A cet effet, autour de S,, comme centre, je décris une

sphère d’un rayon égal à l’unité de longueur ; et je marque en .r, f, t,,m les points où elle coupe les droites indéfinies S,X, S,T, S, T, , S, M. Considérant comme le zénith du sommet S,, .t ur cette sphère, les angles /«S,x, m S, t, y seront respectivement

les distances zénithales des points x, t, t-* Le premier /«S, x est évidemment tjo° -f- u, puisque l’arc nix est dans le plan de la figure. Ainsi, la petitesse supposée de « le rendra très-peu different de 1)0° ; les deux autres s’écarteront aussi très-peu de celte

limite ^ car, si w était nul, ils seraient aussi égaux à go°, puisque les points x, t, tt se trouveraient alors tous trois dans un plan perpendiculaire à la droite CS, M. Pour rappeler cette circonstance , je désigne ceux-ci par des dénominations analogues , en faisant

mS,x = 90° -f-w ; m S, t = go® -f- 6 ; mS,t, = go°-f?6i.>

6 et 0, peuvent aisément s’évaluer. En effet, les triangles sphériques mxt , mxt, sont évidemment rectangles en x , par notre construction. Or on connaît, dans chacun d’eux , le côte commun mx ou 90° -f- c.», et le côté tx, ou t,x, qui ont respectivement pour valeurs i et i A,. On aura donc les hypoténuses mt , ml, par les relations établies au deuxième cas des triangles sphériques rectangles de Legendre , lesquelles donneront ici

cos mt — cos mx cos tx , cos mt, = cos mx cos f , x ,

et, en remplaçant les arcs par les angles au centre qu’ils soutendent,

sin 0 = sin m cos i , sin 0, = sin wcos (i -f- A,).

Il nous sera tout à l’heure utile de connaître aussi les inclinaisons des mêmes hypoténuses sur le plan de l’angle A, fcc sont les angles dièdres mtx, mt,x, formés aux sommets t,t, de nos deux triangles. Je les désigne par ces lettres memes, èt comme ils devront pareillement différer très-peu de 90% Je fais

f = 9O0 -f- T, t, = 90°-*- Tj. * *

Or, le même passage de Legendre , appliqué à ces angles, donne

lanc mr tangmx

tang / =r — — - » * tangr,ï=— .— — -, -

sin tx . sm t,x

de là on tire

tang r = tang u sin i ; tang t, = tang m sin (i-f- A,).

83. Nous supposons u un très-petit angle; il peut être rendu aussi petit que l’on voudra en rapprochant suffisamment Jes trois sommets S , S, , S, , puisqu’il serait évidemment nul si on les rapprochait jusqu’à les mettre en coïncidence. Faisons-le seulement tel

que l’on puisse négliger le cube de. son sinus. Cela deviendra également permis pour les angles 0 , 6, , r , rg, qui sont du même ordre que lui, et dont-les valeurs seront encore occasionnellement atténuées par les facteurs trigonometriques qui multiplient sin w, ou tang », dans leurs expressions. Alors les rapports des sinus et des tangentes de ces petits angles pourront être remplaces, dans les équations précédentes, par de simples rapports d’ares, ce qui donnera

. \ 0 =î w cos t, <t, ~ ta eos (H-Ai),

t = go° -t- w sin i, 't, — go° -f- w sin {i -H A,).

514. Considérons d’abord & et 0,. Ce sont les dépressions des deux branches de l’angle A, au-dessous du plan qui serait tangent en S, à notre sphère osculatrice. En les mettant dans notre formule de réduction à l’horizon , restreinte aux dépressions trèspetites, elle nous donnera l’angle dièdre A', compris entre les deux plans diamétraux menés par ces branches et par la sécante CS,M. Nous aurons ainsi

| [cos i -t- cos(/ -h A,)]!sin24 A, — [cosi cos(i -+-Â,)]2cos24 A, J R" sin A, * .

