La virgule séparant , des parties décimales , les col

d'arithmétique. 65

lections d^unités entières, son déplacement change nécessairement la valeur du nombre total. En la reculant vers la droite , on fait passer dans la partie entière, des chiffres qui se trouvaient dans la partie fractionnaire 5 on augmente, par conséquent, la valeur totale du nombre proposé. Au contraire, en avançant la virgule vers la gauche, on fait passer dans la partie fractionnaire des chiffres qui se trouvaient dans la partie entière, et, par conséquent, on diminue la valeur totale du nombre proposé.

Le premier changement rend le nombre proposé dix , cent, mille, etc. , fois plus grand, suivant qu'on recule la virgule d'un, deux, trois, etc., rangs vers la droite , parce que chaque fois qu'on recule ainsi la virgule d'un rang, tous les chiffres , comparés à cette virgule, avancent d'un rang vers la gauche , et prennent , par conséquent , une valeur dix fois plus grande que celle qu'ils avaient d'abord.

Si, par exemple, dans le nombre 134)28 on porte la virgule entre le 2 et le 8, on aura i342,8^ les centaines seront devenues des mille , les dizaines des centaines , les unités des dizaines , les dixièmes des unités , et les centièmes des dixièmes. Toutes les parties du nombre étant devenues dix fois plus grandes, c'est comme si on l'avait décuplé^, ou multiplié par dix.

Le second changement rend le nombre proposé dix, cent , mille , etc. , fois plus petit , selon qu'on avance la virgule d'un, deux, trois, etc., rangs vers la gauche, parce que chaque fois qu'on avance ainsi la virgule d'une place , tous les chiffres , comparés à cette virgule , reculent d'un rang vers la droite , et prennent , par conséquent , une valeur dix fois plus petite que celle qu'ils avaient d'abord.

Si dans le nombre i34,28 on porte la virgule entre le 3 et le 4 , on aura 13,4^8 -, les centaines seront devenues des dizaines, les dizaines des unités , les unités des dixièmes, les dixièmes des centièmes, les centièmes des mil-

ARITHM., 20* édit, 5

lièmes. Toutes les parties du nombre étant devenues dix fois plus petites, c'est comme si Ton en avait pris le dixième , ou qu'on l'eût divisé par dix.

91 . Il est facile de prévoir, d'après les considérations précédentes, l'avantage que les fractions décimales ont sur les fractions ordinaires : toutes les multiplications ou les divisions qu'il faut opérer par le dénominateur de celles-ci s'effectuent dans les autres par l'addition , ou la suppression d'un certain nombre de zéros, ou parle simple déplacement de la virgule. En adaptant ces modifications à la tbéorie des fractions ordinaires, on en déduit sur-lecbamp celle des fractions décimales, et la manière d'effectuer la multiplication et la division sur ces fractions ; mais on peut y arriver directement par les considérations suivantes.

Je supposerai d'abord que le multiplicande seul ait de s chiffres décimaux. Si l'on y fait abstraction de la virgule, il deviendra dix, cent, mille, etc., fois plus grand, suivant le nombre de ses chiffres décimaux; et le produit que donnera, dans ce cas, la multiplication sera un pareil nombre de fois plus grand que celui qu'on cherchait : on obtiendra donc ce dernier en divisant l'autre par dix, cent, mille, etc. 5 ce qui s'effectuera en séparant sur sa droite (90) autant de chiffres décimaux qu'il y en avait dans le multiplicande.

Si, par exemple, on avait à multiplier 34^137 par 9, on formerait d'abord le produit de 34i37 par 9, ce qui donnerait 307233 5 et comme la suppression de la virgule aurait rendu le multiplicande mille fois plus grand qu*il n'était, il faudrait diviser par mille le produit trouvé, ou séparer par une virgule ses trois derniers chiffres à droite : on aurait ainsi 307, 233.

En général , pour multiplier par un nombre entier un nombre ayant des chiffres décimaux^ on j eût abstrac-

d'arithmétique. 67

tion de la virgule dans celid^ci; mais on sépare sur la droite du produit autant de chiffres décimaux que le multiplicande en contient,

92. Lorsque le multiplicateur contient des chiffres décimaux, et qu'on y fait abstraction de la virgule, on le rend dix, cent, mille, etc. , fois plus grand, selon le nombre de ses chiffres décimaux : en l'employant dans cet état , il donnera évidemment un produit dix, cent, mille, etc., fois plus grand que celui qu'on aurait dû avoir, et qu'on obtiendra , par conséquent , en divisant le premier par l'un de ces nombres , c'est-à-dire en séparant sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'en contient le multiplicateur, ou en avançant d'un pareil nombre de places :vers la gauche (90) la virgule qui se trouverait dans le produit, si le multiplicande avait aussi des décimales.

