ia

do la Vierge

Rigcl

Antarès

Résultat moyen

Les trois premières colonnes renferment, pour chaque étoile, les résultats de l’observation. En multipliant la durée du passage par le sinus de la distance polaire, on obtient les nombres contenus dans la dernière colonne, et leur égalité presque exacte montre bien que la proportion dont il s’agit est au moins très-approchée de la vérhé. Si l’on consent à négliger les petits écarts qu’on y découvre, en les attribuant aux erreurs des observations, la moyenne de ces nombres représentera la durée du passage d’une étoile qui serait située dans le plan de l’équateur. C’est ce qu’on nomme l’i/itcrvalle équatorial des fils.

Pour rendre raison de ces résultats, considérons , fig. 3, deux fils réticulaires F/, Vf, placés exactement dans le plan focal du système objectif achromatique LL d’un instrument de passages, et dirigés perpendiculairement à son fil horizontal HH', à des distances égales et très-petites de l’axe optique central CM, cet axe étant spécifié par les définitions que nous en avons données tome I, . page 517, et tome n, page 260. D’après le mode d’action qu’un tel système exerce sur les pinceaux lumineux très-déliés qui le traversent en formant de petits angles avec son axe central, si deux pinceaux pareils, émanés de deux points rayonnants très-distants S, S', forment respectivement leurs images focales aux points 11, H', les axes géométriques de ces pinceaux soutendront dans le ciel un

angle visuel HCH', qui pourra être évalué par des expériences que nous avons décrites tome I, pages 679 et suivantes; et cet angle conservera une grandeur constante, tant qu’il ne s’opérera aucun changement dans la position des points B, H' autour de l’axe , non plus que dans la distance focale CM. L’oculaire que l’on adapte au delà du plan focal HMH' n’y produit aucune altération ; il amplifie seulement, pour l'oeil, l’intervalle HH', et fait ainsi apprécier la coïncidence des foyers des pinceaux sur les fils F f, F'/', plus exactement qu’on ne le ferait à la vue simple. Ces conditions de constance étant supposées remplies , lorsqu’on dirige la lunette suides parties quelconques de la sphère céleste, l’intervalle-lixe HH' y soutend toujours un angle visuel constant, dont le sommet C peut être censé placé au centre de cette sphère, de sorte qu’il a pour mesure un certain arc de grand cercle. Mais, comme cet arc est toujours fort petit, lorsqu’on le transporte, par le mouvement de la lunette , sur les parallèles des différents astres , il se confond sensiblement avec un petit arc de ces parallèles , et occupe , sur leur circonférence, un nombre de degrés, ou plutdt une très-petite fraction de degré , qui est presque exactement réciproque au sinus de leur distance polaire. Or, à cause du mouvement commun de la sphère céleste, il passe au méridien, dans un temps donné, un même nombre de degrés de tous les parallèles. L’étoiledoit donc employer plus de temps pour traverserle fil horizontal de la lunette, à mesure que celui-ci occupe un plus grand nombre de divisions sur la circonférence du parallèle; et les durées des passages doivent être proportionnelles à l’étendue de la graduation que le fil superpose occupe, c’est-à-dire réciproques au sinus de la distance polaire.

Ce résultat n’a lieu ainsi que d’une manière approchée, et seulement lorsque les arcs de l’équateur et des parallèles que l’on superpose sont extrêmement petits. F.n effet, soit E l’angle visuel ou l’arc de l’équateur que l’on veut porter successivement sur divers parallèles. Soit n l’arc qu’il devra occuper sur chacun d’eux , cet arc étant toujours exprimé en parties de leur propre graduation. Dans la réalité, ce ne sont pas les arcs E et n qui coïncident , ce sont leurs cordes, et l’oirne peut substituer les unes aux autres que lorsque les arcs sont fort petits , comme dans les exemples de pas-

IO

sages que nous avons rapportés (*). 11 résulte encore de cette distinction que 1’ctoile, qui décrit l’arc de son parallèle, ne peut pas suivre rigoureusement le fil rectiligne qui en représente la corde. Si elle coïncide avec lui au commencement et à la fin de l’intervalle qu'il soutend , elle devra s’en écarter dans les positions intermé-

(’) Soient R le rayon de l’équateur de la sphère céleste, r celui du parallèle. La corde que soutend l’angle E sur le cercle équatorial est aR sin JE; celle quel’anglcn soutend sur le contour du parallèle est ar sin { n. Puisque, dans leur superposition, ces cordes doivent être égales , l’eipreasion de cette égalité sera

R.sin i E = r.sin i fl.

Soit d la distance polaire du parallèle, on aura * r = Itsind;

en substituant cette valeur, et divisant tout par R, il vient (l) sfn ïfc = sin d.sin { Il j

c’est la formulo exacte , générale et rigoureuse. Mais, lorsque les angles E et II sont fort petits, comme dans les exemples dont nous avons fait usage,

Bill J Ij

le rapport — — r~ i sin -J II

substituant ce second rapport au premior dans l’équation précédente, elle

devient

(2) E = Il . sin d ;

c’est celle que nous avons employée, maie elle n’est applicable qu’à de trèspetits angles.

En' l’admettant comme aullisammcnt exacte, nommons T l'intervalle de temps sidéral que devra employer une étoile pour parcourir l’angle E du cercle équatorial, et 6 celui qu'une autre étoile située sur le parallèle emploiera pour y décrire l’anglo II. Les circonférences des deux cercles devant être parcourues en 34 heures sidérales , ou aura par proportion

donc

T = ai1'

e = aih

T = 0 ? = 8 sin d. * «

C’est la relation qu’exprime notro tableau do la page 8; cllo se trouve ainsi vérifiée expérimentalement.

Il est bon de remarquer que le rayon R de la sphère céleste a disparu de

tliaires et paraître décrire une courbe dont la concavité sera tournée vers le fil. Cela devient sensible pour les étoiles très-voisines du pôle. Il y a aussi à considérer que, pendant la durée d’un passage ainsi observé , l’étoile se trouve à la fois hors du méridien et hors ' de l’axe optique physique de l’instrument, excepte à l'instant où elle traverse le fil central du réticule; mais je néglige pour le moment ces détails , qui seront discutés à la fin du présent Traité, dans une dissertation spéciale sur l’emploi de l’instrument des passages dans ses applications les plus rigoureuses.

