I IO
ASTRONOM1F
cient du ternie correctif avec les valeurs attribuées ici à nos OR3
deux rayons extrêmes , et je trouve ;
par le plus grand rayon = 1 5T,47 ?
par le plus petit.
Ainsi, dans ces suppositions exagérées, tant pour LXcessive longueur attribuée au côté C que pour la disproportion extrême des rayons R employés au calcul du coefficient considéré, les deux évaluations qu'on en obtiendrait rie différeraient entre elles que de oT,i, quantité dont on ne pourrait répondre, même sur la mesure directe d’un si grand arc ; de sorte que le choix qu’on pourrait faire entre ces deux valeurs du rayon R serait tout à fait indifférent. A la vérité ces évaluations précises ne peuvent être connues qu’après qu’on a définitivement arrêté le sens d’osculation que l’on veut attribuer à ces sphères, d’où résultent les positions locales de leurs centres, et les longueurs de leurs ravons sur les diverses normales où ils sont placés. Mais on pourrait , sans craindre une erreur plus sensible, leur substituer, dans cfc calcul , le rayon de toute autre sphère que l’on aurait reconnue déjà comme approchant beaucoup de s’assimiler à la snrface terrestre dans une région quelconque sur un arc de petite étendue. Par exemple, prenons pour le rayon R la valeur , qui nous
a été donnée par l’opération de Pensylvanie , comme appartenant à un cercle qui coïnciderait avec un degré du méridien terrestre dans cette région. Cette longueur sera moindre que la plus petite que nous venons d’attribuer à nos sphères osculatrices comme n’étant pas assujettie aux mêmes conditions de position des centres d’où
on les suppose décrites (*). Néanmoins le coefficient-^—, calculé
(*) Elle appartient au système des plus petit» rayons oscillateurs de ta surface terrestre, et les précédents au système de» plus grands. Voyez cette distinetion dans le Ç A8.
avec cette valeur de R pour l’exemple que nous venons de considérer, serait
De sorte qu’il rte présenterait , avec les précédentes évaluations, qu’une différence tout à faif négligeable. On pourrait donc , jxnir exclu re ici toute apparence de cercle vicieux, concevoir que les terfiies correctifs de nos formules seraient calculés avec ce rayon , ou aveê tout antre qui aurait été obtenu par quelque opération analogue , Sans avoir besoin de lui attribuer aucune relation avec le système général et définitif de nos sphères osculatrices , si ce n’est qu’il a , comme elles , là propriété de suivre de très-près la courbure de la surface terrestre en un certain sens, dans un de ses points. Mais, ceci étant constaté pour la légitimité du raisonnement, lorsqu’on entreprend , de nos jours , une operation géodésique nouvelle, on peut, sans aucun cercle vicieux, attribuer, aux sphères tangentes , sur lesquelles on suppose les triangles établis , la distribution relative des centres, et les longueurs de rayons qui ont été reconnues être les plus convenables , d’après l’ensemble des opérations antérieures effectuées en diverses parties de la terre. De sorte qu’en opérant ainsi, on obtient, de prime abord, les nombres définitifs auxquels les approximations successives conduiraient. *
91. On parvient à des résnltats équivalents à ceux qui précèdent , et ayant un degré de précision exactement égal , au moyen d’un théorème trouvé par Legendre, qui en simplifie beaucoup le calcul numérique ; mais , pour en concevoir l’application , et même pour l’effectuer avec justesse, il faut en rappeler le principe fondamental.
Ixs angles A , A , , A , d’un triangle sphérique rigoureux (Jîg. 1 4) sont des angles dièdres, mesurés au contre de la sphère par les arcs de grands cercles interceptés entre les plans diamétraux qui les limitent, et auxquels ils sont proportionnels. On peut donc les exprimer par ces arcs mêmes, indépendamment de toute graduation ; alors l’expression de l’angle droit sera un quart de circonférence que je nommerai D. Ceci convenu , soient s la superficie courbe du
6RJ
triangle sphérique ^considéré , et S la superficie totale de la sphère , res deux quantités étant exprimées dans une même espère d'unités de surface et de longueur. On démontré , dans les Éléments de Géométrie (Legendre, livre VII, prop. XXIII), qu’il existe toujours l’égalité suivante : * 4
A -HA, + A; — 2P ___ r „
Plus s est petit, comparativement à S , plus les deux membres de cette équation s’affaiblissent. Enfin , si l’on suppose que le rap-
port - devienne insensible , ce qiri identifie le triangle sphérique à
un triangle rectiligne qui lerait compris dans un élément superficiel infiniment petit du plan tangent à, la sphère, le numérateur du premier membre doit devenir aussi insensible, comparativement ù son dénominateur 8D. Donc, à cette limite finale, la somme des
trois angles du triangle est égale à deux angles droits , puisqu’elle
ne diffère de deux droits que par un arc 8D - , qui peut être sup-
posé moindre que toute quantité assignable par l’atténuation du
facteur - • .
