iP!L9P

' 7 1 par 1 1

et le nombre de jours relatif à cette nouvelle circonstaHCe sera

24 par 9 par 8 par 827 7 1 par 1 1 par 65

En ayant égard aux largeurs , qui ne sont pas les mêmes pour chaque fossé , j'ai

, o .. M par 9 par 8 par 327 .

7 1 par 1 1 par o5

et , par conséquent , le nombre de jours cherché se

change en

24 par 9 par 8 par 827 par 18 7 1 par ï I par 65 par 1 3

Enfin les profondeurs étant différentes , on a

24 par 9 par 8 par 827 par 18 , • "^ " 71 par II par 65 par i3 * '

et le nombre de jours résultant du concours de toutes le» circonstances est

24 par 9 par 8 par 827 par 1 8 par 7 7 f par 1 1 par 65 par 1 3 par 5

En effectuant les multifdications et les divisions , on arrivera au résultat cherché, 21 jours ttUtH-

123. Ce nombre est égal à 24 multiplié par la quantité fractionnaire

9 par 8 par 827 par 18 par 7 7 1 par 1 1 par 65 par 1 3 par 5 ^

mais cette dernière quantité, qui exprime le rapport du nombre de jours donné au nombre de jours cherché , est elle-même le produit des fractions suivantes :

Or, en remontant aux dénominations des nombres donnés

dans l'énoncé de la question , on voit que ~ est l'inverse

du rapport des nombres d'hommes , qui , pris dans Tordre de renonciation , serait g k yi ^ puisqu'il y a 9 hommes

dans le premier cas et 71 dans le second^ — est pareille* ment l'inverse du rapport du nombre d'heures que chaque bande d'ouvriers doit travailler •, -^ ? -5 et ^ sont les rapports directs des longueurs , des largeurs et des profondeurs des deux fossés. D suit de là que le rapport du nombre de jours donné au nombre de jours cherché est égal au produit de tous les rapports directs et de tous les rapports inverses qui résultent de la comparaison des termes relatifs à chacune des circonstances de la question. On résoudra la question très-simplement , en évaluant d'abord chacun de ces rapports 5 car, en multipliant entre elles les fractions qui les expriment , on formera celle qui représente le rapport de la quantité cherchée à la quantité donnée de niême espèce. Cette dernière fraction, qui sera le produit de tous les rapports qui entrent dans la

d'arithmétiqi^. 97

question^ aura pour numéraUMir le produit de toitô leurs conséquents , et pour dénominateur celui de tous leurs antécédents. Un rapport qui résulte ainsi de la multipli- . cation de plusieurs autres s'agpelle rapport composé. En mettant l'expression fractionnaii^

9 par 8 par 827 par 18 par 7 7 1 par 1 1 par 65 par 1 3 par 5

éous la forme d'un rapport , on en tirera , avec le nomObrc 24 des jours donnés , la proportion

7 1 par 1 1 .par 65 par 1 3 par 5 : 9 par 8 par 327 par 18 par 7 :: 24 : ^,

qu'il est aisé d'imiter dans tous les cas semblables-

Règrle de Soéiëté.

124. Cette règle a pour objet de partager un nonjbre •en parties qui aient entre elles des rapports donnés ; on verra , dans l'exemple suivant , «on ori^ne et d'où elle a tiré son .nom. ,

Trois marchands se sont associés pour un commerce : le premier a mis 25 000 francs, Iç second 18000, et le troisième 4^000; ils se séparent, et veulent partager entre eux le bénéfice commun , qui se monte à Sy 225 fr, : on demande combien chacun doit avoir pour sa part.

Pour résoudre cette question , il faut considérer que le gain de chacun d'eux doit être composé avec le gain totale comme sa mise Test avec la somme des mises ou le fonds total ^ car celui qui aurait fourni à lui -seul la moitié ou le tiers de ce fonds, par exemple, aurait évidemment vdroit à la moitié ou au tierç du gain. Dans Fexemple ' proposé, la somme des mises formant 85 000 francs, les mises particulières en seront respectivement les

aSooo . 18000 4^000 85ooo' 85ooo' 85ooo^ A&iTMBi.y 20* édU» ^

et en ivullipKattt par ses fractions le gam total $7 22^ &. ,

on obtiendra le gain relatif à ckaqtie mise. Il est d'att-

leurs évident que la somme des paris égalera le gain total j

puisque la somme des fractions ci-dessus, ayant son nu-

mérateujr égal à son dénominateur, est nécessairement

l'unité.

Les opérations indiquées plus haut donnent les proportions

85ooo : 25ooo :: 572^5 : au gain du premier marchand, 85ooo : 18000 :: 57225 : au gain du second, 85ooo : 42000 :: 57225 : au gain du troisième,

qui peuvent s'énoncer ainsi :

la mise totale : une mise particulière : : le gain total : au gain particulier.

En simplifiant le premier rapport de chacune de ces trois proportions, on a

85 : 25 :: 57225 : au gain du premier, ou i683o fr. ^; 85 : 18 :: 57225 : au gain du second, ou 1 7.1 18 fr. ff; 85 : 42 t: 57225 : au gain du troisième, ou 28275 fr. f|.

Si toutes les mises étaient égales , l'opération se réduirait à diviser le gain total par le nombre des mises; on ramène la question à ce point dans l'exemple proposé^ en concevant la mise totale 85 000 francs, partagée en 85 mises partielles ou actions de 1000 francs : le gain de chacune de ces mises doit être évidemment la 85* partie du gain total , et il ne reste plus qu'à midtiplier successivement cette partie par aS , 18 et 42, en considérant les mises 25 000 francs, 18000 francs, 42000 francs, comme les réunions de 25 actions , de 18 actions, de 42 actions.

Il est bon de savoir qu'en terme de commerce, la mise totale se nomme capitaly et le gain à partager dii^ende.

La question suivante a beaucoup d'analogie avec celle qui vient d'être résolue.

d'arithmétique, \^^

iSa. On dirânanda de partager une «uGcession de

. 67 25o francs entre trok héritiers, de manière que la part

du second soit les | d« celle du premier, .et que la part du

troisième soit les ^ de celle du second.

