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cosx= (|.— sin’^r)» = i — X sini x Xsjn‘‘*. •« .»•
eos x ne diffère donc de Uunitc que par des. termes de l’ordre fin carré et des puissances supérieures de sin x, lesquels sont d’autthit
plus petits que l’ordre de leur puissance est plus élevé. D’après, cela, on obtiendra une première évaluation approchée desih xfcn faisant cos x égal à l’unité dans l’équation (i). Effectuant donc cette substitution; et dégageant sin x,.on obtiendra d’abord
sin x
COS d' / I — cosV\'
sin d! \ cos ^ /,
2 sin ’ x 3'
tang d' cos 3'
JJq xsiliÿtoMtF.
et parjfinto, dans l,e même ordi«d'approxim;ttion < *
Alors, si l’on substitue dette valeur d&cos x an IWu dëTunhé dans
l’équation ( i) , et que l'on degagu.de noiPveuu’Sin * . rtn «*• obtiendra une seconde évaluation plus approchée, qtt sera
i -r* **Sr jWf» -
*■ - -,in #*5jf + .1 ,
Je bornerai --bette expression ai« quatrièmes puissances de i. S’, et qui setp .toujours pins ^ue suffisant pour les. appUca- ^.viaiMMoea. f nu I :'» . l’IllMl l’P nOlimiinî IP lit HOIlSSf
petitesse auquel oit vcft s'arrêter. Mate', tlajps Tl pK-mielr.teriHf
qui"est*eulenicni de loidrc sin' j r^ développer ^fec-
r — L en sin -7 S ' de la nàaniéil suivant*: .* . *. *
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MP /^ÿ111 * , 4
tls il f^l ^arrêter iux deux premiers terlVies , pÿisqucieltii au-
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ftlau» 11 l^UL kanrin niui uwia prcmici» «
qnel le dév loppement doit s'appliquer, eonmie raÂeurJpt dt^d<
V’ffl [P^P fS ' fi'iAlemcnt , * . ^
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* l’arc De^jjkémplqyèr le^jftppo
Pour ^ewnir de sin j^k J’arè .e*'*f>n yeft ’eniplyver le* .rapport (rtjjalil^ gât la diffère nce tes? île ForarSÉSln* x qui ’repnrttlaîcnl à d«4 ttrmes*de l’oixli'é sin* 7 Æ', Iwtpiéls \îépassèraiêrît les lintttës *d#.0t.e approxmiaftoft actpcTh-r Paf le même mo\if,»on peut rUhiplÿcei^fin’ J 3 ’ par J 31' et i, 3/f. On (Jfnra’ alors ,
* JÈLat£* ! V \ i" ’ .
▼ ? taftjprfjp | \ 2 tang’ ^/'/. t^iig rf'
iséftenl comme on Pubt* refait par lestiriés générales , déve-
preci
loppées en noie à la fin de rette section , en les limitant aux termes de même ordre. Or, nous avons trouvé plus haut, page 74, **
S' = a sin 1 — j r1 sin/ eos’ / ;
en remplaçant S’ par cette expression, et s’arrêtant aux quatrièmes puissances de l’are « , on trouve finalement
,, , 1 a’ sin’ i .1 / , sin*/ \ a* sin1/
d’ — n — — + 7 i-{ cos’ / -t- ) — r.
