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/,g. I,4' mesure d’un taré du méridien exige donc doux operations distinctes. l a première est pun.mentgéomélriqiu' : c'est le trace continu d’un même méridien terrestre , et la mesure de la courbe ainsi .décrite sur la surface de la terre ramenée à la régularité du ^ niveau des mère; la seconde est astronomique : Vesfla nu-suée de l’angle compris cuire les' verticales menées aux lieux extrémités de l’rfre mesure.

Jeèommeiicerai par cette dernière, parce que le procédé quelle exige peut s’eqoncer en deux mots : Il suffit de g/esurer tes distantes du iiieine jyile uu tetlith des deux stations extrêmes ■ lu différence da ccs distances rs( l'angle que les verticales cnni/riitfincnt.

Car, soient 04 > 07.’, fig. 10, deux verticales menées aux points O, O' du méridien 00'; et, considérant d abord la terre comme exactement 'splierique , supposons que ces verticales^ prolongées vers l’intérieur de sa masse, se rencontrent au point C, qui sera son centre. Mettons les rayons visuels OP, O'P', dirigés -vers un même pôle celesle, conscquemiuent parallèles entre eux.^i! , par Je point O, l’on conçoit une droite OC, parallèle à O'Z', I angle ÿOÇ sera la différence des distançesdu pôleuu zcnitbdansles deux sta-, tionB, cl il sera évidemment égal à l’angle central ZCZ' que les ileux verticales comprennent, ce qui. démontré la proposition énoncée.

\1. Sous supposons qpc les deux verticales se Rencontrent.

Si le méridien terrestre est une courbe plane, cette, rencontre aura lieu nécessairement , quelque éloignés que soient lc^ points exil cinés

rfe- » ^ J* ~ .

^ celui du rapport inverso, plu» cxaclomcnl qu on ne pourrait le» obtenir a»«i les Tu l|le» babillreÜe* : ce» valeurs «ont 1 j

* < -'«A* 5* \ dfL.

En outre, poitr abréijéi^lcs ox’preisions al^cbriqucsdu royoli Si degré en fonction <ffi ravoo, je forai désormais - ^ ,

■l du

ce qui dyiinera

•MX»),

DigittZ

OgI

% , mxsiyijE. 43

cli* l’arc^ubservc. Si le méridien n’est point une courbe plane, celle double courbure sera -insensible , dans une étendue de quelques degrés, comme celle qu’embrassent ordinairement les observations faites dans un même pays. Les verticales menées aux deux extrémité-s d’un si petit arc, si elles ne se rencontrent pas mathématiquement, .auront du moins leur ligne déplus cuurtc distance trèspetite, puisqne la forme generale de la surface terrestre diffère trc-9-peu d'une sphère exacte; et' l’on peut pressentir qu’une telle circonstance devra produire des effets géométriques approximativement pareils à ceux d’une rencontre. Mais il est facile de donner à -cette conception une forme rigoureuse, en rap|x-lanl ici, quelques propriétés des surfaces sphcroïdales , qui éclaireront toute la suite des opérations que nous allons exposer.

48. Considérons une telle surface dans son acception.!» plus generale, sous la seule réserve que sa courbure varie , sans discontinuité brusque, sur toute son étendue. Par un quelconque M de ses points, menez- lui une normale, c’est-à-dire une droite indéfinie, perpendiculaire au plan qui est tangent à la surface ce point-là • Sur cette normale prenez, dans la concavité intérieure, un poiul quelconque C, dont la distance au point de contact sera désignée par R. Toute; sphère 'décrite d’un tel centre C, avec le rayon R, sera tangeute à la surface, dans le point d'où la normale est pienée. Mais il y aura, sur la môme normale, un certain espace où les centres C donneront des sphères qui auront avec la surface un contact plus intime que toutes les autres. C’est ce que j'appellerai l’ espace ti osculation, parce que toutes les sphère) tangentes , dont le centre s’y trouve compris, suivent lu courbure de la surfaix*, chacune en un certain sens spécial, sur l’etendue de deux cléments -tangenücls consécutifs , supposés infiniment. petits; ce qu’on exprime eu disant qu’elles sont oscnlatriccs à- la surface, dant^c •içns-ln. Les deux rayous %\frémes R, qui ont cette propriété, s'appellent, l'un le plus gri l’autre le plus petit'TïJvow osrulateiir, de la surface considérée. Si elle était une sphère rigoureuse, ils seraient égaux, entre eux £* au rayon iiiéfuc dc'vctte sphère; alors 1 espace d'osculation serait nul. Par conséquent , lorsque la stirfiuÿgs’ccari^tres-peu de, la forme sphérique, cet espace devient troékpetit «ht mciifc ôrdr^rque Wh-

ASTAOKÛMIK

rail; et les ra\on>> oscillateurs menés des deux points .qui le terminent, ne différant l'un de l'autre que par I intervalle qu’il oectipe, sont aussi trys-jîbu différents en longueur. Cela doit donc être ainsi pour la surface terrestre, corrigée de ses inégalités locales et ramenée il la régularité du niveau des mers, puisque , dans son ensemble, elle diffère extrêmement peu de la sphéricité. Dans un tel cas, tous les centres des pins grandes sphères osculatrices, et tous les centres des plus petites, devront sc trouver repartis dans l’intérieur de sa masse sur deux surfaces géométriques, de forme généralement différentes* mais toutes deux restreintes à des étendues de volume tics-petites , qui sc réduiraient à deux points coïncidents entre eux si la sphéricité de la surface osculéc était rigoureuse.

