Voici deux exemples de cette opération

752 est donc le plus grand diviseur commun entre 9024 et 3760.

Ou voit , par cette deriûère opération , que le plus grand diviseur commun entre 987 et 47 est seulement 1 5 c'està^lire cju à proprement parler, ces deux nombres n'ont point de diviseur commun , puisque tous les nombres entiers^ quels qu'ils soient, sont divisibles par i.

Il n'est pas difficile de se convaincre que la règle du nutnéro précédent doit nécessairement conduire à ce résultat, toutes les fois que les nombres proposés n'auront pas de diviseur commun , car les restes étant toujours moindres que 1# diviseur deviennent de plus en plus petits à chaque opération •, et il est évident que les divisions se continueront tant qu'on aura un diviseur plus grand que l'unité.

63. D'après ces calculs , les fractions Jyf , J-ffJ- se réduisent sur-le-champ à leur plus simple expression , en divisant les deux termes de la première par leur diviseur commun i3 , et ceux de la seconde par leur diviseur commun 752 : on obtient ainsi fi, -^^ Quant à la fraction 5~j elle est absolument irréductible, puisque ses deux termes n'ont d'autre diviseur commun que l'unité.

64. Il n'est pas toujours nécessaire de tenter la recherche du plus grand diviseur commun des deux termes de la fraction proposée : il y a, ainsi que je l'ai fait remarquer plus haut , des réductions qui s'offrent d'elles-mêmes.

Tout nombre terminé par un des chiffres o, 2 , 4 ? 6, 8 est nécessairement divisible par 2; car, puisqu'en divisant un nombre quelconque par 2, il ne peut rester que i sur les dignes, la dernière division partielle s'cSectuera sur les nombres o, 2, 4? 6, 8, si les dizaines n'ont point laissé de reste, ou sur les nombres 10, 12 , 14? 16? 18, si elles en ont laissé, et tous ces nombres sont divisibles par 2.

Les nombres divisibles par 2 se nomment nombres pairs y parce qu'ils peuvent être partagés en deux parties pareilles.

d'arithmétique. 47

De même, tout nombre terminé par un zéro ou par un 5 est divisible par 5 ; car, lorsqu'on sera arrivé à la division des dizaines par 5, le reste, s'il y en a un, sera nécessairement i , 2, 3 ou 4 dizaines 5 en sorte que si le dernier chiffre est un o ou un 5 , l'opération se terminera sur un des nombres o, 5, 1.0, |5, 20, 25, 3o, 35, 4o, 45, tous divisibles par 5 .

Les nombres 10, 100, 1000, etc. , exprimés par l'unité suivie d'un certain nombre de zéros , peuvent être décomposés en 9 plus 1 , 99 plus 1 , 999 plus i , et ainsi de suite ; et les nombres 9 , 99, 999 , etc. , étant divisibles par 3 et par 9 , il suit de là que si Ton divise par 3 ou par 9 les nombres de la forme 10, 100, 1000, etc. , le reste de la division sera i .

Maintenant tout nombre qui , comme 20, 3oo, 5ooo, est exprimé par un seul chiftVe significatif suivi d'un certain nombre de zéros, peut être décomposé en plusieurs nombres exprimés par l'unité suivie du même nombre de zéros : 20 est égal à 1 o plus 1 o, 3oo à 1 00 plus 1 00 plus 1 00, 5ooo à 1000 plus 1000 plus 1000 plus 1000 plus 1000, et ainsi des autres. Il suit de là que si l'on divise 20, ou 10 plus 10, par 3 ou par 9, le reste sera i plus p, ou 25 si l'on divise 3oo , ou 1 00 plus 1 00 plus 1 00 , par 3 ou par 9 , le reste sera i plus 1 plus i, ou 3.