a tang d 4 V atang* d'J tang d'
Pour transporter ce résultat de la sphère centrale à la sphère osculatrice, dont le rayon est R , il faut y remplacer les arcs a, d', it',
AD' Il '
par leurs expressions équivalentes -, — -, — La valeur de . R R R
D' — Ü', ainsi obtenue, exprimera la longueur de Lare terrestre M, N , que nous voulions évaluer dans la fig. 1 2. C’est la distance comprise, sur le méridien PS,, entre le parallèle de la station S, et l’arc S, N, mené de S, perpendiculairement à ce même méridien. Toutefois il convient de laisser d' exprimé par sa valeur angulaire sous le signe tang, parce qu’il se présente sous cette forme dans le calcul numérique. Après cette élimination , un des
facteurs - disparaît encore, comme commun aux deux membres R
de l’égalité, et il reste
, , 1 A3 sin'/ 1 / , sin’/ \ A’sin’/
m , n=d — n = - — —r.-hrl > — •f-eos'/ï —) -, — •
1 R tangrf 4\ ?. tang ‘d'J R tang rf
Pour l’application particulière que nous avons ici en vue, le premier terme de cette expression donnera une évaluation parfaitement suffisante. On s’y est même généralement borné pour les réductions de ce genre qui se présentent dans toutes les mesures d’arcs méridiens. Mais il ne serait pas hors de possibilité que le second terme devînt nécessaire, si la station S, , d’où l’on mène l’arc perpendiculaire , était fort rapprochée du pôle , ce qui donnerait à tang cl' une valeur fractionnaire qui agrandirait les termes où elle entre comme diviseur, île manière h rendre sensibles ceux qui T. III. 6
ASTROXOMIt.
affectent — s- On pourrait même concevoir mathématiquement
«les valeurs «le d' assez petites pour que la série qui forme le tléveloppement ilesin x devînt divergente, 8’ étant donné. Mais les mesures «l’ai es méridiens ne pourront jamais être faites assez près du p«>le pour que ce cas se réalise ; et , «latls l«s opérations habituelles, il sera toujours facile de constater par notre formule si le terme en A‘ est sensible ou négligeable. C’est pour ce motif théorique que j’ai pousse le développement jusque-là ; car, dans l’application particulière que nous allons en faire , il serait complètement inutile d’aller jusqu’aux A'.
70. Pour réduire le sc'cond membre de cette formule en nombres, nous pouvons, comme dans l’évaluation de l’arc A’ «ni NS,, attribuer à R la valeur de uD'”1 qui nous a servi alors, et dans laquelle Dl0) représente la longueur locale du «legre du méridien déterminée par notre première approximation , ce qui nous a «lonné, en pieds anglais, page 75,
log R = 7 , 3 1 89836 ;
car, à la petitesse du rapport — , se joint encore ici celle du fac -
tcur si 11 1 i qui multiplie les termes que nous voulons évaluer. Mais il faut aussi connaître l'angle «/', «pii est la distance du pôle au zénith , dans la station d’où l’on a mené l’arc V perpendiculaire au méridien éloigné. Or, en revenant à la fig. 12, où cette station est designée par S, , on n’y a pas observé l’angle d’ ; mais on peut le conclure ici, avec une approximation suffisante, des observations faites à la station plus boréale S , fi g. 1 1 , puisque l’on connaît la longueur de l’arc méridien SS, «pii l’y rattache. En effet, par une mesuration directe, cette longueur a été trouvée égale à io4988Pd*,4 > ma*s *1 faut y ajouter af**, 2 , partie proportionnelle des 10 P*1*, 84 qu’on doit ajouter à l’arc total pour ramener le mesurage à la température de i6°,25. Elle devient ainsi 1 04990 p*1* ,6. Alors sa proportion au degré local approximatif D(0)
donnera sa valeur angulaire égale à i” *^499°>fî. m, 0„ )c."
dont la station S, sera plus éloignée du pôle que la station S. Donc, la distance du pôle au zénith en S étant 5o“3'4l,, par observation , elle sera , en S, , plus grande de cette quantité, c’està-dire égale à 5o°2t'ow. Telle sera donc la valeur de d ' dans l’expression de D' — II' ou M,N. 11 est facile de constater par le calcul arithmétique qu’une petite incertitude sur cet élément n’aurait ici qu’une influence inappréciable sur l’évaluation deM,N, à cause de la petitesse de A et de sin i , ce qui nous soustrait à la nécessité de connaître le rayon R aussi rigoureusement que cela est nécessaire en général pour des conversions pareilles, comme nous l’avons expliqué plus haut , page 75.