Les choses étant ainsi, prenons, sur une quelconque des normales terrestres, un des centres d’osculation C, parexenipleceluiqui con*es|>oud au plus grand rayon oscillateur R. La sphère décrite du centre C avec le rayon R, sera tangente à la surface régularisée, au point M ofi.la normale jait menée, et elle s’assimilera avec elle autour de ce point dans une certaine étendue superliciclle, d’autant plus intimement que l'étendue ainsi considérée sera plus restreinte. Supposons-la si petite que les sécantes, menées du contrcC aux points de la surface régulière qui en forment le contour extérieur, diffèrent seulement du rayon R par des quantités insensibles ou négligeables. Alors, dans toute cette étendue, les mesures de longueur et les opérations trigonométriques que l'on effectuera entales points qui s’y trouveront compris, pourront, sans erreur appréciable, ctre supposées faites sur la sphère osculatricc du rayon R , dont Ips layons se rencontrent , quoiqu'elles le soient effectivement sur la surface réelle, dont les normales rigoureuses, menées atrx mêmes points, peuvent ne pas s'entrecouper mutuellement.

49. Sans. doute l’amplitude absolue dans laquelle on peut étendre cette identification avec une suffisante exactitude, hc saurait être rigoureusement. appréciée qu’avec la connaissance complète de la syrface à laquelle ou l’applique. Mais il en résulte déjà, qu’en bornant nos opérations gcodésiqtics partielles à des étendues supci lieielles qui' soient certainement très-petites , comparativement

à la surface totale de la terre, les résultats que nous obtiendrons, en les considérant connue effectuées sur une même sphère, seront, on suffisamment exacts pour être employés ainsi , ou au moins assez approches de l’exactitude pour n’avoir plus besoin que de corrections trcs-légères qui pourront leur cire ultérieureincnt appliquées par un second calcul, lorsque leur comparaison entre des régions très-distantes nous aura fait connaître approximativement la forme ainsi que les dimensions de la surface totale dont elles dépendent. Toutefois, pour achever de fixer les notions qui précèdent, j’anuoncerai , par avance, que la combinaison géométrique la plus avantageuse, à laquelle on est définitivement conduit par l’ensemble de tous les résultats, consiste à considérer toutes les opérations partielles comme effectuées sur les sphères successivement décrites avec le plus grand rayon osculateur IocaJ ce qui place tous leurs centres sur une droite trèspetite, de même ordre que l'intervalle d’osculation, laquelle sc trouve parallèle à l’axe de rotation du ciel, et placée sur Taxe même de rotation de la terre, lorsque l’on suppose celle-ci un ellipsoïde de révolution, ce qui est la seconde et dernière approximation par laquelle on puisse représenter sa forme générale dans ce qu’elle a de régulier. Cette construction amène ainsi tous les pilles de ces sphères sur le même axe central , dirigé vers les pilles de la sphère céleste, on ils se trouvent seulement placés eu des points quelque peu différents entre eux et des pilles terrestres réels, selon le lieu propre de leur rentre et la longueur propre de leurs rayons. Les plans de leurs méridiens coïncident donc tous alors avec les méridiens terrestres réels, comme sc coupant tous mutuellement suivant l’axe commun .

KO. Ces restrictions étant expliquées et convenues, je viens au tracé de l’arc méridien sur une quelconque des sphères nsculatrices locales; n’ayant pas, pour cela, besoin de la connaître, ni même de définir le sens spécial d’osculation que je lui attribue, mais supposant seulement l’étendue de cet. arc assez 'bestreinfr pour pouvoir le considérer, avec une approximation présum^suffisante, comme appliqué tout entier sur celte meme sphère, on , par extension , sur plusieurs autres ultérieurement osiHil.itrircs

/iî ASTRONOMIE

,.n se, diverse* parties, et dont il fendrait alors déterminer le modo de succession. D'abord , à la première station prise pour p&nt de depftrt , ri t art* devra , par définition , co.nrider avec Ta ligne méridienne du lieu. F.n outre, puis(|ite nous pouvons le supposer être une courbe plane, au moins sur ce premier élément longitudinal de son extension, il sera compris tout entier dans h-plan vertical local mené par celte ligne. On le décrira donc sur la surraée terrestre, si ion y détermine les traces de toutes les autres vehiçales qui satisfont à cette condition. L’instrument des passages, exactement dirigé dans le plan méridien de la première station, offre un moven très-simple et très-exact d’y parvenir, lorsque Ton opère dans un pays* «brou verf , où la vue peut sVtemlir en liberté; par exemple, sur une plage sablonneuse, longeant les bords de la mer, et qui en suive la convexité. J’admettrai d’abord la réunion de res circonstances favorables.

Alors, l’instrument étant bien réglé par les observations des étoiles cireompolaires nn de toute autre manière, abaisse/, la lunette vers l’horizon , successivement ait sud et atf nord. Puis, sur chacune de ces deux directions, à la «stance de quelques milliers de mètres, faites planter des jalons verticaux portant a leurs sommets des plaques métalliques, divisées' par des lignes verticales que Vous puissiez reconnaître, comme seraient, par exemple, des traits blancs et noirs. Ayant distingué, sué chacune de ces mires , la division et fa fraction de division qui se trouve' sur la direction du (il -vertical central de votro réticule, détermine, soigneusement;- avec un fil-à-plomb , les pfods P', P" des «Mi* verticales correspondantes, et marquez-les sur des plaques nu- Tâlllques horizontales , fixées aux sommets de deux pieux solides, enfoncés profondément jusqu'à affleurer le sol. lies points 1»', P seront dans le plan méridien de la station intermediaire ; ils ‘appartiendront à la ligne méridienne qui passe par le «ebue optique

*. db cctïc statioA. , ’ .. , «

' c’est ainsi qu’à Paris on a marqlte *dans la plaine de Montrouge, un poitft qui est sur la' direction de l’axe optique de la lunette des passages de l'Observatoire. C’est par des moyen* à peu près érjTiivaleuts, quoique peut-être moins précis, qiCon a dotor-

