IV

et* log o>= 1 ,75812 26334. s

Toutes ces expressions ont été données par Delanibre dans le tony U »le l’ouvrage intitulé : Base du Système- métrique lU'cimnl. Iantr principal avantage consiste en ce que, lorsqu’on veut calcules leur premier membre, par l’élément du second «pii se trouve actuellement donné,’ la partie principale de (à valeur cherchée s’obtient immédiatement par jtellc de cet élément même, et* le rayon R u 'entre que dans les tenues correctifs, toujours très-petits. Ainsi la longueurlincaire decc rayon, ou du degreD(0) qui le représente, , n’a pas besoin dlétre connue av'ec la dernière rigueur, mais seule ment par une évaluation approximative. Cela est rendu évident

par la petiteSSe du facteur — ou — $ qui affecte tous ces termes, et

<pii atténue ainsi les erreurs qne l’on aurait pu commettre dans l’appréciation du degré D "Vie rapport devant être toujours

moindre que 2. Alors', quand on applique ces formules a des 111esu res’ d’arcs%néridienp , effectuées dans une„région quiconque de la terre, on pourrait, côrVnnc première approximation, calculai les ternies correctifs, èn donnant au rayon R la yaleur que l’on** ownclnmif de -ces mesures mêmes , en faisant d’abord abstraction de ces terniéS; santal le* recalculer de nouveau plus exactement

•JO ' ASTRONOMIK

lorsque l’ensemble de tous les résultats aurait fait mieux connaître la valeur locale qu’il convient de lui attribuer. Mais, dan» l'état actuel de la geodésfe, ces valeurs du rayon R, tr ès-pe u différente! les unes des autretft sont déjà, 'connues partout assez approximative- • ment par les opérations déjà faites, pour qu’on puisse les employer de prime abord dans calcul des termes correctifs , sans passer parle détour de la première évaluation que l’on obtiendrait en les négligeant; et cette conception , qui ne fait que prévenir lés conséquences d’une rectification ultérieure, permet d’a rriver di rectement aux résultats locaux définitifs, sans avoir l’inconvénient d’un cercle vicieux. >, ‘ * » . ?

65. Il n’y a que deux cas où il devient indispensable d’avdif les valeurs locales de R ou de D<s) avec une plus grande exactitude. C’est lorsque, l’arc A étant donne en mesures linéaires, on veut en conclure l’angle au centre correspondant * en secondes , par son

expression algébrique a = - R", sans le déterminer astronomi-

queinent par la mesure de l’angle céleste compris entre les normales qui le contiennent; ou, réciproquement, lorsque a étant ainsi

»donné, on vqjit en conclure l’arc A par l’expression inverse A= —

Alors, pour effectuer exactement de pareilles conversions, où le , rayon local R entre avec toute sa valeur, il faut avoir préalablement déterminé la figure générale de la terre, avec assez d’universalité, comme de précision, pour pouvoir assigner théoriquement la longueur absolue du rayon R en un point donné, par exemple au pôle, ainsi que les lois de ses variations à partir de ce point. Mais on verra, dans les sections suivantes, que l’ort arrive à ces deux résultats sans avoir besoin d’effectuer des conversions pareilles; ce qui ifs ramène à n’étre que des applications finales, et exclut tout cercle vicieux dans la marche phr laquelle on y parvient. C’est ce que j’ai voulu faire pressentir, de peur que cette idée ne s’offre à l’esprit du lecteur.

64. Après ces préparations générales, je reviens à l'opération de Pcnsvlvanie; et, avec le secours de», formules que nous Venons d'établir, je vais calculer la correction qu'H faut faire à Pare oblique

• . 4 .mïSiyiiE • , . 7,

Si S, de bjtg. 1 1, |R>ur. obtenir l’are Al*S:.tlu méridien de la dernière station qui est compris entre le;j mêmes parallèles terrestres. Celte recherche nous sera ultérieurement très-udlc. Car un ealeiil exactement pareil se représente dans toutes les ;opcralions analo-

gues

que nous aurons à considérer,, non-seulement quand on ar-

rivé à leur terme final , mais même pour projeter sur le méridien les diverses portions d’arcs sphériques qui les composent , lesquels sont toujours plus ou moins obliques à cette direction.