Or, les formules trigonométriques fournissent les identités suivantes :

[cos/ -+- cos (i -+- A,)]* = 4 cqs 2 (i -+- } A,)cos* jA,;

[cosi — cos (i A,)]’ = 4 sin2 (i -f- 4 A,) sin2 4 A, ;

et, en outre,

sin A,' = 2 sin 4 Ai cos 4 A, ;

cos 2 (i — t- i A,) — sin2 (i -h 4 A,) = cos (2/ -+- A,).

En substituant ces équivalents, et faisant disparaître les facteurs qui deviennent communs au numérateur, ainsi qu’au dénominateur, il reste simplement

tu .

A, H — sin À, cos (?.i À,)..

VHYSIQUE. 10)

Coci nous montre déjà que l’angle dièdre A', ne différera de A, que

par une quantité toujours moindre que — =, puisque ee coefficient • • * , sera encore affaibli par les facteurs trigonométriques qui le multiplient , lesquels sont essentiellement fractionnaires. Si donc nous

restreignons assqz le triangle terrestre SS, S, pour que ne soit

qu’une fraction de seconde négligeable , ces deux angles pourront être substitués l’un à l’autre dans les applications où ils devront entrer. Afin ’d’apprecicr les limites d’amplitude de w qui satisferaient à cette condition, supposons-le égal à : alors w’ sera 1600; et, d’après la valeur de log R" donnée plus haut, nous aurons » . (

log w1 = 3,2o4 1 200 log aR" = 5,6t 545^1

log j = 3,5886649, ,l’ül1

IJ ne fraction de seconde telle que cçlle-là n'est pas appréciable aux instruments les plus précis. Or, quand nous serons arrivés à déterminer la figure générale de la terre, nous aurons le moyen de constater qne , dans les amplitudes superficielles auxquelles on restreint les triangles géodésiques, et inetne dans les pins grandes amplitudes que peut leur permettra la condition de visibilité réciproque des signaux , les angles w sont toujours considérablement moindres que 4o"; de sorte qne, pour tous ces cas,, les deux angles dièdres A,, A’,, quoique géométriquement distincts, peuvent être employés comme égaux entre eux,

88. Mais cela ne suffit pas encore potfr résoudre la question pratique que nous nous sommes proposée. Ce qu’il nous importe de connaître, c’est l’angle dièdre (A), qui est compris en S, entre les deux plans diamétraux menés par la sécante CS,, et par les deux sommets S, S„ vus directement de ce point, sansl’intermediairedes réfactions. Heureusement on peut le déduire de ce qui précède, et prouver qu’il est encore sensiblement égal à A, dans les conditions de restriction assignées au triangle terrestre SS, S,.

ASTHOS0MIE

I oq

A cel effet, je suppose que les deux sommets S, S, puissent être observés directement du poiift S,, à travers le vide. Les droites menées de S. à ces sommets comprendront entre elles un certain angle plan a,, quelque peu différent du précédent. Mais elles seront situées dans les mêmes verticaux rrcfc, où l’on a observé du même point S, leurs images réfractées i, ï, à travers l'atmosphère, puisqueia réfraction supposée régulière ne les fait point sensiblement sortir de ces plans. Seulement , les branches ale l’angle oblique vrai a, se trouveront alors avoir des dislanccs,zéni thaïes go° -+- A,, go" A„ differentes de celles qu’on observe habituellement aux branches de l'angle oblique réfracté. Toutefois, les dépressions positives ou négatives A, A„ seront encore très-petites, même généralement plus petites , abstraction faite de leur signe propre, que celles qu’on observe à trav ers l’air. Si l’on introduit ces, nouveaux cléments dans la formule qui donne la réduction à l’horizon pour des dépressions ainsi restreintes, elle devra évidemment reproduire le même angle dièdre A„ que l’on a conclu des images réfractées dans les mêmes verticaux , c’est-à-dire qu’on aura sons celte nouvelle forme

, , I (A, -+- //)’ sin 1 7 a,— (A, — A) 1 cos’ | a ,

..A, =Z fl, -+- 7 I — =r« — : ’ * —

[ R sut «,

A, étant ici le même que précédemment.