U est évident que la part du troisième , comparée à celle du premier, en sera les j des |, ou les •— , bu les rr • ^^s trois parts chercliées seront donc entre elles dans les mêmes rapports que les trois nombres i , f et ,^. En réduisant ceuic-ci au même dénominateur, on trouvera fj, iTî Ttj et l'on aura les trois nombres 20, 8, 7, qui seront proportionnels aux premiers; mais leur somme étant 35 , on voit que si Ton prend trois parts qui soient exprimées par les fractions f; , -n ? gVî ^^'^^ seront entre elles dans les rapports demandés : la question sera donc résolue en prenant les ||, puis les 5^, puis les ~ de 67 260 francs , ce qui donnera les sommes dues aux héritiers, suivant la distribution prescrite, savoir :

38428 fr.fl, 15371fr.il et i345ofr.

iS6. Enfin soient deux fontaines dont la première coulant seule pendant 2 heures et j, rempKt un certain bassin, et dont la seconde remplît ce même bassin^ en coulant seule pendant 3 heures j : on demande combien il faudra de temps pour qu'il soit rempli par les deux fontaines coulant à la fois ?

Je cherche quelle partie du bassin la première fontaine remplit dans un temps donné , dans une heure par exemple , et je vois qu'en prenant la cap^tcité de ce bassin pour unité, je n^aî qu'à diviser i par 2 ^ ou |, ce qui donne | pour la partie cherchée. En divisant de même I par 31 ou ^, j'obtiens -~ pour la portion du bassin que la seconde fontaine fournit pendant une heure; les deux fontaines coulant ensemble donneront, par conséquent, les f plus les ^ ou les \j du bassin, pendant une heure : divisant donc i, oula capacité du bassin, par [-J,

lOo/ TRA1T4Ê ÉLÉMENTAIRE

on aura le ncmibre d'heures quHI mettra à se remi^r de

cette manière, et l'on trouvera ainsi H ou une heure et

demie.

Les auteurs qui ont écrit sur F Arithmétique ont mùl- ' tîplié et varié ces questions de beaucoup de manières, et "ont érigé en règles les procédés qui servent à les résoudre ; mais tous ces préceptes sont au moins inutiles, parce qu'une question de ce genre est toujours facilement résolue par celui cjui sait développer les conséquences de . renoncé, surtout lorsqu'il peut s'aider du secours de l'Algèbre*, c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas davantage.

127. A l'instar des proportions qui sont composées de quatre nombres , dont les deux premiers se contiennent autant que les deux derniers , on a considéré l'assemblage de quatre nombres , tels que 2,7,9, 1 4 , dont le deuxième surpasse le premier autant que le quatrième surpasse le troisième : ces nombres, qu'on peut appeler èquidifférents ^ jouissent d'une propriété remarquable , analogue à celle de la proportion ^ car la somme des termes extrêmes 2 et i4 est égale à celle des moyens 7 et 9 (i).

Pour prouver cette propriété en général , il faut observer que le second terme est égal au premier , plus la •différence, et que le quatrième est égal au troisième, plus

(1) Les Anciens avaieui très-bien séparé la théorie des proportions des opératioiTs de TArithmétiquo. Euclide donne cette théorie dans le cinquième livre de ses Éléments j et comme il appliqoo Ips proportions aux lignes, c^est apparemment de là qu^elIes ont pris dans la suite le nom de proportions géométriques , et qiron a donné le nom de proportion ariihmé^ tique à Tassemblage des nombres équidifTérents, dont on ne s^est occupé qne beaucoup plus tard. Ces dénom4nati6ns sont très-vicieuses : le mot de proportion, dans notre langue, a un sens déterminé qui ne convient nullement aux nombres équidiffcrents. D'^ailleurs la proportion qu'ion appelle géométrique n'est pas moins arithmétique que celle qui porte exclusivement ce nom. Lagrange , dans ses Leçons à TÉcole IVormale , a rectifié le langage à eet égard, et j'ai suivi son exemple.

"Véquidifférence, ou Tassemblagc de quatrô nombres équtdiflercnts, ou enfin la proportion arithmétique, s'écrit ainsi : 2,7 :9«i4*

d'arithmétique. ^ • lOl

la différence 5 d'où il suit que la somme des eixtrèmes, composée du premier et du quatrième terme , sera égale au premier plus le troisième plus la différence. De même, la somme des moyens , composée du deuxième et du troisième terme , sera égale au premier plus la différence plus le troisième. Ces deux sommes étant composées des mêmes parties sont, par conséquent , égales.

J'ai supposé que le deuxième et le quatrième 'terme étaient plus grands que le premier et le troisième-^ le contraire pourrait avoir lieu comme dans les quatre nombres 8, 5 , i5, 12-, alors le second terme serait égal au premier, moins la différence, et le quatrième serait égal au troisième moins la différence. En changeant le m^ot plus en moins ^ dans le raisonnement précédent, on prouverait encore que, dans le cas actuel , la somme des extrêmes est égale à celle des moyens.

Je ne pousserai pas plus loin cette théorie des nombres équidifférents , parce qu'elle ne peut être d'aucun usage pour le moment.

Rè^le d* Alliage.

128. Je n'omettrai point la règtè d* alliage, dont le but est de trouver la valeur moyenne de plusieurs choses de même espèce, mais de prix différents^ les exemples suivants la feront suffisamment connaître.

Un marchand a acheté plusieurs espèces de vins, savoir :

i3o bouteilles qui lui reviennent à.io décimes chaque,

et il les mêle ensuite : on demande à combien lui, revient la bouteille du mélange. Il est aisé de voir qu'il n'y a qu'à évaluer ce que lui coûte la totalité de ce mélange,

IOÎ2 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

combien elle forme de bouteilles , et à drviser ensuite le premier de ces résultats par le second pour avoir le prix eberché. ^ Or les i3o bouteilles à lo décimes font i3oo décimes 7S à i5 font 1125

23 r' à 12 font 2772

27 à 20 font 540

donc... 463 bouteilles coûtent 6737 décimes.

Divisant 8737 par 463, le quotient 12,89 ^®^ ^^ P"^ ^^ la bouteille du mélange.

429. On se sert encore de la règle précédente poûir pl^endre un milieu entre divers résultats donnés par FeX"périence ou l'observation, et qui ne s'accordent point entre eux- S'il s'agissait, par exemple, de connaître exactement la distance de deux points assez éloignés , et qu'on ia mesurât , quelque soin qu'on apportât dans cette opération ^ il y aurait toujours un peu d'incertitude dans le résultat, à oause des ^reurs qu'on commet nécessairement dans la manière de poser les mesures à la suite les unes des autres.