Pour éviter les confusions de lignes, je reproduis séparément ici ce système d'arcs dans la fig. ta, en J’y plaçant sur la même ' sphère locale dont le rayon polaire est CP. J y ajoute cette spécification de localité par anticipation , puisque, dans ccttc première (•preuve , qui ne sera qu'approximative , nous pourrions considé rer la surface terrestre régularisée comme étant absolument, splicl ique, et décrite avec un rayon constant. Mais il n’en coûtera pas plus de nous mettre, dès à présent, dans l’hypothèse plus générale d’une sphère osculatrire variable, sauf à voir si nous pourrons déterminer son rayon local avec une. approximation suffisante pour l’usage que nous en voudrons faire, ou si nous devrons nous résoudre à négliger d’abord cette modilication de localité. Ici, celle sphère sera caractérisée par la condition de se confondre sensiblement avec la surface terrestre dans la petite étendue superficielle où l’on a mesuré l’arc S, S, ,• et d’avoir son rayon polaire CP parallèle à l’axe de rotation du ciel. Alors ce sera sur susiipcrlicic que nous construirons le triangle sphérique S, S, M,, dont le côte S, M, représentera la direction dumérwlien de S,, avec lequel-l'arc S, S, forme l’angle observé f. Quel que puisse être le rayon recette sphère osculatricc, je le représente par R , eu le eoncevan! jjxprimé dans les mêmes espèces d’uoiles de longueur qu'on a employées pour mesurer l’arc S, S,.

Maintenant, du -point S,, Icplusboreal de l'oblique S, S,, incite , snr nuire sphère , un arc de grand cercle S, IN , |k-i peudiculaire au méridien S,Mt. laJ triangle 'polaire F*S, N avant PS pour liypoK mise , l’N sera moindre que l’S , , parce que l'angle en 1‘ e*l nécessairement très-petit ; el- {jpininc PM, c>t égal a P$, , par consirueiion . puisque les points , M, doivent appartenir à ii^incmc

<J2 • ASTRONOMIE

parallèle terrestre, AtyAjq^-a situç.uir Ic^nqlongciijtnl de en* se rapprochant du pôle, ainsi qu'on l’a représente dans la ligpre. Cela pose, je vais d'abord -calculer l’are total S, N. Je déterminerai ensuite la longueur de l'arc M, N , par la condition que les deux points M,, Si soient egalement distants du pôlt^sur letirs inJFidicus respectifs. Alors, SsN — M IN sera la longueur cherchée,

, dt l'are méridien S, M,,- , v ^ , y- * „ > >t *•*

LA trois jircs tlé grands cercles S, Sj, Sj^N^ S, fi , Jortnent sur nqtrp'ÿhère , dont le ravon est R , un-triaVt^le sphérique, rectangle en N,jdans lequel on connaît l'hypoténuse S, S? , que je nomme A , a Vie l'angle adjacc nt S, S, N égal à 3o*', que j’appellerai i. On Clierche le côté S,N que je désigne par A', et le côte S, N que je désigne par A'. Pour ne pas introduire explicitement dans le calcul l'espèce particulière d’unités linéaires dans lesquelles l'arc A est exprimé, et qu’il faudrait aussi appliquera rayon R , je •ouene idéalement , à partir du centre C , trois rayons, ou verticales, dirigées aux pointsS,’’, S.., Ai puis je les coupe par une sphère concqptrique à la première , et décrite d’un rayon égal à i. Joignant les trois points d’intersection par. des arts dé grands cercles, je forint ainsi, sur cette sphère cent râlé , un triangle sphérique semblable à S, S,N , dont je désigné les côtes respectivement homologues par a, a', S', l’angle i étant commun. Lorsque*' et U' seront connus eii a et /, sur la sphère ,çen traie., là proportionnalité des" lignes homologues , dans les figures semblables, donnera évidemment