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PHVSIQltl. fa

miné lîl portion <Io la pyramide do Montmartre, sur la direction de la ligne méridienne tracée dans la grande salle du même édifice. Celte ligne étant prolongée, vers le nord, de 6000 mètres, passerait dans l’axe de la pyramide. Concevez deux points encore plus distants, marqués, de même, dans une direction horizontale, P'. P", l’un au nord , l’autre au sud de la lunette de l'instrument des passages, ils détermineraient, sur une étendue encore plus grande, la direction de l’are méridien' supposé plan. On pourrait aisément, si on le jugeait nécessaire, subdiviser l’intervalle des points P', P , sans sortir du meme méridien terrestre. Car, puisque nous le supposons rontenu dans un même plan, on n’.aura qu’à établir, dans tptelquc point intermédiaire, un cercle portatif A limbe vertical, que l’on placera de manière que l’axe optique de sa lunette, rendu préalablement parallèle au plan de ce limbe, s’aligne exactement, sur eux, dans sa rotation. Quand cette condition sera remplie,' on fera placer, de distance en distance, d’autres jalons verticaux, portant des mires, que l’on dressera d’abord approximativement I vue, sur cette direction. Lorsqu’ils en seront assez proches pour que les divisions des mires se voient dans le champ de la lunette, toujours alignée sur les signaux extrêmes, on notera ‘celle des divisions qui se trouve sons le fil, et l’on marquera, comme précédemment, sur «ne plaque fixée au niveau du sol, le pied de la verticale correspondante. Le mémo procédé -servira pour prolonger, au delà de l’intervalle P' P", le plan vertical , conséquemment l’arc méridien qni passe par ces points. Cela Sera plus simple que de transporter, pour le même but , l’instrument des passages, qui est plus difficile à établir; et l’on pourrait concevoir la ligne méridienne d’une première station continuée ainsi d’tm bout à l’antre d’un continent, sur son prolongement primitif, après qu’elle anrait été déterminée par des passages cfétoiles cirrompolaires dans cette seule station. ,

lîl . Totijefois, dans ce cas idéal d’une si longue extension , qui sortirait des conditions restreintes auxquelles-nous supposons les opérations réelles assnjclties, il y aurait un grand intérêt à établir de nouveau l’instrument des p assagit* au dernier point de la ligne ainsi tracée, et même en H’autresppoints intermédiaires, pour y

jg VSTROSnMIE

déterminer immcO^cment, par dos observations astronomiques, la direction du méridien loral. Car, si les méridiens terrestres, tels nue nous les avons généralement definis, page 34, n étaient pas des courbes planes, le méridien réel , ainsi astronomiquement fixe, , s’écarterait de la direction du signal précédent, et cette déviation azimutalc décélérait le (ait lui-méme , par un caractère incontestable. Malheureusement, on ne saurait espérer de trouver une localité où le tracé direct puisse être prolongeasse?, loin pour qu on pût le faire servir à une pareille épreuve. C’est pourquoi on tâche d’v suppléer, dans les grandes opérations modernes, par une autre détermination équivalente, comme je l’expliquerai plus tard. Mais, malgré la grande longueur des chaînes de triangles auxquelles on a pu rappliquer, on n’a trouvé que des déviations finales si petites, qu’clles sc confondent avec les résultats des erreurs que les observations comportent, ou qu'on y peut, tout au plus, reconnaître des indices d’accidents locaux , dont l’influence ne se fait pas sentir d’une manière suivie; de sorte que, jusqu’à présent, rien n auto riserait à affirmer que les méridiens terrestres, dans ce qu ils ont de régulier, ne sont pas des courbes planes. D’après cela, leur double courbure, si clic existe, doit certainement être insensible sur un arc d’un petit nombre de degrés, tel que pourrait tout au plus l’embrasser un tracé direct, comme celui que j’ai tout à l'heure décrit.

152. Même, en le restreignant à ces limites, il faudrait, pour qu’il fût exécutable sans rectification, supposer que la surface du terrain où l'on opère est partout exactement horizontale, c’est-àdire que sa convexité est la même que celle de la surface des mers; car cette condition serait nécessaire pour qu une chaîne ou un hl flexible, étendu sur le sol, et passant par les pieds P', P' , . • • des verticales consécutives, coïncidât avec un arc régulier de méridien. Or, comme elle ne sc présente jamais réalisée naturellement avec une rigueur su (lisante , on la réalise artificiellement par le mode de mensuration qu’on emploie. Pour cela, on prépare plusieurs règles, ou plusieurs chaînes, formées de matières peu dilatables, dont on détermine exactement la longueur en fonction de l’étalon lise que l’on vent prendre pour unité de mesure, en notant soigneusement

*,;MvSd|. ' . ^| fa

la température jf laqm-llo la comparai^esltelTectuee. Et , quand on s’en sert à une autre teiuperatnr^ï «on les ramené toujours ^r. tte longueur primitive, d'après lu dilatation connue dé la ma- * •tière dont elles sont faites. A (in que ces règles, ou ces chaînes,4 quoique rectilignes, puissent s'adapter A la convexité de la surface ' terrestre par des applications successives , avec une sutlisante approximation , il faut que leur longueur n’excède pas quelque*' toises des anciennes mesures de Paris , ou un nombre semblablement restreint de mètres. Elles sont etendurs sur des plans inflexibles, dont les supports sont pourvus de mouvements de rappels verticaux qui permettent de les amener à un^exacté horizontalité , quand le sol sur lequel on' opère n’est qiie peu inégal. Mais, comme des accidents dedocaiité, trop ordinaires, rendraient souvent difficile, ou même impossible d’oprrer matériellement un grand nombre de contacts, successifs dans cette condition unique, on y ramène, par le calcul, les' contacts quelque peu obliques, d après l’angle actuel d’inclinaison mesuré’par un niveau divisé, qui est fixe au plan rigide sur lequel la règle ou la chaîne repose. Chaque système partiel , ainsi constitué, est recouvért par un toit en bois qui l’abi ite contré la radiation solaire. On les peint extérieurement de couleurs différentes, pour les distinguer les uns des autres, quand on les transporte successivement pour continuer leur apposition; et des pointes métallique», fixées verticalement aux extrémités des sommets de ces toits , servent de viseurs pour aligner les règles intérieures sur les jalons dressés aux differents points 1»', P",... que l’on a marqués sur le sol dans la direction de la ligne A mesurer. Peut-être cet alignement se jugerait mieux à travers de petites lunettes munies de réticulés, dont l’axe optique. physique coïnciderait avec î*axe dja règles, et qui seraient fixées aux "deux bouts de chaque toit , à des hauteurs tant soit peu differentes. Mais une très-petite erreur dans l’alignement de chaque règle n’a presque pas d’importance, parce que la longueur obliquç différe^alors extrêmement peu de sa projection snr IA ligne directe." Toutefois, la somme de «es écarts donne nécessairement une mesure totale plus longue qfle IA véritable d’une quantité qui peut s’apprécier,