En général , si l'on décompose de la même manière un nombre exprimé par un seul chiffre significatif suivi d'u» certain nombre de zéros , pour le diviser par 3 ou par 9 , le reste de cette division sera égal à amant de fois i qu'il y a d'uiiités dans le chiffre significatif, c'est-à-dire au chiflQpe significatif lui-même. Or un nombre quelconque étant, décomposé en unités , dizaines , centaines se trouve formé par la réunion de plusieurs nombres exprimés par un seul chiffre significatif 5 et si l'on divise chacun de ces derniers par 3 ou par 9 , on aura pour reste un des chiffres significatifs du nombre proposé : par exemple, la division

des centaines donnera pour reste le chiffre des<5entaines ] celle des dizaines , celui des dizaines, et ainsi des autres. Si donc la somme de tous ces restes était divisible par 3 ou par 9, la division du nombre proposé s'achèverait exactement*, d'où il suit que si la somme des -chiffres d'un nombre est divisible par 3 ,ou par 9 , il en sera de même de ce nombre.

Ainsi 1rs nombres 102, 4^51, i5342 sont divisibles par 3 , parce que la somme des chiffres significatifs est 3 dans le preraî<fr, 12 dans le deuxième et i5 dans le troisième.

De même, 6tQ^ 8280, 934218 sont divisibles par 9, parce qut' la somme des chiffres significatifs est 9 dans le premier, 18 dans h* deuxième et 27 dans le troisième.

On observera €[ue tout nombre divisible par 9 est par là même divisible par 3, quoique tout nombre divisible par 3 ne le suit pas par 9.

On pourrait faire encore sur plusieurs autres nombres des observations analogues à celles que je viens d'exposer «ur 2,3, 5 et 9 5 mais la recherche de ces propriétés m'é- «arterait trop de mon sujet pour m'y arrêter.

Les nombres i, 2, 3, 5, 7, 11, 1 3^ 17-, etc.^ qu'on iie peut diviser que par eux-mêmes , ou par l'unité, s'appellent nombres premiers. Deux nombres, comme 12 et 35^ ayant, chacun en particulier, des diviseurs, mais dont aucim n'est commun à l'un et à l'autre , sont dits premiers entre eux (i).

Une fraction irréductible a., par conséquent, pour numérateur et pour dénominateur, des nombres premiers entre eux.

65. L'addition et la soustraction n'ont aucune difficulté , quand les fractions sur lesquelles on doit effectuer

(1) On trouvera au n® 162 comment il faut s'y prendre pour décom-. poser un^ombre dans ses facteurs simples ou premiers.

d'arithmétique. 49

ces dernières opérations ont le même dénominateur; comme elles ne renferment que des parties de même dénomination, et, par conséquent, de même grandeur, on peut les ajouter ou les soustraire de même que si c'étaient des unités, en observant de marquer au résultat la dénomination des parties dont il est composé.

Il est évident, en effet, que ^i et -pj font ~ , comme a quantités et 3 quantités de la même espèce en font 5 de cette espèce ^ quelle qu'elle soit.

De même la différence entre | et -f est |, comme la différence entre 3 quantités et 8 quantités de mênie espèce est 5 quantités de cette espèce , quelle qu'elle soit.

On doit conclure de là que , pour ajouter ou soustraire des fractions de même dénominateur , il faut prendre la somme ou la différence de leurs numérateurs , et donner au résullatle dénominateur commun.

66. L'addition des fractions conduit souvent à des résultats qui surpassent l'unité. Si l'on ajoutait, par exemple , { et -J , la somme serait y- • celte expression , désignant II parties, dont 8 réunies composent Tunité, équivaut à l'unité, plus trois huitièmes d'unité, ou à i -5.

En général, toute expression fractionnaire dont le numérateur surpasse le dénominateur contient des unités ou des entiers ; et Von extrait les entiers en divisant le numérateur par le dénominateur : le quotient donne leur nombre y et le reste mis en fraction est celle qui doit les accompagner.

L'expression ^, par exemple, désignant 307 parties dont 53 composent l'unité , il y a , dans la quantité que représente cette expression, autant d'unités que 307 contient de fois 53 : faisant la division , on obtient 5 pour quotient et 4^ pour reste. Ces 4^ sont des cinquantetroisièmes d'unité : ainsi , au lieu de ^ , on peut écrire

67. L'expression 5 y| , dans laquelle les entiers sonteri ARiTifM., 20'' ed/'t. 4

5o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

évidence , étant composées de deux parties difTërentes, il est souvent utile de revenir à l'expression primitive •—.' ; c'est ce qu'on appelle l'édmi'e un entier en fraction.