ÜJk

t (sv75

,i^= fta'.,

ijKt

il ne restera mesures , avec une approxi-

\lors, pour obtenir A' et A' en mesures linéaires, il i plus qu’a copnailre ie rayon R dans ces mêmes unités de soiScvictemçig ,-si cela esk indispensable, 'soit avec une niation suffisante, si uotispouvons limiter son Influence a de petits termes correctifs , cnt l’éfiminanl des parties priucipafés de A.'vct j de A', pai -.a relation ;nn l are A qui est connu. Or, ce dernier ^ ests esrheurcust^cn^elui q^è'nofre calcul va réaliser^

La lesolutiotl iju triangle repliai rentre dans le troisième pian glcsfyhc iK]uc^PcWHiglc^, qiie.J.ege^raJBfbnsith i

OK

cas dr|g

lians son Traité de Géométrie. Kn* y adaptWjes formules <| u'il donne, on trouve T ; <»• •

W tanga =: tang a cost, sin 5r=. sinjt sin/.p

Si I on voulait résoudre immédiatement ces équations par les labiés de sinus et de tangentes, il faudrait v remplacer l’arc m de la sphère centrale par sa valeur angulaire , qui , exprimée en Secondes, serait — R*^ Cela exigerait donc déjà la ^connaiss.iuce

exacte du rayon R pour remployer comme diviseur dans ceftç conversion. Lorsque les arcs a',’ i' seraient ainsi connus en valeurs

angulaires , il faudrait fnriher leurs vajpurs abstraites *— 5 —,/^uis

les multiplier par R pour avoir A’ et X, ce qui dounerait î l*6Wr luation.de R une Hmusncé inverse dans ces deux calculs. Il est dl>nc très-desirable d’éluder les erreurs que l'inexactitude de cette évaluation produirait dans ces operations réciproques; et cela doit être au moins essentiellement possible pour de petits arcs tels que ceux que nous considérons?- puisque, s’ils étaient si petits qu’on pût les Considérer comme proportionnels à leurs sinus et à leurs tangentes, le" rayon R disparaîtrait évidemment tout à fait de leurs relations mutuelles* Or, en effet, ce caractère spécial de petitesse permet de dégager la. partie principale de A' et de a', qui est indépendante de sa valeur.

60. Pogr cela, les* ares x, a'yd' devant toujours être ici moindres que adegrês 'ntr 7200 secondes , je leur applique les développements restreints que nous avons établis dans la page fin.™ I exprime ainsi d’abord l’arc a' par sa tangente qui est donner; «tant la première des équations (.f) ,. et j'obtiens

a' — taQg’irosé -' — S-tnng* a cos’ /.

Maintenant , dans le second membre, je remplace tanga par soit1 développement en,« , «pii , restreint ,de même à ses deux ""premiers

termes, est

et, en hofujut j/cltiv stihslituUnn aux puissances *d# a qtti ^i’cx-

nj xSTbtwnni r

cèdent pas la troisième, pour rester dans les méiiics.limitcs d’approximation , j'ai finalement «

x! — a cost + {«' cos i sin i.

Opérant de même sur la deuxième des équations {f}, j’exprime d’abord l’arc rV par son, sinus qui est donné, et, en me bornant toujours aux deux premiers termes du développement, j’ai'

$' ~ sin a sin i -1- sin5 a sin1 < ;

alors je remplace sin x pat son développement en a qui ejt dans les

mêmes termes ■

T • sin x = a — •> *• >*

et, en pie restreignant toujours à la même limite d approximation, i’obtions finalement

^ a Si il i cos' i.

Maintenant, pour reporter cés résultats sur notre sphère oscilla trieé, dont te fayop est R , il faut v remplacer les arcs a , a', d',

^>ai leurs valeurs—-' ^ ■> ^ • Alors un des facteurs ^ disparait-des H R R R •

JS

deux membres de chaque égalité connue leur étant commun , et l’on a. .

A'crA cost -+- r' j—cos / sin5 / ; A’= A siitt — f. — sin i eus5 i.

