A STR O NOM

La première de ces deux expressions sera généralement la plus commode pour le calcul numérique. On voit que la convergence plus ou* moins rapide de la

série dépendra du degré de petitesse du rapport — — — — , suivant les puissances duquel elle procède. Ainsi , on devra se guider sur la petitesse de ce rapport pour la prolonger autant qu'il sera nécessaire dans chaque cas particulier.

Ce développement est tout à fait analogue à notre première expression (a) de sin x, et il s'accorde exactement avec elle quand on le restreint

aux deux premières puissances de — - — . En effet, dans cette limite d'ap-

proximation, tang équivaut à -J sin j Si , de plus, 011 remplace C par A dans le second terme de la série, qui a déjà pour facteur , lo résul

tat devient identique à notre expression (al.

Lorsque, par l'une des deux séries précédentes, on aura trouvé sin x ou tang ’ x en nombres, avec le degré d'approximation auquel on aura juge pouvoir se restreindre, si l’on veut obtenir l'arc x en parties de la graduation du cercle, on l’en déduira immédiatement par les Tables logarithmiques de sinus ou de tangentes. Mais , si l'on veut obtenir cet arc eo parties du ravon du cercle pris pour unité de longueur, il faudra formerdirectcraent sa valeur par les séries de la page 60 qui donneront :

En fonction de sinx,

x — sin x

en fonction de tang |x,

sin x - sin x.

Tx = tangTx-7Ung tang

D'après ces expressions, lorsque l'arc x sera assez petit pourquo l'on puisse négliger les termes de l'ordre sinsx, tang3 -J x , et , à plus forte raison , ceux des ordres supérieurs, il sullira de prendre

x=sinx, ou x=atang7x. *

L'arc x sera ainsi connu dans le cercle dont lo rayon est 1. Si l'on veut avoir son homologue X, qui soutend le même angle au centre dans un cercle dont lo rayon serait exprimé par R, il faudra faire

En résumé, lorsque, pour une application spéciale qui sera toujours très rare, on voudra obtenir une expression particulièrement approchée de Pin* connue x dans une équation do la forme que nous venons de considérer, on emploiera celle des deux sériés générales que la forme des coefficients A. U, C fera reconnaître comme la plus commode. Mais, dans presque tontes le» 1 éd uct ions que l'astronomie nécessite, notre expression (a) sullira, cl alor*

PHYSIQUE. gi

il sera toujours très* facile de la former directement par le raisonnement très-simple dont nous avons fait usage, sans prendre la peine d'identifier les valeurs des coefficients à leurs expressions générales A, B, C, pour les introduire dans les séries indéfinies que nous venons de former.

Section II. — Mensuration effectuée par triangulation .

Formation et calcul des triangles sphériques établis

tangenticllement à une petite portion de la surface terrestre régularisée.

78. Je suis entré dans tous ces détails relativement à l’opération de Pensylvanie, parcequelesproblèmesgéométriques et analytiques qu’elle nous a donné occasion de résoudre , pour des énoncés trèssimples , se représentent dans toutes les mesures d’arcs méridiens effectuées par des procédés plus complexes. De sorte que les formules que nous y avons appliquées s’adapteront , sous leur forme littérale , à toutes les opérations de ce genre que nous aurons ultérieurement à considérer. Car elles ne diffèrent de celle-là que par les difficultés naturelles qu’y ajoutent les circonstances moins favorables des localités. On conçoit, en effet , qu’un procédé de mensuration directe , qui était possible dans un pays inhabité , comme l’était alors la presqu’île où Mason et Dixon opéraient , deviendrait complètement inapplicable dans notre Europe, où le sol est couvert de villes , de villages , et de constructions publiques ou particulières. Les astronomes ont donc été obligés de parvenir au même but par une méthode différente. Ils ont eu recours au procédé que l’on emploie dans le levé des plans , pour mesurer la distance des objets en les observant des deux extrémités d’une base connue; et ils s’en sont servis pour étendre, sur la surface terrestre, de grandes triangulations dirigées dans le sens d’un même méridien. Comme ici nous entrons dans les réalités, il faut prendre toutes les connaissances antérieures à l’état où elles existent, cl s’en aider au besoin. Or, déjà, les cartes géographiques indiquent très-approxiraativement la suite des lieux, des villes, des montagnes, des plaines, qui se trouvent sur la direction du méridien d’un lieu donné. Ayant donc adopte un point de départ, onehpi- Mt , sur les cartes locales, une suite d’autres points situés des deux