Pour y parvenir, il faut multiplier l'entier par le dé^ nominateur de la fraction qui Raccompagne , ajouter son numérateur au résultat, et donner à la somme le 'dénominateur de la même fraction.

En effet , il faut d'abord convertir les cinq entiers en cinquante-troisièmes, ce qui s'effectuera en multipliant 53 par 5 , puisque chaque unité doit contenir cinquantetrois parties*, le résultat sera ^. Réunissant cette ^partie avec la seconde, —^ il viendra ^, ?'♦*

68. Quand les fractions proposées ont des dénominateurs différents, on ne peut plus réunir ensemble ou retrancher l'un de l'autre les nombres de parties dont elles sont composées, puisque ces parties sont de grandeurs différentes; et, pour obvier à cet inconvénient, on fait subir à ces fractions une transformation qui les ramène à des parties de même grandeur, en leur donnant un dénominateur commun.

Soient, par exemple, les fractions ^ et {. Si l'on multiplie par 5 , dénominateur de la seconde , les deux termes de la première, on convertira cette première en ff -, multipliant ensuite par 3, dénominateur de la première , les deux termes de la seconde, on convertira cette seconde en W : on formera ainsi deux nouvelles expressions qui auront la même valeur que les fractions proposées (56).

Cette opération, nécessaire pour comparer les grandeurs respectives de deux fractions, ne consiste, au fond, qu'à trouver, pour les exprimer, des parties de l'unité assez petites pour pouvoir être contenues exactement dans chacune de celles dont se forment les fractions proposées. Il est visible , dans Texemple ci-dessus , que la quinzième partie de l'unité peut mesurer exactement -j et | de cette

d'arithmétique. 5i

unité , puisque 3- contient 5 quinzièmes , et que | en contient 3. Le procédé appliqué aux fractions { et| réussirait également sur d'autres quelconques.

En général , pour réduire au même dénominateur deux fractions quelconques, il faut multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre.

69. On réduit à la fois au même dénominateur un nombre quelconque de fractions, en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres ^ car il est évident que les nouveaux dénominateurs sont les mêmes, puisque chacun est formé du produit de tous les dénominateurs primitifs, et que les nouvelles fractions sont de même valeur que les premières, puisqu'on n'a fait que multiplier les deux termes de celles-ci par un même nombre (56).

La règle précédente conduit , dans tous les cas , au but qu'on s'est proposé 5 mais lorsque les dénominateurs des fractions dont il s'agit ne sont pas premiers entre eux, il existe un dénominateur commun plus simple que celui qu'elle donne , et Ton y parvient par des considérations analogues à celles des numéros précédents. Si l'on a, par exemple , les fractions

comme s'il ne s'agit, pour les réduii-e au même dénominateur, que de diviser l'unité en parties qui soient contenues exactement dans celles dont ces fractions se forment, il suffira de trouver le plus petit nombre qui puisse se diviser exactement par chacun de leurs dénominateurs 3, 4? 6, 8^ et on le découvrira en essayant sur les multiples de 3 les divisions par 4 ? 6 et 8 , qui ne réussissent en premier lieu que sur 24 : cela fait, il n'y aura plus qu'à convertir les fractions proposées en 24®* de Tunîté.

Pour effectuer celle opération , on cherchera successivement combien de fois les dénominateurs 3, ^^ 6 et i

52 TRAITIÎ ÉLÉMENTAllŒ

sont contenus dans 24 \ et les quotients seront les nombres par lesquels il faudra multiplier respectivement les deux termes de chaque fraction , pour la ramener au dénominateur 24. On trouvera ainsi que les termes de | doivent être multipliés par 8 , ceux de | par 6, ceux de | par 4> ceux de j par 3, et l'on formera les fractions

1 6 iS 2 0 2± Ti' 24 » 24 > 24*

On verra dans l'Algèbre des moyens pour faciliter l'application de ce procédé.

70. La règle donnée précédemment pour la réduction des fractions au même dénominateur suppose qu'un produit résultant des multiplications successives de plusieurs nombres entre eux ne change point , dans quelque ordre qu'on effectue ces multiplications. Cette vérité, qu'on regarde presque toujours comme évidente, a cependant besoin d'être démontrée.

