C«TV
x = cRir.t — — i
Ung a
et, en tvslituapl,Po«r x sa râleur \ (A — a) , il on résultera
A = o -t- acU" — — •
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Cette expression coineide, dans son premier terme, avec celle que nous avions trouvée d’abord ; elle n'^n diffère que dans le second, qui sera le plus souvent insensible et négligeable.
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wtvsiQUr.
Section III . — Mensuration par une triangulation continue. Formation des réseaux des triangles sphériques, établis cprisécütivemcnt sur la surface terrestre , dans le sens d’un même méridien. Calcul de la longueur de l’arc méridien qili les traverse. .»
KH. Dans la section precedente, nous avons constaté que si, en un point donrié de la surface terrestre régularisée, c’est-à-dire ramenée à la courbure uniforme des mers, ou conçoit une sphère qui lui soit osculatrice, n’importe dans ’qufl sens, il y aura toujours , autour du point de contact , tin petit espace, dans lequel Cette surface se confondra d’assez près, avec. la’ sphère qui l’oscule, pour que les points qui y seront eompris ne diffèrent de ceux’ qui sont situés sur les mêmes sécantes de la*sphè re que par des quantités négligeables. Alors, si l’on fortne entre trois de «es derniers points un triangle sphérique composé d’aresde grands cercles delà sphère osciiîatrice, lequel devra être cens»': commun aux deux surfaces, nous avons prouvé que-les angles dièdres de ce 'triangle peuvent , sans erreur appréciable^ être déterminés par des observations faites auteur des normales réelles menées aux stations terrestres qui Aboutissent aux mêmes sécantes. Ensuite, ces angles étant supposés ^connus , nous avons' établi les méthodes les plue convenables pour en déduire les rapports de longueur des côtés du triangle ainsi constitué. . . *
Nous allons maintenant considérer uu réseau de triangles, pareils , formes consécutivement dans le sens d’tfh mémo méridien terrestre , et s'appuyant , ou pouvant ctfé censés s’appuyer les uns sur les aptres, par dos côtés communs, comme le (^présente la JSg. i8..C$est ce qu'on appelle' les triangles principaux. d'une opération géodésiqiic. Je leur conserverai celte dénomination. Mais, pour appîjtpçer légitimement îyie telle construction , avec la continuité «^enchaînement qu’on lui attribue, il faut spécifier, dans scs particularités, ce qu’elle a d’exact et ce qui n’y estqu’approxi-
• .natif» (/••'*
(*) Pour r*vi|or tout malentendu, jo crois devoir prévenir que, dan» celte
ASTItOMIMIl
102. A cet effet , éLablissons-ln «l’abord dans l'l«\ j>« «thèse simple où la surface terrestre régularisée serait yne splièiv rigoureuse, ro «pie notis savons déjà être très-peu éloigné de la réalité. Pour abréger les énoncés t désignons par la lettre O le centre de celte sphère, et par S, ï„ 2„... les points de la surface irrégulière qui
ont servi de stations pour mesurer les angles dièdres A, A,, A„
Du ceptreO, menez les sécantes 02, 02,, 02,,.... Elles perceront la sphère en autant de points S, S,, S,,.... Ceux-ci, étant joints entre eux par des arcs de grands cercles , formeront une suite continue de triangles' sphériques tracés sur la sphère même qui exprime la configuration générale de la terre, comme le représente la fig. 18. Alors, les triangles consécutifs qui ont deux sommets communs ont aussi un côté commun formé par l’arc de grand cercle qui joint ces sommets. Les trois itngles A , A, , A, de chaque triangle, étant connus par observation , leur somme, diminuée de i8o°, exprime l'excès sphérique i" qui lui est propre. Le tiers de cet ejfcès, retranché de chaque angle, donne, par le théorème de Legendre, les angles correspondants JJ, A’,, A', du triangle rectiligne, qui serait formé parles mêmes côtés C, C, ,C,, étendus en ligné droite. De là on déduit les rapports de ces arcs entre eux. Donc, si l’on avait la longueur de l’arc sphérique qui constitue un seul des r«tés de la chaîne, par exemple SS, ou SS,, on en déduirait , par des résolutions successives , les longueurs de tous les autres côtés, le passage de chaque triangle au triangle consécutif s’effectuant par l’emploi «lu côté commun. Ce calcul n’exige point que l’on connaisse le rayon R de la. sphère sur laquelle le réseau est établi. La connaissance de l’excès sphérique i", propre à chaque triangle, y supplée.
105. On obtiendra encore un résultat pareil , mais déjà seulement approximatif, si la terre, n’ctaftl pas rigourcuscrticnt sphérique, diffère toutefois assez peu de ht spltéricitc, pour que le réseau
fig. i8, comme «Ion» toutes celles qui vont suivre, les lettres S, S,, S,,... ne désignent plus tes stations mêmes outra angles dièdres oui ôtô mesurés, mais les points où chaque sphère oscnlaltice est perrés* par les sécante» menées de son centre h res stations. !
