Je reprends maintenant l'examen du tableau du

!( on muitiplie \ , ..

le numérateur, I ,. , > la traction,

' \ on divise )

)le dénominateur, ( . . .. r lafraciion,

( on multiplie 1

En multipliant \ ,^ a««*«.,- J ^^ muliiplie

£n divisant En multipliant En divisant

pour en déduire de nouvelles conséquences.

On voit d'abord , à la seule inspection de ce tabl«au , que l'on peut multiplier une fraction de deux manières, savoir : en multipliant son numérateur, ou en divisant son dénominateur, et qu'on peut aussi la diviser de deux ma-

d'arithmétique. 55

nières, savoir : en divisant son numérateur, ou en multipUant son dénominateur. D^où il suit que la multiplication seule, selon qu'on l'effectue sur le numérateur ou sur le dénominateur, suffit pour opérer la multiplication et la division des fractions par des nombres entiers. Ainsi ~ multipliés par 7 unités font f^; | divisés par 3 font j*, , etc.

74. Dans le numéro précédent, le multiplicateur, étant un nombre entier, indiquait encore , comme dans le n*^ 22 , combien de fois on devait répéter le multiplicande 'y mais , quand on dit j par exemple , que prendre le 5* d'un nombre quelconque, c'est multiplier ce nombre par ^, le mot multiplier n'a plus la même acception que ci-dessus, puisqu'il indique un résultat cinq fois plus petit que le multiplicande. Néanmoins on peut comprendre les deux cas dans le même énoncé , en disant que multiplier un nombre par un autre y c'est composer ai^ec le premier un nombre, de la même manière que le second est composé a^ec l'unité. En effet, lorsqu'il s'agît de multiplier par 2, par 3 , etc. , le produit est composé de 2 fois, 3 fois, etc. , le multiplicande, de même que le multiplicateur est composé de 2 , 3 , etc., unités ; et multiplier un nombre quelconque par la fraction j par exemple , c'est en prendre la cinquième partie , parce que le multiplicateur ^ , étant la cinquième partie de l'unité , exprime que le produit doit être la cinquième partie du multiplicande^ ( i ) .

De même , multiplier un nombre quelconque par | , c'est prendre sur ce multiplicande une partie qui en soit les quatre cinquièmes, ou égale à quatre fois un cinquième de ce multiplicande.

(i) On est conduit h cet énoncé par une question qui se présente souvent : celle où Ton cherche le prix d^une quantité quelconque d\ine chose , lorsqu^on connaît le prix de l'^untté de cette diose. La question demeure évidemment la même, soit qu'il s'agisse d\me quantité plus grande ou plus petite que cette unité.

On voit par là que le mot multiplier^ étendu aux expressions fractionnaires , n'emporte pas toujours l'idée d'augmentation, comme pour les nombres entiers. Toutes les fois que le multiplicateur sera moindre que l'unité , le produit sera plus petit que le multiplicande, auquel il serait seulement égal, si le multiplicateur était i.

75. Puisque la multiplication par une fraction, quel que soit le multiplicande , a pour objet de prendre sur ce multiplicande les parties marquées par la fraction multiplicateur y cette opération est composée de deux autres, savoir, d'une division et d'une multiplication, dans lesquelles le diviseur et le multiplicateur sont des nombres entiers.

En effet , pour prendre les \ d'un nombre quelconque par exemple, il faut d'abord en trouver la cinquième partie en le divisant par 5 , et répéter cette cinquième partie quatre fois en la multipliant par 4»

En général , on voit quV7 faudra toujours dii^iser le multiplicande par le dénominateur de la fraction mul" tiplicateur, et multiplier le résultat par le nwnérateur de cette fraction .

Si le multiplicande est un nombre entier divisible par 5 , par exemple 35 , la cinquième partie sera 7 \ multipliant ce résultat par 4 , on aura 28 pour les | de 35 , ou pour le produit de 35 par \. Si le multiplicande, toujours entier , n'est pas divisible exactement par 5 , qu'il soit, par exemple, 32, la division par 5 donnera pour quotient 6^5 répétant ce quotient quatre fois, on trou- Tera 24 | , ce qui revient à 25 | : telle est la valeur des |de32.