ASTflOSOMlr

cotés du méridien dl' ixluH.t , à [>eii de distance, tels que de chacun d’eux ou puisse voir un certain nombre des precedents et des suivants, dans la chaîne de triangles que l’on veut établir, sauf é rectifier ces premiers aperçus par d’autres choix, si un examen plus immédiat des localités faisait reconnaître des difficultés ou des impossibilités qu’on n’aurait pas prévues. Les stations, ainsi adoptées, seront, par leur destination même, des sommets de montagnes, de collines, d’édifices publics, élevés au-dessus des obstacles qui pourraient arrêter la vision intermédiaire. Il faut aussi que les droites qui les joignent ne forment pas entre elles des angles trop aigus, afin que les côtés des triangles qu’elles sont destinées à former, et qu’on devra conclure les uns des autres, soient exempts des incertitudes que l’acuité des angles y introduirait. Ce plan arrêté, l’observateur se transporte successivement aux trois sommets du premier triangle, désignés par S , S, , S, , fi g. 1 3. Il y établit des signaux fixes qui sont, par exemple, de grands disques blancs à centre noir 5 ou eucore, des lampes à courant d’air abritées sous une tonte, et munies de réflecteurs métalliques postérieurs, que l’on tourna successivement vers les autres stations «foii ..l’on veut les observer. Ces signaux doivent être fixés invariablement & des supports solides, et l’on détermine avec grand soin le pied dç la verticale qui passe par leur centre de visibilité. Cela s’effectue à l'aide d’un fil-à-ploinb , que l’on fait descendre de ce centre sué une plaque métallique horizontale, portée par un pieu enfoncé dans le sol ; et, sur cette plaque, on marque le point précis auquel la verticale du centre du signal vient aboutir. Ce point s'appelle /c centre de la station ; et l’on y r.ip|>orte toutes les observations des signaux comme étant’ bn sommet fixe dii' premier triangle, ainsi que des triangles ultérieurs auxquels celte station sera. commime. Ces préparations laites, l'observateur s'établit à la première station S, avec l’instrument qui ini sert h mesurer les angles visuels. Il place, s’il le peut , le centre du limbe dans la verticale SN qui passe par le centre de cette station; ou, si des obstacles naturels s'opposent à cette coïncidence' précise , ce qui est trèsorclinahv , il y suppléé par de petites réductions de calcul que j’expliquerai en leué lieu; de sorte que les observations doivent

PHYSlQUC.

toujours cire sunoÿit'S laites ilans la verticale inênie du centre S. Lorsque l'instrument employé • est un cercle répétitçur portatif, l’observateur mesure d’abord l’angle plan a, compris entre les signaux S„S., ou plutôt entre leurs images réfractées S,, 2:, telles qu’il les voit S travers la portion de l’atmospliére interposée ; et, immédiatement après, ott dans des circonstances atmosphériques, autant qu’il le peut, semblables, il mesure aussi les distances apparentes z, , 3, de ces images, à son zénith Z. Les droites S2, , S 2,, nienééS de S !i ces images, sont les dernières tangentes des trajectoires lumineuses qui , partant des points S, , S;, sont amenées dans l’œil de l’observateur en S par la réfraction. Elles diffèrent donc des droites visuelles directes SS, , SS,, qui seraient menées de S à ces points à travers le vide. Elles sont généralement un peu plus élevées, parfois cependant un peu moins èlevces que ces rayons directs. Mais, à moins d’accidents très-rares, qui sont toujours indiqués par une excessive deformation des images, et pendant lesquels on a soin de ne pas hasarder les observations, les deux trajectoires lumineuses parties de S, et de S., se forment dans les plans ZSS,, ZSS, qui passent par ces. points et la verticale du pointS; de sorte que l’angle oblique 2,S2„ ou a, compris entre les tangentes extrêmes S2, , SI, , est alors constamment limité par ces mêmes plans.