Les premiers termes rie ces expressions , (pu forment la jioriioii principale des valeurs cherchées, sont évidemment ceux que l’on obtiendrait si l’on résolvait le triangle terrestre S,S N connue s’il ejait rectiligne. C’est ce qu’a fait l’astronome anglais Maslteiyno , en calculant cette operation, se fondant sau’s doute sur l’éxtivint petitesse de l’angle t. D’après notre calcul , pins général , on voit que ces premiers termes sont seuls indépendants du rayon R , dont le carré reste comme diviseur dans ceux qui leur Sont .issociès. Mais lorsque les. amplitudes des arcs A sont aussi restreintes

que amis b .supposons , l'excessive politesse Nlu rap|»ort fuit

ravsigur.. -j5

<yj« ce» derniers termes peuvent être calculés avec toute la précision necessaire, d’après la connaissance approximative que Von a toujours du rayon R. Ici-, en particulier, la petitesse de ce rapport est telle, qu'on peut le calculer sans erreur appréciable avecla valeur de R qui se déduirait du degré I)'°), iinmédiatenientevalue- en résolvant le triangle S, SM, comme rectiligne, et supposant que le côté SiM, se confond avec la perpendiculaire S, N. D’après ce que j’ai montré dans la note annexée h la page 55, cette détermination approximative donnerait, en pieds anglais , D^'égal à 363^8 1 8 1 ; et de là on déduit, dans la mémeespèccde mesures,

donc,*logR ==logcü-t-logD'0i,= 7,3189636.

Maigre la petite inexactitude qui peut affecter cette expression de R, elle nous suffira parfaitement pour calculer nos petits termes correctifs f comme je le prouve matériellement ici eni. "note (*j#Kn

(*) l’our confirmer matériellement l'assertion ici omise il a DS le texte, je vais calculer les termes Correctifs de A' et de a', en attribuant à DW la valour finale 3G3--il>d», qui se déduit de la mesure des arcs, après les réductiéns' exactement faites. Je montrerai ensuite que ces mêmes termes s’obtiendraient sans différence appréciable, dans l’ordre de décimales qu'on y conserve, si on les calculait en prenant pour D<°> la première) évaluation approximative ; cela mi dira ppur faire disparai iro toute appa-

rence i^c cercle vicieux. Mais, Cn général, dans cette question comme dans toute autre, où l'un craindrait qu'une évaluation imparfaite de D(°>aie pùt entraîner quoique erreur dans l'appréciation d«f tormes correctifs, comme ceux que nous avonajci -à considérer, on appliquerait d’abord aux arcs observes les corrections obtenues avec cette valeur imparfaite , ce qui conduirait à une seconde évaluation de D(°) beaucoup moins fautive, avec laquclle 011 calculerait du nouveau ces mèmès corrections ; et si elles différaient sensiblement dea première» que l'on avait obtenues, on recommencerait un troisième calcul fVareil pui.ï" un quatrième, jusqu’à, ce qu’on n’y 'trouvât, plus que des variations négligeables. Ici cos détours sont inutiles , connnoon va lavoir, à cause de la petitesse do l'aile i, qv* rend la première approximation très-sullisalUe ; et je n’y emploie la valeur exacte de U(°) «pie pour présenter le calcul cb'finîtifud qu’on l’effectuerait, par une approximation finale, dans d’autres cas du l’on en aurait reconnu la nécenité? '

Les données du calcul nttinqyjque ^pVonl Jonc te!

434oitl'ds,fi, Jn4r3o", 1 ,7:>8rvJbV»t'

l’oiii^jurgir l'cÂecluér ‘av ceRcffa^l dé logarithmes à je

\STHIIMIMIf

l'appliquant nos deux loi-mules, et ofiecfaant aussi le raient direct de Ipurs premier* fermes avec les valeurs de A et de'f qni sont données , on trouve

A'c= 4^3o94i“*%69a 4- oi,d ,2(>4 = 43^094 |lJ’,g56 ;

— s.8i9(>i“,',,747 — ?.8i94|'ds1(7 18.

change (o«-i un 1 — asiu1 1 1 dans-ie terme de A' ou ce cosinus, a pour fauteur l’orc A ; Alors le» formules à évaluer son*

■V-ai- aA sin'r ‘-et

A xs A -.in 1— -t-;.-— smico»* 1.

tnr’ I x»;.