PHYSIQUE. f | 2ij
uiitiet il une même triangulation, toujours très- pou iienclu oomparativemcnt à sa surface générale , puisse être considéré avec une exactitude suffisante, comine établi sur une même sphère, qui serait osctdatrice à cette surface, dans la partie moyenne de lalou- \ gueur qu’il recouvre. Alors, les sommets S, S, , S„... des triangles, formés sur la sphère, n'appartiendront plus rigoureusement à la surface terrestre. Ils seront situés à l’extrémité des rayons menés, comme sécantes, aux diverses stations ï, 2,, 2„î.., où l’on ainesure les angles dièdres que l’on transporte à. ces sommets. Conséquemment, pour que ce transport soit légitime, il faudra d'abord que, dans toute l’étendue de Itqtwation , les normales -réelles menées en 2, 2,;, 2,,.^ forment des angles extrêmement petits avec les sécantes correspondantes , et ce sera là une condition indispensable , pour que la même sphère osculatricc-pnissc y être partout employée. Les sommets S, Sr, S,,... des triangles sphériques ainsi formés différeront des points a, a,, où les sécantes percent
la surface terrestre régularisée. Mais J’ecart sera d’autant moindre que cette surface approchera plus de la forme sphérique, et que l’étenilue de l’opération sera plus restreinte autour du point où l’osculation a lieu. Si donc les intervalles Sa, S, a,, S,a„..., évalués sur tonte la longueur du réseau, peuvent y être supposes assez, petits, pour que l’arc de grand cercle SS, qui joint ses sommets extrêmes sur la sphère osculatrice, et l’arc ‘de plus courte distance compris entré les points correspondants a, a„ sur lu sphéroïde, ne diffèrent entre etix que par une longueur-négligeable,; la chaîne de triangles sphériques formés entre les sommets S, S,,*..., S., pourra, «la ns le même ordre d’approximation, être substituée à la surface réelle. Alors, les triangles consécutifs de celte chaîne se lieront encore entre eux par les arcs sphériques qui joignent leurs sommets communs. On pourra donc déduii'é'tous leurs côtés d’un seul d’entre eux, comme précédemment. Cette évaluation sera d’autant moins fautive, que la différence du sphéroïde à une sphère rigoureuse sera moindre, et que l’étendue totale du réseau sera plus restreinte. Ces deux circonstances concourent, si. heureusement, dans toutes les opérationsg« odésiques jusqu’ici effectuées, que l’on éprouve à peine le besoin, ou la possibilité, d’appliquer «les
T. Ul. o
|3ü * ASTRONOMIE
correciioiis^appréciables aux longueurs tpi’on obtient en les calculai^ ainsi.
103. Essayons toutefois de nous approcher davantage des réalités. Ne supposons plus tout notre réseau appliqué sunthe même sphère oserilatrice ; mais formons chaque triangle sur une sphère osrulatricc qui lui soit propre , en y déterminant toujours ses sommets par l'interatction des sécaqtes, menées de chaque rerttre aux points. iV'-w ->■ de la surface terrestre, qui o0t««m de s ta-
lions pourmcsiircr les angles dièdres entre les normales, et qu’une même sphère osculatrice («eut embrasser. .Mois les triangles consécutifs, dont deux sécantes aboutiront aux mêmes stations, par exemple a Vet *àJb, aifront leurs' sommets correspondants Sf, S., physiquement distincts, excepté dansleeas, iniiniment particulier, où ces deux stations se trouveraient à la fois sur l’une* et l’autre sphère, ce qu’exclut , en général, la condition d’osculation locale que l’on suppose remplie ailleurs qu’en ces points-là. Les arcs qui joindront, sur clutquetsphère, ées sommets distincts , ne seront • plus coïncidents. Ainsi , les triangles auxquels ils appartiendront n’auront plus de côté commun qui les rattache l’uAyl l’antre, et qui puisse servir d'intermédiaire rigoureux pour passer du premier au second, puis de celui-ci aux suivants, par un calcul continu.
iOd. Néanmoins, dans ce cas encore, la jonction pourra s<faire, sinon rigoureusement, du moins aveé des conditions (IVr reurs ^ortt les effets deviendront pratiquement négligeables, on même insensibles, quand l’étendue individuelle des triangles sera extrèmément petite comparativement à la .convexité générale du sphéroïdtx, ainsi que edaui toujours lieu dans nos o|k-rations de géodésie.- Poiïr ne pas hous jeter dans des abstractions mathématiques éloignées de notre bnt, admettons que la surface terrestre, dansee qu’elle a de régulier, soit représentée, avec toute la précision réalisable, par un ellipsoïde de révolution, avant son axe polaire dirigé vers les pôles célestes, et à peine plus court que l’équatorial; œ qui le rend très-peu différent d’nnc sphère rigoureuse. C’est*, comme je l’ai annoncé, le dernier résultat auquel on parvient, et l’on y serait déjà conduit par le» approximations
. t g^VStgCE. *3l
précédentes. Dans irtie telle configuration , si l’on trace sur noire fig. 10, In courbe PSM„ , (jour designer l'arc •uiçridien mené par. le premier sommet S, îi travers le reseau des triangles, ce sera uir arc de l'ellipse génératrice. Toutes les normales, menées au sphéroïde) en divers points de cet arc, seront'çom prises dans un meme plan contenant l’axe polaire; ci-toutes les sphèrçs, qui seront transversalement osculatriccsau méridien considéré, auront leurs centres répartis, sur cet, axe, à une très-petite distance autour du centre du sphéroïde, avec leurs rayons R extrêmement peu différents entre eux, comme on en peut juger par leurs valeurs extrêmes que j’ai présentées paravanee page-'ioç), Employons ce système de sphères pour y placer les divers triangles discontigus, dont se compose notre roseau, et considéronS-y spécialement les deux premiers désignés par les n°* i et 2. Pour faire bien sentir ce qu’ils ont de different et de commun, je les reproduis séparemcnt/S£- 19, avec- des conditions de discontiguïté monstrueusement exagérées. Dans le n" y, je suppose que la sphère focale sera osculatriee en S, et aura pour rayon R. Ainsi ce sommet sera tiu.point de la- surface terrestre régularisée. 2,, {{ désignent le* d eus autres points, distincts , mais toujours très-peu distants de cette SHrface, où l'on a -observé les* angles autour des normales réelles. La sphère s’en «■carte,, et les sécantes menées de son ceafie à ces points vont percer sa superficie en S,, S,, en formant , aéèc ces normales, des angles extrémemen.t petits. D’après cela, on transporte aux points S„ Sj de la sphère les angles (licdresobservés en 2,, £3, et on les applique au triangle sphérique SS^ainsi construit. Passant ail triangle n“ 2, l’osculation s’y fera, en un point quelconque de sa superficie, par une autre sphère du rayon R', quelque peu différente de la première, tant pour laépqsitiun de son centre sur l’axe polaire que |KUir la longueur, de s6d rayon. Les sécantes menées de ce centre aux memes points précédents 2,% 2, déterminent, sur la deuxième sphère, les points S|,*S', qui, joints entre eux et à S, par des arcs de grands cercles tracés, sur sa superfyâc propre, y forment le triangle sphérique il® 2r dont le côté S', S', est nécessairement disconligu gvcc S, S,. Cette discontiguïté n’est même pas détruilq par la supposilion cnjdnmnc aux deux triangles, «pie leurs sommets propres