On aurait évité la conversion de 24 | en 25 | , si l'on eût commencé par multiplier 32 par le numérateur 4? dîvi-r sant alors le produit 128 par le dénominateur 5, ou aurait obtenu tout de suite le dçrnier résukat 25 {.

d'arithmétique. 57

76. Je passe maintenant à la multiplication d'une fraction par une fraction.

Je suppose qu'on ait à multiplier , par exemple , | par {. D'après le numéro précédent, l'opération se réduit à diviser I par 5 , et à multiplier ensuite le résultat par 4) et par le tableau du n^ 55 , la première opération s'effectuera en multipliant le dénominateur 3 du midtîplicande par 5 , et la seconde, en multipliant le numérateur 2 du multiplicande par 4 , ce qui donnera pour le produit cherché ~.

U en serait de même de tout autre exemple 5 et l'on doit, par conséquent, conclure de ce qui précède, que, pour former le produit de deux fractions , il faut multiplier les numérateurs l'un par l'autre, et placer sous ce produit celui des deux dénominateurs,

77. Il peut arriver que l'on ait à multiplier les uns par les autres des entiers joints à des fractions , comme, par exemple , 3 } par 4 1. Le moyen le plus simple pour obtenir le produit, est de réduire les entiers en fractions, suivant le procédé du n^ 67 : les deux facteurs seront exprimés alors par ^, ^-5^-5 leur produit, par -4^^ , ou par 18 ~ , en extrayant les entiers (66).

78. On donne quelquefois au produit de plusieurs fractions le nom de fractions de fractions : c'est dans ce sens qu'on dit les ^ de \, Cette expression marque les f de la quantité représentée par j de l'unité primitive, et prise à son tour pour une unité. On réduit ces deux fractions à une seule par la multiplication (76), et le résultat Y^ exprime la valeur de la quantité cherchée rapportée à l'unité primitive; c'est-à-dire que les y de la quantité représentée par les \ de l'unité équivalent aux ~ de cette unité. Si l'on voulait prendre les | de ce résultat, cela reviendrait à prendre les J des j de -J ; et en réduisant ces fractions en une seule , on aurait jji pour la valeur de la quantité cherchée, rapportée à l'unité primitive.

79. Le mot contenir ne convient pas plus , en toute rigueur, aux différents cas que présente la division, que le mot répéter à ceux que présente la multiplication; car on ne peut pas dire que le dividende contient le diviseur, lorsquHl est moindre que ce dernier : cependant on s^ex^ prime encore ainsi , mais seulement par analogie et par extension.

Pour généraliser la division , il faut regarder le div^i" dende comme composé a^ec le quotient de la même ma-nière que le dii^iseur l'est auec l'unité, puisque le diviseur et le quotient sont les deux facteurs du dividende (36). Cette considération se prête à tous les cas que peut offrir la division. En effet , lorsque le diviseur est 5 par exemple, le dividende est égal à 5 fois le quotient, et celui-ci est, par conséquent, la cinquième partie du dividende. Si le diviseur est une fraction, ^ par exemple 5 le dividende ne doit être que la moitié du quotient, ou ce dernier doit être double de l'autre. . .

H est visible que toutes les fois que le diviseur sera moindre que l'unité , le quotient surpassera le dividende , puisque ce diviseur doit être contenu dans le dividende un plus grand nombre de fois que l'unité, qui , prise pour diviseur, donne, dans tous les cas, un quotient exprimé par le dividende lui-même.

La définition que je viens de poser conduit facilement à la manière d'opérer, lorsque le diviseur est une fraction. Je prends pour exemple | : dans ce cas , le dividende doit être seulement les { du quotient; mais ^ étant 7 de {, on aurait donc j du quotient en prenant le quart du dividende, ou en le divisant par 4* Connaissant par là \ du quotient, il n'y aurait qu'à prendre ce résultat 5 fois, ou le multiplier par 5 , pour obtenir le quotient. Dans cette opération , on divise le dividende par 4 ^ et Ton multiplie le résultat par 5 : c'est donc (75) comme si l'on avait pris les \ du dividende, ou comme si l'on avait multiplié le

d'arithmétique. 59

dividende par } , qui n'est autre chose que la fraction diviseur ^ renversée.

Cet exemple montre qu'en général, pour dwiser un nombre quelconque par une fraction, il faut le multiplier par cette fraction renversée,

Soit^ par exemple^ 9 à diviser par f; cela s'effectuera eu multipliant 9 par ~ , et l'on trouvera ~ ou 12. De même, i3 à diviser par { reviendra à i3 multiplié par | ou à ~. En extrayant les entiers (66) , le quotient cherché sera

80. Lorsque le dividende est une fraction , l'opération revient à multiplier (16) la fraction dii^idende par la

fraction dii^iseur rem^ersée.

Soît j à diviser par f 5 il faudra multiplier l par f , ce qui donnera f|.