80. Supposons maintenant que les deux mêmes sommets S, S, soient observés du sommet S, également à travers le vide , mais que l’on mesure leurs distances zénithales à partir delà sécante CS,M de la Jîg. i5 , au lieu de les mesurer, comme tout à l’heure, en partant de la normale réelle. L’angle plan compris entre les droites directes menées A ces sommets, sera encore //,, comme précédemment. Mais les distances zénithales de ses deux branches que je désigne par Ç, Ç,, différeront des distances zénithales vraies, et auront, par exemple, des valeurs de cette forme

r=go" Ç, = go*-t- A', ,

A' et h', étant- au très que h cl //,. Alors l’angle dièdre compris entre les plans diamétraux menés par ces branches ne sera plus A„ mais

aura une certaine autre valeur (A), , dont l’expression sera

/ * \ . , r(A^/0sin4«^(A^A?cosH«,l .

(Ai-rt'+*L “ — J ’

il différera ainsi seulement de A, par l’influence que la diversité des dépressions y exercera. «

87. Pour en apprécier l’effet, je reproduis les éléments généraux de la fig. i5 , dans la Jig. 16. Mais, afin de ne pas la compliquer, j’y marque seulement la trace S, T du vertical vrai qui contient la branche directe S, S menée au sommet S, branche dont la dépression TS,S ou /i, , dans ce même vertical, sera représentée par l’arc ts sur la sphère décrite autour de S, , avec le rayon i . Alors l’arc ms de la même sphère ,y représentera la distance zénithale Ç de la même branche S, S, mesurée à partir de la sécante CS,M. Or, cet arc ms peut être évalué , presque sans calcul , avec une approximation parfaitement suffisante pour notre but. En effet , l’angle TS,X étant désigné par i comme précédemment, nous avons trouvé que l’arc ml, ou 90 + 6 de la Jig. i5, a pour valeur 90°-+- wcosi; et nous avons trouvé que l’angle formé en t par ce même arc avec le plan TS,X, étant compte vers S,X, est go°H- a si ni. En lui ajoutant 90°, nous aurons, dans notre Jig. 16, l’angle dièdre total formé au même point f du triangle nfts\ de sorte que la valeur de celui-ci, comptée toujours dans le même sens , sera i8o°-f- usin/. Ainsi, dans la construction qui nous sert de type, la disposition du triangle mtr serait telle que la représente i* fis- «6 bis. Or, le côté ms ou Ç du triangle mis, se trouvant ainsi opposé à un angle qui diffère seulement de 180° par un terme très-petit de l’ordre « , sa longueur ne différera de la somme des deux autres côtés du triangle que par une quantité d'un ordre bien plus petit encore, puisque son expression, si l’on jugeait nécessaire de la calculer jusqu’aux termes de l’ordre w1 , serait ici — sin h sin- i. Admettant donc qu’on In néglige, d’après cette évaluation, ou d’après la si nipleévidcnecgéomctrique, on en conclura

h -4- w cos i , v

i <>6 astiuj.vomif

et , par une analogie évidente,

Ç, = go° Ah- wcos (/' 4- A,) ;

car l’angle oblique a, doit toujours avoir pour projection A,, sur le plan TS,X qui est perpendiculaire à la nofmale rcelle S, A,.