Je suppose donc qu'on ait répété cette opération plusieurs fois de suite pour la vérifier, et que deux fois on ait trouvé 3794"548 5 que trois autres mesurages aient donné 3795°',27 , qu'on ait eu enfin un dernier résultat de 3793"*,! 1 5 : ces divers nombres n'étant point les mêmes, il est évident qu'il y a erreur dans quelques-uns d'entre eux, et probablement dans tous; et pour l'atténuer, voici comme on raisonne. Si l'on avait obtenu chaque fois la vraie mesure , la somme des résultats serait égale à six fois cette mesure, et il est visiMe que la même chose aurait encore lieu si les résultats obtenus péchaient les uns par défaut, les autres par excès, de manière que l'augmentation produite par Tàddition des excès compensât ce qui

D ARITHMÉTIQUE. Io3

manque aux résultats moindres que la vraie valeur : on parviendrait donc j dans ce derniec cas, à la vraie mesure, en divisant la somme des résultats par leur nombre.

Ce cas est trop particulier pour espérer qu'il se rencontre fréquemment-^ mais il arrive presque toujours que les erreurs dans un sens détruisent une partie de celles qui sont dans l'autre , et celle qui reste, se trouvant répartie également sur chacun des résultats , est d'autant plus diminuée , que le nombre des résultats est plus grand.

D'après ces considérations , on opérera ainsi qu'il suit : On prendra

2 fois 3794,48 ou 7588,96

3 fois 3795,27 ou II 385,8 1

I fois 3793,115 ou 3793,115

6 résultats donnant en tout 22767,885

Divisant 22767,885 par 6, on trouvera que la valeur moyenne de la distance demandée est 3 794"* 9^47-

Au reste , c'est au calcul des probabilités qu'il faut avoir recours pour discuter et apprécier les avantages et les inconvénients de cette méthode 5 et ce sujet a occupé les plus grands géomètres de notre siècle.

Hé la comparalsou des diverses mesures de même genre»

130. L'uniformité des mesures était depuis longtemps l'objet des vœux de tous les savants , lorsqu'on a établi en France le système décimal que j'ai exposé plus haut (100); mais ce système n*étant pas encore adopté par les nations étrangères , et succédant à un ancien système par lequel on a exprimé beaucoup de résultats numériques importants , on a souvent besoin de comparer avec les mesures décimales , soit les anciennes mesures françaises , soit les mesures étrangères : je vais , en conséquence , indiquer les moyens de faire cette comparaison.

»o4 TRATTÉ ÉLÉlSlENTAliRE

Les donnée» nécessaires sont les rapports des meswws à comparer. Ces rapport» s'obtiennent en e:^riniant l'une des mesures par Fautre.

13i. Les mesure» linéaires les plus usitées en France étaient la toisé et Vitune.

La toise se divise en 6 pieds ^

Le pied se divise en 12 pouces, - *

Le pouce se divise en 1 2 lignes ,

La ligne se divise en 12 points.

L'aune (de Paris) contient 3 pieds 7 pouces 10 lignes |» Je compare d'abord la toise au mètre.

Le mètre, déterminé définitivement, a été trouvé de 3 pieds o pouce 1 1 lignes 296.

Ce nombre étant réduit en fraction de la toise donne le rapport du mètre à la toise.

Pour faire cette réduction , il faut d'abord convertir les pieds en lignes , ce qui se fera en observant que , puisque le pied vaut 1 2 pouces , 3 pieds font 36 pouces f et comme le pouce vaut 12 lignes, on multipliera 36 par 12, ce qui donnera 432 pour la valeur de 3 pieds convertis en lignes , à quoi il faut ajouter les 1 1 lignes 296 dé surplus, et il viendra 443 lignes 296. '

D'un autre côté , la toise , composée de 6 pieds , c<aitient 6 fois 1 2 pouces , ou 72 pouces , et 72 fois 1 2 lignes, ou 864 lignes. La toise contenant donc 864 lignes , tandis que le mètre en contient seulement 443^296, le rapport du mètre à la toise est celui des nombres ^^Z^iq6 et 864, ou des nombres 44^^96 et 864000, mille fois plus grands que les précédents: La toise est donc les \\\\\\ du* mètre, fraction qui se réduit à T^ff-J , en divisant ses deux irermes par 32.

132. Il suit de là et du n*^ 75, que, pour convertir un nombre quelconque de toises en mètres , il faut le multi** plier par la fraction 7777I.

d'arithmétique. io5

On deman^, par exemple, combien 43 toîees font de mètres ; le résultat est 'j*,*** :■ extrayant les entiers de cette fraction , il vient 83 75775 , et en réduisant en décimalesJa fraction qui accompagne rentier, on a 83,8o856. Comme il suffit , pour les usages ordinaires, d'une réduction approchée , il est commode de convertir immédiatemem en décimales la fraction fy^fj , ce qui donne pour Ift valeur de la- toise i "^,94904 ; et multipliant ce nombre par celui des toises proposées , on opérera sur-le-ehamp leur conversion en mètres.

133. Les pieds , les pouces, les lignes, dont le rapport avec la toise est connu, se convertissent facilement en parties décimales du mètre :

i^. Le pied étant la sixième partie de la toise vaudra la sixième partie de la fraction 77fn> ^^ ^^^ 71^ ^" mètre, et en décimales^, o",32484ï ou 3'*°*,2484.

2^. Le pouce étant la douzième partie du pied vaudra la douzième partie de la fraction ^^^^ , ou les 7775^ du mètre, et en décimales, o",02707, ou 2*^"',707.

3°. La ligne étant la douzième partie du pouce vaudra la douzième partie de la fraction -^^jji , ou les —ffâ du mètre, et en décimales, o"^,oo226, ou 2"*"',26.

On obtiendrait de même la valeur du point.

. i34. Rien de plus aisé maintenant que de réduire en mètres et en parties décimales du mètre, un nombre cjuelconque de toises , pieds et pouces. Soient , par exemple , i3 toises 5 pieds 3 pouces 8 lignes.

