une courbe A RC DE , pou importe que celte ligne soit parallèle avec le plan m nop sur lequel elle porte ombre, ou ail . comme dans la fig. tOO . une position inclinée vers lui ; nous ferons observer , en (Nissan t , que. dans le premier cas, l’ombre sera égalé à la ligne portant ombre. Il va du reste sans k dire que. dans l'un et l’autre cas, l’ombre abc de pourra être indiquée d’une manière d’autant plus exacte , que l'on prendra sur la ligne génératrice AE un plus grand nombre de points pour les projelter sur A’ E. I^e procédé restera encore le même , soit que le plan m

DESSIN GÉOMÉTIUQUE.

nop ait une position inclinée vers le tableau . soit que m n 0 p . au lieu d’être sur une surface plane , fut une surface courbe . malgré que les lignes d’ombre apparaissent alors sous une autre forme.

Enfin si A RC DE figurait un corps placé contre le plan ni nop, alors A abcdc f F serait son ombre |>ortée.

§341. — Problème. — 'Soit le cercle A 1$ ED , {fig. 1 1 0) la courbe en question, trouver l’ombre portée qu’il projette sur le plan m nop , avec lequel il est parallèle.

Solution. — On cherchera, d’après ce qui a été dit au § 524, l’ombre c du centre C, en admettant que la projection du point C, et la direction I des rayons lumineux sont donnés par c' et I' sur le plan de projection horizontale. De c comme centre , on décrira avec b c = B C un cercle semblable à 11 b c il , et l’on aura ainsi l'ombre de la circonférence ou du plan circulaire A B E D.

Si A B E D est un cercle parallèle avec le plan m nop , et si les rayons lumineux sont tangents à cette circonférence, il en résultera que* ees rayons formeront dans l'espace un cylindre oblique (cylindre lumineux) dont l’une des bases sera le cercle A B ED portant ombre, et dont l’autre base semblable sera l’ombre produite a bc d.

§ 342. — Si l'on voulait arriver au même but , en suivant le procédé indiqué au § 340, c’est -à-dire choisir sur la circonférence du cercle A BED plusieurs points, les projcltercn IV D’ puis chercher leur ombre sur le plan m n o p. alors ils viendraient tous tomhersur la circonférence du cercle n bc d. Ce mode de construction 11 e pourra donc être suivi que dans le cas où les lignes;) «et B’ I)’ ont uuecertaice inclinaison l'une vers l’autre. Alors aussi l’ombre du cercle, au lieu d’appnraitre sous la forme d’un cercle . affectera celle d’une rl ipse. dont l’un des axes sera égal au diamètre li i , et dont l'autre sera tantôt plus grand , tantôt plus petit que li i , suivant le plus ou le moins d’inclinaison des lignes B’ D' et o p et suivant l'angle d’incidence des rayons lumineux. Dans un cas pareil , on pourrait trouver, d'une manière bien facile, l’ellipse d’ombre, d'après l'indication du § 104 (3' solution).

Si m 11 op était une surface courbe , convexe ou concave, il