11 faut commencer par prouver que multiplier un nombre par le produit de deux autres , c'est la même chose que de le multiplier d'abord par l'un d'eux , et de multiplier ensuite le produit résultant par l'autre. Au lieu de multiplier, par exemple, 3 par 35, produit des nombres 5 et 7, on aurait pu multiplier 3 par 5 , et multiplier eusuite le produit de ces nombres par 7. La proposition serait évidente si , à la place du nombre 3, on prenait l'unité ; car i multiplié par 5 donne 5 , et le produit de 5 par 7 donne 35 , aussi bien que le produit de i par 35. Mais 3, ou tout autre nombre, n'étant que l'assemblage de plusieurs unités, il n'arrivera à ce nombre que ce qui arrive à chacune des unités dont il est composé -, c'estnàdire que les produits de 3 par 5 et par 7, obtenus de l'une et de l'autre manière , étant , dans les deux cas , le triple des résultats que donne l'unité multipliée par 5 et par 7, seront nécessairement les mêmes. On prouverait de la même manière que si l'on avait à multiplier 3 par le pro-

d'arithmétique. 53

duit des nombres. 5, 7 et 9, cela reviendrait à multiplier 3 par 5, puis le produit trouvé, par 7, et ce dernier produit, par 9 5 et ainsi de suit^, en quelque nombre que soient les facteurs.

Pour indiquer d'une manière abrégée plusieurs multiplications successives , telles que celles des nombres 3 , 5 et 7 entre eux, j'écrirai 3 par 5 par 7.

Cela posé, dans le produit 3 par 5 on peut changer Tordre des facteurs 3 et 5 (27), et Ton aura encore le même produit. Il suit immédiatement de là que 5 par 3 par 7 est la même chose que 3 par 5 par 7.

On peut aussi changer l'ordre des facteurs 3 et 7 dans le produit 5 par 3 par 7, puisque ce produit équivaut à 5 multiplié par le produit des nombres 3 et 7 : on aura donc encore , dans 5 par 7 par 3, le même produit que les précédents. *

En rapprochant les trois arrangements ,

3 par 5 par 7, 5 par 3 par 7, 5 par 7 par 3,

on voit que le facteur 3 s'est trouvé successivement le premier, le second et le troisième, et qu'il pourrait en être de même de Fun quelconque des deux autres. Cet exemple, dans lequel on n'a point considéré la valeur particulière de chaque nombre , doit prouver qu'un produit de trois facteurs ne change point , quelque ordre qu'on établisse dans les multiplications.

Si l'on avait un produit de quatre facteurs, tel que 3 par 5 par 7 par 9, on pourrait, d'après ce qui vient d'être dit , arranger comme on voudrait les trois premiers ou les trois derniers, et faire ainsi passer par toutes les places l'un quelconque de ces facteurs. Considérant ensuite un des nouveaux arrangements, par exemple celui-ci , 5 par 7 par 3 par 9, on pourrait intervertir l'ordre des deux

derniers facteurs , ce qui donnerait 5 par 7 par 9 par 3, et mettrait 3 à la dernière place. On étendra sans peine ces raisonnements à tel nombre de/acteurs qu^on voudra.

71 . Au moyen de la réduction au même dénominateur, l'addition et la soustraction des fractions s'eflfectuent conmie dans le n° 65.

72. Lorsqu'on a des entiers accompagnés de fractions, il faut d'abord opérer sur celles-ci. Pour ajouter, par exemple , 3 1 avec 5 j, on commencera par réduire au même dénominateur les fractions \ et f , qui deviendront 1^ et j3 ; puis on joindra leur somme à celle des entiers 3 et 5 ; le total sera 8 ^.

La soustraction s*opérera de même toutes les fois que la fraction qui entre dans le nombre à soustraire sera la plus petite des deux. Dans le cas contraire, pour rendre la soustraction possible , il faut faire un emprunt sur l'entier joint à la plus petite fraction. Si l'on avait, par exemple, { à ôter de 3 7, les deux fractions réduites au . même dénominateur devenant — et j^, on verrait que la première ne peut être retranchée de la seconde ] mais en empruntant i, ou fj, sur l'entier 3, on changerait le nombre 3 7, ou 3 ^, en 2 j|, d'où , retranchant f J, il resterait îi Yi •