76. Polir voir l'emploi que i’on peut faire de res résultats, supposons d’abord que les distancés zénithales 3,, z, des deux tangentes, et l’angle a quelles comprennent, aient etc mesurés simultanément , ou dans des états réguliers et rigoureusement identiques de la portion d’atmosphère interposée, ce qui aura les mêmes conséquences. On en pourra conclure l’angle dièdre A compris autour du zénith de S, entre les deux plans S,SZ, S:SZ, menés par les deux signaux et par la verticale- de ce point. En effet, du point S comme centre, avec un rayon arbitraire, décrivez idéalement une sphère, qui coupera la verticale de S en Z , et en a,, o-, , les tangentes finales des trajectoires lumineuses, sur la direction desquelles se voient les images £,, 2,. Alors, dans le triangle sphérique Z d,ir,, ou. connaîtra les deux côtés verticaux z,, z,, et le côté oblique a. On pourra donc en déduire l’angle dièdre A ,

forme en Z ; car il sera lie aux trois côtes z, , z, , « du triangle par l’équation générale

(i) cosa = sinz, sinz, cos A -+- cos z, cos z, ,

ou encore

cos« = cos(z, — z,) — 2 sinz, sinz,sin’iA.

Remplacez, dans celle-ci, cos a et cos(z, — z,) par leurs valeurs équivalentes t — 2 sin1 jo, 1 — 2 sin’ ÿ(z, — z,), puis dégagez sin ’ j-A, elle donnera

sin’ \ A =

sin’ \ a — sin ’ -J- ( z, — z,) sin z, sin z.

ou, en transformant le second membre en produits, pour le rendre plus propre au calcul logarithmique,

..... sin -J- (a -t- z, — z,) sin 7 (a -4- z, — z,)

sin r A — : :

sin z, sin z.

C'est la formule déjà rapportée, tome II, page 4ol> pour trouver directement les angles d’un triangle sphérique dont on connaît les trois côtes. Mais cette manière d'obtenir l’angle A n’est pas, à beaucoup près , la plus commode pour l’application que nous avons en vue, parce que le calcul absolu qu’elle exige devrait être fait avec une rigueur qui deviendrait fatigante , dans la succession nombreuse d’opéralions de ce genre qu’exige une grande triangulation. Or, on peut arriver au même but , avec moins de soin et plus de sûreté, en profitant des moindres circonstances spéciales dans lesquelles nos triangles sont établis. En effet, les deux signaux S,, S; étant situés comme S, sur la continuité de la surface terrestre, à des hauteurs toujours très-petites , comparativement à leurs distances mutuelles , ils sont toujours angulairement très-près du plan horizontal géométrique de cette première station , ce qui rend leurs distances zénithales z, , s, très-peu differentes de qo°. Ainsi, l’angle dièdre A diffère toujours très-peu de l'angle plan a qui est immédiatement donne par l’observation. C’est pourquoi , au lieu de chercher la valeur absolue de A par la formule directe que nous venons d'établir, on en déduit plutôt la petite différence A — a, qui s’obtient très-aisément , et avec une exacti-

tude illimitée, par un développement en sérié , que j’expose, plus loin , dans une note spéciale. A — a s’appelle la réduction à l’horizon. Pour ne pas interrompre la chaîne des idées que je veux ici présenter, je me bornerai à rapporter le premier terme de son expression qui en renferme la partie de beaucoup la plus sensible, et la seule presque dont il faille habituellement tenir compte. Afin d’y mettre en évidence la petitesse des élévations ou des dépressions occasionnelles par lesquelles les distances apparentes z, , zt diffèrent de go”, j’introduis ces différences comme additives dans le calcul, sous la dénomination île h, et h,, c’est-à-dire que je fais généralement

z, = 90° -4- h, ; z, == go° -+- h,.