s'éfitcs no lussent
l3a ASTRttUdrfÎB A
s'écartent à peine des pointe V ï>, puisque letfrs’i pas, pdtir cola , d'ifppài tenir ii des splièves distinctes. i\îî»is, s^n-* qu’elle cessât d’cxîsrtr mathématiquement, ort 'pourrait so dispenser d'en tenir compte, si les étendues des deux triangles étaient tellement restreintes, que la petitesse de l'intervalle compris sur l’axe (Milairc entre, les centres îles sphères qui leur sont respectivement osculatrices, et l'égafilé presque exacte des'Vajons de cès sphères qui en serait la conséquence', rendissent le defaut île coïncidtqjce des deux côtes S, S,, S , SV , insensible aux observations; en sorte que l’on put, sans erreur- appréciable, considérer la distance qui les sépare comme nulle, et attribuer des valeurs communes aux angles-, ainsi qu’aux arcs, appartenant à leurs sommets distincts. Alors le résultat apparent de cès circonstances serait Je même que si les deux ‘points S, et S’,, S, et S'., auxquels ces sommets distincts correspondent, pouvaient étrè censés compris sur une même sphère osculàtricd. Or, puisqu’un même réseau de triangles peut déjà, presque sans erreur, être calculé, comme s’il était appliqué tout entier sur une sphère oseulatrieP unique, à plus forte raison peut-on , sans crainte, négliger la différence première des rayons, et des positions dus rentres de ces sphères, pour deux triangles consecutifs très-pet itï, sauf à reporter idéalement Je côté de jonction de ces triangles, d’abord sur la sphère qui précède, pms'surla sphère qui suit immédiatement, sans étendre l'assimilation phÜ. loin.1 Cette tolérance étant admise, un même réseau, quoique compose de tridVigles physiquement discontigus, pourra être calculé par les mêmes déductions que la contiguïté fournirait, pourvu que l’on connaisse par observation l’excès sphérique t" propre à chaque triangle; ou, si cet excès n’est pîri donné, pourvu que l’on connaisse lés ta vous des sphères osrulatriees successives avec, une îfpproximafiort-qiii permette de le calculer théoriquement, par le ihéottmc de Legendre. Or nous avons prouvégne toutes les opérations déjà faites sur la'riièsurede la terre fournissent des données' plus que suffisantes pour cet télé valuation.
IO(j. La continuité- du réseau des triangles prinri|x»n.\ étant ainsi étahlieisoit rigoureusement, soit avec une approximation qui’ rende leur discontiguïté insensible, il faut avoir la longueur d’un
PHYSIQUK.
quelconque tle leqrs côtés. Mais la mensuration directe de ceux-ci punirait être souvent rendue très difficile , ou même impraticable par des accidents Je localités auxquels il n’èst jias nécessaire tl avoir egard dans leur choix. On y supplée en Rattachant un ou plusieurs d entre eux par des triangulations secondaires, à d'autres ares sphériques, ordinairement d’une moindre longueur, sur lesquels celte operation peut être effectuée exactement. Pour celâ",
' laits l’etendue que l’on découvre d’uue des stations, par exemple autour de la premières, on choisit un terrain à peu près de niveau, et I on y mesure, avec tous les soins que nous avons décrits, nitc base rectiligne horizontale If lî, , Jig. 1 8, contenue toutentière dans un même plan vertical, ou entre une suite de verticales qui s'occultent mutuellement les unes les autres, ce qui la fait sensiblement coïncider avec un arc de grand cercle de la sphère qui sefait oseulatrice à la surface terrestre régularisée * au lien où le trace est ainsi effectue. On réduit par le calcul cette base à la longueur qu’elle aurait entre Ici mêmes sécantes de la sphère, si elle s’y trouvait placée a la hauteur de la mer environnante, et on la rattache à l’un des côtés de la chaîne générale, par exemple à SS„ par de petits triangles s phcriqucs,dont on détermine tous les angles au moyen d’observations faites autour de chacune des normales menées à leurs divers sommets. Ces angles étant ainsi connus donnent l’excès sphérique s propre a chaque triangle de jonction : de là, par le théorème de Legendre, on déduit les longueurs rétives 'de leurs côtés, par conséquent celle de l’arc SS, en fonction de l’arc Liiîj, et cet arc donne ensuite tous les autres <;é tes de la chaîne,, comme je l’ai expliqué, soit qu’on les place en succession sur. la première sphère oseulatrice,. ou sur d'autres ultérieures, progressivement différentes de celle-là par des changements infiniment petits. Quandce calcul est terminé, si l’on mesure une seconde base bb„ que l’pn rattache de meme au dernier côté de la chaîne, elle devra se , déduire de la première, sans erreur appréciable, par l’intermédiaire des triangles qui l’en séparent, supposé toutefois que les étendues superficielles de ces triangles aient été assez, restreintes polir qu’on puisse legitimenjent leur appliquer toutes les conditions d'approximation spécifiées plus haut, tant pour les évaluations de leurs
angles dièdresjquc pour la continuité de leui' connexion, 1. accord que-l’on trouvera ainsi par déduction, entre les deux bases extrêmes, comme entre celles-ci et d'antres rapportées à «les côtés iuterroédiaïres de la chaîne, prouvera donc que fes conditions ont été suffisamment remplies. Or c’est ee qui est arrive dans toutes les grandes oÆra lions géodésîqucs effectuées deprtis ntt demi-siècle, en diverses régions de la terre, avecJes soins que la perferlion des instruments et des méthodes d%bservations a permis d’v apporter.