Les astres doués d’un mouvement propre, comme le soleil, la lune et les planètes, offrent des variations analogues dans le temps que leur disque emploie à traverser le fil méridien , selon les différents parallèles où ils se trouvent. Mais, pour ces astres, outre lu cause que nous venons de remarquer et qui est la principale, il existe d’autres particularités qui modifient les durées de leurs passages. La première , c’est que l’étendue apparente de leur disque change ù diverses époques, par suite des variations de leur éloignement, et avec leur hauteur sur l’horizon ; la seconde, c’est que leur mouvement propre, qui se combine avec celui de la sphère céleste, a aussi alors d’inégales vitesses.

l’équation (i), de sorte que les relations des arcs E, de t FI sont indépendantes

de la Yaleurdece rayon. Cela était facile à prévoir, puisque toutes les sphères concentriques, que l’on peut ainsi décrire autour de l'observateur, ne changent point les valeurs absolues des angles; elles ne changent que celles do leurs sinus. Mais, comme ceux-ci croissent tous en môme temps dans le même rapport, proportionnellement au rayon de la sphère, les relations de grandeur qui subsistent entre eux n’en sont nullement altérées: ils sont seulement rapportés & une unité différente. Ainsi, dans les équations qui expriment ces rapports, la vnleur absolue du rayon do la sphère disparaîtra toujours. Quoique cette remarque soit très-simple, il m’a paru utile do la présenter, pour faire encore mieux comprendre, par cet exemple, que ce qu’on appelle la sphère céleste n’est qu’une conception géométrique propre à fixer le raisonnement, et qu’on ne doit y attacher aucuno idée do réalité physique ni de grandeur absolue. Toutes les sphères concentriques è l’observateur peuvent être , pour lui, la sphère céleste ; et, s’il en choisit une d’un rayon immense, c’est parce que les astres étant si distants de lui, comparativement à leur» dimensions propres, il ne peut, 6 la vue seule, juger de leur éloignement relatif, scs yeux les supposent egalement et infiniment éloignés.

1 1 . I.ts distances au zénith et les azimuts nous ont offert, pour chaque lieu de la terre, un système de coordonnées angulaires auxquelles on peut rapporter la position de tous les astres; mais ce système a l’inconvénient d’être variable d’un pays à l’autre. Car, cause de la rondeur de la terre , les plans de l'horizon et du méridien, auxquels se rapportent les hauteurs et les azimuts, prennent, dans l'espace, toutes les directions possibles, et par conséquent les positions des astres, ainsi exprimées , n’oITrcnt rien de comparable. L’équateur et les plans horaires célestes nous offrent un système de coordonnées analogues, mais bien préférable, puisque étant pris immédiatement dans le ciel, il fournit , à tous les astronomes situés sur la surface terrestre, un moyen uniforme et comparable d’exprimer les résultats de leurs observations.

18. Pour déterminer ainsi la situation d’un astre quelconque sur la sphère céleste, il suffit de connaître le plan horaire, ou le cercle horaire sur lequel il se trouve , et sa position sur ce cercle ou dans ce plan. Tout se réduit donc à déterminer ces deux éléments.

La position de l’astre sur son cercle horaire est déterminée lorsque l’on connaît sa distance au pAle ou sa distance à l’équateur, qui en est le complément et que l’on nomme la déclinaison ; c’est pourquoi on apj>elle souvent les cercles horaires cercles de déclinaison.

La position du plan horaire sur la sphère céleste se détermine d’après l'angle qu'il fait avec un plan horaire connu. Pour cela, on en choisit un h volonté, auquel on rapporte tous les autres; ce sera, par exemple, celui qui passe par une étoile que l’on aura désignée. Si l’on imagine plusieurs autres plans horaires menés par différents pointsdu ciel, ils ferontdes angles dièdres plus ou tnoinsgrands avec le premier. Chacun d’eux sera donc distingué par l’angle qui lui est propre et qui a pour mesure l’arc de l’équateur compris entre lui et le premier plan horaire ; cet arc se nomme Y ascension droite. On le délcrminc'en observant le temps qui s’écoule entre le passage de l’astre au méridien et celui du plan horaire que l’on a choisi pour point de départ. Ce temps , converti en degrés ou en grades, est l’ascension droite de l’as t ré ; elle se compte toujours d’occident en orient , et depuis o® jusqu’à la circonférence entière. Quant à la

PHYàlQU*.

déclinaison, clic se compte depuis o° jusqu'à un angle droit; on la dit boréale ou australe, suivant ijue l’astre auquel elle appartient est situé au nord ou au sud de l’équateur. L'emploi des distances polaires est bien préférable dans les raisonnements et même dans les formules analytiques, à cause de la continuité de sens de leur numération ; aussi en ferai-je plus habituellement usage.

15. Lorsque ces deux coordonnées, la déclinaison et Y ascension droite, sont connues , on peut trouver, par la trigonométrie sphérique , tous les rapports de position et de distance qui existent sur la sphère céleste entre les points auxquels elles se rapportent.

Par exemple, si l’on veut trouver l 'arc de distance de deux étoiles , c’est-à-dire l’arc de la sphère céleste qui les unit, on tirera de leurs déclinaisons leurs distances à un meme pôle. On prendra ensuite la différence de leurs ascensions droites; ce sera l’angledièdre compris entre les plans horaires où elles se trouvent. Alors les deux distances polaires et l’arc de distance formeront , sur la sphère céleste, un triangle sphérique où l’on connaîtra deux côtés et l’angle compris. On pourra donc calculer le troisième côté ou l’arc de distance des deux étoiles (* *). On pourrait , de la même manière , cal-

(*) Soient P la différence des ascensions droites des deux astres, ou l’angle au pôle compris entra leurs cercle* de déclinaison ; A', A” leurs distances polaires respectives, et D l’arc de grand cercle qui mesure leur distance angulaire sur la sphère céleste. Si l’on considère le triangle sphérique formé par les trois côtés A', A' cl D, on y connaîtra A', A" et l’angle compris P. Ainsi les règles de la trigonométrie sphérique, appliquées h ce cas, donneront

eos D.= sin A' sin A" cos P -t- cos A' cos A".

En transportant ici le mode de transformation dont nous avons fait usage, pour une relation semblable, tome U , page3g6, si l’on remplace cosl), cosP, puis cos (A*— A') par leurs expressions équivalentes i — asin’-JD, i — a sin* J- P, i — asin* {(A*— A'), on obtiendra celte expression, plus commode pour le calcul numérique :

sin* -J D = sin* 7 (A* — A')-+- sin A' sin A’ sin* ^ P.