Les i3 toiseâ donnent 25,33752

Les 5 pieds donnent 1,62420'

Les 3 pouces donnen t o , 08 1 2 1

Les 8 lignes donnent 0,01808

Total. ...... 27,06101

13S. L'aune de Paris, contenant 3 pieds 7 pouces

Io6 TRAITÉ Éi^Kf^TAlAE

lo lignes |, réduite en lignes, cevient k la A^action \{{\ de la toise; et la toise étant les 'g*** du mètre, Taiiiie sera les —fj des f—— du mètre, ce qui revi^it, en décimales, à I™, 18845.

136. Le poids se mesurait autrefois en livres, inares, > onces y gros y grains et fractions de grains.

La livre est composée de 2 marcs, Le marc est composé de 8 onces, L*once est composée de 8 gros, Le gros est composé de 72 grains.

On a trouvé , par des expériences très-délicates , que le kilogramme pesait 18827 grains. En convertissant ce nombre en fraction de la livre, comme je l'ai fait pour celui qui exprime le mètre par le pied , on aura le rapport de la livre au kilogramme, et Ton déduira de là les rapports des subdivisions de la livre avec les parties décimales du gramme.

On trouvera, i*^. que la livre est les ^jj^^àu kilogramme, ou o'^s'', 48951 en décimales ;

2*^. -Que Ponce, ou la seizième partie delà Kvre, vaut les ^\j\^ du kilogramme, ou o'^^^oSoSp en décimales;

3°. Que le gros, ou la huitième partie de l'once, vant les jjj^ du kilogramme, ou o''^%oo382 en décimales;

4*^. Quelegrain, oula soixante-douzième partie du gro^, vaut le xrm ^ kilogramme, ou o*^,oooo5 en décimales.

Avec ces résultats, rien de plus facile que de convertir en mesures décimales un poids quelconque exprimé par les anciennes mesures. Soit pour exemple 23 livres 4 onces 5 gros 3i grains.

KgT

On a pour aS livres, 11,25873 pour 4 onces, o, 12236 pour 5 gros^ 0,01910 pour 3i grains, 0,001 55

Total 11,40174

137. L'unité monëuire de rancien système était la livre tournois. La valeur du franc, donnée par lu ptjoe de 5 francs , ayant été comparée à celle de la livra tournois , donnée par l'écu de 6 livres , il en est résulté que la râleur du franc est à celle de la livre tournois comme 8 1 esc à 80. Pour convertir donc une somme de livres tournois en francs, il faudra en prendre les ff, ou la multiplier par 0,98765.

Réciproquement, pour évaluer une somme de francs en livres tournois , il en faut prendre les f^ , ou la multiplier par i,oia5.

Si la somme à réduire était 100 francs, il viendrait 101,25 ou 101 livres -j.

La livre tournois se divise en 20 sous , cliaque sou en 1 2 deniers. Dans l'usage ordinaire , on confond la livre seule avec le franc. Par cette liypothèse, qui n'est qu'approchée, chaque sou vaut un f décime ou o,o5 5 et un denier étant la douzième partie du sou vaut un -^ de o,o5, ou o, 0041666, etc.

Pour faciliter les conversions des anciennes mesures en nouvelles, on a réuni, dans les tables placées à* la fin de ce Traité , les résultats obtenus dans le n** 133, ainsi que dans le précédent, avec tous ceux qu'on trouverait en comparant de la même manière les mesures correspondantes de l'ancien système métrique et du système décimal. On y a joint aussi les rapports des principales mesures et monnaies étrangères avec celles du même système.

138. De même que , par le rapport de l'aune à la toise, j'ai comparé la premi^*e avec le mètre, de même aussi j'aurais pu comparer avec le mètre toutes les mesures étrangères dont le rapport avec nos anciennes est connu. L'exemple suivant , quoique fictif, suffira pour mettre en état d'appliquer la méthode à tous les cas qui peuvent se présenter, et donnera une idée de la règle conjointe y

]o8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIEE

qu'on pratique souvent dans les opérations du change des

monnaies.

Supposé que 3 Iwres de France valent 82 deniers ster^ /i>tg^ d'Angleterre, que 1^0 deniers sterling valent ^o^ deniers de gros de Hollande, que 5o deniers de gros valent igfd niaravédis d'Espagne: on demande combien 90 livres de France font de maravédis.

I®, Puisque 3 livres de France font Sa deniers sterling, la livre est les ^ du denier sterling.

2°. Puisque 240 deniers sterling valent 4o8 deniers de gros , le denier sterling est les ffj du denier de gros.

3**. Puisque 5o deniers de gros valent 190 maravédis, le denier de gros est les ^ du maravédi.

On convertira donc la livre de France en maravédis , en prenant les —• des yfl de ^ , ce qui donnera

32 par 408 par 190 3 par 240 par 5o

pour le rapport de la livre au maravédi ; et multipliant ce rapport par 90, on aura la valeur de 90 livres de Finance , exprimée en maravédis, c'est-à-dire

90 par 32 par 4^8 par 190 3 par 240 par 5o

Ce nombre fractionnaire est susceptible d'une expression beaucoup plus simple 5 car le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs. Dans le premier, 90 et 190 sont divisibles par 10 ; il en est de même de 240 et de 5o dans le second, et la division étant effectuée, il

viendra

9 par 32 par 408 par 19 3 par 24 par 5

Mais 32 au numérateur étant divisible par 8, ainsi que 24 au dénominateur, on aura

9 par 4 par 4o8 par 19 3 par 3 par 5 '

d'arithmétique. log

et tomme 3 par 3 font 9, on pourra supprimer ce facteur dan3 le numérateur et le dénominatenr à' la fois : il

en résultera ^ — 4 P^^* '9 ^^ g^oi ^ maravédîs pour

90 livres de France.

Bn Calcul des nombres complexes.

139. Les nombres qui contiennent à la fois des toises , pieds, pbuceSy lignes, points, des lii^res (de poids), onces, gros et grains, des libres, sous et deniers, se trouvant rapportés à des unités différentes, et leur expression étant composée de plusieurs parties , ils ont été nommés nombres complexes ; ceux qui n'en renferment qu'une seule sont appelés incomplexes (i). On effectue immédiatement sur les nombres complexes les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique, pa?^ des procédés que je vais rapporter ici , pour mettre en état de suivre les anciens calculs , quoiqu'il soit à désirer qu'on renonce tout à fait à des opérations que les décimales remplacent si heureusement.