!07. Mais ôn a encore line autre vérification de ce fait qui peut Rappliquer en particulier à chaque triangle. .le prends pour exemple le premier S S, S, de la/îgr. , 1.8 , et je suppose que la longueur de lion côté SS, «été conclue de la triangulation qui le rattache a la base lt B,. On a obtenu, par observation, les trois angles sphériques en S, S,, S, : ils ont été eonçltts, sans réductions, des mesures antrfllâires faites autour desnormales réelles, menées aux trois points «le la surface terrestre, situés sur le prolongement des sécantes mencefr du centré de la sphère oscfcilutrice locale , jusqu’à ces mêmes pointé, .k* nomme ces angles A*, A,, A„ en leur donnant l’inïirc du sommet auquel chacun d’eux appartient-. Maintenant je prends pour uniques données Jes angles A, A,, et la longueur connue du côté SS,, qui sera C,. Si l’on considère le triangle SS, S, comme rectiligne , on pourra avec ces éléments calnder sa surface s' ;^t, en la divisant par lé carré du rayon H propre à la sphère osculatricc locale , ou même à toute autre quelconque de êcs sphères, telle que celle que nous avons conclue par mensuration directe de l'arc de Pensvlvanie, on obtiendra le nombre de
jW
secondes 1' ou ^R" dont la somme des trois angles du triangle,
considéré comme rigoureusement sphérique, devra surpasser 180°; de sorte que cette somme, A -4- A, -t- A, aura pour valeur t8o°-f'i". Donc, les deux angles A, A, étant connus, 011 en conclura le troisième A, égal à 180” 1" — A — A„ dans la même
^hypothèse de 'sphéricité. Or, entre les limités d’etendue superficielle où l’on restreint généralement, et • presque nécessai rement, les triangles géndésiques , cette valeur de A,, Ainsi calculée, se ironvei a toujours, sans différence appréciable, «-gale à l’angle diè-
dre observe au sommet S, entre les plans verticaux aliènes par les lieux autres sommets S, Sj, et la normalq réelle propre à ce point. Cet aeeoril prouvera de*uc (ju&ÆtendUe snperlicieJlc où l'on a restreint ce premier triaugle principal, satisfait suffisainmcnl à la enuilition d’osculation qu’on lu! suppose j et huuéuic épreuve, repétçe sur tous les autres triangles de la chaîne, fournira une pareille justification poun-chaeun d’eux.,
108. , Je considère maintenant le réseau de la.ytj». iS dans sou ensemble^., et , le sppposant établi dans le sens du inériJüm,du premier sommet S, je marque. sur la surface commune la trace SM„do'ce méridien, prolonge ,\ travers tout le systèiucdes triangles, suivant des conditions de direction successive que nous ojlons ulte
i ieurement déterminer. Je prolonge aussi ce même méridien, dans lé sensopposé, sur la surface terrestre, jusqu 'au pôle le plus proche P, que , pour fixer les idées, je supposerai être le boréal. Si la terre est rigoureusement sphérique, eo. sera son pôle boréal réel. , Si cHe ne l'est pas, ce sera le pôle de la sphère qui lui est osculatricc en S, et sur laquelle le premier triangles S, S, a été établi. »
109. On connaît, parles observations précédentes , les trois angles, et lçs trois côtés de copremier triangle. Puisqiubsalisfail aux rnndiiionsHT osculation , la portion du méridien qin le traverse sera représentée, sur la sphère osculatricc, par un arc de grand cercle S mv dirige suivant la méridienne locale de S. Pour connaître cette direction , on relèye astronomiquement l’angle dièdre qu’un •fes côtés principaux , par exemple SS,, forme en S avec le méridien ce leste. J'expliquerai dans nn moment le detail de cette opération. L'angle S, Su;,, ainsi obtenu, est Y (izinmtdc ce côte su ri' horizon de S: je le nomme i. Alors, le triangle partiel SS ,///, étant ÿuppbsé sphérique, qn y connaît le côté SS, et les deux angles adjacents, A,. Si on le traite d’abord comme rectiligne, on obtiendra avec ces données
sa surface approximative x', et par suite son excès sphérique -j— R' A , • lé
ou s", R désignant le rayon de la sphère osculatricc locale, ou, à son defaut, celui de toute autre «le ces sphères que l’on aura déterminé antérieurement. On aura ainsi la somme des trois angles iHo" e", d’où Ion conclura le troisième S ///, S„f]ui aura pour
astho.xomif
valeur l Bo" «+- *" — i — A... Alors, avec le coté SS., qui est connu, le théorème de* Legendre donnera leS deux autres côtes de ce triangle partiel. L’un, "Sm, , sera la portion du méridien de S qui est interceptée dans le premier triangle principal SStSj. L’autre, S?»/,,*scra un desVgments dans lesquels il subdivise le côté S, S3 opposé à S et l’on en conclura la longueur du segment complémentaire ru. S,, puisque S, S, est connu. On aura aussi l’angle S///, S, supplément de 5 ni, S,v et sa valeur sera / -+- A,. — ■
. HO. Passons de là au detfaieine triangle principal Si S.. S,. Pour avoir la portion dtt méridien de S qui s’v trouve pareillement interceptée, je considère d'abord ce méridien comme plan. Cette supposition serait rigoureuse si la terroavait une forme exactement sphérique; elle l’est encore si sa surface est de révolution autour de l’axe polaire de la sphtje céleste, ce qui se trouve être la condition definitive delà forme à laquelle on peut l’assimiler. Mais, sans admettre par anticipation ce dernier résultat, il suffît qu’elle soit incontestablement très-peu differente d’une sphère exacte, pour que, dans la petite étendue de longueur méridienne qu’un même: réseau trigonométrique embrasse, ses méridiens puissentétre supposés plans, avec une .approximation dont l’erreur possible sc décéléra par les erreurs mêmes que les conséquences de cette hypothèse pourraient présenter ultérieurement, lorsqu’on les comparera avec les réalités aux' deux extrémités -d’une très-longue chaîne, dont les portions consécutives, auront été ainsi évaluées. Admettant donc que la seconde portion d’arc méridien /;/, m„ interceptée ici dans notresecond triangle, doit être l’intersection de celui-ci par le prolongement du plan méridirti qui contient Sot,, l’arc sphérique m, m, ne pourra pas être le prolongement circulaire de l’arc S/n,, puisqu’il est censé décrit sur une seconde sphère osculatrice differente de la première par la -position de son centre, ainsi que par la longueur do son rayon, ces deux sphères ayant seulement leurs plans méridiens coïncidents. Pour rendre l’effet de cette séparation manifeste, je construis, dans 1 afig. ?.o, l’intersection de la surface reelle, par les plans dont il s'agit. La lettre c j(<lesigtic le centre de la sphère, qui est oscillai rice transversalement au méridien en S; ni, est le .point où la ligne incridionnt de ccttc station, considérée comme circulaire, va