Nous aurons plus loin l’occasion de reconnaître que le pâle change déposition parmi les étoiles dans la suite des siècles, ce qui fait varier inégalement leurs distances polaires et leurs ascensions droites absolues ; mais nous constaterons aussi que ce mouvoment appartient en réalité à l’axe de

culcr l'arc de distance, d’après les distances au zénith et les azimuts. Le raisonnement est le même , le système seul des coordonnées est changé. Je reviendrai tout à l’heure sur cette opération , qui est nécessaire dans quelques circonstances.

14. Le point de l’équateur d’où les astronomes comptent les ascensions droites dépend du mouvement du soleil , ou plutôt de la position de cet astre à une époque déterminée ; car c’est au soleil , comme au régulateur naturel des jours, des années et des siècles, que les astronomes rapportent toutes leurs observations. Mais ce choix, purement arbitraire, ne change point les positions respectives des astres dans le ciel ; il n’influe ni sur leurs déclinaisons, ni sur leurs différences d’ascension droite; il détermine seulement leur ascension droite absolue. Il ne doit donc apporter aucun changement aux lois des mouvements des astres qui se dé-

rutation do la terre, cl quotas étoiles ne le partagent point. Leurs distances relatives D, évaluées par la (ormulo précédente, ne peuvent donc changer que par l'effet des mouvements individuels qui seraient propres anx étoiles elles-mêmes, et qui altéreraient leurs positions relatives. Le calcul de la distance D , réitéré pour des époques Irès-éloignées les unes des autres, avec les valeurs do 4', 4" et P qu'on y a observées, offro ainsi un moyen direct pour constater l'existence et la mesure de ces variations. Malheureusement les observations anciennes, faites avant l’invention des instruments & lunettes et des horloges & pendule, sont trop inexactes pour qu'on puisse en faire des applications si minutieuses; on peut seulement en conclure que les mouvements propres des étoiles doivent être fort petits, puisque les configurations des groupes dans lesquels on les rassemble sous le nom de constellations présentent encore aujourd'hui les mêmes apparences que les astronomes grecs leur ont assignées. Alors, les considérant comme négligeables comparativement aux erreurs que les anciennes observations devaiant comporter, on peut apprécier l’étendue de ces erreurs en calculant les valeurs qu'elles donnent pour les distances D calculées par notre formule, et les comparant à celles que nous déterminons bien plus exactement aujourd'hui, afin de voir de combien elles en different. Dclambro a fait celto comparaison, dans le tome 11 de son Histoire de V Astronomie ancienne, page 391, pour toutes les étoiles dont l’toléméc avait assigné les positions relativement à un système de coordonnées angulaires équivalent h celles quo notre formule emploie, quoiquï autrement définies; il a reconnu ainsi, dans ccs positions, des erreurs dont l’amplitude est fréquemment de £ ou j de degré, ut qui s'élèvent parfois jusqu'à plus d'un degré entier, tandis qu’alors les incertitudes de nos observations actuelles atteignent au plus t"ou 1".

PHYUQU.K.

duisentdes rapports de leurs positions à différentes époques. Ainsi, jusqu’à ce que nous ayons acquis les données d'après lesquelles on a fixé cette origine, nous pouvons d’abord supposer les ascensions droites de toutes les étoiles rapportées à une d’entre elles , comme , à une origine fixe et déterminée.

IJ». En observant avec l’instrument des passages les instants où les diverses étoiles traversent le méridien , et mesurant aussi leurs distances zénithales dans ce plan avec les cercles fixes, ou par des moyens équivalents, on détermine , comme nous venons de le dire, leurs ascensions droites et leurs déclinaisons. On peut donc, dresser des registres qui font connaître la position de toutes les étoiles observées , et l’ordre dans lequel elles se succèdent dans leur passage. C’est ce que l’on nomme des catalogues d'étoiles ; on en publie un chaque année, pour les plus apparentes, dans la Connaissance des Temps. Avec un pareil catalogue , rien n’est plus facile que d’apprendre à distinguer et à reconnaîlre toutes les constellations visibles dans le lieu où l’on se trouve: il faut pour cela suivre leur succession avec l’instrument des passages, ou même, si l’on manque decet instrument , il suffit de se placer auprès d’une muraille dirigée à peu près dans le plan du méridien, et avoir avec soi une horloge qui suive le temps sidéral ou dont la marche soit déterminée. Dès que l’on connaîtra une seule étoile, et qu’on l’aura vu passer au méridien , on les reconnaîtra toutes d’après le catalogue qui donne leur différence d'ascension droite , et par conséquent les intervalles de temps après lesquels elles se suivent. Cette étude deviendra encore plus agréable et plus facile si l’on s’aide en meme temps d’un globe céleste, ou d’une carte céleste, sur laquelle soient figurées les différentes constellations, avec les principales étoiles qui les composent ; ce qui permet de les déterminer et de les déduire en quelque sorte les unes des autres par des alignements. C’est là le principal avantage de ces représentations graphiques ; car il ne faut pas s’arrêter aux figures d’hommes et d'animaux , par lesquelles on désigne les différentes constellations. Ces figures n’ont aucun rapport réel avec l'arrangement des étoiles dans le ciel : elles ont été déterminées par le caprice des hommes, quelquefois par flatterie; mais cependant elles peuvent jusqu’à un certain point servir pour aider

la mémoire, en attachant aux groupes d'étoiles des noms connus. Avec ces secours , on connaîtra parfaitement, en quelques nnits , toutes les étoiles qui seront visibles à l’époque où l’on aura observé; et en répétant la même épreuve à diverses époques, lorsque l'aspect du ciel sera changé par l'effet du mouvement propre du soleil , on parviendra aisément à distinguer et à reconnaître toutes les constellations (*).

IC. Les ascensions droites de toutes les étoiles étant déterminées relativement à une d'entre elles, comme nous venons de le dire, si l'on veut les rapporter au point de l’équateur que les astronomes sont convenus de choisir pour origine, il suffira de connaître la différence d'ascension droite , comprise entre ce point et une étoile quelconque, à l’époque que l’on veut considérer. Cette différence, ajoutée à V ascension droite relative de toutes les autres étoiles , donnera leur ascension droite absolue. Par exemple, il suffit de savoir que, le Ier janvier 1810, ce point de l’équateur passait ail méridien de Paris ih56m29‘ sidérales avant l’étoile a du Bélier, ramenée théoriquement, pour la meme époque, au lieu moyen autour duquel elle oscille, en vertu de l’aberration et de la nutation. Kn d’autres termes, l'ascension droite vraie de a du Bélier, exprimée en temps sidéral et pour cet instant, était i h 56m 2q* ou 2g0 7' i5" en arc. Je dis pour cet instant, parce que la précession, la nutation et l’aberration rendent l’ascension droite variable, la première déplaçant toutes les étoiles, avec continuité et lenteur, parallèlement à un meme grand cercle de la sphère céleste; les deux autres faisant décrire beaucoup plus rapidement, à chaque étoile , de petits cercles autour de son lieu moyen ainsi transporté.