Voici le type des operations, aveç de» logarithmes à sept décimales : 9*

v 1 * »<*. Calcul de A'. ’ .

loff A = 5,03^5oi3 log A4 — l6,(){s5o3() Io0 3 ac a,^rit3

► h>C2 = o,3oio3oo j,^f09, = "1,9990815 lo^u* =' 3,5i6a453

lo|»sip‘|i 3,o*?7>i4 lousin’r = 5,(ri5tip4 Ion U(0)= — il, 1216564

r i5,u5tnvS-

aA sin’ ji. . . f 9(6,908 A 4340! i ,6

s5,u 5oa.iS ,

Acosi 43Î001 .fini .1 A* . ,

* 1 Jéi . 5~ï fiSîi*0*1 V" *• ** ,'->6|<l .

Terme rorr. -+- 0,264 . • au*

A’ ii3<X)4 ,t)56 <>n trouverait, (tour ce ternie, otK,,-aG4'i^ if on*

le calculait en dourturil il lit") la valeur ap-

* *|iroxiniative 3(i378il"l»,8i.' ■

1°. Calcul dr-y. \ ' * A

fo(jA =. 5 ,(>3^5oi 3 loi; A' =i6,9i2.5o3i) lo{^3'.,*l )<">* — i5,i i5oa-a»

log sini 3= a, H 1-36977 lot’slni i- 2,812697

lut; 2= o,3oio3S<>

Terme corr, . — *3029

A. -*Sif>|

4,4501090' '«C®0**' — '.agSi^lo J i i5,4i6i.5jS

■».' . Vafw 19,7233646-

A sim-.. no iyt’ j y47

ad 4T *

On trouverait, pour ce tarmo , aHSo’JûA, si

au la calculait en domum* ^ |1((>) lu valeur'

*■ *•' npprQtimadVe 3H3“8i P*1* ,8i . «►,

tpu-

La petitesse excessive de ces terrtiës correctifs justifie ainsi tç tes nos pl^visiofis. * • x *

(17 . L’arc A' rtu S; N de ta fig. 1 2 étant conrhij il reste à trouver >f,N qu'il Ci ut en soustraire. Pour cela, je remarque <*[ue le point M, devant cire su 1 je* parallèle de S„ par définition, l’arc PM,, compté du pôle P sur nopc sphère osculatriee .est egaj à PS,, qui représénte; sur cette Sriéme sphère , la distance du point S, au polé “P. dominera, condition de tangence est. supposée sensiblement remplie dans la petite étendue superficielle du triangle S.’NS,, le rayon CS, vde la sphère tangente coïncide arec ta normale terrestre en S,‘, er se’ dirige ainsi extérieurement au zénith de ce point. En outre, le rayent CP.dtT cette sphère e£t rente dirigé au pôle de rotatiun de la sphèr«xééleste. Ainsi /à cause de La jmtitesse infinie de la terre ,da distance angulaire du pôle céleste au zénith , qui s’observerait en S, , et fjue je désignerai par rV, est égale à l’angle S, CP, aûé l’arc PS*sqÉ(tend au cenlrc de la sphère tangente. A la vérité ; l’angfed' n’esfpas ici connu par des observations astronomiques, îpii auraient été faitejj précisément en S,. Mais je moutrerai tout à riieùrequ’on peut, avec |#ne approximation suffisante, Je déduire des,observjtions de ce genre effectuées à la station la plus boréale S, fie. 1 1; en les combinant avec* la longueur deT.irc mesure euye S et S,* suivant lîT direction S Sr du méridien même. D’après cela, nogs' pourrons considérer tU connue donrfl* et le supposer représenté par sa valeur abstraite cxpçimeqren parties* du rayon du cercfe firis pour unité de longueur'.- Alors ild' exprimera la longueur de l’arc homologue P S,, sur la sphère osculatriee ipie nous considérons) Je représenterai cet are par I)'., etjg désignerai jiar II' Pare P N, qui est sa projection sur Me méridien PM, S,- Nous yenops , en oiltre, de déterminer l'arc ’pcrpendichlarré S, N ^ que nous avons nommé A'. Si, avec cès^’élemeTUs , on parvient à déterminer P PL on aura, par différence,. .M, N cgaPtl, PS, — P N : ce iera rh*ç»>nn|i<! cherchée!1

iUl. Les trois Jtrs IV, FI'V A' forment siir la sjÿière osculatriee un triangle sphérique rectangle en* N. Si cfonc*, comme tortt’ à l’h^iref on connut frois verticales megees du même centre C aux points S,, N et au pôle P , elles couperont la sphéke dont le rayon