Alors si l’on s’arrête au premier terme du développement, qui suffit lorsque A, et h. sont de très-petits angles, comme cela a lieu presque toujours, on a

I sin * 7 a sin- f>(A,-t-A,) — cos’^-a sin’j (h, — A,)1 R'

cos A, cos A, sin a

Le terme correctif de a est ici exprimé en secondes de degré, comme l’annonce le facteur R". La petitesse des angles } (A2-f- A,), |(Aj — A,) rendant les carrés de leurs sinus de très-petites fractions, on voit que ce terme entier sera toujours de l’ordre de ces carrés, pourvu que le dénominateur sin <7, qui est aussi une fraction, n’ait pas lui-même des valeurs dont la faiblesse leur soit comparable. Or, c’est ce qu’on a toujours soin île prévenir en choisissant les trois sommets de chaque triangle, de manière qu’aucun de leurs angles a ne se trouve trop aigu.

77. Lorsque les angles A,, A, sont tellement petits, que l’on puisse négliger les quatrièmes puissances de leurs sinus , dans l’expression du terme correctif de a , ce qui a lieu presque toujours, elle se simplifie notablement. Car, d’abord, dans cette limite d’approximation, les facteurs cosA,, cosA, du dénominateur peuvent être remplacés par l’unité. Puis, les sinus des arcs {(A, -f- A,) et 7 (A, — A,) n’entrant au numérateur qu’élevés à leur deuxième puissance, ils peuvent y être remplacés par les rapports de ces

ytf 4ST&ONOMrF.

i arcs memes au rayon réduit en secondes, c est- a -dire par T — —3 — A[ors j\" disparaît une fois des deux ternies de U

fraction comme facteur commun ; et il reste

ou encore,

i f(/< j -t- Ail’sin’-jfl — (A, — A,)’ cos ’ 1 a]

R" sin «

lanS^' ~ "taîîg^a'']

Cette formule suffit dans la généralité des applications géodésiques. Les valeurs des angles A,, A, qu’on y introduit doivent être évi* demment exprimées en secondes de degré. Indépendamment de ses usages pratiques, elle est indispensable pour éclairer plusieurs points importants de théorie, qui resteraient obscurs sans son secours.

78. Je vais, dès à présent, m’en servir pour dissiper un soupçon d’incertitude que pourrait faire naître le procédé par lequel on détermine les éléments qui servent à la calculer. J’ai suppose les observations effectuées dans un état atmosphérique régulier , où les réfractions s’opèrent sans déviation azimutale sensible. C’est le cas le plus habituel, et il est facile d’éviter les circonstances où l’on pourrait soupçonner qu’il n’eût pas lieu. Mais j’ai suppose aussi que l’angle plan o, et les angles verticaux A,, A„ étaient mesurés dans des circonstances atmosphériques simultanées ou identiques , et il est pratiquement impossible de s’astreindre avec rigueur, ou même avec certitude, à cette condition. Alors on y supplée en réitérant les observations à différents jours , surtout celle de l’angle a; et l’on calcule l’angle dièdre A avec la moyenne des éléments ainsi obtenus, ce qui les ramène, avec une approximation suffisante, à la condition idéale de simultanéité. Cela se voit par la formule (2) elle-même. Car la valeur de A, ainsi calculée, serait tout à fait exacte si les valeurs moyennes des

ST

angles A, , h , répondaient au même état atmosphérique que la moyenne des angles a. Admettons , comme cela arrivera sans doute, que cette identité d’état nyiycn ne soit pas tout à fait rigoureuse; au moins, d'après le principe des compensations , elle aura lieu approximativement. Alors les valeurs moyennes de h, et de h , ne difTcreront que très-peu des véritables; et comme leur influence absolue snr le terme correctif est extrêmement petite, dans les conditions que nous avons supposées, une très-fai ble altération de leurs valeurs ne pourri y produire que «les changements insensibles. L’expérience confirme cette induction ; car lorsqu’on a fait , dans une même station , un grand nombre de mesures des angles a, /«,, /<-, avec les précautions prescrites eidessus pour éviter les cas «le trop gran«les perturbations de l’atmosphère, si l’on partage les résultats en plusieurs moyennes qui se correspondent , et qu’on les emploie séparément au calcul de l’angle dièdre A, par la formule (2), on ne trouve entre ses valeurs que des différences tellement petites et accidentées, qu’elles rentrent dans les limites des erreurs dont on ne peut répondre «lans les observations faites avec le plus de soin.