17. Le même point de l’équateur céleste, qui sert d’origine pour les ascensions droites, sert aussi d’origine pour le temps sidéral,

(*) Les figures que nous employons généralement aujourd’hui nous viennent presque toutes des Grecs, qui y ont attache des traits et des noms en rapport avec leurs idées mythologiques. La preuve que ce système d’arrangement est tout artificiel , c’est que les Chinois , dont les notions astronomiques remontent à des temps bien plus reculés, ont groupé les mèmcséloiles d’une manière toute différente en les rapportant, non pas ides idéos mythologiques, mais aui formes hiérarchiques de leur gouvernement impérial.

4jh$i - *.

PH YMQVK.

% Of

"c'est-à-diro que, ihms chaque lieu , ou coini>te' ob^o,“,<p' sidérales quand il pusse au méridien. On le désigné ordinairement par le signe T ^caractère de la constellation appelée ït* Bélier on Aries. f Mous en verrons la 'raison plus tard, le dois seulement averti^ qu ’aujourd 'hui il se trouve considérablement éloigné des étojlcs qui composupt cette constellation , et cela sq voit par IcS nombres mêmes que je vipns de rapporter. . ,

18. D’après ces deiinitions, rien de plus aise que d^ trouver, à chaque instant, l’heure qu’il est, en temps sidéral, dans un lieu où l’on connaît la fauteur du pôle. II suffit d’observer la distance zénithale d’une étoile connue et de calculer son angle horaire, qui je suppose compté dq méridien supérieur et dans le sens du mouvement diurne «Je o^^t 3lio“. En ajoutan^cet angle à l’ascension droite absolue de l’étoile, ((^rejetant les circonférences entières s’il y en a , le reste , converti en tempaÿ exprimera la distance du méridien au point du ciel qoe l’yn a pris pour origine, c’est-à-dire Y heure sidérale (*). t

On peut aussi trouver l’heure par l'observaliondiksoleil ou d’une planète; mais il faut pour cela que les mouvements propres de ces astres soient exactement connus, afin «Je pouvoir réduire les distances zénithales aux mêmes termes que si l’on eût ohserté une étoile. Nous sommes donc Torce^le renvoyer cette rechérchsjdus

(*) Soient,^”. i,“M vM’ l^cêrclc île l'équateur; M M' la projection <lu prin du méridien local sur le plan de rs' grand cercle ; OS la projection du méridien de l'etoile ou de son cercle horaire , tournant d’orient en occident, suivant le sens iudiqué par la llcehe extérieure. YS sera Rascension droite, que noua nommerons A; MS sera l'arc do l'equatcur correspondant à’I’anglc horaire actuel que l’on a oBscrvé, et que noua nommerons P. Ajoutant ces deux arcs, on aura P -t- A = M Y. Tette sommet convertie en temps sidéral, donnera donc la distance de Y au méridien, ou l'heure sidérale.

Ici il n’y a*pas de circonférence entièr* il rejeter; ij jten aurait si l'étuilc était de l’autre crtté du méridien, par exemple en S'. Alors, en comptant toujours les angles horaires à partir dy O.VI , dans le sens du mouvê’ment diurne, et de 0° jusqu’à 36o° , oh aurait MSM'S'=«P', yMS’=A'. Par conséquent, P' -t- A' = 36o°— MS'd- Y MS'; ainsi, en retranchant î6o°, le reste serait Y MS' — MS', ou My, comme tout à l’heure. La formule s’appliquerait de même dans tous les quadr«uits(‘£e qui tient à ce que les arcs qu’on y combine sont toujours comptés continûment dans leur sens propre, depuis o° jusqu’à 36o°.

T. III. 2

, y * ASTJpXOUIS '

loin. Pour le morne*, U connaissance du temps sidéral nous suffi n£. et jonque nousIRu-ns déterminé lés lois des mouvements propres à l’aiild de cette cosinaissancq, nous donnerons quelques exemples % numériques de cêlte application,' la plqs imposante dcV astronomie.

* 19. Rappelons' encoi*. quflcjfcs’SpHfU précédents tt ont lieu av^-iguaur qu’en supposant ad\ étoiles utt éloigne.uentpresquc inlni , ou in ricins tet que , vues dés differents petits de la terre, elles ne présentent? aucune différence d’aspêct sensiblç, en sorte que les rayons visuels , menés de ces points à tine’mcmj étoile, puissent être censés parallèles Untre eux» Cette conHition n’» plus Iku pour le soleil , la lune*, les planètes et les îomètes, qui , par là, semblent beaucoup plus rapprochées de nous que les tixes. Alors, pour rendre les observations de ces asta/compaiybles entre elles, quoique faites dans les Siflérents pays^, il laut y faire une petite comédon dont nous jiarleronylus loin , quand flous aurons déterminé exactement la forme et la grandeur de la terre.

I<es notions que flous venons d’acquérir sur les différents cercles de la sphère céleste nflus permettent d’ajouter quelque chose .sur l’usage de la machine paralladque. Elle sert spécialement» pour mesurer de petites différences d'ascension droite et de déclinaison. Pour cela on dispose les fils rectangulaires du micromètre, de manière que les uns représentent des cercles horaires ,'et les autres dus 5ros de parallèl*. Alors, si detfx étoiles passent en même temps dans le champ de la lunette , la différence des époques de leur passage aux mêmes fils horaires donne Jear différence d’ascension droite? en aya ut égard à la distaflcc polaire cju’elles ont actuellement. Pour avoir 1 «'différence de déclinaison, on place une des étoiles sur le fil fixe, qui est perpendiculaire aux fils horaires; elle iffcoit par l’effet de son mouvement diurne. En même temps on amène’sur l’autre.ctoilc le fil mobile qui est parallèle a u*p recèdent. L’écart de ces deult fils, indiqué par l’tpdex du micromètre, mesure la différence de déclinaison. On emploie le même procédé pour rapporter aux étoiles les comètes dont 1 apparition est toujours de peu de durée, et qu’on ne peut presque jamais observer à la lunette méridienne oi%u nuirai , à cause de la grande faiblesse de leur lumière, surtout quaP elles passent au méridien pendant le