92. Cette relation peut se mettre sous plusieurs autres formes, selon les diverses expressions que l’on peut convenir de donner aux angles et aux surfaces. Par exemplé, soit R le rayon de la sphère, exprimé dans la même espèce d’unité de longueur qui est employée pour la mesure de s , et des arcs A , A, , A, , D. Alors le contour d'un grand cercle sera 4D , sa surface -2 DR ; et , comme la surface totale de la sphère est quadruple de celled’un de ses grands cercles , l’expression de S sera 8DR. En la substituant , le dénominateur 8D disparaît, comme commun aux deux membres de l’cquation, et il reste
L’égalité qui avait lieu précédemment entre des rapports abstraits, existe maintenant entre des quantités linéaires.
PHYS1Q1TK.
9.". Autour du centre C (Jlg. 1 4 ) • décrivez une sphère concentrique à la première , mais dont le rayon soit égal à l’unité de longueur, et marquez sur sa surface les trois points où elle est percée par les rayons R diriges aux sommets A , A , , A,. Ces intersections formeront, sur la sphère du rayon f, un triangle sphérique semblable au premier, et ayant les mêmes angles dièdres. Exprimons-y encore ces angles par les arcs de grands cercles a, a,, qui sont compris sur la nouvelle sphère entre les plans qui les limitent , en attribuant les lettres homologues aux angles pareils, et concevant les arcs a, a,, », exprimés en parties du rayon t. Désignons au^si par U Taré de cetté même sphère , qui est sou tendu par l’anBle
droit; nous aurons, par une proportionnalité évidente,
Si l’on substitue ces expressions dans notre dernigré égalité il en résulte *
Rv'
Ici , l’égalité existe de nouveau entre des rapports abstraits, puis-
* if
que a, a, sont de tels rapports , ainsi que —•
94. Supposez, enfin, qu’on veuille exprimera, a, , a,, d, non plus sous cette forme, mais en parties de la graduation numérique du cercle, par exemple eu secondes de la division sexagésimale. Alors il faudra convertir le rayon i dans celte même cspèeed’unités, ce qui le changera dans le nombre qtic nous avons nounné R" ; et, en multipliant les deux membres do l’égalité par éc facteur, on aura
»R" -+■ », R" -4-, » : R" — adR"* = — fl".
Les quatre teripes du premier membre sont les valeurs dès arcs respectifs a, a, , a, , od, exprimés en secondes, ce qui transforme le dernier en ?.. C)0 . 3&)o" ou i8o°. Je les désignerai respectivement par a", a' , a* et d", ce qui donnera
I ! .j ASTRONOMIE %
Le premier membre de ces deux dernières égalités s'appelle IV.iv ccs sj/hriiffur du triangle sphérique eonsidé*'' , quelle que soit celle ites deux formes qu’on adopte pour l’expression des arcs. Je le* désignerai désormais par e dans le première, et par t" dans la deuxième ; on aura ainsi <
Quelle que soit celle qu’on adopte , on pourra toujours l'évaluer pour un triangle sphérique dont ou donnera la superficie s, en Ladivisant par le carré du rayon R exprimé dans la même espèce d’unités de langueur qu’on aura employée pour calculer s. On voit donc qu’iCr .encore dévaluation directe de i exige la connaissance du rayon R. Mais la rigueur .d’appréciation de s et elémen lésera d’autant moins importante que s se trouvera moindre relativement à R’, c’est-à-dire à mesure que l'étendue superficielle du triangle considéré sera plus petite , comparativement à la surface totale de la sphère sur laquelle il est établi.
-Q1S. J’arrive maintenant au théorème de Legendre. Considérons un triangle sphérique quelconque, dont les angles soient A, A ,, A ,, et C, C,, C, les côtes respectivement opposés; on aura rigoureusement • , ; . : .