79. La réduction à l’horizon n’a plus besoin d’ètre calculée cjuand on observe l’angle entre les objets avrc l’instrument appelé théodolite, dont le type général a été représenté dans le tome II , fig. 81 . Le plan de son limbe porte des niveaux croisés rectangulairement , dont les indications servent pour le rendre horizontal. Les deux lunettes adaptées à ce limbe, l’une inférieure, l’autre supérieure , peuvent parcourir son contour «le manière à embrasser tous les angles que l’on veut mesurer ; et elles ont aussi chacune un mouvement de course peu étendu dans un plan perpendiculaire au limbe, qui permet de les pointer sur des objets situés à peu de distance au-dessus ou au-dessous de l’horizon , sans qu’il cesse lui-méme d’étre horizontal. Quand on veut prendre l’angle compris entre deux signaux S>, S„ on dirige d’abord la lunette inférieure sur un objet fixe quelconque qui servira de point de repère , et on la fixe elle-même au limbe par ses pièces d’attache ; de sortequ’on prévient tout mouvement horizontal que celui-ci pourrait prendre, soit en constatant qu’elle reste toujours sur son

ASTSONOM 1 1‘.

point de mira, soit en faisant tourner horizontalement le limbe avec elle pour l’y ramener, si l’on trouvait que ce point n'est plus sous le fil vertical de son réticulé. Cette condition d'immobilité étant ainsi toujours assurée, on dirige la lunette supérieure sur l’image réfractée d’un des deux signaux , par exemple sur S,, en la faisant mouvoir dans son plan vertical pour l’atteindre , et on lit sur le limbe la division à laquelle le vernier de son alidade correspond alors; puis on la détourne vers l’miage 2, du signal S,, et après l’avoir pointée sur elle de la même manière, on lit de nouveau la division à laquelle son vernier est parvenu. L’arc parcouru ainsi sur le limbe est évidemment l’angle dièdre compris entre les verticaux des deux objets. C’est donc notre angle horizontal A qui est ainsi obtenu sans réduction. Mais , pour se procurer cet avantage, on se soumet à dépendre de l’exacte horizontalité du limbe, et aussi de l’exacte perpendicularité du mouvement de la lunette supérieure relativement à son plan. A la vérité, l’accomplissement de ces deux conditions peut être constaté par des vérifications faciles à imaginer ; mais il ne faut pas se dispenser de les faire. Le théodolite portatif, tel qu’il est représenté Jig. 81 du tome II, est aujourd'hui fort employé en France pour les triangulations secondaires; ce qu’il doit à l’exactitude des procédés de division et de construction propres à notre excellent artiste M. Gambey. C’est aussi avec ce même genre d’instrument qu’a été effectuée la triangulation générale de l’Angleterre, pour laquelle Ramsden en avait construit un d’une grande dimension, et d'une exécution admirable. Mais les opérations géodésiques de France et d’Espagne ont été faites en mesurant les angles obliques a avec le cercle répétiteur, et déterminant la réduction à l’horizon par le calcul, d’après les distances zénithales observées des signaux. Ce moyen, plus pénible, était indispensable dans l'etat d’imperfection où se trouvait alors en France la construction des instruments astronomiques; et la sûreté des résultats obtenus malgré re desavantage ne doit pas faire regretter qu’on y ait eu recouis.