78 «TROSOUnK

est i , en trois points-correspondants, i|ui formeront* sur ceU«*-ci , un triangle sphérique. rectangle dont je désigné par il', 3', les eûtes respectivement homologues à I)', n', A'. Alors, en nommant toujours R le rayon de notre sphère, on aura encore, par proportionnalité ,

n' = R7r'; *A' = Ro'. '

D'^Rrf';

hf

Si , par la' résolution du triangle central, on obtient ir' en fonction de d1 et de 3’ qui sont connues, on en conclura, par l'élimination, les valeurs de II' en fonction de D' et de A', quantités dont la seconde est déjà trouvée, et dont la première se déduiraitde d’ si l’on avait la connaissance exacte du rayon R. Mais on va voir qu’ici, comme dans l’exemple précédent, la quantité M, N ou II' — D', cpie nous avons seule besoin d’évaluer, pourra se déduire dp ces données, sans exiger autre chose que l’évaluation approximative de ce rayon, dont nous avons déjà fait usage. -,

69. Or, l’hypoténuse d' du triangle central étanj'sttpposéc connue ainsique S', on tombe sur le premier cas des triangles sphériques rectangles, qae Legendre considère dans sa Géométrie. Donc , en désignant aussi par/; l’angle polaire NPS, qui est commun au triangle central et ati triangle terrestre , on aura

. co» té.

co s d' ■ cos 3' 1

sin f)

sin i'" sin rl'

Nous venons de reconnaître que A' est un arc terrestre de peu de longueur; <î' sera donc aussi un petit arc de la sphère centrale. Cette circonstance se représente dans toutes les operations de ce genre ; £af , autant que les localités le permettent, on tâche de prendre la station extrême , -ainsi que les intermediaires, peu distantes du méridien primitif , afin qu’on puisse, avec assez d’approximation, les supposer comprises sur les sphères qui sont successivement osculatrices aux diverses purtiesde ce méridien. 3' étant ainsi toujours un petit arc, ir' diffère peu de d'. C’est pourquoi, au lieu de chercher la jaleur absolue de n' par son cosinus , il est préférable de chercher l’excès de d' sur n' qui répond précisément, par proportionnalité, à l’arc M,N que l’on veut connaître ;

PHVSUPÇ. ^

et la, petitesse de ù' permet de l 'obtenir par une approximation aussi exacte qne'farile*,,Pniir le mettre eu évidence, faisons 9m • Jp# - * - • .«V, • A ♦

r sera l’excès cherche. Alors , en formant cos rr' d’après cette expression , et fe si 1 1 ist i 1 lia n t dans l’cquation qui donnait sa valeur, elle devient

- » -4*. ' JR' #•*-

(t) cos </' cos x -i- sin d' sin x ■=. - ,

Il faut maintenant dégager l'inconnue x qui se trouve enveloppée à la fois sous les signes de sinus et de cosinus , circonstance que • l’on a très-souvent occasion de rencontrer dans les applications de l’astronomie. Cette opération conduit nécessairement à une équation du second degrc en sin x , ou tang X x , qno l'on résont , soit avec rigueur, par une exfraction déraciné, soit approximativement , par des séries qui peuvent atteindre uneexactitude indéfinie.

Je rejette ces détail flans une ÎJote placée à la fin de la présente section; mais j’exposerai ici un raisonnement, applicable à tous les cas de ce genre,, et par lequel on obtient, sans peine, les deux premier* termes du-développement de l’inconnue x , ce qui suflft presque toujours dans les évaluations que l’on veut en faire. - •

Ce raisonnement se fonde sur la petitesse prevue de l’arc î, par conséquent de sin x, laquelle résulte de la petitesse de l’arcp\

Or on*a , en général ,