7 1 . D’après cela , dans l’application particulière que nous avons en vue , les données du calcul seront
et, en se bornant au premier terme de la formule qui est le seul appréciable , on trouve
I je. terme en serait ici complètement insensible. M,N étant
connu , on le retranchera de NS, ou A' que nous avons calcule tout à l’heure, ce qui donnera M, S,. Alors l’arc méridien total, MM,Si , fig. 1 1 , compris entre les parallèles des stations extrêmes S, S.., s’obtiendra definitivement comme il suit :
8;f AvrHoMIMÏK
Arc méridien compris entre la station S,, et l’intersection du grand cercle, mené
de S, perpendiculairement au méridien pjs
de S, » . S, N 433oj)4>Q*»
Réduction au parallèle de la station S, , ' soustractive M,N = i5,8i
Portion de l’aTc*méridien compris entre
les parallèles de S, et de S, S,W, 433079, i5
Première portion d’arc méridien , mesuré directement de S*à S, , transportée sur
le méridien de S, NM, = 104988,40
Longueur totale de l’arc méridien compris
entre les parallèles de S et de S, MS, = 5380(17 ,55
Correction additive pour ramener le mesurage à la température de i6°,25 10, 8q
Arc méridien total évalué en pieds anglais,
à la température centésimale de i6°, 25. 538078,39
C’est le nombre que j’ai rapporté par anticipation dam la page 56. En le combinant avec l’amplitude céleste in28'45", comprise entre les normales qui le limitent , on en tire la longueur du degré D° égale à 36377 tt"u,3 que j’ai restreinte à 3637711"'* en nombrro ronds. La différence n’a aucune importance, étant fort au-dessous des incertitudes que le mesurage de l’arc total comportait; et je n’ai rappotté tous les details de ces calculs avec tant de soin, que pour offrir l’exemple des réductions que de pareilles opérations nécessitent toujours, même dans un cas de mensuration directe , tel que celui-ci.
72. Pour compléter l’exposé des particularités qui s’y rattachent , il resterait à considérer l’équation
sin S '
sm» = — -,
sin a
laquelle donne l’angle au pôle P compris sur la sphère tangente ,
PHYsiyur.
cntry le méridien de S, et le méridien d’une autre station S, séparé de celui-là bar un arc de grand cercle S, N ou A' qui lui est perpendiculaire. J’expliquerai plus loin l'usage général qu’on fait de celte formule pour définir les positions relatives des points de la surface terrestre , par des coordonnées de ce genre A' et /<. Eu ce moment je veux seulement faire remarquer que, lorsqu’on \eut tirer d’une pareille équation la valeur de l’angle /> en parties do la graduation du cercle, par l’emploi des Tables desinus, il faut y exprimer les arcs tl’ et 5' de la sphère centrale, en parties de cette même graduation , et non pas en parties du rayon de cette . sphère. Ici d’ nous est déjà donné ainsi par les observations astronomiques transportées de S en S, , et nous venons de le trouver ogal à 5o° ai'o". Pour avoir 3' sous la même forme , il faut considérer qu’il occupe, si u- la sphère centrale, le même arc de graduation que A', sur la sphère locale dont le rayon est R. Or, on connaît, pourrclle-ci, l’arc l)i0,qui occupe undegréde la graduation sexagésimale d’un de ses grands cercles ; et nous trouvons sa longueur égale à 363771 pieds anglais. Ayant donc aussi l’arc A' exprimé dans la même espèce d’unités de longueur, et Tayaut trouvé «*gal à 28i94p,u,7 18, page 76, sa valeur A", en parties du tlegré*' sexagésimal, sera proportionnellement
ce sera donc aussi la valeur de 3' exprimée sous la même forme. Alors, eh la combinant avec celle de </', et achevant le calcul par les Tables de sinus , on trouvera
75. Quoique cette évaluation de l’angle j> ne nous fût pas ici particulièrement nécessaire, j’ai jugé utile de la donner comme un exemple numérique de ces conversions , dont la nécessité se reproduit fréquemment. Pour éviter les ambiguïtés qu’elles pourraient faire naître, et qui ont occasionne plus d’une fois des erreurs numériques, je les caractériserai désormais par l’indice <0), affecté eif exposant à Tare quelconque auquel clics s'appliquent ;
de sorte que A(0) représentera généralement l'arc A , transformé en degrés sexagésimaux du cercle quelconque auquel il appartient. Je ne ferai d’exception à cette règle que pour l'expression Di"' par laquelle je continuerai de désigner l’arc qui occupe un degré de la graduation sexagésimale , sur les grands cercles de la sphère localement osculatrice à la surface terrestre, dans le sens du méridien , en chaque lieu que l’on voudra considérer. Alors , si A est aussi
un arc de grand cercle appartenant à cette même sphère
ou A<oi, sera la valeur angulaire de l’arc A, exprimé en parties de la même graduation.
