T y. ssthiüvç’isik r
celle de son luyaritliiiu’ tubulaire , avec benttroti|> plus tletlecimales qu'on n'aura jamais besoin d’eii employer. Ces valeurs sont
logR"= 5,3 1442 5 1 33 r 7645946047- L
J’explique en note le calcul numérique par lequel on les obtient (* .
(*) LesvalXmi de R " el de log R” que j'ai .rapportées icj s'obtiennent de la manière suivante. Soit a le rapport de la circonférence au diamètre qui su déduit de la comparaison des polygones réguliers inscrits Ot circonscrits Si Von désigne par C la circonférence d’uu cercle dont le rayon, es prime dans la même unité de longueur, sera H, on aura évidemment
JaR - C, " • 1 *
et
l is ,
Prenons pour unité de longueur Parc qui soulcnd, au centre du cercle, on angle égal h 1 seconde de degré sexagésimal. La demi-circonférence jC comprenant. 180”, lu nombre total de ces ores qui coq) pose son contour sera 180.60,60 ou 648000. Remplaçant donc JC par cette évaluation, Use trouvera exprimé dans la même espèce d'unité; e«, en les désignant p»t l'indice usuel *, 011 aura
Le nombre ta a été calculé avec beaucoup do patience par plusieurs mathématiciens, dont les résultats se sont mutuellement vérifiés. Wcga, dans ses Tables logarithmiques, le donne jusqu'à i$o décimales, et son résultat est rapporté par llelambre à ln page a5 de la préface des Telles de Borda Easu bornant à au décimales, on a
rs — 3, 1 4 1 5g a6535 89793 a.Ufjti, et log ct = 0,49714 98726 941 33 85435.
Le nombre 648000 . étant divisé arithmétiquement par a , donne R”, tel que je l'ai rapporté duns le texte. Pour trou-er le logarithme tabulaire de R”, prenez, avec le même ordre de décimales, les logarithmes des deux Icrines delà fraction qui l’exprime, et vous l’obtiendrez, par soustraction, connue il suit :
~ log 648000 = 5,8i 107 5oo58 70693 3348a log a =.0,497)4 98736 g4>33 85435 log R* = 5,3i 44'i 5)33i 76459 48047 commo jc l’ai rapporté. tf. .
Puisque la seconde de degré sexagésimal esl prise comme unité dgns !’«*•
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Supposant (Iniij- , dans ce tjui va sutv te , quel'aii: x sera exprime
en secondes , je remplace la lettre qui le représente par -, > ’
pression .la 11', si l’on retranche ce logarithme do celui .le l’unité qui est o on aura, T * 4
log «,6855; 48('<i« a354o 5i<^53.
Celui-ci, dans ses sopt premières décimales, augmentées d’nne nulle sur ta dernière, reproduit le logarithme do sin i* tel qu’il est indiqué dans le» Tables usuelles. Pour voir la raison de cette roncoutro, fortnous l’oxpreseion du logarithme de ce sinus parles séries rapportées dans le texte. L’arc a devant «lors être I*, il faudra l’y représenter par sop rapport au rayon réduit aussi
en secondes, c'est-à-dire par on aura ainsi f.
-'^Ka-V-TU v 'v
•m m Sf* » *é (a «? JSFjM
lit* premier terme de sa valeur se trouve atu*i être log ( jry j , et Tou voit que
loü suivants no pourront y ajouter quedes décimales trés-cloignêes. En effet, si I on calcule seulement le second avec les logarithmes que j'ai rapportés, ü . et en prenant pareillement celui de 6 avec dis décimales, on trouve
loc [g (^») ]
rVBBPP W , . jQËttJtm- r»
Le premier chiflre signifleatil du nombre correspondant «era donc nue décimale du treizième ordre, et Ira termes suivants seront évidemment Bien plus Sx petits encore. Conséquemment, dans les Tables usuelles où l’on se borne à
sept décimales, le log sin i" doit être exprime par le log , limité de la même manière, comme *-r» effet nous le trouvons. .