Avec ces jnèmes côtés C, C, , C,, étendus en ligne droite, formez un triangle plan , Jrgt i «j , dans lequel A', A', , A', désignent les angles qui leur seront respectivement opposés; pour celui-ci , on aura
sin 'A', sin A'
Cj
, sin A', J sin A'
On pourrait donc le résoudre immédiatement et complètement par lés Tables de sinus,' supposant que ses angles fussent connus avec le côté C. Il est d’ailleurs évident que ces- angles doivent différer de leurs analogues dans le triangle curviligne-, puisque leurs sinus ont entre eux des rapports différents. Mais on peut prévoir aussi
’PIIYSIQUK.
qu'ils se rappnicheront de cesauemier», à mesure que la surface du triangle curviligne sera moindre, comparativement à la surface totale de la sphère, puisque la somme de ceux-ci doit s’accorder avec eux pour former deux angtçs droits exacts, à la limite finale de petitesse où ce rapport de superficie deviendrait insensible. La différence entre les angles homologues des dèux triangles doit donc pouvoir se développer en une série convergente formée avec les éléments décroissants de ce rapport, c>st-à-dire ordonnée suivant .
les puissances de — j ~ > — , R étant 11- rilVon de la - R II H • »*r' y
quelle lë triangle curviligne est tracé. En effet , lorsqu'on effectue
ce calcuK en exprimant les angles par les arcs qui les mesurent
sur une sphère dont le rayonnerait égal à l'unité de longueur, si
l’on borne les développements à leur premier terrtie ,<ce qui cji fait
seulement omettre qui ont pour diviseur R‘‘ou d<% puissances su-
|>erienres de R, on trouve
sphî-yesur la-
x étant la superficie du triangle jtphcriquv exprimée en mèmès-unités de surface que R’. Si s n’est p.ls 'donné , mais que l’on connaisse la superficie du triangle rcqtiligmx que je désignerai pars', on pourra la substituer à s , en conservant le même ordre d’approximation , et l’on aura encore • *' ,
D’après cç qu’on a vu dans le paragraphe précédent , — exprime
l’excès sphérique du triangle curviligne, lorsque l’on prciid'les ares qui mesurent ses angles dièdres sur les grands cercles d’qne sphère dont le rayoïyest i , et qu’on les suppose exprimés en parties de ce même. rayon. S», an contraire, .on veut les exprimer. en parties de la grâdnatiotl du cçrcle , les mêmes relations auront lieu * entre les angles analogues des deux triangles ainsi Exprimés, pourvu qu’on les associe à l’excès sphérique e" «exprime de la
ASTr.ONOMlF
inèrfe manière, ce qui exige seulement que l’on remplace — ou ^
nar R" ou — R" dans les écmatUftis nue» nous venons de 1 R’ R' „ ,
former.*
90. Puisque ces expressions contiennent en dénominateur- le c*rré du rayon de la sphère sur laquelle oneuppose le triangle étaWi , nous avons ici à considérer, comme dans nos formules precedentes, jusqu'à quel point l’évaluation de l’excès sphérique exprimé feh secondes de degré, comme il faut l avoir pour le répartir entre les trois angles A, A, , A, , serait affectée par les petites incertitudes où l’on pourrait être sur la valeur précise durrayon R . Car, bien que, dans une grande triangulation, l’on ait toujours soin de se transporter successivement aux trois sommets de chaque triangle , pour déterminer par l’observation les angles qui y correspondent, ce qui en donne l’exccs sphérique, sans calcul, par leur somme meme, on verra tout à l’heure que, pour la plupart des résultats qu’on déduit d’une telle triangulation , l’on est oblige de sulüdiviser ces triangles primitifs en triangles partiels, où l’un des angles est souvent inconnu ; de sorte que, pour le conclure <lc la somme des deux autres, il faut d’abord calculer théoriquement la valeur totale de l’exccs sphérique d’après le rapport de la superficie du triangle considéré, au carré R: de la sphère sur laquelle on le suppose établi.