74. Le calcul de l'angle p que je viens d’exposer, me fournit l’occasion de justifier une particularité que j’ai annoncée plus haut comme étant , non pas indispensable , mais très-utile à établir dans la distribution définitive des centres de nossphères tangentes. Pour la considérer dans les réalités auxquelles elle se rattache , admettons d’avance que la surface générale de la terre pourra , dans ce qu’elle a de régulier, être représentée, avec toute l’exactitude que l’on peut atteindre, par un ellipsoïde de révolution dont l’axe polaire coïncide avec l’axe polaire de la sphère céleste , ce que l’on verra plusloinétre en effet le résultat final où l’on est conduit. Nous venons de diriger ici le rayon polaire CP de notre sphère tangente vers les pôles célestes. Il sera donc parallèle à l’axe polaire de l’ellipsoïde par cette condition. Mais si le centre C de la sphère est placé en quelque point que ce soit , hors de ce même axe , le pôle sphérique P lui sera aussi extérieur ; et alors les méridiens sphériques menés de ce pôle aux points S, , S, différeront, comme plans, des méridiens elliptiques menés à ces mêmes points. Donc , quand on aura calcule l’angle polaire p sur la sphère tangente, comme nous venons de le faire, il faudra, pour avoir l’angle analogue compris entre les méridiens elliptiques, appliquera p des réductions dépendantes de l'écartement des pôles des deux surfaces, réductions qui devront varier avec la position absolue de la sphère tangente que l’on considérera actuellement. On évité ces difficultés en plaçant tous les centres des sphères tangentes sur l’axe même de l’ellipsoïde, ce qui rend leurs rayons polaires physiquement coïncidents avec lui, puisqu’ils
se dirigent d'ailleurs comme lui aux pqjes de la sphère céleste situés sur son prolongement rectiligne. Alors les méridiens elliptiques et les méridiens sphériques , menés aux memes points S, , S, de la surface terrestre, coïncident comme plans , et comprennent ainsi le même angle dièdre p ; de sorte que cet angle se trouve connu |»oiir l’ellipsoïde , lorsqu’il a été déterminé sur la sphère tangente par le calcul que nous venons d’exposer. Cette distribution des centres de toutes les sphères locales sur l’axe polaire de l’ellipsoïde offre plusieurs autres avantages qu’il est aisé de pressentir, et que nous aurons l'occasion de reconnaître. Il reste donc à examiner si ces sphères, ainsi définies, peuvent avoir avec la surface de l’ellipsoïde des contacts assez intimes, comme assez prolongés, pour s’assimiler mecessivement à lui, avec une suffisante précision, dans une petite amplitude conique de 1 ou 2 degrés autour de leur point de tangence. Or c’est ce que nous constaterons par des épreuves nu- « mériques indubitables.
NOTE
RELATIVE X LÀ PAGF. 7Ç). •
Sur la résblution tics équations où le sinus et le cosinus d’une inconnue que l’on sait ftre fort petite entrent l'un et l'autre, seulement il la première puissance.