Ce que je dirai sur les nombres complexes usitée en France s'appliquerait sans peine à tous ceux qui peuvent résulter des mesures étrangères et de leurs sid)divisions.

De TAdditiou des nombres eomple^Kes.

140. L'addition des nombres complexes repose sur les mêmes principes que celle des nombres incomplexes : il s^agit toujours de réunir entre elles les parties de même valeur^ et lorsqu'on en trouve assez pour former une ou

(i) Les nombres accompagnés de fractions décimales ne doivent pas recevoir cette dénomination, puisqo^on peut à vue les convertir en une seale espèce d^unité : 34"^,95 par exemple reviennent à 3495 centimètres.

no TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

plusieurs parties (f un ordre supérieur, on reiie&t ces dernières pour les joindre à la somme de c^es qui sont écrites dans les nombres proposés , comme dans F addition simple, on reporte les dizaines d'une colonne sur la suivante à gauche. On doit donc disposer les nombres complexes qu'on veut ajouter ensemble , de manière que leurs unités , ou parties de même valeur, soient dans une même colonne, et faire séparément la somme de chacune de ces colonnes, en se rappelant combien il faut d'unités ou de parties de chaque ordre pour composer celle de Tordre immédiatement plus considérable.

En voici un exemple , sur des livres , sous et deniers :

En ajoutant d' abord les deniers entre eux , parce que ce sont les parties de moindre valeur, et en embrassant à. la fois les unités et les dizaines de ces nombres , on trouve 29 deniers ; mais comme 1 2 font i sou , cette somme revient à 2 sous 5 deniers : on n'écrit donc que les 5 de^ niers, et l'on retient les 2 sous pour les porter à leur colonne.

Ici on ajoute séparément les unités et les dizaines. Les preniières donnent 22 , en y joignant les deux sous retenus sur les derniers; on n'écrit que les deux unités , et l'on retient les deux dizaines pour la colonne suivante, dont la somme s'élève parce moyen à 5 dizaines : mais comme la livre , composée de 20 sous , en contient 2 dizaines , on obtient le nombre de livres résultant des sous , en divî- . sant celui des dizaines de sous par 2 . On a 2 pour quotient , et i de reste qu'on écrit sous la colonne où Ton opère ^ tandis qu'on retient les 2 livres pour la suivante à

DARITffîkfÉTlQUE. III

gaud»e. A partir de cette deraière, Vopéraûon s'^Esctue comitte eelle des nomln^es inccnnplexes , et Ton tvouve a756*ia«^5\

141. Je ne réduirai point en règle ce procédé, qu'il est si aisé d'adapter à telles subdivisions de l'unité qu'on voudra , et , pour donner Foccasion de le faire , je mettrai ci-dessous un exemple en toises , pieds , pouces et lignes , qu'on vérifiera soi-même, en se rappelant que 12 points font I ligne, 12 lignes i pouce, 12 pouces i pied, 6 peds I toise.

3/toiMft gpie<U gpoac«s n lignes g points

Somme... 17g i 8 on

'Hé la 9oii«tr»etloii des nomlires compleiLeM.

142. Cette soustraction s'opère de même que pour les nombres ineomplexes , en changeant seulement ce qui se rapporte à la subordination des unités , lorsqu'on est d[>ligé d'emprunter, sur les parties de plus grande valeur, de quoi rendre possibles les soustractions partielles où le nombre inférieur surpasse le supérieur.

S(Mt pour exemple

Différence 110 5 8

Dans cette soustraction , il faut d'abord emprunter i sur la colonne des sous , ou 12 deniers , pour en ôter les 4 deniers du nombre inférieur ^ et Ton a pour reste 8 deniers. Pour la colonne des sous, où il n'en reste plus que 2 dans le nombre supérieur, il faut faire sur celle des livres , l'emprunt de i livre , ou 20 sous , pour obtenir 22 sous , dont en retranchant 17 , il reste 5 ; alors

ïia TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

OU passera à la cotenue des livres, oà l'on comptera le chiffre supérieur pour une unité de moins, et Ton achèvera l'opération suivant le procédé relatif aux nombres incomplexes.

L'exemple ci-dessous, pris dans les mesures de poids, achèvera d'éclaircir ce procédé:

IQliTres Qinarcs /onces 5*'°* ^n%mins

Différence. . . i4 i o 6 60

Pour faire les soustractions dans la colonne des grains^ il faut emprunter i dans celle des gros , et se souvenîp que cette unité vaut 72 grains , les joindre par la pensée aux 37 qui sont écrits dans le nombre supérieur, ce qui fait 109 grains; d'où retranchant 49? îl reste 60. On continue la soustraction dans les autres colonnes , en comptant I once pour 8 gros^ i marc pour 8 onces, i livre pour 2 marcs.

Je ferai remarquer, à cette occasion, combien la bi-» garrure qui se trouve dans les subdivisions des diverses unités doit apporter d'embarras dans les opérations sur les nombres complexes , et en particulier combien était peu commode la division du gros en 72 grains , qui conduisait toujours à des opérations parti^es assez compliquées.

Je donnerai encore un exemple en toises et subdivisions de la toise , tant pour exercer le lecteur sur cette espèce de mesure , que pour montrer comment on s^j prend lorsqu'il manque dans le nombre le [dus grand quelquesunes des parties contenues dans l'autre:

j g toises Q pieds q ponces q lignes ^points

Différence. ..11 2 5 3 7

Pour faire la soustraction dans la colonne des points^

d'arithmétique. ii3

on ne peut embrun ter que sur celle des toises, et on le fait en décomposant

1 toise en 5 pieds plus 1 1 pouces plus 1 1 lignes plus 12 points.

On conçoit ces nombres de pieds ^ de pouces, de lignes et de points respectivement placés dans leurs colonnes, pour en retrancher successivement chacun des nombres inférieurs correspondants , ce qui donne les restes écrits au-dessous. On passe ensuite à la colonne des toises, en comptant pour i de moins le chiffre des unités.