Soit pour exemple 172,84 à multiplier par 36,oo3 : en faisant abstraction de la virgule dans le multiplicateur seulement, on aurait, d'après le numéro précédent, le produit 6222758,52 5 mais le multiplicateur se trouvant mille fois plus grand qu'il n'aurait dû l'être, il faudra diviser ce produit par mille , ou avancer la virgule de troi« places vers la gauche, ce qui donnera 6222,75832 pour le produit demandé , dans lequel il se trouvera , par conséquent, autant de chiffres décimaux qu'il y en a, taux dans le multiplicande que dans le multiplicateiiJ\

ELn général, pour multiplier Vun par rauirff deux nombres ayant des chères décimaux, on fera abstraction de la virgule dans Vun et dans Vautra ^ mai^ on séparera^ sur la droite du produit, autant tfe chiffres décimaux qu'ils en contiennent tous deux^

Dans certains cas, il faut mettre un ou plusîems zëro& sur la gauche du produit, pour lui donner \v rioaibie dfâ ^chiffres décimaux qu'il doit avoir suivant h W

dente. Sî l'on avait, par exemple, 0,624 à multiplier par o,oo35 en formant d'abord le produit de 624 par 3, on aurait le nombre 1872, qui ne contient que quatre chiflTres ; et comme il faudrait séparer six chiflFres décimaux , on ne pourrait le faire qu'en mettant à la gauche de ce nombre trois zéros, dont un tiendrait la place des unités, ce qui ferait 0,001872.

93. Il est évident (47) que le quotient de deux nombres ne dépend point de la grandeur absolue de leurs unités , pourvu qu'elle soit la même dans l'un et dans l'autre : s'il s* agissait donc de diviser 4^1)49 par i3, on observerait que le premier revient à 4^149 centièmes, et le second à i3oo centièmes, et que ces derniers nombres doivent donner le même quotient que s'ils exprimaient les unités entières. On serait conduit ainsi à supprimer la virgule dans le premier des nombres proposés , et à mettre deux zéros à la suite du second \ et l'on n'aurait plus à diviser que le nombre 4^i49 P^^* i3oo, ce qui donnerait pour quotient 34 mnr-

On conclura de là , (/ue pour dii^iser par un nombre entier un nombre ayant des chiffres décimaux , il faut suppnmer la "virgide dans celui-ci, mettre à la suite de Vautre autant de zéros que ce div^idende contenait de chiffres décimaux ; et il ny aurait rien à changer au quotient.

94. Lorsque le dividende et le diviseur ont tous deux des chiifres décimaux, on doit, avant de supprimer la virgule, mettre à la suite de celui des deux nombres qui a le moins de chiffres décimaux , assez de zéros pour qu'il se termine au même ordre de décimales que l'autre. Les deux nombres proposés , étant alors rapportés aux mêmes parties de l'unité , donneront le même quotient que s'ils exprimaient des unités entières.

Soit, par exemple, 3i5,432 à diviser par 23, 4^ on

DABITHMÉTIQUE. 69

changera ce dernier nombre en 23,4^0, et l'on divisera ensuite 3 1 5432 par 23400 : le quotient sera i3{yf||.

Ainsi , pour div^iser Vun par Vautre deux nombres ayant des chiffres décimaux y on met à la suite de celui qui en a le moins y autant de zéros quil en faut pour que le nombre des chiffres décimaux soit le même dans le dividende et dans le dis^iseiir^ on fait alors abstraction' de la virgule i et il ny a rien à changer au quotient,

9S. Comme on n'a recours aux décimales que pour éviter l'emploi des fractions ordinaires, il est naturel de s'en servir pour approcher des quotients qu'on ne peut obtenir exactement^ ce qui se fait en convertissant en dixièmes, centièmes , millièmes , etc., le reste, afin qu'il puisse contenirle diviseur, comme on le voit dans l'exemple ci-dessous :

i3oo

Reste 949

dixièmes. . . 9490 centièmes. . . 3900

Lorsqu'on est parvenu au reste 949 , on y joint un aéi o pour le multiplier par 10, ou le convertir en dixièmes^ on forme alors un nouveau dividende partiel composé de 9490 dixièmes, et donnant pour quotient 7 dixièmes, qu'on écrit à la droite des unités , après avoir mis une virgule. Il reste encore 390 dixièmes , que Ton réduit en centièmes , par l'addition d'un nouveau zéro , ce qui forme un second dividende composé de 3900 centièmes , et donnant au quotient 3 centièmes, qu'on place à la suite des dixièmes. L'opération se termine là , et l'on a pour résultat exact 34,73 centièmes. Si elle avait laissé un troisième reste, on l'aurait poussée plus loin, en convertissant ce reste en millièmes , et eu continuant toujours de même

fO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

jusqu'à ce qu'on fût parvenu à un quotient exact, ou à un reste composé de parties assez petites pour qu'on put les regarder comme de nulle importance.