Soit x l'inconnue; IVqualion proposée sera de eette forme :
(1) A cos x 4- B sin x ï=. G,
A , B, C ctant trois cocllicicnts donnés, indépendants dex. Appliquons-lui d'abord le mode de raisonnement que nous avons employé dans le texte; tdnx étant supposé une fraction du premier ordre de petitesse, cos x ne dit» férera de 1'unilé que par des termes de l'ordre du carré de cotte fraction. Ainsi on obtiendra une première évaluation approohée de sin x en faisant, dans notre équation, cos x égal à i, ce qui donne
s,nx = un*
ASTltONOMlK
t-t par suit», dan» le jnème nrdije d'approximation , •
cusx;=i-- — -j—-
Alors , si l’on substitue cette valeur de cos x au lieu de l’unité dans Pequatioa primitive (i), et que l’on dégage sin x, on en obtiendra une évaluation plus approchée qui sera
Ou voit que la petitesso supposée de sin x exige d’abord que le rapport —
suit une fraction moindre que l’unité, et ensuite que le coefficient A ne soit pas très-eonsidérable.
Four étendre indéfiniment l’approximation, il faut développer sin x en série continue. On pont le faire de deux manières que j’exposerai successivement, et je montrerai que les expressions de sin x auxquelles elles conduisent s’accordent avec les précédentes dans les termes qui dépendentdes deux C — A
premières puissances de - g — •
A cet effet, je mets d’abord l’équation (i) sous ces deux formes
(i) B ain x = C — A cosx, (4) A cosx = C — B sinx.
J'élève les deux membres de (3) au carré, et je remplace, dans le second, cos’x par son expression équivalente i — sin* xj j'ai ainsi
(A'-f- B*) &in*.ç=. A’-f-C* — qAC cot>»,
alors j’élimine A cosx par sa valeur tirée de (4), et, en réunissant les termes semblables, j’obtiens
n (A* -+- B’) sin’x — aBC sin x = — (C’ — A1),
Celte aquation résultante, étant résolue relativement à »on unique incon-
• miax, donne ,
• ta-', » m
. bc y
lin x =
A’-v-B’HC*- A’) V B* C*
*'aWréa> ♦ a ** r 1 T » • W r
Le signe négatif que j’attribue au radical est seul admissible, parce que la valeur de sin x, que nous voulons tirer du l'cqualion primitive (t), est celle qui devient nulle quand C — A est nul. j»'.^
Si l’on voulait effectuer numériquement le calcul du second membre, ou obtiendrait la valeur exacte de sin x, pour chftque cas particulier que l’on considérerait. Si l’on veut développer l’expression générale de x sous forme de série, il faut sc rappeler qu’en désignant pars mie fraction moindre que
PJHYSIQUK.
. l’unité, on * , par la formule du binôme,
Mettant donc ici pourr sa valeur — , on obtiendra
aUfcldEzAÿ+l ^ÿKC;-A»r B*)' fC* — A*)‘,
* bc • &&
et le second membre pourra être continue aussi loin que l'on voudra, puisque la loi du développement infini d'un binôme est connue.
Quoique cette série se présente sous une forme différente de l’expression (a), elle s’accorde cependant avec elle dans les termes qui contiennent
seulement les deux premières puissances de — B — .Pourcn avoir la preuve,
représentez isolément ce rapport par u, ce qui donnera
puis, avec cette expression, éliminez C du second membre do ln série, et développez scs différents termes suivant les puissances de u , en negligeaul celles qui sont supérieures à u‘. Cela reproduira exactement l'expression (a) trouvée d’abord pour sin r par une voie plus simple.
La seconde méthode de développement consiste à remplacer sin x cl cos r, dans l'équation primitive, par leurs valeurs rationnelles eu Inngjx, qui sont -,
atang ix ■ Y — tang'ix
sin t — — — - — , cos x —
t-+- tang’la? i -t- lang’-jx
* . * iè
Après cotte substitution, en ramenant t-f-lang’ Jx en numérateur, clic prend la forme suivante
» ** „ ntt * *•
(C-t- A) tanqVjyr — aB ung Jjip-JC-
£n la rôttoJvnnt, cl se bornaal à la «mile racine qui devient nulle en mémo temps que C - A, elle donne
d-wr
et, après avoir développé lo radical par la formule du binôme, il reste on , si l’on veut effectuer fa multiplication par le facteur commun extérieur,