0 après Cela, lorsqu un arc a, donné en secondes, est assez petit pour que le eu bu dosoo rapport à U” puisse être considère comme négligeable. oiT |Ki*it, dam cette concession d'approximation, prendre
1 sin oc* sin i*, et aussi tang *’== tx" sin i*;
en effet, les développements complets donneraient ^ V, ^ *
Puisque la peti^tcis. supposer de ( ^ j permet de borner ces ci pressions b* ,
’ rm
■ \V! nOM.'IIK .«* ' A
dans les termes de nos quaire égalités qui la amjieiment hors des signes trigonometriques ; et, limitant les séries à leurs deux premiers tenues, que je vais montrer devoir toujours nous suffire, flous aurons
log S1I1 a = — log R'' 4- log a — ^ ^7-, : ■
log tang a == — log R" -+- log a -K * , 5
log a = log R" 4- log si n a 4- ^ sin’ a ;
log a =4-logR 4-logtanga — jtang’a.
Pour éprouver ces expressions ainsi restreintes , je suppose l’arr a égal à 2° ou 7200", valeurs toujours supérieures à celles qu’il 'pourra recevoir dans les opérations geodesiques. Alors il faudra le remplacer ici par le nombre 7200. Avec cette donnée, j’évalue d’abord logsin a et logtang a par les deux premières égalités , en me servant, pour plus de précision, de Tables logarithmiques à dix décimales. Puis je compare le résultat aux valeurs exactes de ces nièmes logarithmes prises avec un nombre de décimales pareil Jé trouve ainsi :
logsin u calculé par a , répond à a = an 4- Û",oooo582{
logtangacaleulé par «, répond à a = 20 — o",ooo83 36.
Je repète la même épreuve sur les deux dernières séries , en prenant alors pour données les valeurs exactes de logsin a et de sin«, ou de log tanga et de tanga, telles que les Tables les donnent ; je •trouve ainsi :%r; ' 1;? fi ' m
log a calcule par sin a , log a calculé par tang a ,
répond à a. — 2° — o",ooot>5 i5; répond à a= 2° — o",ooi54 34-
l*ur premier terme, il h’y a qu’à remplacer, dans ceux-ci, ~ par ainl*,
auquel il est'cquitaleiil dans Ica Siépies limites d'approximation , cl l’on aura -les expressions annoncées. Comme on en fuit un-freqnent usige dans les nppiications^je n’ai pas éru inutile do démontrer le principe sur lequel <elleÿ.r*flosei.l ; mais j’y «msserverai plus habituellement le rayon R' en évidence, pour nijeux rappeler Je vrai Wms des rappôrtaVmployos.
Digltized by Goi >
MYSK^Vfe. * 65.
Je montre en non- le ifctail décès vérifications par un exemple^/» or, les observation* les plus précisés d l'anjjlesjjt’ i>fciivqnt jamais atteindre les niiHièmes de seconde: > Nos «plâtre (oXpressimis . ainsi restreintes, seront donc toujours pàiTaitcnsent suffisantes lorsque l’arc x ne dépassera pas, 3® Les. deux premières fournissent
— v. J >V:- ■ '..-r Jl— — 4 —
(*) J<* ftu^pose qüe lV>n.v<‘OÏlte tÿrifierjt* dflfttr IcAftiyck do IVxpnv**- ■<ioliy Pox\f uc* n**c i coite cxprdbsion e*l « ** »
log sin *^=— tb|'B "-* log sç —,
:s*R ** * , H VPV H
« devra y être remplace par 7300. 'Je prends le J ogs si ihpn e de ce nombre avec dix décimales, et, restÉtignnnt celai <lo R* de la ml'mc manière, le raljpl s’achèvera comme il suit : .
Rt * *v 0 RT
Ip^T^oo^ ^«P5;33 a4<)G4
-log IT =- St3i4^f)i V.
éf Cf 1
*5Éd
a,6(ii)<i çîfiîi é* V*
lo(T ( jp) ^ ^.o358i 47a»i4
* tV-^gjpr, — — 0,00008 8içj58
nb log ain ». ==
* log sin 3° =
hveoe de la formnle. .