Il est évident que l'opération ci-dessus peut encore être énoncée ainsi : Pour dduiser une fraction par une autre, il faut multiplier le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde, et le dénominateur de la première par le numérateur de la seconde.

S'il y avait des entiers joints aux fractions proposées, on les réduirait en fractions , et l'on appliquerait aux résultats la règle ci-dessus.

81. Il est important d'observer que Ton indique, par le moyen d'une expression fractionnaire, une division quelconque , soit qu'elle puisse s'opérer en nombres entiers ou autrement. ~, par exemple, expriment évidemment le quotient de 36 par 3 aussi bien que 1 2 \ car étant contenu trois fois dans l'unité, ^ seront contenus trois fois dans 36 entiers , comme doit l'être le quotient de 36 par 3.

82. On remarquera sans doute que la multiplication et la division des fractions s'opèrent immédiatement par les remarques énoncées dans le tableau de la page 4o , au

6o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

lieu que l'addition et la soustraction des fractions demandent une préparation préliminaire. Cela tient à ce que les fractions proviennent de la division , qui tient de si près à la multiplication. On aura souvent occasion, par la suite , de se convaincre de cette vérité , que les opérations à faire sur des quantités sont d'autant plus faciles , qu'elles se rapprochent davantage de l'origine de ces quantités.

Des Fractions dëeimales.

83. Quoiqu'on puisse, par les règles précédentes, effectuer dans tous les cas , sur les fractions , les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique , on a dû sentir de bonne heure que, si Ton avait assujetti à une même loi de décroissement les diverses subdivisions de l'unité , qui servent à mesurer les quantités plus petites que cette unité , le calcul des fractions serait devenu beaucoup plus conunode par la facilité qu'on aurait eue à les convertir les unes dans les autres. En prenant cette loi conforme à la base de notre système de numératio'n , on a donné au calcul le plus haut degré de simplicité auquel il soit possible d'atteindre , et voici comment.

On a vu, dans le n° 3, que chacune des collections d'unités contenues dans un nombre se compose de dix unités de l'ordre précédent, comme la dizaine se forme des unités simples 5 mais rien ne s'oppose à ce qu'on regarde cette unité simple comme contenant dix parties dont chacune sera un dixième^

Le dixième, comme contenant dix parties, dont chacune sera un centième de l'unité ;

Le centième, comme contenant dix parties, dont chacune sera un millième de l'unité, et ainsi de suite.

En poursuivant ainsi , on formera des quantités aussi petites que l'on voudra, et au moyen desquelles on pourra, par conséquent, mesurer des quantités quelque petites qu'elles soient.

d'arithmétique. 6i

Ces fractions, qu'on nomme décimales, parce qu'elles sont composées de parties de Funité de dix en dix fois plus petites, se convertissent les unes dans les autres, de la même manière que les dizaines yles centaines, lesmUle, etc. ^ se convertissent en unités. En effet,

l'unité valant lo dixièmes, le dixième lo centièmes, le centième lo millièmes,

il en résulte que le dixième vaut lo fois lo millièmes ou loo millièmes.

Par exemple, 2 dixièmes 3 centièmes et 4 millièmes seront équivalents à 234 millièmes, comme 2 centaines 3 dizaines et 4 unités font 234 unités ; il en sera de même dans tout autre cas, puisque la subordination des parties de l'unité est semblable à celle des divers ordres d'unités.

84. Par cette remarque , on peut , au moyen des chiffres, écrire les fractions décimales de la même manière que les nombres entiers, puisque, d'après la convention qui rend dix fois plus petite la valeur d'un chiffre mis à la droite d'un autre , les dixièmes trouvent naturellement leur place à la droite des unités , puis les centièmes à la droite des dixièmes, et ainsi^de suite 5 mais, pour empêcher que Ton ne puisse confondre les chiffres qui expriment des parties décimales avec ceux qui représentent des unités entières, on met une virgule à la droite des unités. Pour exprimer, par exemple, 34 unités et 27 centièmes, on écrira 34,27. S'il n'y avait pas d*unitcs , on remplirait leur place par un zéro, et l'on ferait de même pour toutes les parties décimales qui pourraient manquer entre celles qui sont énoncées dans le nombre proposé.

Ainsi, 19 centièmes s'écrivent 0,19,

3o4 millièmes, o,3o4, 3 millièmes, o,oo3.