couper le côje S, S. du triangle n° j de la fig- 18. De ce point je mène une nouvelle normale ni,cï, qui percç l'ellipsoïde- au poiih distinct du premier, mais qui en est assez peu (listant pour que l’on .puisse considérer comme qui l'intervalle qui les sépare, c, u, sera le rayon de la seconde sphère, transversalement oseulatriceau méridien en p,; et l’arc [t,m„ compris de même dans le plan de la., (Igure, représentera l’élément de l’arc méridien prolongé sur sa surface, élément dont nous voulons déterminer la direction dans le deuxième triangle, de la J! g. 18. Pour cela , par les points im, , jz, J considères compte coïncidents , menez, deux droites indéfinies," vu,/,, pfp©,, l’une tangente' au premier arc-, l’autre un second. Le plan qui, contiendra .ces deux tangentes tracera sur la seconde sphère la‘drrection de l’arc ntéridien y, w«, et% déterminera l’angle azinuital 0,y., S, , 011 m1in^„ qu’il doit- former dans la ftg. 1 8 avec le segment w, Si, suppose" commun aux deux sphèfés Or, les angles formés ainsi par les deux tangentes avetfr ce serment , commun ne différeront entre eux que par Itne réduction à l’horizon, qui, en restreignant suflisammeDt les triangles, pourra être rendue négligeable ,< tontine étant proportionnelle au carré du sinus de l'angle cm,c„ contpris, dart3 la fig. 20, entre lesdroites mé- • nées de ni, ou de y, aux centres deS deux sphères. Ainsi oiraitr.Vle droit de la supposer telle, en prenant -les précautions necessaires pour que cette condition soit remplie , et Constatant son accomplissement par des vérifications ultérieures. Ceci admis, regmiçBS la fig. 18. La première tangente, menée extérieurement en ni, à l’arc S»»,, forme avec le segment ntjS, un angle-Svii,/, égal son opposéS(w,S„ du premier triangle. Donc la seconde tangente menée de ce même point 11», à l’arc m, ni,,. devra former avec»; niènie segincnt'im angle sensiblement égal, précisément comme si le! premier arc^Sm, était prolongé directement sur une même sphère. C*Ue condition d'égalilé donnera l’a/.iuiut m, m, St, ou f, que le segnienr.<s?7i/1 du premier triangle principal forme avec la direction du m^'isdicn i(j,(i» „ darfs le second trianglp, auque^ ce moine segment j>eut étri^ccnsé aussi appartenir, conimctimis levons prouvé. On sera donc ici exacteinpnt dans les mêmes comlitious où l'on était pour le premier triangle principal quand on a entrepris de déterminer
ASTROXOUIK
la portion d’arc méridien S ni, qui s’v trouvait interceptée. Kn opérant absolument de la même inanière-.pour le ras acUiel , on déterminera i° la portion d’arc méridien m,!n,, intercepter dans le triangle* n 9 2, êntre le premier point de rencontre ot, et le second point de rencontre m„ que l’on appelle des noeuds; -2° on aura par difft'-rence les segments S* ni-, mrS, ; 3° enlin on obtiendra l’angle sphérique ot,ot,S, et son supplément m,m', S,. Cela donnera, par égalité , leurs opposes 8, w,OT.tf-S*m, m„ qui seront les azimuts (les deux segments, sur l'horimn de ni,, autour de ni- ni., prolongelirejnt du méridien primitif dans la partie ultérieure du roseau 111. Maintenant jë ne suppose plus que lé méridien terrestre • |iû passe par le sommet S doive être plan ;»et , sans rien préjuger sur sa frWhe M’emploie la construction précédante pour tracer sur le sphéroïde , quel qu’il puisse être, une' ligneapii , partant de S, avec la même direction méridienne initiale, se prolonge à travers It reseau des tr iangles avec la même condition d’égalité a/, imutale . i^ilre les angles tangefttiêls' opposés de chaque nœud. Considérant " d’abor d les deux premiers déments Sot, , ot, ot, , en leur seule (MialitéAle grands cercles tracés sur les deti\ Sphères oSculatrices . consécutives , ils seront sur chacune de ces sphères les lignes de * plus coin te distance qui puissent être menées entre les points qui les terminent; et, Si l’mv suppose leur étendue individuelle suffisamment restreinte, la même propriété aura Heu sur le sphéroïde pour lus arcs qui en seront les projections. Maintenant, d’après réalité azimutale établie en ni,, si l’on conçoit ces deux segments repliés dans le plan tangent à* ce jioint , ils se trouveront y constituer une même ligue droite, qui mesurera, sur ce plan, la plus courte distance des points- extrènics'S, », ainsi repliés. Donc, en les replaçant sur le sphéroïde, avec la petitesse que nous leur attribuons, ils y formeront unecourbe qui jouira de la mênic propriété , laquelle se transmettra à tou» les démVnts circulaires ultérieurs qu’on èn dérivera suivant la même condition d'opposition a/.imulale. Ainsi , quelle que puisse être la figuredé la terre, la lignedon née parce tracé sur sa surface régularisée sera définie par les deux propriétés suivantes : i° d’avoir son premier élément tangenfig) au m^mliéu de S ; a” d’etrrla plus rourte que l’on puisse
• PI1VS1QU».' I 3q
mener sur le sphéroïde, entée deux points quelconques prisii volonté sur sa direçtym. ,* f
112. Ayant établi cette conception générale, je reviens attiras ceel où cette ligne , bornée à une (-tendue suffisamment nfttreintc , se trouve coïncider, sans écart appréciable, avec les méridiens ap parcnt£-des points qui la composent, cë qui revient à supposeï les méridiens terrestres sensiblement plans sur la.petite amplitude qu’elle embrasse; et je vais chercher à déterminer trigonomé-
triquement les longueurs de ses éléments successifs; à travers le
reseau total des ' triangles 'qu’elle doit traverser.