. en supposant, dans chaque posd^c, la plus grande erreur que l oi»

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puisse iDUiimlhe; et l’un s'assitre’ ainsi qu'cHc osl ne^eablc, U juOmr dans une mensuration très-longue, si IVm y apporte les soin-, nécessaires. L'apposition de* règles entre elles uc se fait p.ié^ des contacts immédiats, qui pourraient opérer des repoussements. Mais chaque règle, ou chaque chaîne, porte, à l'un de ses tiouts, une Uwgiu'ltr mince, momie dans une coulisse longitudinale, oîi elle est conduite par une vis de rappel qui sert a la faire pins ou moins sortir; et c’est -le bout libre de cètte jaugtiette qui se met en contact avec l'extrémité fiX<* de la règle "précédente. La quantité de sa sortie se juge par l’indication d’nn vernier qu'elle transporte avec 'elle le long d’une division rectiligne tracée sur la règle à lamtellê elle appartient; et lu coïncidence du vernier se lit avéc un petit microscope fixé t\ cette règle. Pour opérer le mesurage, on amène d’abord l’éxtréinité anterieure' de la première règle en coïncidence avec la verticale du prèfhter poipt P' marqué sur hsol, ce qui se jitge par lecoutact d’un lil-à-plomb, tombant sur ce point, et dont la demi-épaisseur doit ainsi s’ajouter à la mesure totale, indiquée par l'apposition des règles successives. Cette première règle a d'ailleurs été alignée sur les jalons de repéré, comme le seront toutes les autres ; et si elle n'est pas exactement horizontale, on mesure de même son inclinaison pour en déduire su projection exacte par le calcul. Cela fait , sans déplacer celle-ci , on en pose une seconde, que l’on met en contact avec elle par sa languette mobile ; puis une troisième , qne l'on met de même en contact avec cette seconde; et ce n’est qu’uprès en avoir ainsi établi sur le sol au moins trois consecutives,, que l’on relève la première, jwmr s’en servir .1 continuer l’opération. Quand on est ainsi parvenu à la fin de l’arc tracé sur, le soi pat la suite des points P', P"£ . . , il n’arrive jamais que T’extrcmitc de la dernière règle tombe juste en projection horizontale sur lé dernier de ces jioints. Elle l’excèdcMonjours, ou ne l’atteint pas. Aloys on abaissé un fil-à-plonih tangentiellement à son extrémité, et l’on marque, sur noe plaque métallique fixée dans le sol, Me point oit il aboutit; puis on mesure directepient la distance de ce point au dernier repère P<"), et on l’ÿjoute à la longueur de la règle, ou on l’en retranche, selon’le câs (*).

(*) Je n’»i pu indiquer ici que le principe général de lu mensuration suc -

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JS. Si 1 opi*ratiunrqqe jt”viens ae ucdrirc est faite sur “ne^ * plage sablonneuse , longeant ItTbôhl de la mit ', les règles sppo secs ainsi horizontalement , oit pliis'cgeii<Talem<“Qt leurs projec- , dons horizontales , calculées d'après les indications de leur niveqji , si elles sont quelque peu obliques aux verticales successives , représenteront autant de petites droites consécutivement tangentes „•

\ l'arc niéridién, an milieu dp leur longueur. Or, dans tutjccqclq, * la différence entre un petit' arc et sa tangente est moindre que le tiers du cube de cette même tangente divisé par le carra du * ' rayon du cercle. On j>eut donc pepser qu’en restreignant les l$n-* gueurS de nps reglpS" comme nous l’avons fait, elles seront si petites, 'comparativement au rayon de la terre, que leifr différence avec l’arc qn’elles touchent sera négligeable; el cela peut dit moins être admis dans tm premier calcul approximatif. Mais, quand le rayon de la terre nous deviendra connu'pür cette premlèiie évalua-'' • tiôn , nous pourrons nous assurer que la différence dont il s’agit sera en effet insensible pour chacune de nos règles , dans les boPhes • de longueur auxquelles nous les avons restreintes; et mcnie-la somme des différence* ainsi accumulées dans une mensuration de 3ooooo ou 1400000 mètre* ne formerait pas une fraction de mil- • li mètre appréciable par les appareils physiques les plus précis. , SV. Sup)io*sons maintenant que la mensuration n’ait pas été faite au bord de la mer, niais dans une vaste plainè.située, à l'intérieur d’un continent; et, pour nous adapter entièrement aux réalités les plus ordinaires, donnons 5 cette plâinc une faible pente continue sur sa verticale moyenne. Quand toutes les règles apposées auront été. réduites , par le calcul, à.l’horiiontaiité sur leurs veç-j’

cessive. Les détails varient scion la disposition des appareils employés. J’ai pris principalement pour'typc ceux qui ont eii appliques, d'après les idées de Borda, à la mesure des bases de la grande triangulation effectuée en France par Méchain et Delambre’. On en trouvera l'exposition précise dans l’ouvrage de ce .dernier, intitulé Mesure de la Méridienne , tome II. I-es pro - 'cédés employé* en Angleterre pour une opération analogue ont été exposés, par le géhérat Huy , dans Içs Transaction! philosophiques de la Société raya le de Londres: r\ ils ont été rassemblé», par le général Mudge, dans un ouvrage spécial intitulé: An account oj the operations carried on for aefomphshing a triffonometr ica! Sarvey tf kngland a net Wales I vol. I.onciro* . 1 790