jour. Au nfoyen de la machine parallatiiji# , on peut déterminer' les diamètres apparents des astres »^vec*une très-grande exactitude parce que la lunette, suivant la^marche de l’astre , petjpiet’de rjml-jf tiplier les observations, l’our les diamètres horizontaux,* le procédé < est le mêlée qu’avec la lunette méridienne Mais, d’après eequ'mx a vu, § 10, la différence des passages des deux bords du disque, aux mêmes fils horaires, ne doun^ias immédiatement le diamètre apparent de l’astre. Il faut, pour rçpduire ce diamètre én parties d’un grand cêrele de la sphère céleste, multiplier Uintervalla. des passage réduit en arc par le sinus de la distance polaire du parallèle où on les a observés! Ofearirend^cet élément sur un cercly graÿ, due qui lait partie de l'iitstruinent , et sur lequel la lunette fait mbuvoir un vernier. On détermine les 'diamètres verticaux de la même manièregque les différences de déclinaison ; mais ils n’ont ^ besoin d’aucune réduction. * '■

20. Lorsqu'on a observé à la fher la distance angulaire du bord éclairé de la lune au bord du. soleil qui en est le plus proche, ce qui se fait avec 'dis ihstruments à réflexion que j’aurai plus loin l’occasion de décrire, il faut, pour avoir l’arc de distance compris entre les centres* des disques, connailfr, en arc de grand cercle, le demi-diamètre apparent, de chacun d’eux^ dans la ‘direction suivant laquelle la distance des bords a été nifjsurée. Or, outré lis variations occasionnelles de grandeur que le Risque éprouve par les causes indiquées page 1 1 , l’égalité d esses diamètres est quelque peu altérée, selon leur obliquité à l’horizon , parce que le. centre du disque eÇ le point de son coptour où ils se terminent , ayant d’inégales hauteurs, la réfra<^|oli-.^tmosphériqu^les élève inégalement dans leurs verticaux pèfig^P^ui convergém au zénith. Cel^rend les diamètres apparents obliques toujours moindres que % diamètre vrai, dans des proportions dépendantes de leur obliifOip: actuelle, et ôte aux disques leur circularité. Pourenvisagercc problème d’une manière générale, soient, fig. 5, O le centre d’observation et de la sphère céleste, OZ la verticale , Z le zénith. H' H" H le grand cercle de l’horizon, et ZH', ZH" deux verticaux dans lesquels se trouvent les lieux vrais de deux points lumineux l', 1" . Menons l’arc de grand cercle qui mesure leur distance angulaire vraie, et nom-

\M noNOMIK

^Ipi il esllig^yc plus bas ; et elle payera^ j

^S*,Te second en 8', de sorte que leur distance apparente «;ra devenue D'j differente de D. MaisiftjSt aise d’ottenir D' en lequand on connaît les distances zénithales apparentes des deux points S', S", et les lois des refracffdhs at«aosp%'riques. Car, ces dislances devant être toutes deux renfermées dqjs le même angle a/.itmital a compris entu; les deux yerticaux, les deux triangles sphériques Zï"Z', ZS"S', qui ont leui*» sommets au zénith et les distances D, D' pour bases , ,,j>nt l’angle a commdn; de sorte qu en y formant les expressions individuelles de cfs distances, et climinaftt a entre elles, on obtient la relatiim çherdhée de D' à D. C’est ce que j’expose ici en note. Le calcul est considérablement simplifie quand on suppose les deux distances B, I >' fort .petites , ‘comme cela a toujours lieu dans les. applications de ce problème. Oi^en conclut que les disques circulaires ; modifies ainsi par la réfraction , se trouvent trcs-apprnxiumtlvciuent changés par elle en des ellipses ‘dont le grand axe est horizontal , et le petit vertical , celui-ci différant toujours très-peu du premier.

SurUes {'fondeurs t(fcs demi-diamètres apparents des * astres évalués suivant des directions obliques à thfrizon. « • •

%1. Ce problème, tel qu’il a été énoncé à la fin du préçed ifl chapitre, se rapporte à la Jig. 5, que je reprends sans avoir besoin de ta décrirç de Nouveau. Pour suivre la voif^de solution que j'ai indiquée, je nomme Ç', Ç" les distances zénithales vraie*.#!', Z!", et je nouumï z" les distances zenitli.ik s'fcp paren tes 7*S', ZS*. Les doux triangles .sphériques Z2' 2", ZS'S” , établis Sur lès côtés 1), D', ont l'angle nzimutal a commun. Je forme dans le premier Tex^rcisioii de cos U, dans le second celle de cos D', et leur appliquant lo mode de transformation rappelé dans la page i3, j’cir tire les deux ('quations suivantes : .

sin* { D = sin* \ (Çw — Ç' ) h- sin Ç" sin Ç' sin’ ~ a ,

sin* \ D'— sin'-J («" — *') -+• sin *" sms' sin’^a.

Soient / ' la réfraction donnée par Ie6 Tables pour la distance zénithale apparente r'; r" la réfraction pour la distance ap'parente »*; on aura

l’H YSIQUK.

J'introduis ces expressions dans la proaaiènfdc nos deux équations, ei elle devient • * ’ *

. • > sin’yL) = sifi* -j (s*— a'-t-r " — r')-+- sin r") »in (x'-t- r ')siu* \ a

alors jVIiminr sin'^a entre elle et l’autre ,*j>uis dépage sin’ Jl)'. J’oblieiib ainsi * • • * „

«in*, D'= sin’5 (*’ — s')

H-[sin*i D— «in* J (*'■

• sut (s -

r") sin (*'h

22 Lo rapport il» sinus qui multiplie le dernier terme du secondtnei^iyilest suAej>tiljaoV,lnc transformation qui est très-propre à montrer la- mode de variation île ses valeurs, ^ur l'opérer, je prends un qu#conqu^dc ses

— Afin de faciliter kl division,

deux facteurs soueia forme générale — ,

• àL ~ un (»-+-/•)

jo change l<?^!ii numérateur en (*-t-r) — r;% l ,*lc consl&erunt comme formé de la differ^ndc Hc ces deux arcs ^ je développo-l'cxprcssion de son sinus ^où je remplace cos r par sa valeur cqftiv^lcnte l — a sin* J r. J'obtiens ainsi

>* sin r cos (a

-r— r , ~r w asin’fr; ma .

fin(f-r-r) ÿn(s-t-r)* f

alors je change lc,Juctcur sin r du sccoud terme eu asin \ r j/>.cu qui lui donne un facteur commun avec lo suivant. f!ola p^mel de l'y rcuujf, et , en le faisant , on a pour résultat ( i ,

fine . cos le 4- »

-r— 7 r = 1 — 3 siu* r -T-î;- r-

sin(r-t-r) ^ ^ * sin (s -+-/•)

On voit |iar la qu’un rapport pareil ne diffère de l'unité que par un leriuedc l’ordre de la réfraction r qui se trouve actuellement affecter la diütanec apparente x. Or, îc terme ci^nçc non -seulement de valeur, mais nÿimc de signe, tfd’incgalcs distances de l’horizon.