La fit'. r8 représente le triangle principal n° 3 , comme ne coupant plus le méridien prolongé dé S. Cela a etc fait à dessein, afin d’en prendre occasioh'de considérer un. tel ca». Suivant donclés particularités qu’il jtçrscntey, je prolongé' idéalement l’arc degrand cercle S, S,, jusqu’à sa rencontre en ///3 avec- la iméridieMNj de w/doYit nous venons de tracer le prolongement. Alors, considérant le triangle sphérique S./w,/w„ on y conjiaitrïi, par ce’qui précède, le côté m, S, et l’angle S On pourra avoir aussi l’angle ni^ia,, puisqu’il est le supplément de S J» ,S, daus.le triangle principal précédent. On ' en déduira donc , i° la portion d 'a rc^ méridien /«,///,; 3“ le segment Sj//»j ; 3° l’angle S//i,/n, dont le'fcupplement à 1 80 degrés sera l'angle formé par ce même -seg-
ment avec Ha direction de la méridienne m,ms , prolongée' snr la sphère osculatrice suivante:
Arrivés ainsi au point /n:., notre fi g. 18 nous présenté un quadrilatère sphérique /n,SjSii». , où nous connaissons deux côtés S^m,, S Ss, avec les trois angles en m,. S,, Sl,:que l’on peut déduire des résultats précédents. Alors on traversertfc-e -quadrilatère par un arc de grand cerclé auxiliaire Si/n,, ce 'tpi i le partagera en deux .triangles sphériques. Le premier «1 ,S ,Sl pourra d’abord se résoudre, puisqu’on ÿ connaîtra les deux côtes S,/h,£S, Si avec l’angle compris en S,. On obtiendra donc ainsi le côté wi,S4, a* les deux angles adjâcents'inlyieu^s. Çenx-ei étaijt retranchés des angles S,/«j»»4, 9,Si/«i, îpii soht connus par les calculs précédents.
mi peuvent s^m<iédtiire, on aura^adans le second triangle //i,S»'"j» le côte m, Si avec les deux angles Ütljacénts. On pourra donc rflrorc
AWilOMt.MIK
resortdre ce triangle, et trouver ses deux attires angles ainsi que la portion de l’arc méridien /«///s,.*ituce sur le prolongement de S»*,. Par des combinaison»»- pareil les ou aTtalogucsî convenablement appropriées à la disposition du réseau de trianglc»tpie l'on considère, on obtiendra finalement toutes lès portions de l'arc méridien qui s’étendent depuis la première. station S, jusqu'au point m„ où cet aro, est coupe par le Cote le plus austral du dernier triangle, que je désigne par SaS, dans notre figure, S. étant la station la |dus australe de ce même côté. On pourra utilement, dans le cours de ce calcul , varier les combinaisons géométriques- qui sont propres, à donner diversement les portions successives de l’are total , ce qui servira pour vérifier l’exactitude de son évaluation. C’est ce que j’ai indique ici , en formant le uœud intermediaire' ni. par le prolongement Circulaire du côté S(Ss. Mais il faudra éviter cclles de ces combinaisons (pii, donneraient des triangles dont les cilés auraient des longueurs trop exagérées.
1 15. Quand ou est arrivé au dernier sommet S,, on se place à la station située sur sa normale, et l’ou y mesure astronomiquement la distance du pôle au zénith, comme on l’a déjà fait en §. Je la de-signe par ri' :• Du point S, on conçoit un are de grand cercle S, N , merté perpendiculairement au méridien primitif. Cela forme le triangle sphérique S *m„N, rectangle en N. On cannait déjà , par les opérations precedentes, le point d'intersec lion m, du dernier côte avec la méridienne prolongée, qui
est contenue dans ce môme méridien. On a aussi la longueur du segment S.///, que'je nommerai A»-*-’! > en otitre, l’angle S„w„IN qu'il forme^ayec le prolongement austral de la méridienne , puisque cet angle estégal, par opposition, à l’un de ceux qu’on a précédemment obtenus. Je le désignerai par /, comme dans le premier triangle , en atlribnant ici à cette lettre sa valeur locale propre. Avec ces données on (aïeule, ,1° la portion de la méridienne mjf qui est un pôté du triangle sphérique ainsi formé; a° la longueur de l’are per- |téndiculaire quejedesign&parA,ct^piicstun autre côte de ce triangle. L'drc N ajoute aux portions de la méridienne déterminées précédemment donne fan total, compris dr|tuis le premier sommet S jusqu'au pied A de l’rtrr perpciidieulairc. Maintenant,
, •; PKTSJQW.. ,*; ' Sl4l
connaissant. S„N ou et la di^ancc du pôle ail zénith en S„ que j’ai désignée par dé, on détermine l’arc de la méridienne qui est compris entre -la perpendiculaire S„W cl le parallèle de S„. Ce calcul est exactement pareil iLcelqi que nous avons fait page JSt, pour la deuxième portion de l’are méridien de Pensvlvanie \ et il s’effectue par ldi môme» formules. Seulement, dans la fig. iS que nouj&considérom actuellement, l’arc jlM, devient additif à Impartie de là méridienne déjà trouvée, paree que notre dernier sornmetjg, est supposé iq plys distant qçç m„ du pôle P, ce qui était le contraire. alors, fig. Ici donc on ajoute à sA déjà
— ! 4 y J- wf ■; > r — ^ - * .
Cette roduclidnest indiipensablo darUjUfufef les opéralUfijs analogues à celle que nous considérons ici lorsqu'on les calcule par la résolution suc- . ressivc de» triangles sphériques dont les côtés principaux ou partiels vont couper Dlwoiue orc (le méridien en divers points de son prolongement; c’est pourquoi je rappellerai ferle raisonnement qui la donne, cri l'appliquant, avec quelques additions de détaili*, aux derniers cléments do la faj iî$, que; je reproduis sur une plus grande échelle, figrîi.