iÎ2 i , J? „ V

tiifllts individuelles, leurs projections, ainsi obtenues , seront aui.mt de tangentes au cercle méridien qui passerai l par le sommet de rhaqua vcrtidlle ; et, traprùs ce qu'on vient de dire, elles se confondraient sensiblement avec la petite portion d’are qu’elles recouvrent. Ces aies / que nous supposons ici décrûs du même centre, auront des rayons fif inégalés longueurs, à cause de la pente generale drl sol sur lequel on a successivement porte les règles. Ainsi , avant d’en faite la somme, il faut les réduire an dimeo ■sious que les vertirales qtirles terminent auraient .interceptées sur nu meme cercle , par exemple. sur celui dont le rayon R' passerait par -le point moyen de la ligne mesurée. C’est-à-dire que si h est la différenèe de niteau absolu entre ce point moyen et un point quelconque de la ligne, où le petit :trc tangentiel est g, il faut

uR' nJ, >J> • . X.i

transformer cet arc en -, j ou u — — — — - . Mais , a cause de

fl H -4- fl .

. »* m ’jf —

l’excessive petitesse de h , comparativement à U', dans les Sa* de faible pente qûe nous admettons , le terme qui exprime là correction de chaque arc g. sera individuellement insensible ; et la somme de toutes les corrections S’anéantira encore, par compensation, popr la ligue entière, puisque le facteur h, qui leur donne son signe , sera positif pour les points plus élèves que le point moyen, et négatif pour les plus bas. D’après cela on pourra* sans aucune erreur, considérer l’arc Iptal mesure M comme appartenant au çercle méridien décrit avec le rayon moyen R'. j .1

* tîiî. A présent admettons que, par Ht n nivellement topogra- ,phjque, ou par des observations barométriques simultanées, on ait déterminé la hauteur H de lastation moyenne, au-dessus du niveau •moyen de la mer la plus -proche; et soit R le rayon terrestre de cette mer terminé à ce mgtnè niyeau moyen. Sija terre est exactement sphérique, R sera spn rayon tonstantt Si elle a une forme quelque peu différente, R sera le rayon de la sphère locale, osculatrice à sa surface moyenne dans la tegibn où l’ait M .a etc mesure. Du centre de cette sphère, «menons, deux sécantes terminées aux. extrémités de l’arc M, et ayant conséquemment pour longueur R' ou R -g- H. Cç seront aussi les verticales de ces points extrême^, au moins dans le premier système d’approximation auquel nous nous

bornons ici. Or, puisqu’elles intercoptent' l'arr^uù culaire M à la ‘ , elles

distance R -4- H ducentre, elles intercepteront àla distance R un ay

proportionrielleinent moindre, c'est-à-dire' M — j,

Cet arc , calculé , sera donc l’arc méridien que t'on’auraiP obtenu entre les mémrjj verticeles qui comprennent M,'si l'on avait pu le mesurer sur le prolongement dé la surface sphérique de la mer dans la région ou l’on a opéré. Ce ser,1 Ce qti’ôn appelle l’are M séduit

au niveau de hi nier' et le terme souslracftf t— . s'appelle la

réduction à te niveau. Pour l’évaluer, numériquement , il faudrait

connaître le rayon R, qui est précisément V’életpent physiqt/è que

l’on cherche à déterminer. Mais cette apparence de cercle Vicieux

se dissipe, en, considérant que, d’après le §^v,'le rayon local it-4-II

peut se concit1rc.dc J’arc M même , .puisqu'on nommant V l’angfa

observé entre les verticales extrêmes , exprimé en degrés- sexagé-

surtaux , sa longueur est •

Vrr

Ainsi la réduction cherchée

d u , , ■ MH VctH , , .

I arc M, c i si- a -dire K ■> sera - ; et la réduction du demi'

R-t-tl 100

simple D'"-1 ou sera prof>ortionncllement^*j; expressions dont

rrH 1

tous les éléments seront connus,, par les détermina tipfis préalables de M , V, Jl , dans le lieu méinç et A la hauteur où on les aura obscrvés-(*}. Ilnc restera donc, pour les réduire en nombres, qu’à

(*) Par exempte, dans l'opération faite près de Quito, sur le plateau des Andes du Pérou ' par tés académiciens français BougiTcr, Godin et fs Oondamiur, la hauteur Tl de Parc méridien M, déterminé tant par liiangulaiion que par mensuration directe,. sc trouva ètro de iaa(> toiles au-dessus du

nireande ta mer Pacifique. Ainsi, lit®) on éUuit la longuenitabtriiiig en

misés , pour mi do;; ré simple i relie élévation, un dut, pour In rrdiiire an

iao6T 9# ’°U

mm /■ ^ • jU9' a «J» ”

niveau de cette uter^ la dintinuer d'un nombre de toiseségàl à

•*'T .^97)- Roufpier a jlris tu1 ,,j rumine valeur su Ibssmmrnt approchée; mais oui serait plus't^-iipubita aujourd'hui. » A

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tsmiMimi

connaître l'angle*)! (entre V compris cuire les verticales des stations extrêmes ; et on l'obtiendra , comme nous l’avons dit, par les obser- \ .irions astronomiques qu'on y devra luire } car il sera égal à la difïérencedes distances du même pôle , aux zéniths de ces deux stations.