De la preuve de r Addition et de la Sonstraetloit des nombres complexes»

143. La preuve de l'addition se fait encore par les mêmes principes que pour les noiïibres incomplexes ^ il faut seulement, en passant aux subdivisions de Tunité, substituer au rapport décimal la valeur de chaque partie à l'égard de celle qui la suit â droite. Soit, par exemple,

Ou opère sur les livres, suivant la règle du n^ 19, puis on convertit les 2 livres en dizaines de sous, ce qui donne 4 de ces dizaines , qui , jointes à celle qu'on trouve écrite dans la colonne , forment le nombre 5 , dont on retranche les 3 unités de cette colonne^ on place audessous le reste 2 , que l'on compte pour des dizaines par rapport aux 2 unités de la colonne suivante. Il reste encore 2 sous qu'il faut convertir en deniers -, on ajoute les 24 deniers qui en résultent, avec les 5 qui sont écrits, et

ARITHM , 20** i'dU, • 3

ir4 TRAITÉ éu:mentairë

Ton a un total de ag , qu'il faut retrouver par Faddition des deniers de tous les nombres , puisque ce sont les parties de moindre valeur. C'est ce qui arrive en effet, et ce qui prouve que l'opération est exacte.

Je nç m'arrêterai point à exposer la preuve de la soustraction , puisqu'elle se fait par le moyen d'une addition (20) , et qu'on a vu précédemment comment s'effectue celle dqs nombres complexes.

He la multiplication des nombres eomplexeiu

144. La multiplication des nombres complexes ne présente aucune difficulté, lorsqu'on possède bien la théorie des fractions; car d'abord on peut changer le multiplicande et le multiplicateur en nombres fractionnaires, au moyen des rapports de chaque subdivision de l'unité avec edle qui la précède, comme on l'a fait dans les n°* 131 et 136, pour les valeurs du. mètre par rapport à la. toise, et du kilogramme par rapport à la livre de poids.

Si Ton avait, par exemple, 1 5 livres 1 2 sous 4 deniers , on réduirait d'abord les livres en sous, en les multipliant par 20 , et l'on aurait 3oo à joindre aux 1 2 qui sont écrits , ce qui changerait le nombre proposé en 3 1 2 sous 4 deniers; on multiplierait encore les sous par 12 pour les convertir en deniers : on obtiendrait 8744 1 et en y ajoutant les 4 deniers écrits, il en résulterait 8748 deniers. •Cela fait, on observerait que la livre contenant ^p sous , le sou 1 2 deniers , la livre contient 20 fois 1 2 ou 240 deniers; qu'ainsi I denier est 7^ delà livre, d'où il résjulte que 3748 deniers font ^/~- de la livre.

S'il fallait multiplier ce nombre par 7 toises 4 pieds, on changerait de même 7 toises 4 pieds en 46 pieds , ou Y^ de toise; on ferait, d'après la règle du n° 76, le produit des fractions — ' et -/ ? ce qui donnerait ''lî^" ; et ,

d'à RITHMÉTIQUE. 1 1 5

en observant que l'unité du produit doit être de même espèce que celle du multiplicande (102), on évaluerait, comme il suit, cette fraction par la livre tournois et ses subdivisions:

i4oo8

La partie entière du quotient de la division du numérateur par le dénominateur donnerait d'abord les livres tournois , puis on multiplierait le reste 1 048 par 20 , pour le convertir en sous^ on diviserait le produit 20960 par le diviseur i44o? ^^ le quotient 1 4 serait le nombre de sous qui doit accompagner celui des livres déjà trouvé. Le second reste 800 serait ensuite converti en deniers , en le multipliant par 12; enfin on diviserait le produit 9600 par le diviseur i44o? ^^ ^^^^ aurait 6 deniers à joindre aux deux premières parties du quotient avec la fraction ^779 q^i revient à |.

Cette dernière opération , qui peut s'appliquer à quelque espèce de mesure que ce soit , repose sur ce , qlie tout nombre fractionnaire peut être considéré comme l'indication d'une division qu'on rend possible, en convertissant le numérateur en parties de plus en plus petites , ainsi qu'on l'a fait à l'égard des décimales, dans le.n° 95.

145. Les procédés que Ton suit ordinairement dans la multiplication des nombres complexes, probablement

Il6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

imaginés par des hommes qui ne s'en occeupaient' que pour arriver au résultat, paraissent au premier coup d*œil moins simples , moins généraux que celui du numéro précédent, mais ils sont peut-être plus commodes dans la pratique^ ils offrent d'ailleurs ce caractère ingénieux qu'on trouve dans toutes les inventions suggérées par le besoin , auxquelles on parvient comme par instinct , sans concevoir bien nettement l'étendue et l'ordre du sujet , que développent ensuite ceux qui se sont voués uniquement à la méditation.

Je suivrai la marche que les premiers arithméticiens ont tenue en commençant par des exemples. Soit la mtdti pli cation

de par

Produit pour lo sous pour 2 sous

Produit total

Ici le multiplicande seul est complexe : il s'agît de le répéter 16 fois, ce qu'on effectue à l'ordinaire sur la partie entière 5 puis on observe que, si l'on ajoutait i au multiplicande 28 , le produit serait augmenté précisément du multiplicateur 16 , et qu'il le serait de la moitié seulement , si Ton n'avait joint au multiplicande que la moitié de i livre. D'après cela, s'il y avait 10 sous à la suite des livres du multiplicande, il faudrait écrire au produit 8 unités, moitié du multiplicateur; mais au lieu de 10 sous il y en a 1 2 : il reste donc encore 2 sous dont il faut tenir compte ] or ces deux sous , étant la cinquième partie de 10, ne doivent augmenter le produit que de la cinquième partie de ce qu'ont donné les 10 sous : on prendra, par conséquent , la cinquième partie des 8 livres

p ARITHMÉTIQUE. T 1 7

trouvées précédemment , pour l'écrire sous le produit, ee qui donnera 1 livre 12 sous. La somme de tous ces produits partiels sera le produit total demandé , savoir, 409 livres 12 sous.

146. En décomposant de même, en parties qui soient contenues exactement dans l'unité du multiplicande , ou les unes dans les autres, les subdivisions qui accompagnent les unités de la plus grande valeur, ou les unités principales du multiplicande, on n'a plus qu*à prendre des parties semblables sur le multiplicateur ou sur les produits déjà formés. Ces parties se nomment aliq notes ^ on en sentira bien l'usage par l'exemple que je vais donner :

pour

10 sous. . .

pour

5 sous, . .

pour

4 sous. . .

pour pour pour

I sou.. . .

3 deniers.

1 denier. ,

pour

1 de den .

Total

Après avoir formé les produits des unités principale» du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, on opère comme il suit à l'égard des subdivisions du mulplicande:

On décompose 19 sous en 10 sous plus 5 sous plus 4 sous.