En efTut, con^ifjérons-le d’abord b l’horizon même, où e sera Jo° ; alors cos(*-ê-{r) deviendra — ainjr, cl sin(a-t-r) ^deviendra cosr. Lo second membre aura donc pqur valeur .

cos r

ColÉ équivaut à , comme on aurait pu Te voir directement sur l’expres-

• cos r • •

sion non%t*vclon«voc du rapport — -.Dans cc cas donc , lo terme asso-

• sin (*%-r)

cic à l'imité sc trouve positif. & •

I*otir appneier A valeur nnn^rfÇue dans cotte circonstance, supposons que, «U»n3 Ja couche d’air qÿ est place l’observateur, la température soit relie de io degrés centésimaux, et la pression o,n ,760 *, alors la Table de réfraction

ÀSTRONOM1!

insérée dans le tome 1 , page æi, donnera , pour 90° «Je distance xénithalç, /• égal à 33' 46*^3. I3c là o‘n Iftv •

conséquemment

log (^r)=5,6844°'8'

’j stn*

= o^cKxx>483f)üO j

telle est donc alors la vlfour du terme qui s'ajoute numériquement à Punit©

, # . smr

dans rexpression de *- .

„ * Bini + r

A partir de cette limité, t et r diminuant à la fols, ce terme congtience par trafTaiblirpcn conservant, danî son expression algébrique, le signe négatif, ce qui continue de le rendre numériquement additif à l'unité; mais il devient Qui lorsqu’on a * - * .

■’co f(s -t- |r) = o,

ce (ftii donne pour condition • * .

Si Poif eoSatilie la Tbbl e numérique des réfractions insérée dans la tome 1 , page» luo et Table qui est calculée, d'après la théorie de Laplace, pour le cas où lè thormomètrû-marque io° et le baromètre om,^!5o dans la couche d'air oûTobsorvatcur est Jilacé^ on trouve que la condition dont il s'agii a lieu lorsque la tiistance zénithale apparente s estl89P44,*V">5^- effet, pour culte dfstancC, la Table donne, par proportionnalité,

de là on tire

et par ^ite * * g

Valeur égale à la distance apparente considérée. *

23. Pour toutes les distances zéniihales moindres que celle-là , le terme que nous co^idérons prend, daps son expression algébrique, le signe positif ”$e qui lerend toujours numériquement soustractif de l’unité; ses valeurs croissent d'abord avec Rapidité en%’approcbant d'iihe certaine limite de grandeur très-petite, dont elles sont bientôt peu différentes cl qu'elles«ne dépassent point. ^ #

Pour constater ce fait, je rappellerai qu'en réduisant en nombres-, dans le tome II* page 42G, l'expres s io’lTthcoriq de de la réfraction r, donnée par Laplace pour les distances ecnithales moindres qup^S0, sons lui^ivon* trouvé telle

r — k (ni Ung * — nj-ing’ *). ,

forme

a est un trili-|ielil angle qui varijjJproporliomiolU-ment à la densité de l’air dans la couche atmosphérique où l'obscrvataur esty placé ; m et n sont des nombres positifs sensiblement constants, ou qnlVùprouvent que des Variations négligeables dans un tnéntQéieu.JPour ht cas où la température, dans la couche d'observation1, .est celle de la glnoj* Ion (^inte et la pression om ,76 do mercure à o°, 011 a ,

et= 6aff,666, s. « = 0,93918761,* n =0,00110 58a3. i J . .

Le coefficient <1 étant fors-pelifrelativement à m, l'influence du terme nflectc de tang’ s est toujours beaucoup moindre qne celle du terme en tang s, dans les limites de distanocs sénithalea auxquelles la formule est adaptée; et, quand s devient moindre que 46°, ce qui rend tang s une fraction de l’unité, l’eflHde ce terme est bientAt presque négligeable. Dans tous les cas, il tend h affaiblir, par l’oppositiotK de son signe, l’effet du terme ni. tang «t c’est {tourquM , voulant assigner la limite de grandeur que prend le produit algé

brique

•Jsin* jr gos (i+ jr)

de l’tifcvf tviion i,o?U' 1 râlant î/v, <

pouf tfan

ni» (a ti

^porterfles rcfrarliopa tir la T*b)« «le o» a

sin(r4-r) 4 r"

j’y remplacerai r, dans le fadeur sut >r, par la videur qui résulterait du imil premier terme de son expression complète; car cette valeur, étant toujours plus forte que lîi véritable , nous donnera une limite dévaluation plutôt !t*op forte que trop. faible, «i eo.n’est (A zénith même, où le terme en tang* r, que nous aurons omi!**, devient rigoureusement nul avçp'la distance zénithale s.