tffl. ITne opération précisément pareille à celle que- je viens de décrire a été /aile dans l’auqee 1768 par les astronomes Mason et Dixoïr, sur la limite des Étals de Bensvlvanie et de Maryland, dans une presqu'île qui aboutit à la mer Atlantique, eutre les embouchures des rivières Chesapeack ; Potomack et Delaware ; de sorte que l’arc -mesuré put être alori considère comme s'étendant sur le prolongement même de la surlace de cette mer , sans aucune réduction. La mensuration, dégagée de quelques particularités qui la compliquent, fut essentiellement composée de denx parties distinctes, dont la disposition relative est représentée, fig. i 1', par les ares de grand eercJèSS,, S, 8 ., traces consécutivement sur fine même sphère snpjKisée osculatrice à la surface terrestre, dans la région où Ces arcs sont décrits. C .désigne le centre de cette sphère, CP son rayon , parallèle jul’axe de rotation tlu ciel, et P le pôle auquel tous lesméridieitsr de son hémisphère septentrional Vont converger, rîn partit du points, le plus voisin du pôle, et ayant détermine, par des observations astronomiques, la direction du méridien propre à cctte'stiirion , on mesura sur son prolongement un arc SS,, qui, exprimé en pieds anglais, fut trouvé égal & io4f)88l>'l,,4 • AJors des obstacles naturels obligèrent à dévier quelque peu vers l'est , pour suivre un autre arc de grand cercle S, S^sttr lequel 911 continua la mensuration jusqu’en S,’ ; et la longueur S,S: de ce second ■ arc fut trdiivéè' égale à 43foi 1 C’est pourquoi on détermina de nouveau la direction du méridien PS,, propre k cette dernière station S,;ctayant relevé celle des signaux précédent* relativement à elle, on reconnut que'l’arcSiSjs’en écartait vers l’ouest d’un petit angle aziinutal égal à 3° 43,' 3o". Les distances du pèle réleste au zénith fq l'ont observées aux deux stations ex trémosS, S,; mais, pour obtenir leur intervalle terrestre, tel qu'il aurait etc si on l'eût mesure tout entier stir un même méridien , il faut évidemment faire subir à l'are oblique*S,^, tuie Réduction. Car si, paa les points S, S,, on conçoit deux parallèles terrestres. SM , S, Mi, décrit* imUnn du

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“ i-llïslvil K/ * v i *

l»(')W P*romiiii',cciitïv.,*on pourra bien ifflnspoHer idéalement l'arc SS, , en M M,, sur le méridien de S , sansaltéfer sa longueur,

| «risque tous les méridiens sphériques s«q| pareils. Mais il faudra ensuite trouver l’arc M, S, qui le complète sur ce même méridien , pour pouvoir l'ajoptef-à M M, Comme prolongement; et tetckrci M, S, doit être évidemment moindre que l’oblique S, S, que l’on a mesurée. 'ISousealeuleronS', plus loin, cette réduction exactement^, et nous la trouverons égalé à r)3?.iMl!‘,45 , dont il faut diminuer l'are • S, S., pour avoir M, S,, ce qui donnera celui-ci égal à 'p3o7ç)YJ', 1 5 Mais, déjà, la petitesse de l’angle S,S,M, iiiontrequ’on obtiendrait une valeur lies- approchée de M, S, en considérant S,M,S, comme un triangle rectiligne, rectangle en M,,'dont S, S, serait l’hypoté mise ; auquel cas .on aurait M, S, égal à S,S, eos S, S, M, , ce qui don lierait pour sa valeur q33(K)4 '“'‘,69, excédant seulement de sa valeur exacte. On pourrait donc employer ce résultat comme Une,, première évaluation approximative, qui servirait à trouver l'arc méridien total MS,, compris entre les parallèles des stations extrêmes, et par suite le rayon'dp la sphère osculatrice locale; résultats que l’on corrigerait ultérieurement par un second calcul, fonde sur l.i.

\ «leur ainsi obtenue de ce rayon. Pour éviter ce détour, j'emploie-i rai de prime abord les résultats définitifs , avec la petite réduction do 1 51^*, 54 due à la courbure sphérique du triangle S, M,S2, sauf à prouver plus tard que la longueur approximative du rayon te s restre qu’on obtiendrait sans en tenir compte suffirait pour calao - 1er très- exactement sa valeur (*). L’are oblique M, S, ainsi réduit

Èt 1

(*) Pour apprécier l'exactitude de c« raiaonncnicbt, il n’y a quTnjlliÇTntTV calcul du degrc arec la valeur de MS, supposée égale à qîîaçjtf''1' Jh if,, lie,, de 433079^1,1 5. Ln l'ajoutant de méhièà SS, où’i non égale MM, , ,|,h è.-Slufgfep* /( ( parc méridien lotal comprit entre les parallèles do S et do .1, * sors, 5J8067 llJ,,S5 -+- if>l,J,,?>4" H faudra encore l'augmenter derioP'lm, ti 'fi pour réduire Je mesurage à In température do ibP,a5, ce qui domfefii 538oj8P,,,,3iJ-t-i.‘>P‘*‘(5.j. I£u divisant cetto somme par l’anghiu " aÜ'4.5", cnn^ < pri» ontre les verticales extrêmes, la longueur do drjjré .se\agvnim.il du 11 me par cetto prruiièro approximation sera

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Or, on verra phis tard ,pie ecitu prrnifére eralualiog, m:d(jré la pertidÉ-rreiir*

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sera dune 433o94^s >69 — i5ild‘,54 ou 433079^', iô. En l'ajoutant à SS, ou A son égale MM,, quittait io4<)88f>',',4, °n aura pour somme MS, égala 538oG7*Kl'f5i II faut ajoutera ce nombre ioi1<l',84, pour que les chaînes métalliques employées S la mensuration se trouvent ramenées à la température de 6o° Fahrenheit, ou 16* £ du thermomètre centésimal, ' qui était celle ;t laquelle la toise de la Société royale de Londres était rapportée comme étalon de mesure. L’arc total de méridien MS, ou M , compris entre les parallèles des stations extrêmes , était donc ainsi égal à 538o78!mU,39 (*).