Dans cet fe dernière liguço, NM» éèprésenlele prolongement final du me* ricMcii primitif auquel on a mené Tare de grand cercle perpendiculaire- S»N , dont la longueur S a clé trouvée par la résolution' du triangle sphérique S«m„N de îh fig. 18. t»e triangle S»NM«t formé: par- cet orc A et par Pays de parallèle S»M», est établi sur la sphèrcfqui est osculatrice en S» irons • verbalement ati méridien propre du sommet S* ; ainsi l'arc S» M» est un petit cercle de cette sphère. $1 la terre est exactement spHoriqnc, la sphère ainsi décrite coïncide complétaient actuelle* L'arc S,.^, mené, sur sa surface, de S» au, pôle commun 1*, sera situé dans le méridien propre de S», et il soutendrn, au centre commun, l'angle «T, distance du pôle au, zénith qu'on a observée à celle station. Si la terre *est de révolution autour do Pax« polaire du ciel, et que l'on prenne pour sphères osculatrice» celles qui ont leur» centres sur cet axe, la coïncidence des plans méridiens aura lieu encore, et l'arc S» P, mène du sommet S» à l'axe polaire commun, sur la sphère osculatrice en S», soutendra aussi à oon centre l’angle d' qui aura été observé alors entre le pôle céleste et le prolongement zénithal de la normale en S». Je m'arrête à cette seconde supposition, plus approchée de la réalité que la première, et qui- est la dernière à laquelle on est conduit par l'erttumblo do tous les résultats observes. Ceci convenu , sciant D' la longueur do l'arc PS*. sur la sphère osculatrice, et ÏT la longueur de l'arc PN qui est sa projection sur le méridien de celle môme sphère contenant Para NM* du rferidien primitif prolongé. L'nngje au pôle P, compris entre les plans de ces d Aux méridiens, est toujours fort petit, h cause de la petites^» dé , l'art*, A, corqppralivcmenl h les apgjjcortort#. Conséquemment n'est
, ASTJtO$(lMIF.
trouvé, et loft a l are lolal Ue la nieçidienhe ()m est compris entre les parallèles des deux sommets extrêmes S et S„. Une reste plus qu a diviser cette longueur parda différence des distances du pôle au zénith , observées dans les deux stations ï, situées sur les normales de ces sommets, en exprimant cette différence en degrés et
moindre que D’ et en diffère pon.-Maintenant , parle sommet S,, décrivons, toujours sur la sphère osculnlricc, le petit.cerdhr qui y forme, -Je parallèle propreté cet to station, ot supposons qu'il coupc le prolongement du méridien primitif ç.n M.. L’arc PM- sera alors .égal à PS,, ou D', par définition. Ainsi l’arc NM, que nous voulons évaluer est D'— II'.
Pour calculer cette diOefcrvc, je conçoit , paille centre do la sphère, trois verticales menées respectivement aux points P, S,, N; et, pais ce même centre, je décris une sphère du rayon i gui coupe ces trois d roites.en autant de points que je joins par ties ares de grands cercles. Le triangle central ainsi formé sera semblable au triangle PS, N , et conséquemment rectangle comme lui. Si l’on désigne par d', s', £ ses cèles homologues à D , II', A, on aura évidemment
-• iy=$rf',‘ n' = Ht', a = B>j.
Maintenant, dans ce triangle rectangle central , l'hypoténuse de l le cdlt* d' seronlliés à S par la relation
• eos d’ — cos a' cos £.
C'est précisément la même équation que nous avons déjà obtenue dans la pag0 78, pour un éas de réduction absolument pareil ; et Ici, de mèmè, la petitesse de l’arc S doit rendre à' - sr'-très- petit du même ordre. Employant donc le même genre de raisonnement que nous lui avons alors applique, noua en tirerons, comme dans la page 80, et, en Ire des limites d’approximation pareilles :
1 tang* d'J tang d'
d'- tr'=.
- rb -
i tang d ' • 4
Los arfes d', ;r', £ appartiennent à la sphère centrale;’ si ois les remplace par leurs valeurs en D', 11', A dans les termes qui sont dégagés de signes triflonométriqnes, on aura
R • 4ta,,c ^
1 + •rMu'rg’d') r>'
L’angle d', qui reste sous le signe tangente, est la distance du pèle au iénith observée à la dernière station ï„, cl transportée au sommet S, mr la méjue normal^. Ellejasl, conso<|fccmmont , connue on partios de la [fTadua- ' tiun du cercle . et if ^aût l’einjile^eit jinsi (lans le calcul du second «jéw -
< > *,nysiQ«v . t
frac tions de ilegte ,^t Ja g^adjiation du cercle .sLe quêtieqt sdra le dwgrf moyeû D<0) résultait de l’arc total ainsi .mgsn ré. Si eet arc «st assez, grand pour que les variations de» degees terrestres puissent y ètrese nsi b lésion si l’on, veut senlement y constaterleur caractère , soit de constance, jsqit de variabilité, on mesurer;» la distance du pôle au zénith dans plusieurs stations intermédiaires entre les extrêmes ; et l’on çomparera les valeurs des degrés l)«l> qui correspondent aux divqrs'intervalles de leurs parallèles consécutifs. C’est ce qu’on a fait dans la grande opération de France et .. d’Espagne j et nous rapporterons bientôt les résultats que celte sub- • division de l’arc total y fournit. . V
Hl. On peut faire, au dernier sotuhict S„ ,-tine vérification très-importante. ïiti construction que nous avons employée ]>Ôui prolonger la ligne méridienne dtfpremier* sommet S, à travers le 1 réseau des triangles , supposé les méridiens terrestres pbun&JIfti^*. d’après la définition générale donnée page 34, ils pourraient ne pas l’être J c’est-à-dire que les points de la surface terrestre dont lc% méridiens propres sont parallèles à un même méridien céleste , étant considérés consecutis entent, au lieu de former sur la surface du sphéroïde une Mgné plane , pourraient y être répartis suivant
bro. Le premier terme de cotle expression a cto jusqu’ici le seul qu'on ail employé pour évaluer l’arc M„N ou la distance du'parallèle à la perpendiculaire, et il u paru suflire. Mais le second deviendrai! peut-être sensible dans des réseaux de triangles où la station S. serait rapprochée du pèle, ce qui affaiblirait la râleur de d', et par suite de tangd', qui entre ici en dénomi - ^ natcur. Delumbre , et après lut la plupart des auteurs qui ont rapporté ou employé cette formule, y ont introduit, au lieu dt^tf', son complément 9°°*- <* ’> qui est la taiilude ;féogra phique du sortmet S„', et ils l’ont désignée par L’ ; en outre, ils ont remplapc le rayon K do la spiière oscaïalriee par la nortBale K comprise entre le sommet S„ cl l’axe polaire réel dp la terre, normale qui, dans un spliérotdq do révolution, est, en «(Tel, la longuqpr du rayon des sphères osculatriccs dont lo centre est situe sur l’axe passant par les pAlcs. Alors l’expression dUfiV prend cette forme
Il 'f,==^ taçjtE'-t- I Pliin L'.fi-*. ; tang* L^) — - •
C’est aibsi ‘mais en s8 bornanf au premier terme, qu’on l’a généralement appliquée. Je rapport» cette fojme, qu’on lui donne habituellement , pour faire sentir l’identité réetfp des deux expressions. ?