Ls'exprcssien théorique der, ainsi ^1 uilcù son preiniiy tenue;' peut, «ms

erreur appréciable, être mise sous la forme suivaaie

. * • s{n Jr = |msin « * 1 *

* »• '•* • • 4 cela revient à considérer Tes petits ères k;> comme sensiblement propArtHjhnels a* leurs .sinus. J’ai déjh rapporté la valeur dd a; quant h celle de f? on peut voir que, même ù 8o° de distance du zéuitfi , ' gplre Table de réfraction, construite pour^la température de,j,oîj!* la donne seulement de 5' 19", 8, qu’il faut clevé à 5'3'.T,4 pour la ramoner ^yssi à la tempe ri tire do la glace fondante, d'après le mode suirçtnj; lequel cflftte Table* a été calculée (*). Or, -sr P«n dt 'luit le sinus^c pareils arcade celtfi ÿc^Pun d'eux , par proportionnalité /O» jic lui trouve pas avec le §wius exact une différence qui réponde à une traction de seconde appréciable. Usant donc do celte Iran s

(“) !.*•* fartry*'n«-e«’*»Jire* pour transporter at^gi le* réfraction* ,*!« ta tempérafclinf «le io> tl* t\t là prr»'ion i»,n,*^€o a toute autre intoniUm c mtlc'nroloJujj qiii’lanque, wctMnnnè» •ou* forme logarithmique dan* le recueil de ToWcj plMiee» pavdc Bureau de* Lon^itçdra,

!«•* reproduit eu n «mirrCil.iii> la C ofyt m uuh r d -t Tempt de chaque année. Ici le Tuteur

pression

rature du merrure dan* le h.nomctre étant anssî «upjimtr descendra «Je lonja tif- , comme dan» notre talcA’ de A . a (0P

formation ainsi légitimée, j'introduis l'expression précédente de sin^/ dans le terme algébrique que nous voulons évaluer, et il devant

sin z cos \z -

p cot>T sin (z -f- r4 £ •

Sous cette forme, on voit qu'il sera toujours moindre que m sin a. Car, dans la fonction de z qui multiplie çeltc quantité, le facteur cos z du àénominatfetir sera toujours plus grand que le facteur cotx-f- \ry entre les limites de distajlcç zénithale que nous considérons; et, pareillement , l'autre facteur du dénominateur sin (s + r) y sera plus grand' que son correspondant sin g du numérateur. La fonction totale qui multiplie m sin a sera donc , dans tous les cas, une fraction moindre que 1, mais toujours de très-peu moindre, à cause de la petitesse de r; et enfin elle deviendra rigoureusement 1 quand g sera qui , ce qui donne m sin a pour la valeur maximum du terme qubnous considérons» Le termê en tang* t que nous avons omis dans l'expritsion de sin Jr né change évidemment rien à celte limite finale , puisqu'on le suppo-

sant multiplié aussi par le rapport “*t

le produit s'évanouit rigou-

reusement nu zénith, où set r sont nuisons défi simultanément. • Mais, bien longtemps avant d'arriver à sa valeur limite, notre terme en différera si peu, que l'on pourra, sans cireur sensible, la prendre comme sofi expression réelle et constante, frniiT avoirda preuve de ce fait , supposons g =; 8o°, ce qui est le pins grand almifcsenicni oùTon fasse les observations nous voulons iptconsidércr. La pâleur oorcespohdante de r pour la température o? ctt la pression om, 76 /que notre évaluation de a. suppose sera, parce qui précède, 5'3a",$. Si avec ces données on calcule rigoureusement le multiplicateur de -fn sin a, on le trouve égal è 1 — 0,00^853 ; devflorle qi\e sa différence avcc^Punitc équivaudrait fi diminuer sin k de o Koooot> t^ÿ,. frac fton dont nnfluçncq. sera toujours négligeable dans les applications pratiques auxquelles est destinée la formule que nous préparons. Ainsi , via ns tonte l'étend 110 de distances zénithales qu'elles embrassent , on pourra, lans aucune errent sensible, supposer généralement

* $ sin s W , rosf^-pAr)

• : e^r = 1 — nin .r — ; — r — I — m sm a,

’ W Ml) (g -h^-) • > ' Sin fgrf-r' ■ +

a ayant là valeur et le mode Ho variation assigne plus liant.

* Sfi4. Appliquant donc ce résultat à notre expression générale de sin*A ^ , jéferaâ, |Tar abréviation , 9

-, - .* . ,eos ék'Vlr') - « irw)

f' ± asm WT — v7-,- “à-rr* f* = a«in$r" . v

|p qui, donnera, pour toutes lés^distanrcs zénithales que fton voudra coum

dérar,

si 11 air 3

* sin-.'

.in (f— ? r

et par suite

(i) stn’^lJ't=sln,}(»'—*')-4-[sin,|D—tin,i(*,,—»'-t-r*—irf)J(i— /')(i—/»).

2i>. Cette expression est rigourciftc et ne fixe aucune limite aux distances «raies et apparentes D, JV. Mais, dans l'usage qu’on -en fait habituellement, ces distances sont toujqprs naser. restreintes pour qu'on puisse considérer les cubes de leurs sinus comme pégligcablqp comparativement à leurs premières puissances. La même supposition peut alors être, a plus forte raison, appliquée aux arcs — t\ r" — r le premier ne pouvant jamais excéder D’, et le second étânt plus faible etricnre, puisqu'il exprime seulement la différence îles deux réfractions qui affectent les extrémités de la distancé considérée. On aura donc, dans de mis iis, nvçp uno^apprgximalion toujours suili saute,

20. Je vais maintenant appliquer cette formule ainsi restreinte à l'évalua ■ lion des demi -diamètres apparents de la lune et du soleil afTectésdé la refraction. Comme les demi diamètres vrais D diffèrent alors peu de i5ifuinntcs,

l'approxiqp^fiun que noiîs y ayons introduite Jour est applicable, et je pronidraixptte valeur comme type, pour en éprouver l#l effets.

Je1 commence par c^isidércr le diamètre horizontal ; pouf celui-là, s' Jji»5 conséquemment r =^s> et ./,=: T- Introduisant donc ces particularités darts notre formule, elle donnera, pour sa valeur,'

Le produit IÎ/* exprime ici le changement que U refraction produit dans le demi-($famètre horizontal vrai. La vafeinydeycc changement , et même son signe, varient dortc .à diverses distances du ‘zénith proportiannellctgcnf au facteur J’. A l'horizon , paé exetafïTe\ nous avôns vit qnè/" devient négatif, et, dans l’état d(> densité de l’air qtié'nous avons; considéré, — J" a pour valeur -t- o ,00004 83ôofi. Si doneçu suppose l*'JÙemi -diamètre vrai J) égal à i5 minutes ou 900 lecondct, on aura, par multiplication,

Ainsi, quand le centre du disque par.i^^

métro apparent |fnm<?ntal peu punrpratyi qdc le den^-dinmètro vrai;

• Ura i I horizon m.’mo, 1»* <li>mi-«lia

plWc

nioia l'agrandissemenT sera .inajfyiérfabl»* aUt mesures les plus délicates.