Il est évident qu'il faut toujours , comme dans l'exemple ci-dessus , mettre une virgule après les unités entières du quotient , pour les distinguer des chiffres décimaux , dont le nombre doit être égal à celui des zéros successivement écrits à la- suite des restes (i).

96. Le numérateur d'une fraction , étant converti en parties décimales , pourra se diviser par le dénominateur^ comme dans Fexemple précédent, et, par ce moyen, la fraction sera convertie en décimales. Soit pour exemple la fraction \ ; on opérera comme ci-dessous :

lO

Soit encore la fraction 7^, -, il faut d'abord convertir le numérateur en millièmes avant de pouvoir commencer la division écrite plus bas (2) :

i5oo

o,oo5oi8

(i) L^opération que Von vient d^e£feetuer sur les décimales n^est qu^un cas particulier de cette autre plus générale : Évaluer le ifuatient d'une division en fractions d'une espèce donnée. Et pour le faire, on convertit le dividende en fraction de la môme espèce, en le multipliant par le dénominateur donné. Ainsi , pour évaluer en quinaièmes le quotient 7 par 3, on multipliera 7 par i5, et Ton divisera le produit io5 par 3; on aura 35 quinzièmes ou f| pour le quotient demandé.

(a) On peut aussi se proposer de convertir une fraction donnée eu fraction d^unc autre espèce, mais plus pelite que la première, de trans*

d'arithmétique. 7 1

' 97. Quelque Join qu'on pousse cette dernière division, on n'obtiendra jamais un quotient exact, parce que la fraction -—-, ne peut, comme la fraction \ , s'exprimer rigoureusement avec les décimales.

Cette diflférence tient à ce que le dénominateur de la fraction, ne divisant point le numérateur, ne peut donner un quotient exact que lorsqu'il divise l'un des nombres lo, I oo , I ooo , etc. , par lesquels on multiplie successivement ce numérateur-, parce que c^est un principe qu'on trouvera démontré dans l'Algèbre , que tout nombre ne peut diviser un produit qu'autant que ses facteurs premiers divisent ceux de ce produit. Or les nombres lo , loo , looo, etc. , étant tous formés du nombre lo, dont les facteurs premiers sont 2 et 5 , ne sont divisibles que par des nombres formés de ces mêmes facteurs : 8 est dans ce cas , puisqu'il résulte de 2 par 2 par 2.

Les fractions qui ne peuvent pas s'évaluer rigoureusement par des décimales offrent dans leur expression approchée, lorsqu'on la pousse assez loin , un caractère qui sert à les faire retrouver : c'est le retour périodique des mêmes chiffres.

Si l'on convertit en décimales la fraction ~ , on trouvera 0,324324 , et les chiffres 3, 2, 4 reviendront

toujours dans le même ordre , sans que l'opération puisse jamais s'arrêter.

En effet, comme il ne peut y avoir pour reste, dans chaque division , que l'un des nombres entiers qui précèdent le diviseur, il faut nécessairement que , quand on aura fait plus de divisions qu'il n'y a de ces nombres, on

former, par exemple , | en dix-septièmes ; c^est à quoi Ton parviendra en multipliant 3 par 17, et divisant le produit par 4* On trouvera, de cette manière, V ^^ dix-septième, ou ff et f de dix-septième j or ' de -j^^ équivalent à /j : le résultat \j est donc approché à ^ près.

Celte opération et celle de la note précédente reposent sur le même principe que ropcraliou correspondante dans le système décimal.

retombe sur quelqu'un des restes précédents, et que, par conséquent, les dividendes partiels reviennent dans le même ordre. Dans l'exemple ci-dessus, trois divisions suffisent pour amener ce retour ^ mais il en faudrait six pour lafraction ^ , parce qu'on trouverait alors pour restes les six nombres qui sont au-dessous de 7 , et il viendrait 0,1428571.... Lafraction^ conduit seulementào,3333....