ü St- 3»
tfW»
ü ,8 :k/x3 3oGik>
Le logarithme exact de sin 3°, ici rapporte comme élément de comparaison , est pris dans les Tables de Ifrigés intitulées Tngonomrlria Üritanmlca. Les trente-cinq unités «l’excèi , dans les derniers 'chiffres dir l<lj;aritfcmo calculé par notre formule restreinte, répondent à un excès d’a^c égal à o',oooo5 8306. Il du résulte donc que le log sin a/ainsl conclu des deux premiers termes de nos séries, ne se trouve pas être exactement celui de-i^0, mais de ?o-t-o*,oooo58xp6, romme je l’ai dit danslc lexlc. Les limites d'exactitude de* troi*. autres expressions, qui donnent log tnng » et log », s'obtiennent par un calcul -absolument pareil.
11 ne sera pas i-intileidc reproduire ici une conséquence que l'on a fre- . qticrtiment occasion d'appliquer, mais de laquelle ceux qui l'emploionl ne "se rendent p.-iktopyours un compte exact. Supposons qu'au lieu do prendre l'arc « égal a î° , on le lasse seulement égal à 1 seconde. En appliquant il ce cas nos expressions approchées de log sin » el de log tang a , il faudra remplacer l’arc «” pari j et, en se bornant encore à dix décimales, on aura
yr
btj ASTRONOMIE
U» moyen très-coin mu Je, pour obtenir lr logarithme Ju sinus ou de la tangentjj d'un arc borné à cette limite^ et dont la valeur donnée contiendrait plusieurs décimales de seconde <pie l’on croi-’ rait occasionnellement uc pas devoir négliger. Car on obtiendra ainsi ces .logarithmes plus eûcféinenL. et plus uisement, ipie si on les déduisait des Tables par les parties proportionnelles. *
■ Veut-on connaître les valeurs linéairesque^représen tentles quatre erreurs que nous venons de calculer, eu supposant que l’arc de 2“ qu’elles alTectcnt soit pris sur le contour d’un grand cercle de la terre supposée sphérique? Pour cela, il n’y a qu’à se donner, par anticipation, la valeur moyenne d’un degré terrestre, que nous trouverons bientôt être 57014, 5 toises, de l’ancien étalon adopte par l’Académie des Sciences. Alors la soixantième partie d’un degre, ou 1 ', sera 95oT,24'7> et la soixantième partie de cette minute, ou t",sera i5t,83736. Multiplions maintenant parce nombre la plus grande erreur de nos séries ,. qui est o",oot 5434 .pour un arc de 2°; le produit sera oT,o2444^» 011 > en lignes, 2tl,iig. Cette quantité serait beaucoup trop faible pour qu’on pût espérer de la saisir, sur la longueur d’un si grand arc. F.t l'erreur d’évaluation
il’atiorit, pour leur premier terme, * •
log 1 = 0,00000 OOOOO
- log H” =- 5,3i4',2 3i332
log ^ — G ,G8‘i57 4*068
t OC* * À St*
Alors les termes correctifs — "l" 3 jp, > ‘lu* complètent log si 11 a
et log tanga, se trouvent avoir leur premier chilTrc significatif dans le treizième ordre de décimales seulement ; de sorte qu’ils ne changent rien aux
dis premiers, qui sont donnés immédiatement par log i;. Les termes ultérieurs des deux séries, si l’on avait voulu les conserver, auraient, sur l’expression totale, des influences progressivement moindres. Le log
trouvé ici représente donc log sin 1’ et log tang 1", jusque dans les dix premières décimales de leurs valeurs, ce qui permet de le prendre comme lent étant équivalent, quand on ne vent pas aller au delà.
• * ■> a MM'SIQVF.. f| n •J
qu’elle ruprcsen le deviendra encore plus petite, dans la proportion' des amplitudes, pôur des arcs moindres, comme sont toujours ceux auxquels on a occasion d’appliquer les expressions precedentes. On pourra donc la négliger sans hésitation. *
Gl. On peut représenter par des développements analogues toute fonction de l'arc a dont la forme serait, donnée. Supposons, par exemple , que l’on veuille exprimer ainsi les restions de la corde avec l’arc qu'elle soutend. On aura , par définition ,
corde a = îsin-J a.