A'Tnc

nos urc quç l’astre commencera à s’élever, le Droduit — ü/’ diminuer#

comme le facteur f, en restant loujpurs positif jftsqujà ce qy’il devienne nul , lorsque la Mfslance zénithale apparente s égale S90 44’^ *>586. A ce

ter oie ,/* sera Vul , et la demi jliamèire horizontal* nppajept D' égalera le diamètre vrai D A ’ » .S

Au-dessus de cette hauteur, t coi^iuuuutô décroît roy /"n li.i n;;«ra de signe, il deviendra positif et il .rwpu'fra b i^n(0t*ltZ valeur finale constante r#in*tt.

AniUrAsiVi. (A *

26 ASTBONOM1E

Depuis coite limite jusqu'au zénith , ou jjura doue D' = D — mD sin * ;

or— d'après les râleurs do ni et de « données plus haut , on trouve

log (m sin «)*=; m.sin a = 0,000393878. *

Si l’on prend le demi-diamètre D égal à i5 miaules ou 900 secondes,' il en résultera, par multiplication , dans les circonstances de pression et de température assignées , » .

27- Ces variations du facteur./ sont , én apparence, très-singulières, ut Don ne conçoit pas, nu prêmier^Çoup doeîl', comment, à l'horizon par exemple, le demi-diamètre horizontal peut être augmenté par la réfraction. 11 est cependant facile de s'en rendre compte: en effet, quand le centre du disque parait à l'horizon , le disque vrai est réellement abaissé au-dessous de ce plan d*une quantité angulaire égale & la réfraction horizontal* calculer pottrla distance apparente go° Cet abaissement, qui le fapprocho du zénith inférieur, écarte Jes verticaux qui le contiennent plusNJpie *’H »o trouvait à l'horizon vrai ; alors son diamètre réfracté occupe l'intervalle do ces-verticaux à l'horizon même où leur écart en art est lu plus consiàkablo. De là l’augmentation relative du diamètre horizontal apparent ainsi 0W1 Le cas d’am antlssement du facteur f s'explique pat <lda consbldRni •inalojlms. Lorsque ljtMrètesl vu à la distança dÇparcjiré .1" pgal h 90° — \rw, le disque vrai est abaisse sous l'horizon Ihilam que le ijlsqile apparent est élevé au-dessus j ils. se trouvent donc à des distances égales de* leurs zéniths propres. Ainsi leurs' diamètres mesurés parallèlement à l'horizon doivent étrn égaux, puisque tous deux tloiVcnl'èlrc Compris à égales hauteurs, entre les mêmes cercles verticaux prolonges. » ' •

28. 1) 11e modeste plu^qu’ù introduire , dans noire foi mule restreinte aux petits angles, l'obliquité du demi-diamètre que l'on xéut spécialement évaluer. Pour cela , considérons, datif h\ Jig 6, le disi|ue réfracté comme un petit espace londfnc par une. covirbe ovoïde de form^tpielconque, dont retendue angulaire soit assez tjcslniinl* pour qu'uu puisse le supposât appliqué surje plan langent à la sphère 'céfcslc'dans le point S", où son ccfltre est vu actuellement. Actions par ce cenlje . parallèlemenl ai^pla^ de l'horizon , un arc diamétral HH' qu’i! faudra considérer fournie sensiblement rectilmne , et nommons i l'angle S’ S" H' fnftné avec cet ax|^iorizontal par le demudin mitre spécial S' S' on Djnj|ttc l’on veut évaluer. SI, par son cxtrémireS',

irvo.

un mène S'Q perpapdioulairc il S" H' dans le plan de la hgm c , cette (((donnée représenftra ** — **, et elle aura’ noè r expression D’âtûl. si l’on jette les faut sut la Table génèndajde réfcacUqp insér tome I, pagqs ISO et aat, on pourra fAsémvnl y joltslatcRqu’i intervalles fle distàucéW-nithal^ reslrqirus au plus è'rt miputes, comme le. sout Ai Ic^dlfférrnccs z^— *r' (la ns l'etcndu^ (gnn^jjèmc dilqnc, lesdif-

Maintenant , rée dqns notre entre de petits

Diqi

fercnccs r" — r' leur sont sensiblement proportionnelles; assorte que, pour toutes leurs valeurs individuelles entre ces limites^on a toujours une rela-

tion de la forme

cousêqaeinrnent ici • ' '• • %

y • r"— r' = cD' sia t.

Le coefficient c de la proportionnalité varie avec la distance jénilbale i" du centre du disqpue; il a ses plus grandes valeurs près de l'horizon, où, ( par suite, la supposition de simple proportionnalité du rapport doit être plus restreinte ; mais il décroît rapidement & mesure qtie la distancé zénithale diminue, ce qui permet alors de lui continuer plus longtemps la môme valeur. Je démontrerai toutA l'heure «es résultats pa^la théorie; pour le moment, je les prends cbmmo un fait que Poo peut copsta 1er sur la Table ndmériquo même , puisque les ^valuations des réfractions pour l$6 distances zénithales diverses y sont espacées conforraémenf à cos considérations. Alors, si nous substituons les nouvelles expressions* de t” — s'etde r r' en D' s]n /, dans

notre formule restreinte, puisqu'on y rassemble, dans le premier membre, tous les termes qui ont pour factéur D'VJelle deviendra ^ t

D” |i -/') (•-/'} -«]sinV) = D'

29. Dans les applications pratiques auxquelles cette formulç estdestinée,

on a soin de n'observer les disqueà des detix astres que Iq^sque la hauteur apparente de leur centre est au moins de io°; alors on admet qu’à cette limite les facteurs y', y" ont tous deux atteint leur valeur finale commune m sin a , ce qui est dé^à à peu près vrai et ne peut avoir aucune inUgpnce appréciable sur des arcs aussi pen étendus que D et D', comme on peut1’ aU6* ment le constater. On admet, en outre, que le rapport de proportionnalité c est devenu alors une fraction assez petite pour qu'on puisse néglîger'son carré comparativement à sa première puissance , ce qui est encore sensible ment vrai , puisque qptre Table de réfraction montrp qu’entre 7q° et 8o° do distance zénrfhafe, il est déjà rétfyiit à Alors, à plus forte raison, - on néglige pareillement le produit de c par la quantité bien plus petite m sin a, et aussi le carré de celte dernière., La formule, restreinte par ces limitations, devient donc > V *

fia

(4) • D'*[i -4-*a (c ~ m sin a) sin*/] = D* (i — 2«rsirt%*);

^le là, dans les mômes limitos d'qpproximation^ on déduit *

U” = D’ = d* (c »in* i -l- m s»\ «**<)],