A cet effet, je reprends les memes rayons quinous onthypothétiqiiement servi dans l’épreuve précédente, p. 109. Seulement, poulies distinguer les uns des autres, je nomme R, celui delà sphère oseulatricc polaire, R- celui de la sphère osculatrice équatoriale que l'on déploie dans les réductions géodésiques, et je désigne par R, ccltii qui nous a été donné par l’opération de Pensylvanie, comme rtant oscillateur suivant le méridien même , au lieu où cette opération a été faite. Je suppose alors que pouf un certain triangle idéjd , dont les côtés seraient approximativement contins , l'excès sphérique t" ait été trouvé égal à /\o", en 'prenant pour dénominateur le 'rayon R,. Si ce même excès était calcifié, en prenant pour dénominateur le rayon R: ou le rayon R,, on lui trouverai 1
PBYSHJUK.
respectivement pour valeur ou * ■ Or, d’après les ex
pressions attribuées plus liant aux logarithmes de ces trois rayon exprimes en toises, on a . • j.
Multipliant donc ces rapports par 4o", valeur supposée de quand on le calcule sur la sphère du rayon R, , on aurait pour sa valeur, dans la deuxième supposition, 4o",a556, et, dans la troisième, 4o",5652, au lieu de 4o" juste. Ainsi, dans la répartition «le l’excès par tiers, entre les trois angles sphériques du triangle considéré, pour le transformer en un triangle recri ligne, l’erreur possible sur chaque angle réduit serait le tijrs de l’excès de ces nombres sur \o" , ou o" ,o85 dans le premier cas , et o", 188 dans le second. Ce sont là des quantités à peine appréciables aux observations les plus précises; et, dans l’état actuel de la géodésie, on 11e sentit jamais. exposé à les avoir si grandes, parce que L’on connaît beaucoup trop approximativement le» rayons des sphères qsculatriccs lqrales, d’après les opérations antérieurement faites, pour leur attribuer îles valeurs si différentes de celles qui leur con- \ iennent dans chaque cas donné. On n’aura donc jamais à craindre des incertitudes , meme $i petites, sur l’évaluation théorique d’uu excès sphérique de. 40"- Or, aucun triangle géodésiqtie jusqu’ici réalisé n'a été assez étendu poflr présenter un excès qussi considérable. .Celui que nous avops employé, !\f. Arago et moi , pour lier la pétite île. d’Iviza à la rôttf d’Espagne , a eu pour excès sphérique 39". C’est de beaucoup' |e plus grand qui ait été jamais exé-
cuté, et la nécessité de cette jonction a pu seule nous décider à subir toutes les difficultés que présentaient les observations de signaux places à de si grandes distances. Aussi n’en trouve-t-on de cet ordre dans aucune aigre triangulation, et fiai* conséquent les excès sphériques qui s’affaiblissent comme le carré des dimeh sions du triangle y sont tous généralement si petits, que l’on n'a rien absolument à craindre dans lejir évaluation ? par l'influence
\STaoNosui
dos faibles incertitudes que pourrait présenter l’appropriation du rayon R employé pour lçs calculer théoriquement.
97. Les résultat? précédents peuvent se résumer dans un énonce général, qui a été donné par Legendre*:
t°. Étant donné un triangle sphérique, dn’nç là surface est trèspetite, comparativement à la surface totale de ta sphère, sur laquelle il est établi, comme sont les triangles géodésiques formés localement stfl- le sphéromc terrestre, si ks angles dièdres de ce triangle sont A, A,, Ai, et C , C, , C, les longueurs dés câtés respectivement opposés à ces angles,, comme le représente la fig. i4 , formel un triangle plan A'À', A',‘, fig. 17, dont les côtçs rçctilignrs soient égaux à C, C, , C,, et. dont -les angles A', À’( A’, respectivement opposés à ces côtés, aient pour valeurs , ,
A' = A — -j t , A', «= Ar.— 7 s , A',=A; —
'Foutes Iss relations que la trigonométrie rectiligne établira entre les côtés C, C, , C, de ce triangle idéal auront lieu aussi entre ors memes côtés dans le triangle sphérique , en ne négligeant que dis
termes de l’ordre — ? et d’ordres supérieurs.