6a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

85. Si l'on rapproche les expressions des fractions décimales cî-dessns des suivantes, j^, -,7o*ê> rrinr» qii'on tirerait de la làaiiière de représenter, en géuéral, une fraction , on verra que , pour représenter sous la forme entière une fraction décimale écrite comme une fraction ordinaire, il faut prendre tel quil est le numérateur de cette fraction, et le placer de manière quil y ait après la virgule autant de chiffres quil y a de zéros à la suite de Vunité dans le dénominateur.

Réciproquement, pour ramener une fraction décimale^ présentée sous la forme d'un entier y à celle d'une fraction ordinaire y il faut donner pour dénominateur aux chiffres quelle contient l'unité suii^ie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres à la droite de la virgule.

C'est ainsi que les fractions o,56, o,o36 se changent

en rh et r^T-

86. L'expression en chiffres des nombres contenant des parties décimales se lit en énonçant d'abord les chiffres placés à la gauche de la virgule, puis ceux qui sont à la droite, et en ajoutant au dernier de ceux^i la dénomination des parties qu'il représente.

Le nombre aGj^Sô s'énonce 26 unités 786 millièmes; Le nombre 0,0678 s'énonce 678 dix millièmes; Enfin 0,0000678 s'énonce 678 dix-millionièmes.

87. Les chiffres décimaux ne tirant leur valeur que du rang qu'ils occupent par rapport à la virgule , il est indifférent d'écrire ou d'effacer sur leur droite tel nombre de zéros qu'on voudra. Par exemple, o,5 est la même chose que o,5o -, 0,784 la même chose que 0,78400 : car, dans le premier cas , le nombre qui exprime la fraction décimale est devenu dix fois plus grand, mais les parties sont devenues des centièmes, et, par conséquent, dix fois plus petites qu'elles n'étaient d'abord j dans le second cas, le nombre qui exprime la fraction est devenu cent fois

plus grand, mais les parties étant devenues des cent-millièmes sont cent fois plus petites qu'elles n'étaient d'abord. Cette transformation revient donc à celle qu'on opère sur une fraction ordinaire , lorsqu'on multiplie ses deux termes par le même nombre; et ce serait les diviser par le même nombre si l'on supprimait des zéros.

88. L'addition des fractions décimales et des nombres qui en contiennent ne demande pas d'autre règle que

.celle des nombres entiers, puisque les parties décimales se composent les unes des autres , en allant de droite à gauche, de la même manière que les unités entières.

Soient, pour exemple, o,56 , o,oo3 , 0,958 ] en les disposant comme il suit :

o,oo3

Somme i,52i

on trouve , par la règle du n^ 12, que leur somme est i ,52 1 . Soient encore les nombres 19, 35 , o,3 , 84,5 et 1 10,02 , qui contiennent des unités entières; on les disposera ainsi .

Somme 214,17

et Ton trouvera de même que leur somme est 214, 17.

Eu général , Vuddition des nombres décimaux se fait com,me celle des nombres entiers^ en obsen^ant de placer^ à la somme , la virgule dans la même colonne où se trou-i^ent toutes celles des nombres à ajouter.

89. Les règles prescrites pour la soustraction des nombres entiers conviennent aussi , comme on va le voir, aux

64 TKAITÉ ÉLÉMENTAIKE

nombres décimaux. Soit, par exemple, 0,3697 à retrancher de 0,62 ; on observera d'abord que le second nombre, qui ne contient que des centièmes, tandis que le premier renferme des dix-millièmes, peut aussi être converti en dix-millièmes , en mettant deux zéros à sa droite (87) , ce qui le change en 0,6200. On disposera ensuite l'opération comme ci-dessous :

Différence .... o , 25o3

et par la règle du n° 17, on trouvera une diflFérence de o,25o3.

Soit encore le nombre 7,364 à ôter de 9,1457 5 l'opération étant disposée ainsi :

7,364o Différence. .... i ,7817

on trouve la différence marquée ci-dessus. Il eût été égal de ne pas mettre le zéro à la suite du nombre à retrancher, pourvu qu'on eût placé ses divers chiffres au-dessous de ceux qui marquent , dans le premier nombre , des ordres d'unités ou des parties correspondantes.

En général, la soustraction des nombres décimaux s^ opère comme celle des nombres entiers, pourvu quon rende le nombre des chiffres décimaux le même dans les deux nombres proposés y en écris^ant à la droite de celui qui en a le moins autant de zéros quil est nécessaire ^ et Von place, à la différence, une virgule dans la colonne oit se troussent celles des nombres proposés.

Les preuves de l'addition et de la soustraction des nombres décimaux se font absolument comme celles des mêmes opérations sur les nombres entiers.