Pour les 10 sous, on prend la moitié du multiplicateur; Pour les 5 sous, la moitié du produit précédent; Pour les 4 sous, le cinquième du multiplicateur.

Comme il faut passer de là à 3 deniers , qui ne sont que

Il8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

le (juart d'un sou, et, par conséquent, le seizième de 4 sou&,.il pourrait être un peu difficile de prendre à vue la seizième partie du produit de 4 sous. Pour éviter cet embarras , on en prend d'abord le quart , ce qui forme le produit que donnerait i sou , et puis on prend le quart de ce dernier : on a le produit relatif à 3 deniers 5 mais on, a l'intention de barrer les chiflfres du produit précédent, qui , n'ayant servi qu'à former celui-ci , ne doit pas faire paij'tie du produit total (i) . On obtient de même le produit relatif à ^ de denier, en formant d'abord celui de i denier par le moyen de celui de 3, et l'on barre le produit de i denier. On réunit ensuite tous les autres produits partiels , et la somme est le produit demandé.

Voici encore un exemple sur la toise et ses subdivisions :

^toises O pieds ^pouces oHgne»

pour 3 pieds .... 2 3

pour ï pied ^ ê

pour 3 pouces. . . i 3

pour I pouce ... o 5

pour 1 pouce ... o 5

pour 2 lignes .. o o 10

Total 32 5 I 10

On a formé Je produit relatif à i pied pour faciliter le passage, aux pouces, et l'on a écrit deux fois le produit de I pouce, au lieu de former tout d'un coup le produit de 2 pouces, en prenant le sixième de celui de i pied, parce qu'on avait besoin du produit de i pouce pour obtenir commodément celui de 2 lignes.

(1) Quelques arithméticiens donnent aux produits qu'ils ne cherchent quo pour en trouver d'autres, la dénomination de faux produits, qui est »ssuvément bien mauvaise.

n'ÀRlTHMÉTIQUE. 1 19

m. Lorsque le multiplicateur seul est complexe, on décompose, de même que précédemment, en parties aliquotes de l'unité principale, les subdivisions qu'il contient , et Ton eflTectue sur le multiplicande les opérations qu'elles indiquent. C'est dans ce cas qu'il est important de distinguer, par Tétat de la question , lequel des deux nombres proposés doit être pris pour multiplicande ^ car, en déterminant la nature des unités du produit cherché, il fixe les rapports des subdivisions auxquelles il faut descendre, en prenant les produits relatifs aux parties aliquotes, et sur lesquels on pourrait se tromper beaucoup, puisque les subdivisions du multiplicande et du multiplicateur suivent des lois différentes , lorsque ces deux nombres ne sont pas de même espèce. Soit pour exemple

Qinarcs fonces ^gros « j^grains 7187^ J- »

pour 2 onces. . . 198 5 pour I once 99 2 6

pour 4 ë''^* 49 ^ ^ ^

pour I gros 12 7 9 {

pour 1 2 grams. ... * * * -

pour 6 grains. ... 1 o 7 -p^

pour i grain o 3 5 H

pour 7 grain o 1 8 ■{—

7497 ï2 4JJj^

Dans cet exemple , on a pris :

Pour 2 onces, j du multiplicande; Pour I once, 7 du produit précédent; Pour 4 gï'OSj i du produit de 1 once; Pour I gros, 7 du produit précédent.

Mais comme le gros contient 72 grains, on a d'abord pris

I20 TRAITÉ ÉLÉBfENTAIRK

le sixième du produit rdatif à i grois, afin d'avoir le produit relatif à la grains , et l'on a pris ensuite :

Pour 6 grains, | du produit de 12; Pour I grain, ~ du produit précédent; Pour I grain, ~ du produit précédent.

Ces divers produits sont accompagnés de fractions qu'il faut ajouter ensemble, ce qui s'opère facilement par le second procédé du n^ 69, parce que le plus grand des dénominateurs contenant tous les autres, on peut convertir toutes les fractions dans l'espèce de la dernière ; on trouve , pour leur somme , ff^ ou 2 ^. En joignant ces 2 deniers h ceux qui sont écrits, et continuant l'addition des autres colonnes, on a le produit total.

148. Enfin, lorsque le multiplicande et le multiplicateur sont tous deux complexes, après avoir fait les produits des unités principales du multiplicande par celles du multiplicateur, on prend d'abord, seulement sur les unités principales du multiplicateur, les parties aliquotes dans lesquelles se décomposent les subdivisions du multiplicande, puis on décompose les subdivisions du multiplicateur en parties aliquotes de son unité principale, et l'on effectue sur tout le multiplicande les opération* qu'elles indiquent.

Pour sentir l'exactitude de ce procédé, il suffit d'observer que le produit cherclié doit renfermer trois parties, savoir : le produit des unités principales du multiplicande par celles du multiplicateur, celui des subdivisions du multiplicande par les unités principales du multiplicateur, et enfin le produit de tout le multiplicande par les subdivisions du multiplicateur.

En effet, on peut ramener cette opération à la multiplication de deux facteurs composés d'un entier joint à une fraction 5 et si Ton avait, par exemple, 87 à multiplier par 6-1 5 l^ produit se composerait évidemment de 8 et

D ARITHMÉTIQUE. I 2 i

de I, r^>etds chacun 6 fois,. plus des { de tout le multiplicande.

.149. L'exemple suivant éclaircira ces principes, et en fera connaître l'application :

i5*° ^pi Qvo 8ïî«

^20liv.8ou«

.den.

pour 5 sous. . .

pour I sou. . . .

pour 3 deniers.

pour 1 denier..

pour ^ denier..

pour 3 pieds. .

pour I pied . .

pour 6 pouces.

TT

pour I pouce..

pour 6 lignes. ,

pour 2 lignes. .

lO

On a d'abord pris sur les 1 5 unités principales du multiplicateur les parties aliquotes dans lesquelles se décomposent les 6' 3^ du multiplicande , et Ton y a joint le j du produit auxiliaire de i denier; puis on a pris ensuite, sur tout le multiplicande , les parties aliquotes que forment les 4^* 6p° 8** du multiplicateur, en faisant le produit auxiliaire de I pouce .pour passer aiux lignes : en réunissant les fractions , on a obtenu 2 entiers et {f-J , fraction dont la plus simple expression est j-f ; on a joint ces entiers à la somme de la colonne des deniers, et l'on a achevé l'addition suivant la règle du n*' 140.