Maintenant, les distances du pôle au zénith, observées aux deux points extrêmes S , S, , ont'été trouvées telles qu’il suit :

• V la station la plus australe S, . 5i°3?.'2l>"

A la station la plus boréale S ou M V. *. . y-. . 5o° 3'4«

Différence, ou angle compris entre les verticales extrêmes 1 "2 8' 4 5"

HT. Pour obtenir la longueur du degré terrestre qui résulte de ces observations, supposons la terre sensiblement sphérique, dans une petite étendue autour des points observés; ou, ce qui revient au même, considérons ces points comme situés sur la

<lo ioH*,5i (jui l'affecte, aérait très-snllisuninienl exacte pour calculer la réduction que nécessite la sphuricite du triangle S^M,, ce «jui tient au peu d’çtonduo de ce triangle et à la petitesse de l’angle aiimntal en S,.

„ £») Voulant présenter cette opération plutôt comme Tun exemple que comme un modèle définitif, j'ai omis plusieurs particularités de détail qui en auraient inutilement compliqué l'exposition. Ainsi le premier arc SS,, fitf. 11, n'n pas éla effectivement mesuré sur on même méridien, mais sur trois portions tfc méridiens différents ; et les extrémités de ces portions qui se suivaient ont été placées, par des observations astronomiques, sur îles ares de parallèles qui lenr étaient communs. J'ai donc pu, pour simplifier le raisonnement, les transporter sans erreur à la suite les unes des autres, sur un méridien unique, comme elles s'ajoutaient numériquement l une à l’autre dtius l'évaluation de l’arc total. Les personnes qui auraient la curiosité de couuaitre les détails matériels de cette operation lus trouveront rassembles dan» les Transaellons philosophiqurs de l"f)S , page V)\ ; leur exposé est suivi d'un Mémoire de Maskelyne, où cet astronome en a calcule les résultats. J'ai adopté scs nohnbrgs comme suffisants pour un exemple numérique • bien plulùt qu’i titre rlc nn dèle Han* ce jjenre de calent.

sphère locale , qui se confondrait avec la surface réelle dans la région oii l’opération a été faite. Alors les arcs de méridien mesurés sur cette sphère seront proportionnels aux angles au centre compris entre les verticales qui les limitent. Ainsi, la longueur DW .

d un degre sexagésimal y sera ~ ou , en nombres

ronds, 363771 pieds anglais, sur la partie du méridien où la distance du pôle au zénith est , en moyenne , 5o°48'. Si l’on veut exprimer cette longueur en anciennes toises françaises, identiques à l’étalon en fer adopte par l’Académie des Sciences, il faut savoir que celle-ci est, par rapport à celle de la Société royale de Londres, comme 76,734» est à 72; d’où il suit que pour convertir le résultat precedent en

pieds français, il faut le multiplier par -7.-' et si l’on vent cn-

suite l’exprimer en toises , il faut le diviser par 6 , ou , ce qui re-

vient au même, le multiplier tout de suite par —r, — On ob-

tient ainsi 56888 toises pour la longueur de i° du méridien à la latitude de 39" 1 1' 56",5 moyenne entre les précédentes. S’il s'agissait d’un degré décimal ou d’un grade, il faudrait réduire le résultat précédent dans le rapport de 4°° à 36o, Ou , ce qui revient au même, il faudrait en prendre les ce qui donnerait 51199', 2 pour la longueur d’un grade à la latitude de

Si la terre était exactement sphérique , on pourrait , d'après ce résultat, calculer ses dimensions. Car la valeur de 1 degré sexagésimal étant 56888 toises, la circonférence entière serait

36o. 56888= 204791180 toises. En multipliant ce nombre par . i

lia * r

rapport rapproché dn diamètre à la circonférence , on au-

rait le diamètre de la terre égal ù 65 1 8884 toises , et son rayon 3a5p442 toises. Mais ces déductions 11e peuvent être considérées qne comme provisoires, jusqu’à ce que nous ayons comparé entre elles les mesures des degrés obtenttes ainsi, dans diverses régions, pour des distances moyennes du pôle au zénith très-inégales, • afin de découvrir s’il existe des différences appréciables eutre leQrs •

*snvoMOMir.

longueurs, ce qui ilecelcrail que la surface terrestre s'écarte d'une sphéricité rigoureuse.

WJ. Toutefois, les résultats ici obtenus vont déjà nous servir l>our démontrer l'exactitude de plusieurs considérations approximatives , dont j'ai fait lisage dans la série des raisonnements, et je vais les reprendre , en suivant le même ordre dans lequel je les ai introduites.

La première, c'est que chacune des règles employées à la mensuration étant rendue normale à la verticale qui passe par son milieu , peut être censee se confondre avec le petit arc terrestre dont chacune de ses moitiés sont les tangentes.

Pour nous en assurer, nommons a un petit arc pris sur la uir— V conférence d’un cercle dont le rayon soit 1. Cet arc, étant moindre qug 45*, sera exprimé en fonction de sa tangente par la série suivante, qui sc démontre dans les éléments de géométrie :

a = tanga — ÿ tang'a ~h -j tang' a. ... ; w

Plus l’arc a sera petit, comparativement au rayon pris pour unité, plus la fraction qui exprime sa tangente sera petite, et inversement. Si cette fraction devient si faible, que son cube et ses puissances supérieures dépassent l’ordre de décimales que l’on croit |K»uvoir apprécier , l’arc a se confondra avec sa tangente daus les mêmes limites d’approximation.

Soit maintenant A un arc de cercle qui soutende le même angle au centre que a , dans un cercle décrit avec le rayon R. La proportionnalité des lignes homologues dans les figures semblables donnera

A =>jR, tang A == R tang a.

Si l’on tire a et tang a de ces 'égalités pour les transporter dans notre série, elle prendra la forme suivante ’’ »,

. , tang A , tang A

AjâdangA — 4 — -g— i J2

ét la limite d’évaluation de A en tang A se terminera de même aux tenues du second membre que l’on ne pourra plus apprécier physiquement , ou que l’on croira pouvoir négliger.