Si les trois angles A, A,, A, sont donnés en parties- de la
graduation du cercle, ou sous toute autre forme convenue, on pourra aisément Calculer la valeur de s sous la meme formé, puisqu’ il est égal à l ’ excès de leur somme sur deux angles droits. On pourra encore le calculer sans avoir ces afigles, tf l’on connaît ta surface, s du triangle sphérique considéré, puisqu’il suffira eje la diviser par le carré du rayon R de la sphère , 'exprimé en unités de surface de meme natale que s. Enfin , si l’on ne connaît pas la surface exacte s du triangle sphérique, on . pourra la remplacer, dans le même ordre d’approximation , par la surface s' de ce même triangle consitléré comme rectiligne , et formé par les côtés C , C, , C, , combinés avec ceux des angles sphériques A , A, , Ai, qui seront donnés. Le ‘ J
rapport — ; donnera l’excès inconnu 1 ou 1" du triangle sphérique dans des limites d'approximation du même ordre que si l'on avait
PliYSl^UF. 1 19
pu le calculer directement //ar les cléments mentes tle ce triangle, combinés selon 'leurs rapports trigono/uétrif/ues rigoureux.
98. A l'aide de ces deux théorèmes, ks triangles geodésiques, quoique ayant leurs côtés courbes , se résolvent immédiatement par les Tables logarithçiiqu'ca ordinaires, ttenoftdMVs, de sinus et de tangentes, comme -si ces côtés étaient ééctilignes. ôti emploie donc immédiatameitt , dans le calcul, leurs. longueurs absolues C, C, , C, , telles qu’elles sont données par la meiisnfatiou , sans avoir besoin de les diviser d’abord par le rayon R pour les réduire en parties de ce rayon, et de les multiplier ensuite par R" pour les avoir en parties de la graduation du cercle, comme les IQdiles usuelles supposent les arcs exprimés. La connaissance du rayon R n’est indispensable que pour calculer théoriquemenrTexcès'sphéw rique-dn triangle d’après le rapport dé sa superficie à celle <Je la sphère, lorsque ses angles dièdres A, A, , A, n’ont pas été towrtrois déterminés par l’observation ; et son usage y est analogue à celui qu’il a pour le calcul des termes correctifs, dans la résolution des mêmes triangles par les développements que nous avons d'abord exposés. C’est pourquoi on n’a besoin de l’y connaître aussi qu’avec
une approximation d’un ordre pareil. •
99. Pour compléter ce rapprochement, je vais montrer que , dans les limites de petitesse îles triangles auxquels le* théorème de Legendre est applicable, il donne des résultats identiques avec les développements que nous avons formés tout à l’heure dans le § 89, page 108; son unique avantage, c’est de suppléer à l’évaluation des termes correctifs de ces développements, par l’emploi de l’excès sphérique du triangle considéré.
Pour donner un exemple simple et convaincant de ce fait, résolvons ainsi le même problème que nous avons traitépar les développements (§ 89, page 108). Connaissant les trois angles du triangle sphérique AA, A,, fig. 1 4 » et qn côté C, trouver les deux autres côtés C, , C,.
Puisquç les trois angles sont donnes, et exprimes, si l’on veut ,
1 11 parties de la graduation du cercle, leur somme, diminuée de deux angles droits, donnera l’excès sphérique sous lu forme 1". On
AÿTR0M>M!F.
aura donc, par le tbcorcinc.
r — c sitt(A» ~ » «")
siiii-V — «")
Je considère d’abord la première de ces relations, et, pour la rapprocher de nos développements, j’y décompose; dans les deux ternies du second membre, les jinus d’arcs complexes eu sinus d’arcs sim* pies. Puis, comme «" est toujours un très-petit arc, dont l’expression abstraite est de l'ordre^» je remplace son sinus par cette ex- * ï S
pression même — j ou t, qui le donne en parties du rayon des Tables
pr is |»our unité. Par un motif pareil, je remplace le cosinus de cet arc par l’unité, ce qui revient encore à négliger les termes de l'ordre
ou des ordres supérieurs; j’ai ainsi finalement
cos A ,N
, sin A,
c c (sin A, — posA,) ^ sin A, / ' * ' sin A ,
(sin A — j t cos A) sin A
cos A sia A ,
i est^lcjide l’ordre — 5 en conséquence, si nous développons
• lv
en série par la division , il faudra se borner aux deux
, cos A
' sin A • »
premiers termes du quotient, et négliger tbus les ultérieurs qui, étant d’ordres plus élevés, s'assoient à des.termes déjà supprimés, dans la formation du théorème. On aura ainsi , après quelques réductions faciles,