98. Les fractions qui ont pour dénominateur un nombre quelconque de 9 n'ont dans leur période que le chiffre significatif i :

donne

o,iiii

et ainsi des autres , puisque chaque division partielle , s'effectuant sur les nombres 10, 100, 1000, etc., laisse toujours pour reste l'unité.

En profitant de cette remarque , on passe aisément d'une fraction décimale périodique à la fraction ordinaire dont elle dérive. On voit , par exemple , que 0,33333 revient à la fraction 0,1 1 1 1 1 multipliée par 3 î et comme cette dernière est le développement de j , on en conclut que la première est celui de -J multiplié par 3 , ou de | , ou enfin de |.

Quand il s'agit des fractions dont la période est composée de deux chiffres , on les compare au développement de ^ , à celui de ^ lorsque leur période renferme trois chiffres, et ainsi de suite.

Soit pour exemple 0,324324 *, il est évident que cette

fraction se formerait en multipliant 0,001001 par le

nombre 324 : en midtipliantdonc jy^, dont celle-ci est le développement , par 324 , on aura |~ pour la première; et les deux termes de ce résultat étant divisés par 27,. on retombera sur la fraction j^.

En général , lafraction ordinaire d'où msulte une frac--

D*A|11THMÉTIQUE. 73

tion décimale périodique se foime en écris^ant comme dénominateur^ sous le nombre qu^ exprime une période ^ autant de g quily a de chiffres dans cette période.

Si la période de la fraction ne commençait pas au premier chiffre décimal , on pourrait transporter, pour un moment, la virgule immédiatement avant son premier chiffre , et évaluer la fraction à partir de ce chiffre seulement , en considérant comme des unités ceux qui sont à gauche*, il n'y aurait plus ensuite qu'à diviser le résultat par lo, loo, looo, etc., d'après le nombre de places dont on aurait reculé la virgule vers la droite.

La fraction 0,3 24141 5 par exemple , s'écrira d'abord ainsi : 32,4i4i- -'^ la partie o,4i4i répondant

à j| , on aura le résultat 32 fj , qu'il faudra diviser par 100, puisque la virgule a été reculée de deux places vers la droite 5 et il- viendra en conséquence jf-^ et y^ 5 ou, en réduisant au même dénominateur, Hf J , fraction qui reproduirait le développement proposé.

Pour se former une idée bien exacte de la nature de ces

expressions, il suffit de considérer la fraction 0,999

En cherchant à remonter à sa valeur primitive , on trouve qu'elle répond à 9 divisé par 9 , ce qui n'est autre chose que l'unité 5 cependant , quel que soit le nombre des chiffres auquel on s'arrête dans son expression , on ne formera jamais l'unité. Si l'on se borne au premier, il s'en faudra de ji , au second de j-^j , au troisième de ^ir^ ? et ainsi de suite : en sorte que l'on peut arriver aussi près de l'unité que l'on voudra, mais sans jamais l'atteindre. L'unité

n'est donc ici qu'une limite dont l'expression 0,999

approche d'autant plus qu'on y insère plus de chiffres.

. 99. Ce qui précède renferme les règles vraiment essentielles de l'arithmétique des nombres abstraits -, mais pour les appliquer aux usages de la société, il faut connaître les diverses unités dont on se sert pour comparer

entre elles , ou évaluer les quantités ,* sous quelque forme qu'elles se présentent. Ces unités , qui sont les mesures en usage, ont varié avec les temps et les lieux-, leur enchaînement ne s'est formé que peu à peu , selon que le besoin et le progrès des arts et des sciences ont obligé de mettre plus d'exactitude dans l'appréciation des matières et dans la construction des instruments.

Après avoir montré pendant longtemps les inconvénients d'un système composé de parties incohérentes, et dont le défaut de liaison mettait dans les calculs une complication inutile et même nuisible à l'instruction générale, les plus illustres savants français ont enfin obtenu l'établissement de nouvelles mesures, liées entre elles , assujetties à la marche du système de numération , prises immédiatement sur les dimensions du globe que nous habitons , et sur la plus répandue des substances qu'il nous présente. L'étendue de ce Traité , et la place qu'il occupe dans l'enseignement , ne me permettent pas de présenter l'extrait de tous les travaux scientifiques exécutés pour l'établissement de ce système , et qui en font le plus beau des monuments élevés à la gloire des sciences et à l'utilité publique dans le siècle dernier \ je me bornerai à en exposer sommairement les principes et l'usage.

d'arithmétiqde. 75