* Qia^zccfby CüQgh

, «ivsiyiiK. 5q

C’est précisément pour la réduire au premier de ces termes, ijue L’on restreint les règles de mensuration à de très -petites longueurs. Supposons-les , par 'exemple , de 2 toises comme dans les opira tiens faites en France; la moitié, i toise, sera tangA Or, l’operation de Pcnsylvanie nous a donné, en toises,

Quoiqu'elle ait été faite sans la correction que nous voulons ici apprécier, l’erreur qui eu peut résulter dans l’évaluation de R ne peut être que très- petite ^rnurae cette correction elle-même. Nous pouvons donc , sans cercle vicieux , employer la valeur ainsi obtenue de R, pour calculer les termes de notre série où elle entre comme diviseur , la limitation de tangA devant évidemment les rendre d’une petitesse excessive. Et le résultat même nous montrera s’il aurait été nécessaire d’en tenir compte dans le premier calcul de R. Or, en considérant d’abord le premier de ces ternies, et l’efaluant par logarithmes, on trouvé

~ 373*594^7.)* ~ °T>0000° 00000 Oo°3i 3j56.

Telle' est donc la valeur de ce premier ternie pour une seule demirègle , et tons les suivants seront encore progressivement bien plus petits. Supposez âoooo règles entières apposées ainsi bout à bout, c* qui composera un are plus grand que celui de Pensylvanie. La somme de tous les termes pareils sera celui-ci répété 100000 fois, c’est-à-dir» ; c ,-j

oT, 00000 ooo3i 3j56i ou , eu lignes , o* ,00000 2710H 5iB4-

Cette somme sera donc tout :’i fait inappréciable aux procédés de mensuration les plus précis ; et ainsi la correction dont elle résulte a pu être très-légitimement négligée dans l’opération de Pensylvanie, comme dans toutes les autres du même genre, mais seulement, toutefois, sous la condition que la mensuration est faite avec' des' règles ou des chaînes’dont les longueurs sont sullisamment restreintes, comme nous J’avous suppposé ici.

>9. Il faut in.tiiîlenant légitimer la (iclLte coi rectinn de 1

que j’ai dit avoir été nécessaire dans l'operation de Pensylvanje, |K)ur projeter sur le méridien de la dernière station la seconde portion d’arc de grand cercle qui avait été mesurée dans une direction tant soit j>eu différente; ccd me donnera lieu d'exposer divers théorèmes approximatifs qui , non-seulement vont .nous servir dans ce cas spécial , mais qui nous deviendront ultérieurement indispensables, pour calculer toutes les autres operations analogues , dans lesquelles la mensuration directe de l’arc méridien a été suppléée, en partie, par une triarqplation.

i part

Soit a un arc de cercle exprimé en parties du rayon pris pour unité de longueur. Lorsque eet arc n’embrasse qn’un petit nombre de degrés , son sinus et sa tangente, exprimés en parties île la même unité, ont avec lui des relations de'grandeur, représentées par les quatre sériés suivantes , qui sont toujours convergentes dans le cas suppose de limitation (*),

sin x = a — 7 a‘ + TTî 4 .

tanga = a -4- i*3 + —a1.. 4 * •

a = sin a + 7- sin'a 4- sin1 a./.; " • a — tanga — ~tang a ÿ taug'a....

TB

Prenez, dans chaque série, le logarithme tabulaire des deux membres; et, séparant le logarithme du facteur qu’l est commun à tous les termes du second membre , développez en série le logarithme de l’autre laéteur dont le premier terme sera toujours i* Pour abréger ces expressions, nommez k le module direct des Tables logarithmiques, nombre dont la valeur et le logarithme tabulaire sont {’*) * ,

= o,434 29 448|g..., log/ = 1,63778431 13...*

(*) Ce» séries sont démontrées dans le tome I du Trahi du Calcul lui cl intrçial de Lacroix j la première, page 65; la deuxième, page ->55; •* « troisième, page a5l; lu quatrième, page 69.

4 f-**) Veye» , dans le lomo U . pape 437 ' fa déflfSitioA que j’*i donne*

expression» module direct cl module mcei • des Table» lbgnnlIimiqOri

Dig

Vous trouverez :

PHÏSIOUK.

1 A portion ultérieure'- des seconds membres que je n’ai point écrite, commence par des termes do sixième ordre. Ces sériés ont été données par Euler sous des formes qui nioutreut les lois de leurs coefficients numériques, ce qui permettrait de les prolonger indéfiniment. . • * ' . •*. - ?

00. Dans les applications t|ii’oq en fait aux calculs des opérations que nous voulons considérer, l’arc a, exprime eu parties <lc la graduation du cercle dont il est un élément, est toujours moindre que 2“ ou 7200" sexagésimales. Or, en le restreignant à cette limite, les deux premiers termes du second membre suffiront toujours pour avoir la valeur du premier, avec une exactitude que les observations astronomiques et les opérations de mensuration sont loin d’atleind.re. >, *4

Pour établir ce fait, il faut considérer que, dans ces formules, l'arc a et les lignes trigonométriques qui s’y rapportent, sont censés exprimés en parties du rayon du cercle pris |>our unité de loogueur; de sorte que les égalités indiquées ont lieu entre des nombres abstraits. Il convient de laisser celte forme aux lignes trigonométriques, qui sont toujours données ainsi par les Tables usuelles. Mais, dans les termes où l’arc a entre explicitement, si nous voulons , pour notre épreuve, l’exprimer en secondes de degré, il faudra diviser la valeur qu’on lui attribuera par le rayon plie ert arc et exprimé de la même manière, afin de conserver à ces termes la même valeur abstraite qu'ils*sonl suppose repiésenter. Je désignerai cette explosion du rayon du cercle par R"; et, comme l’Usage en revient sans cesse dans les galculs que nous aurons à -effectuer, je donnerai ici, une fois pour toutes, sa valeur et