— C s!n *' J- ■ rshHAl — o, — i. ’t~K — H ~ — • V7 — *•
»A i - sin A
Maintenant, «onsidi'ixpisli^Irianglu rectiligne idéal 1 7)^ dont les côtés sont C, C,, C, de la Jig. 1 j. Si ,'tlu sommet A', 011 mène une perpendiculaire A'P' sur le côté opposé C, la longueur de cette perpendiculaire sera C, sin A’,; mais on pourra la remplacer par
(•IIYSIQIIK. 121
Ci sin(A', -4- A'), puisque, le triangle étant plan, un quelconque rie ses angles est supplément de la somme des deux autres. Sa superficie sera donj -J- GC, sin(A’, -f- A'). En la divisant par R3, on aura, avec une approximation du mémo ordre, conséquemment suffisante, l'excès sphérique du triangle réel AA,A,, /%. 14» exprimé sous sa forme abstraite, lequel sera
i CC, sin (A’, <4- A.') *’
* — â rT * ‘
Or, les angles plans A', A', ne diffèrent de leurs analogues du triangle sphérique que parce qu’ils sont chacun plus petits .d'tme
quantité égale à je, qui est de l’ordre ^y. Donc , puisque
nous
négligeons les termes de l’ordre ÿ- , nous pouvons substituer ces
angles sphériques aux angles plans dans l'expression de t même , ce qui donnera, dans le même ordre d’approximation , ,
__ i stSt(A, -4- Al) 1 t
et, par suite, en substituant dans Cr,
CsinA, t C’C, sin(A, -4- A)„sin(A, — A)
sin A
R- sin 1 A
Il ne reste plus qu’à ehdsser C, du second membre ptiur l’avoir entièrement dégagé. Or, comme il n’entre que dans le terme divise par R% il faut, ppur rester dans le même ordre d’approximation, l'y remplacer par la portion de sa valeur qui n’est pas déjà de cet
ordre, c’est-à-dire par On a ainsi finalement
sin A
j. sin A, i^in A| sin (A, -4- A) sin(A, —«'A) (7‘
siu A t> * sif> ‘ Â ’ * R '
Celle expression est identique avec celle que nous avons trouvée, § 89, page 108, par le développement immédiat de C, ; et la connaissance du rayon R n’v est non plus nécessaire que pour cal
ciller les teignes correctifs qui rendent le triangle sphérique different d’un triangle rectiligne formé par des rôles d'égale longueur.
100. Legendre a démontré que son théorème avait encore lieu pour les très-petits triangles formés sur un ellipsoïde de révolution , par les lignes de plus courte distance qui joigneut leurs sommets ; et d'autres géomètres ont étendu la même proposition aux petits triangles tracés aussi par les. lignes de plus courte distance sur un sphéroïde quelconque. Ces démonstrations, qui ont demande beaucoup d’habileté, me semblent n'ètrc que des jeux d'analyse, dont le résultat pouvait se prévoir par les simples considérations d’osculation que j’ai exposées. Quelle que Soit la forme du sphéroïde, pourvu rju’ellc soit continue, si l’on conçoit une sphère qui lui soit osculatrice en un quelconque de ses points, n’importe dans quel sens, il y aura toujours, autour du point de contact, une petite amplitude superficielle dont tous les points différeront aussi peu que l’on voudra de ceux de la sphère qui se trouvent sur les memes sécantes. Alors, quand .on aura fixe les limites de cette amplitude par les conditions. d'approximation auxquelles on veut considérer la distance mutuelle de ees points homologues comme négligeable, les lignes de plus courte* * distance, tracées sur le sphéroïde dans l’amplitude ainsi restreinte, se confondront, dans le même ordre d'approximation , avec les arcs de grands cercles menés, sur la sphère .* osculatrice. i Ainsi le théorème de Legendre aura lieu pour les’petits triangles qui y seront compris. La forme particulière du sphéroïde a’inflpe que sur l’extension pins ou moiris grande que l’on peut dônucr au théorème autour de iliaque point de contact , avec un degré d’approximation égal lj-
(*) A l’occasion du sujet qui est traité dans cctlc section, on pourra liro avec beaucoup dé fruit un remarquable Mémbiro d» Lttgrangc inséré au Journal de l’Êcolc'Voljlrehmqur. tome II, pago^ayo, où le» principe» de la trigoiiOtnétrie^phérique et le théorème de Legendre sont établis avec lino extrême clarté. Qii y voit que. le théorème fondamental que j’ai rapporté page 1 13 «été d’abord énoncé comuiQ induction par Albert Girard en iCa>), et démontré pour la. première fuis, eu i6!a, par Cavalleri.