Les termes qui s’ajoutent à pon dans ccs deux expressions, sont ceux qu’il faut substituer à h' et li, dans l’expression de (A),. On aura donc

( i{/<:H-/i-f-<»[cos(H-cos{/-f-A,)]J-sin,-5-</, — j/i, — h — «{cosi — cos(i4-A,)]j,cos

iH — 3 » .ZT, :

I 11 sinn.

au lieu qu’on avait , dans les mêmes conditions de visibilité directe ,

~ {h !■+•!• )’sin:) a, — i A, — h)' cos1) a, R" sin a,

H8. Ges deux expressions ne diffèrent que par les petits termes dépendants dew qui s’ajoutent, dans la première, aux dépressions vraies h, h-.. Si on développait les carrés que contient relle-ci , la différence se trouverait évidemment composée de termes ayant pour coefficient ou les produits de r.> par les dépressions vraies A, h Or, ces dépressions ne sont jamais que de quelques minutes, et l'angle &> ne dépasse pas un petit nombre de secondes. Les termes dont il s’agit seront ainsi toujours insensibles dans le peu d’étendue que l’on donne aux triangles terrestres. Ils se confondront avec les erreurs des observations. Leur effet sera pareil à celui qui se produit lorsque, ayant mesuré l’angle plan a , , dans un certain état de l’atmosphère , on calcule la réduction à l’horizon avec des dépressions observées dans un état tant soit peu différent ; or, cela n’y produit aucune altération de cjuelque importance. D’après cela , nous pouvons admettre qu’en restreignant, comme on le fait, les triangles géodésiques, les angles dièdres A, A,, A,, mesurés entre les plans verticaux mènes par les normales réelles aux trois sommets d’un même triangle , peuvent être employés , sans correction aucune, cormnc formés entre les plans diamétraux d’une même sphère osenlatriceà la surface terrestre en un quelconque des trois

lOJ

sommets. Quoique l’excessive petitesse des angles u, sur laquelle cette démonstration repose , ue puisse être prouvée que plus tard , par des considérations d’ensemble, elle n’implique pas de cercle vicieux , parce qu’il suffira quelle justifie alors ce caractère que nous venons de. lui attribuer. D'ailleurs nous en trouverons des confirmations de fait dans le cours des opérations géodésiques mêmes.

89. Ceci reconnu, je reviens à la fig. i4- C y désigne, sur la normale CS, le centre d’une sphère qui, étant osculatrice, dans cette localité, à la surface terrestre régularisée, s’assimile d’assez près, comme assez continûment , avec elle , pour que les sécantes menées de ce centre aux stations S,, S, ne forment que de très-petits angles avec les normales réelles. Si l’on coupe ces trois sécantes par la surface sphérique décrite du centre C, avec le rayon osculateur local CA ou R, les plans diamétraux qui les contiennent par couples tracent sur la surface de la sphère un triangle curviligne formé par des arcs de grands cercles , ayant pour côtés ces arcs mêmes, AA,, AA,, A, A,; et pour angles des sommets les trois angles dièdres, A, A,, A,, qu’on a déterminés par l’observation autour des normales menées à ces trois sommets respectifs, la petitesse des angles u, , ai, étant supposée telle que lesangles dièdres compris entre les plans diamétraux qui forment le triangle sphérique puissent, sans aucune erreur appréciable,, être supposés égaux à ceux-là. Alors, si l’on parvenait à connaître la longueur absolue d’un des arcs AA, , AA, , A, A,, par une mensuration directe , ou par une opération trigonométrique qui le rattachât à quelque autre arc ainsi mesuré , on obtiendrait les longueurs absolues des deux autres côtés par le théorème connu que, dans tout triangle sphérique , les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Car, en supposant, par exemple, que l’on eût ainsi le cçté C opposé à l’angle A , on en déduirait ... ' .•

sinC,= sinC

sin A, sinA ♦

„ . sinA,

s»nC.=smC -r— -■ sinA

A la vérité , pour résoudre immédiatement ces équations parles I ables de sinus, il faudrait exprimer le côté C en parties de la gra-