Rapportons d’abord l’arc a au rayon du cercle pris pour unité de longueur. Si l’on veut avoir la corde en fonction de l’arc , il faudra développer sin ~ a suivant les puissances de ~a. Si l’on veut, au contraire, l’arc en fonction de la corde, il faudra développer l’arc -j a en fonction de son sinus qui est j corde a. Effectuant donc ces opérations, et faisant ensuite disparaître le dénominateur commun 2 , on trouvera d’abord
•ritrde a — a — a3 -+-
et
a = corde a jj (corde a)1 -+- (corde a)1. . . .
La petitesse des fractions 7777, ïtt> qui multiplient les puissances cinquièmes, montre d’avance qu’on pourra toujours négliger ces termes, pour des arcs moindres que 2". Alors, en prenant les logarithmes tabulaires des deux membres de chaque égalité, et restreignant les développements à leurs deux premiers termes , on trouvera
log (corde a)=log a —
loga= log(cordea)-)- — ^(cordeal1 ;
ou , si l’on veut exprimer l’arc a en secondes de degré , hors des signes trigonométriques ,
log corde a = — log R" log a — — — ,
log a = log R" -t- log (corde a) -)- —, (corde*)'.
ASTRONlOfll
* il'* , .1.
• «tiü. Dans les applications, il Arrive souvcpt-4|uc l are a n est pas donne par sapyaleur an gblaire, mais par la loDgnnir A qu’il occupe sur un grand ceroflMe la- splièrè où il a été mesuré linéai- * remeijt. Alors op peut vouloir (-(«naître * sur ce piêmc cercle, les longueurs absolues de son sinus,, de sa Ignganto ét de sa corde, que je représente rîÿpectiVcinciit par sm A , tang 4 > AV Or, elles se déduisent egalement de rios formules approximatives, en ’ supposant toujours (pie l'arc A n’occupe pas , sur son cercle, un qui dépasse,*0. En effet, désignons par R Ip' rayon de ce «prcle , exprimé dqjis la même espèce d’unité de longueur que rtire A. Si l'on nomme à l’arc qui soutend le même angle dans un «>rclc dont le rayon serait i, la proportionnalité de< lignes homologués, dans les figures semblables, donnera évidemment
** • « i, - fti, e-
A BU sin A == R sin a , tarig A = B tang a ,
corde A = R corde a.
Tirez donc de ces égalités les valeurs de a, sin z , lang a , corde a,
et celles de leurs logarithmes tabulaires , pnis substiniez-les dans les développements que nous avons formés, cii les bornant toujours à leurs deux premiers termes que nous avons reconnu devoir toujours suffire pour un arc d’üne telle amplitude. Il en résulte» l’ensfcmbh' des formules approximatives suivantes
s.nA = A-è-,
« . i sin'A
A=smA + g -Rj-,
corde A = A — ,
aq R
logsin A = log A — g - 1
tant: A — A
1 tang3 A • A = tang A — - — - — , b 3 R’
log A = logsin A loe corde A = log A 7 — 1
/• sin'A 6 ~K A A'
A =7 corde A -+-
log tang A = log A
log A log tang À —
1 (corde A) i 7.4 R!
A tang3 A 3~R^’
log A 7= log (corde A) -t
A (corde A
PHŸMlltf*. (St)
«u il tant toujours su rappeler que l’otï a, -en se bornant à dix décimales, . *
o, 4342#) 44^ ‘•îi log X t ,(î3'75^,43‘i i3. k
On peut remplacer le rayon H par sa valeur en fonction du degré sexagésimal , inespré sur le cercle auquel l’are A appartient. Car, soit D(°' la longueur de ce degré exprimé dans Ht même espèce d’unités linéaires que A. D’après ce qui a été démontré dans la page 42 (note), si l’on fait, par abréviation ,