PMVSKJl'K.
Sur la réduction à l 'horizon des tuigles observés dans . des plans ohliques.
Conservant toutes -les déterminations adopuSei.ilans la page *P> j®
reprends l'équation transformée de la page :
«inrt.il — si À1 j (s, — »,)
sin". A = -
sin s, sin 4, *
K11 retfanchanl de scs deut membres sin’ J a, j’ai
(i — sin î.'sin *.•) sir.’ j a -^>«in’t (*, — *,) «
w 4 A - itoM « = sin *, sinTj i •
Corn inc les distances zénithales c, , a, sont toujours pmi difieretftes do 90°, il sera bon de mettre en évidhncé- les -petites fiautèurs appilretvies on les petites dépressions accidentelles qui complètent le quadrant; les considérant donc comme négatives dans le premier cas, et’toritme positives dans le secônd, je fais généralement
ce qui d.ortno
# si n* \ A — sin1 \a =
sl'= go° -+- hl , s% = 90° -4- », ,
(1 — cos fcl cos /»,) sin'ÿâ — sin* \ {hr — &»)
cos A, cos ht . • •
or, on a identiquement
« sin*! A — sin*} a = sin { (A H* ftjtîn * {A — à) , et # ,
(tj- cos A, cos A.V^sirr1 J (At-+- ht ) -+- sin*{ [ht *- ht).
Ces cquivalepts étant substitué» dans l’équation précédente, ello prend la
forme qui suit : ,
(a) sin \ (A -f-*a) sin j (A^j- a) =a
sin* {a sin1 1 (A,-t->,)— cos^p nin*-ÿ(ft, — A,)
cos À, cnsT, , *
On voit alors quo le second membre sera toujours-une quantité très-petite de l'ordre du carré de A, et do A,. En outre , comme ot> prend toujours soin que l'angle a ail une notable grandeur, sin { (A-*- a) ne sera jamais assez petit |>our compensor, comme dénominateur, l’atténuation produite par les facteurs sin’A(A,-t- A,) , ain* j (A,— A,). Conséquemment sin J (A— a), et par suite l'arc A — a , seront de mémo ordre qu’qui. O'aprcs cela , si l'on consentait à -négliger le carre de A — a, on pourrait supposer A éjabii <\ dans le facteur sin i (A -4- a) , ce qui le transformerait en sift a qurest connu , et
I 2q ASTRONOMIE
l'on aurait, parcelle première approximation ,
si» J (A — a) =
sifr-* a si»'* * (At -+-AJ — cos1 1 a sin1 i>|At — Ai,) ^ * cos A, cos A, siii a
alors , en se restreignant à. ces termes , on devra considérer l’arc { (A — a) coin me proportionnel à son sinus. Donc , si on véqt l'obtenir en seconde» de degré , et qu'on représente par U" la longueur du rayon du cercle exprimé tic la même manière, comme nous l'avons fait dans la note de la page 6» ,
sin J (A — a) devra cire remplacé par ~ * — j-„ — • , ce qui , étant égalé à sa \a leur précédente , donnera , dans cet ordre d'approximation ,
r . a [sirj* •} a sin* *- (A, -+-‘A,) — cos* J a si n* } (A, — A,)) H"
cos A, cos ht sin a
Lu terme qui s'ajoute a a dans le second membre se trouvera ainsi exprime en secondes de degré, et, dans les limites de l'approximation à laquelle nous nous sommes restreint, on pourra, en le calculant, remplacer cos At , cos A, par l'imite à son dénominateur, parce que les quantités qui complu terit ces cosinus étant de l'ordre sin* A, , sin* A,, si on les concevait reportée» par développement au numérateur, elles y formeraient, avec les termes qui le composent , des produits que nous avons supposés tacitement négligeables quand nous-nou» sommes borné A la première puissance de sin } (A— a), dans l'expression de l'arc J (A — a ) en fonction de ce sinus.