duatiou de la sphère osculatrice, les angles dièdres A, At, A, étanl déjà donnés sous cette forme par les instruments qui les mesurent, ou par la formule qui les déduit des angles obliques a, a,, a. et des distances zénithales ainsi exprimées. Cela exigerait donc que l'on connût la longueur Dt°> qu’un degré de la graduation adoptée occupe sur le contour d’un des grands cercles de cette sphère; et cette connaissance serait nécessaire encore pour obtenir les longueurs absolues des arcs C, , C3, d’après les valeurs que le calcul, fait avec les Tables, leur assignera dans le même mode de graduation. Mais la partie principale de ces conversions devient inutile si l’on suppose , comme c’est le cas rcel , que les arcs C , C, , C, , ici considérés, ne dépassent pas en longueur 2 degrés sexagésimaux , limite qu'on ne leur laisserait même pas atteindre dans ces opérations quand on pourrait étendre aussi loin la vision réciproque. Car alors, les expressions approximatives que nous avons établies dans le § C2, page 68, deviennent applicables et suffisantes. Or, si on les emploie pour développer d’abord l’expression d’un des côtés cherchés, par exemple celle de C, , en fonction de son sinus, dont la valeur est ici donnée; puis, que, dans ce développement , on remplace les puissances de sin C par leurs valeurs en fonction de l’arcC, en se bornant toujours aux limites d’approximation que nos formules embrassent, on trouve v

ç ^sinA, i sin A, sin (A, -J- A) sin (A, — A) C1 <

' sin A ^ 6 sin1 A R1’

cl semblablement

..sinAj i sinAisin(A,4-A)sin(A, — A) C1

sin A * 6 sin1 A. R’

Si l’on effectue la même transformation par nos formules logarithmiques approximatives , on trouve également

logC,=

/CsjnAjV- Xsin(A,-+- A)sin(A, — A)C’ °k \ sin A / B # sin1 A R1’

/CsinAA k sjn(A, -4- A) sin (A, — A) C \ sin A / Z"1 6 • sitj’A R;

PHTS1QITP.

X est le module logaritlimique direct , dont la valeur est A

0,43429 448«9'ct le logarithme tabulaire 1,63778 43 1 1 3. Ces valeurs dé logC, et de logC, , données par nos formules générales, s’accordent, eneffet, avec celles qu’on déduirait directement des expressions precedentes de C, et de C2, en se restreignant aux mêmes limites d’approximation. Maintenant on voit que, dans ces expressions, la connaissance du rayon R de la sphère osculatrice locale est seulement nécessaire pour calculer les termes correctifs qui s'ajoutent à la partie principale du 'côté cherché; et cette partie est précisément celle qii’on obtiendrait si l’on résolvait le triangle A A, A, comme rectiligne, auquel cas les sinus des angles A, A„ A, ne seraient pas proportionnels aux sinus des côtes opposés , mais à ces côtés eux-mêmes. Il reste donc à voir si la valeur locale de R peut être toujours connue , assez approximativement, pour servir à évaluer ces termes correctifs, qui sont essentiellement très-petits , par le peu d’extension des triangles , à sommets réciproquement visibles, que l’on |>eut former sur la surface terrestre.

OOl A cet effet, j'annoncerai d’avance que, lorsque l’ensemble de la surface terrestre nous sera connu , par la comparaison des mesures' dc’degrés du méridien, effectuées en des régions très-distantes entre elles, et que nous aurons établi définitivement, d'après cet ensemble , la succession de nos sphères osculatrices pour toute l'étendue de la surface , nous arriverons reconnaître que les longueurs de 'leurs rayons R sortt comprises entre les valeurs suivantes, que j’exprime en toises: ,

le plus grand aux pôles R = 3282.3ooT logR = 6,5161783.4 le plus petit à l’équateur R = 327 1867 log R = 6,5i47956.

Maintenant, dans la formule qui exprime les longueurs des côtés C,, C, en fonction du côté donné C, je suppose C égal à 1 oooooT, ce qui lui donne une extension qui n’a jamais été réalisée dans aucune opération géodésique , et qu’il serait très-difficile d’embrasser entre des signaux réciproquement visibles , si l’on en avait l'intention. Ceci admis, je calcule successivement lu coeffi-