80. Lorsque les opérations sont terminées à la station S, feg. 1 3, l’observateur va en faire d’analogues aux deux autres stations Si, S,, qu’il a choisies pour sommets de son premier triangle terrestre. Il

PHYSIQUF.

mesure de même, en celles-ci, les angles plans al}a7, ainsi que les distances zénithales des lignes visuelles qui les limitent, et il conclut de lit, par le calcul, les angles dièdres A, , A,, propres à

chacun de ces sommets, cest-;\-dire compris comme A, entre les plans visuels menés aux deux autres stations par les verticales S, N, , S2Mi qui leur sont propres. ,

Pour voir l’usage qu’on peut faire de ces résultats, supposons d’abord que les trois normales se coupent mutuellement dans un même point C, comme le représente lu Jîg. i4; alors, de ce point comme centre avec un rayon quelconque CA, ou R , décrivez une surface sphérique qui coupera les trois normales en A , A, , A;. Joignez ces points deux à deux par des arcs de grands cercles, vous formerez un triangle sphérique dont les angles seront les angles dièdres précédemment déterminés; de sorte que , si vous pouvez connaître, en outre, la longueur d’un de ses côtés C, C„ C-, vous obtiendrez , par le calcul trigonométrique , les longueurs des deux autres.

Venons maintenant au cas général, où les trois normales pourront ne pas s’entrecouper, même deux à deux. Alors, sur la normale indéfinie SIS' de la Jîg. 1 3, je prends un point C pour centre d’une sphère qui, dans cette localité, soit osculatrice n’importe dans quel sens, à la surface terrestre régularisée, telle que la formerait le prolongement des mers environnantes; et, de ce même point, je mène aux stations S,, S, deux sécantes que je suppose seulement former de très-petits angles avec les normales réelles qui y correspondent. Cette condition sera toujours réalisable si Ton restreint suffisamment l’étendue du triangle terrestre SS, S, , et il faudra seulement lui assigner des limites telles qu’qlle soit certainement remplie. En reportant ceci à la fig. i4» ou pourra encore former, sur la normale CS et les deux sécantes, un triangle sphérique dont l’angle au sommet A Sera l’angle dièdre déterminé par l’observation en S. Mais les deux autres angles seront compris entre les plans diamétraux menés par les sécantes CS,, CS,, non par les normales. Or, si l’on désigne respectivement ces angles par (A), , (A),, je dis que, dans les circonstances supposées, on pourra, sans erreur appré-

IOO

astronomie

ciable , leur substituer les angles dièdres A,-, A,, observés en R, et S, autour des normales réelles , comme précédemment.

81 . Pour le faire voir, je considère d’abord' le sommet S,. Par supposition , la sécantè CS, forme avec la normale S, ft, un très- petit angle que je désigne par «. Je le porte, avec les deux droites qui l’embrassent, dans le plan delà fig. i5. Le sommet S, , ainsi reproduit , est commun à la sécante et à la normale. Je mène en S, un plan perpendictdairc à cette dernière; et je désigne sa trace sur le plan de la figure par la droite indéfinie S, X, qui formera avec S, N, un angle droit. Ce plan contiendra l’angle dièdre calculé A,. Je l’y définis par les deux droites S,T, S, T,, (pii le limitent dans sa position réelle, tel qu’on la conclut des observations faites en Si i- sue les images des deux signaux S, S,, réfractées chacune dans leur vertical propre, mené par la normale S, N,. Je nomme i l’angle plan que la première de ses branches S, T forme avec la trace S,X, de sorte que la seconde S, T, fermera avec cette même trace l’angle i -t- A,. Maintenant je prolonge CS, indéfiniment dans le plan de la ligure, de qui y produira la droite CS,M. Les deux branches de l’angle A, sont obliques à cette droite, par conséquent lui-même se trouve hors du plan tangent à la sphère dont CS, est un rayon. Donc , si par CS, on mène deux plans diamétraux qui contiennent ses branches S,T, S, T,, ils. comprendront un angle dièdre different deA, et (pic je désigne par A’, . Je vaisd’abord le déterminer. Ce sera une véritable réduction A l’horizon , qui s’effectuera facilement par la formule générale que nous avons établie; et elle nous sera nécessaire plus tard dans un grand nombre de circonstances analogues.