SUR LES PROGRESSIONS

XLVI. On appelle progression arilkmétique une série de termes successivement augmentés ou diminués d’une même quantité. Dans le premier cas, la progression s’appelle croissante et dans le second, décroissante. La différence entre les deux termes s’appelle raison.

On appelle progression géométrique une série de termes successivement multipliés ou divisés par une même quantité. Dans le premier cas, la progression s’appelle croissante, et dans le second, décroissante. La quantité qui multiplie ou divise, s'appelle raison.

On considère cinq quantités dans les progressions : le premier terme, le dernier terme, le nombre de termes, la somme des termes et la raison.

XLVIT. Le dernier terme d’une progression arithmétique se compose du premier terme, plus autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui.

Exemple. Soit :2. 5. 8. 11. 14. 17, dont la raison est 3. Remarquez que le dernier terme 17 qui a cèng termes avant lui se compose du premier terme 2+ (la raison 3 X D)—= 17.

XLVIIT. La somme des termes d’une progression arithmétique se compose de la somme du premier terme et du dernier, multipliée par la moitié du nombre des termes.

Exemple. Soit + 5. 7. 9. 11. 13. 15, dont moitié du nombre des termes—3. Or le premier terme 5+le dernier 15—20 qui x 3—60, la somme des six termes.

XLIX. Dans toute progression arithmétique, la somme du premier et du dernier terme égale celle du deuxième et de l’avant-dernier, ou celle du troisième et de l’antépénultième, ainsi de suite en observant toujours le même ordre.

Exemple. Soit + 4.7, 10. 13. 16. 19.22. 25. Remarquez que le 1er et le 8e terme — 4+25—29;

que le 2 etle 7e % — 7+22—929; que le 3€ et le 6e 4 —10+19—29; que le 4e et le 5e “ —13+16—29.

Dans l’exemple qui vient d’être donné le nombre des termes est pair. Si est 2mpair, c’est alors le double du

> série d’une ‘ession >, La

de termême rppelle 1antité

ons : le nes, la

ithméde fois n est 3. termes

raison

ressiof terme

1t tou-

emar-

terme moyen qui égale la somme des autres pris deux à deux comme dessus.

Exemple. Soit +11. 16. 21. 36. 31. Remarquez

que le 1et le 5€ terme —11+31—42 ; que le 2e et le 4e %° —16+26—42 ; que le 3° doublé =91+921—=42,

L. Si le nombre des termes d’une progression arithmétique est impair, le terme moyen égale toujours la somme divisée par le nombre des termes, c’est-à-dire, que si ce nombre est 3 ou 5 ou 7... le terme moyen=} ou + où +... de la somme des termes.

Exemple. Soit+10. 20. 30. 40. 50, dont la somme— 150. Or cette somme divisée par 5, nombre des termes —150—30, Or, comme l’on voit, le terme moyen—30.

Si le nombre des termes est pair, les deux moyens égalent ensemble la somme divisée par moitié du nombre des termes.

Exemple. Soit +5. 10. 15. 20. 25. 30, dont la somme —105. Or 105 divisé par 3, moitié du nombre des termes 195—35. Or les deux termes moyens=—15 +20—35.

LT. Le dernier terme d’une progression géométrique égale le premier, multiplié par la raison élevée à une puissance d’un degré égal au nombre des termes— 1.

Exemple. Soit -:: 3 : 6 : 12 : 24 : 48 dont la raison est 2. Or, la progression ayant cinq termes, la raison 2 élevée à la quatrième puissance, nous donnera 2x2x2x2 —16. Or, remarquez que le dernier terme—le premier 3 x 16—48,

LIT. Pour avoir la somme de tous les termes d’une progression géométrique, on multiplie le dernier terme par la raison, du produit on retranche le premier terme et l’on divise le reste par la raison diminuée de l’unité.

Exemple. Soit: 2: 6:18 : 54: 162 dont la raison est 3, et la somme 242. Or, le dernier terme 162 x3— 486. De 486 retranchons le premier terme 2, reste 484. Or, ce reste 484: (la raison 3—1)—44#4—242, somme des te:mes.

Remarque.—Tous ces divers principes sur les progressions s’appliquent textuellement aux progressions crotssantes, mais, pour les rendre applicables aux progressions décroissantes, il n’y a uniquement qu’à changer les mots premier en dernier et dernier en premier,

10 ALGÊBRE.