Pour justifier la petitesse supposée de l'are (A — a) malgré la présence de U* comme lecteur au numérateur de la quantité qui l'exprime, il faut considérer que, les hauteurs apparentes At , A, étant admises comme trèspetites dans noire approximation, les carrés sin* J (At —h /*A ) et sin* \ (A, — AJ qui se trouvent au numérateur compenseront cette influence. En cficl , en btipposanl les arcs At et ht exprimés en secondes de degré, comme A — a ,
ces carrés seront de l'ordro 7 ^ 1
- , ce qui rétablira H" en
diviseur défini tif. Ainsi, quand on prendra lus valeurs de» logarithme» de ce# sinus dans les Tables, et qu'on effectuera régulièrement le calcul avec leurs valeurs, la compensation s'établira toujours, soit qu*on ajoute au résultat log R^^u qu'on en retranche log sin 1", ce qui ryviendia au même d'après la note de la page 62. La correction qui complète a se trouvera toujours exprimée en secondas do degré, .et cite, sera aussi toujours très-petite, comme nous l'avons prévu d'après la naluçp de la question.
f'ptte expression approchée «le la réduction A l'horizon suffi ru dan» le trèsgrand nombre «les cas ; mais, si l'on veut en obtenir une plus exacte , et même d'une exactitude théoriquement indéfinie, il faut résoudre l'équation ^j) i<hr le# série» relativement a A — a, en fondant la légitimité des développements sur fa petitesse reconnue du second membre. Pour cela je
PHYSIQI’F.
fais , par abréviation ,
sim1 \ a sin’ { (h.-t- h.) — cor* \ a un* ! (h. — h.)
J Li: --1 - -?-*■■■ — ~ = csin a,
cor A, eus h.
d'où
c sera une quaiitilc connue tfbc non» «avons être fort petite , qt ax sera l'in connue ou la réduction à l'horizon que noua voulons déterminer; alors notée équation (a) deviendra
, f sin (a -t-x) sin x = c sin a,
ou, eu développant le premier facteur,
sin" a cosxsin'x -)-cos a sin’x = c sin a.
Maintenant divisez les deux membres par cos’x, et rcmplacezdans le second
, par son expression équivalente c-t-tang’ x; l'équation ne contiendra
plus d’inconntio quo tang x , et , en l'ordonnant par rapport à ( eue quantité, elle deviendra
tanne e tango
tang* x h = -tangx
1 — c tanga I — c tung a
^ rV 0
Si l’on voulait considérer lang’x compte négligeable comparativement A lang x, ainsi que nous Pavions fait d'abord , celle équation nous donnerait tangx égal à c;ct, par suite, cette tangente pouvant être remplacée par sin x ma sin KA-«) dans le mémo ordre d'approximation , il viendrait
sin { (A — a) -=Sct
résultat identique à l'évaluation que nous avions obtenue directement avec les mêmes restrictions. Pour aller plus loin , il faut résoudre notre équation du second degré, en ne prenant Çie celle des deux racines qui donne fc nul quanti e est nul , comme notre équation primitivo non divisée. En effectuant cette résolntion , on trouve, après quelques réductions faciles ,
tanga J
tang x = — î
%Çt — cuiig<i)(
4c(l - C tnflg u)"l' tang a |
11 ne resta plus qu'à développer In partie radicalo du second membre suivant les puissances do la quantité très-petite qui s'y trouve associée à l'unitc. Cela se fera au moyen de la formule du binôme
cl l'on aura fângx avec Icllo approximation quo l’on voudra; d’où l'on déduira l'angle x par les Tables logarithmiques usuelles.
Je me bornerai , rommo exemple, àclfcctuor ce développement jusqu'il la
I2^ astboüohir
seconde puissance île c inclupivemen», ce qui revient à négliger feulement le» quantités de l’ordre Ung'x comparativement à tang x; foblien», dan» ces limites ,
tang x = e -
ung a
Or, dans un cercle dont le rayom eût pris pour-unité, l’expression d'un arc r moindre que 4’)°’, eii fonction de sa tangente, est
r = ung X — J tang" x -+- - tang'x. . . ^
Ainsi, quand on néglige le cube do tang x, comme non» l’avons fait iei, elle se réduit 4 la tangente même; alors, si l’on représente par R* le rayon exprime en secondes de ■'degré , comme nous l'avons fait dans la note de la page 6a , et que l’on suppose l’arc x exprimé de la même manière , lo rapport abstrait x
ou tang x dêvra. être remplacé par ^ , ce qui , étant égalé à la valeur trouv ce
ci-dessus pour tangx, donnera