150. Le plus souvent on néglige les fractions qui compliquent assez le calcul, lorsqu'on veut en tenir compte^

122 TRAITÉ ÉLÉMEISTAIRE

mais aussi le résultai peut se trouver en défaut de quelques unités sur la colonne des subdivisions de moindre valeur. On éviterait cette erreur et l'embarras que donne l'addition des fractions ordinaires, en convertissant en dixièmes le reste que laissent , dans la formation de chaque produit partiel, les dernières subdivisions du produit précédent 5 et tant qu'il n'y aura pas dix de ces produits, on sera sûr d'avoir le résultat exact jusqu'aux dernières unités.

Voici un exemple relatif à l'aune.

Il s'agit de trouver ce qu'on doit payer pour i5 aunes ~ et j^ d'une étoffe, le prix de l'aune étant de 4^* 17* 1 1**.

jnsous , jden

. sons

den.

pour

10 sous . .

pour

5 sous. . .

pour

2 sous. . .

lO

pour

6 deniers.

pour

3 deniers.

pour

2 deniers.

pour

1 aune. . .

pour

j aune. . .

pour

-— aune. . .

duit total

On opère sur le multiplicande comme dans les exemples précédents 5 et les -f qui sont écrits dans le multiplicateur se décomposant en ^ et f, on prend la J- de tout le multiplicande, puis pour I, la -j du produit précédent, puis enfin pour-— , le | du produit précédent. Dans le produit total on barre le chiffre des dixièmes de denier, parce qu'il n'est pas toujours exact, à cause dés fractions de dixièmes qu'on a négligées.

d'akithmétique. 1 23

151 . Tout ce qu'on vient de voir sur la multiplication des nombres complexes, étant réduit en règle, peut 8 énoncer ainsi : Multiplier d'abord les unités principales du multiplicande par celles du multiplicafeur ^ décom" poser les subdii^isions du multiplicande en parties aliquotes de son unité principale , ou des parties aliquotes qui les précèdent ^ évaluer ces fractions sur tes unités principales du multiplicateur seidement ^ décomposer ensuite les subdii^isions du multiplicateur en parties ali~ quotes de son unité principale ou des parties aliquotes qui les précèdent , et éi^aluer ces fractions sur tout le multiplicande. Lorsque la fraction à éy^aluer sera trop petite à l'égard de celle à laquelle on la rapporte^ on en facilitera le calcul en prenant une partie aliquote inter^

médiaire pour former un produit auxiliaire, duquel on déduira la partie aliquote cherchée, et dont on barrera ensuite les chiffres pour ne pas les comprendre dans l'addition des produits partiels qui doivent composer le produit total,

He la IMvleion de0 nombreâi complexeii*

152, Il est très-important , pour opérer la division des nombres complexes, de faire attention à la nature des imités du quotient , puisque de là dépend la conversion des restes dans les subdivisions de ces unités ; mais l'examen attentif de la question ne laisse jamais de doute à cet égard, surtout lorsqu'en considérant le dividende comme un produit, on détermine quels ont du être le multipliplicande et le multiplicateur, ainsi qu'on l'a fait dans le n° 105.

On rencontrera de cette manière deux cas différents : dans l'un, le dividende et le diviseur étant de natures diverses , le quotient doit être de la même espèce que le dividende 5 dans l'autre , le dividende et le diviseur étant

de la même espèce, le quotient doit être d'une espèce

différente. L'opération relative à ce dernier cas étant

plus simple que pour le premier, je vais d'abord m'en

occuper.

153. Voici une question qui mène à ce cas : Le prix d'une toise d'ouvrage étant 36 livres 1 5 sous 6 deniers , on demande combien on fera du même ouvrage pour 1689 livres 17 sous. Ici le dividende 1689 livres 17 sous est composé , avec 36 livres 1 5 sous 6 deniers , de la même manière que le nombre qui mesure l'ouvrage cherché , est composé avec la toise et ses subdivisions-, ainsi le quotient doit être exprimé par ces dernières mesures.

Pour l'obtenir, on considère que sa valeur ne doit point changer lorsque l'on convertit le dividende et le diviseur en parties de même valeur, puisque des fractions de même dénominateur donnent pour quotient celui de leurs numérateurs 5 mais , en réduisant en même temps le dividende et le diviseur en deniers , qui sont les parties de moindre valeur qu'ils contiennent , on rendra ces nombres incomplexes.

Le dividende 1689 livres 17 sous donne 4^5564 deniers, et le diviseur 36 livres i5 sous 6 deniers en produit 8826 5 alors on regarde le dividende comme s'il était des toises , et le diviseur comme un nombre abstrait , puisque , si la toise ne coûtait que i denier, on en aurait 4^5564 > et que coûtant 8826 deniers, il n'en doit être fait que la 8826* partie du premier nombre. On établît donc ainsi l'opération :

d'arithmétique.

laS

^^ toises ^ pieds gpouces g 62 7 lignes

5o4oo

Après avoir obtenu les unités principales du quotient, on multiplie par 6 le reste 8894 toises pour le convertir en pieds , ce qui donne 5o364 5 on continue la division , et Ton place le quotient au rang des pieds 5 on multiplie par 12 le reste 6284 de cette dernière opération pour le convertir en pouces; on divise le produit 74808 par le diviseur, et Ton obtient le nombre de pouces à écrire au quotient; on multiplie encore le reste 4200 par 12 , pour le convertir en lignes: la division du produit 5o4oo par le diviseur donne le nombre de lignes à écrire au quotient , et en s'arrêtant là , on termine ce quotient par la fraction fH-J qu'on réduit à sa plus simple expression. Le résultat final de l'opération est 45 toises 5 pieds 8 pouces 5 -Hi: lignes.

La forme de ce procédé demeurerait la même quand les nombres proposés et leur quotient se rapporteraient à des unités de toute autre espèce.

ia6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

154. Lorsque le quotient doit être de même espèce que le dividende , et que le diviseur est încomplexe , l'opération s'effectue comme celle du n*^ 144.

Par exemple, 27 onces d'un métal ont coûté 169 livres 1 1 sous 4 deniers : on demande à combien revient l'once. Voici l'opération :