li/i -, *S| llONOMIK ,
une courût à double courbure. Pans un panifias, le premier élément Sttfa» tr^péjdans notre fig. 18, sur le première-sphère osculatrice, v suivrait encore la ligne méridienne locale propre au som- .qietS, puisque sa direction a, été déterminée astronomiquement par cette condition. Mais son prolongement çiànslc second triangle, tel que nous l’y avons introduit par notre construction fondée sur l’^galite d’opposition aziqnitale, ne Coïnciderait pas avec la ligne méridienne propre de m,. Ce second élément» prolonge delà même , maniéré, s’écarterait pareillement du méridien propre au nœud suivant ni,-', et le trace étant prolonge jusqu’au dernier noeud /»., suivant la même loi , il pourrait arriver que le méridien propre de ce point extrême formât ayec le segment S„ m„ , un angle a/imutnl assez différent de celui Au i est donné par notre Construction, pour qu’en déterminant sa valeur locàle vraie, par des observations astronomiques, le défaut d’identité devînt appréciable. Aja vérité, cette comparaison ne peut pas s’effectuer au point mn même , puisqu’il n’est pas marqué sur la surface terrestre ; mais on peut attei ndre ie même but par des observations faites à la dernière station -*i * laquelle il est lié trigonométriquement. L’épreuve ainsi transportée nécessité, pour quelquCs-uns de ses détails, une connaissance déjà assc4 exacte de la figure géng-ale de la terre. Maie je puis exposer le principe de la méthode , en me bornant à signaler, parmi les éléments d’application qu’elle suppose, ceux qui devront être obtenus ultérieurement.
t liî. On déterminé d’abord avec toute la précision possible la direction vraie du méridien un sommet S*,/îg- '8. Ccla^e peut faire par divers procédés que j’expliquerai plus tard. Mais le plus commode, et de beaucoup le plus sur, est d'établir a la station £„ , sur la même normale , un instrument de passagtÿ que l’on dirige dans ce méridien et que l’on y. fixq.par les méthodes astronomiques indiquées au tome 11, page 34 o. Dans une dissertation spéciale sur l’emploi de cet instrument qui scraiiggace à la lin du présent ouvçigc, on verra que l’on peut obtenir ainsi la di-’ reotion du méridien avec une précision à peine citoyablg, par des • observations qui ne demandent qn’un petit nombre de jours. Alors, ayant marqué cette direction par unemire fixe, on mêsure
avec beaucoup de soin l'angle plan a, compris entre elle et le signal S„, ou 2„,. On mesure aussi les distances /.énithales des deux branches de cet angle. De là, par les formules de la page 9S, ou déduit l'angle dièdre i' formé autour de la normale de S„, entre le méridien propre à ce sommet et le plan central qui contient le dernier côte S„S, de la chaîne. C’est V azimut vrai de ue dernier côté snr l’horizon de S„. L’operatiou qui le donne, et que je viens de décrire, est- exactement pareille à celle que l’on a dû faire au premier sommet S pour obtenir l'azimut d’un des côtés SS, du premier triangle autour du méridien de ce sommet.
Si l’on négligeait l’angle dièdre que le méridien de S„, fig. 18, forme en convergeant vers le pôle, avec celui de S prolonge à travers le réseau des triangles, angle qui est toujours fort petit dans les applications, l’azimut du côté S. S„, , vu ainsi de S„, serait évidemment • gai à l’angle S„ mn N , ou /', déjà calcule d'apres les éléments geodesiques. Mais , à cause de cefte convergence-, il doit différer quelque peu de i , même en supposant les méridiens plans. Or, on va voir tout à l’heure que, dans celte supposition, sa valeur exacte peut se déduire Jes éléments du ré-seau combinés avec l’angle connu i. Comparant donc rette valeur calculée avec celle que donnent les opérations faites dans la verticale S,, on devra , si les méridiens sont plans, les trouver égales entre elles, dans les étroites limites d’erreur quoies éléments de cette comparaison peuvent comporter. Et si leur inégalité sort de ces limites supposables, on en devra conclure que la forme des méridiens terrestres diffère sensiblement d'un plan parfait, même dans l'étendue, toujours très-restreinte, que le réseau des triangles a pu embrasser.
116. Il reste à exposer la déduction trigonométrique. Pofir en développer le calcul avec netteté, j’extrais de la Jig. 18 les éléments dont il dépend, et je les représente à part dans la Jig. 22, que j’établis tout entière sur la sphère locale, qui est osculatrice en S,, dans le sens transversal au méridien propre de ce sommet. Sur cette memcSphère, je place le segment S„/n„du derniercôté de notre resean , qui se termine en m„ à la ligne méridienne du sommet S, prolongée trigonométriquement jusque.- là , en supposant Jes méridiens plans; et j’y trace le dernier élément ///„M„ de cettr T. MI.
( /jj astroxomif. , * .
lign» qui rejoint en% Je parallèle propre «le S,t, Tliiftn , je décris, toujours sur la mèmcj^.ére , HuterscetiAi du méridien plan de S , que* j* conduis jmqnWnjJôle P, shqfrsur le rayon rentrai pnrallèlê à l’axe polaire céleste* ’ét j’y fais retrbjR-adèr 1 élément métidictf jusqedà cé.qième pôWEfl considérant la terre
comme un sjflwnrtde réguler, de r.Roluüpn autour <lo co«mème axe céleste , ce qui est le complément final de l l.vpothèse que je veux sni’vre, le centre de notre sphère Sera situe sur l’a je physique du sphéiHïde, d’après le sens d’osrulatkm transversal que nous lui avons attribué; yt*mT rayon polaire coïncidera aussi entièrement avec la dWtiofWte cet axe. Conséquemment te pôle P s’y trouvera placé-* et, par suite, les flans diamétraux qui contiennent, les ârcs S„P, ni P coïncideront avec W-plan^ méridtens <ln sphéroïde menés par les mêmes points S«, rnh- . *« .
» 117. Cela posé, le calcul .les triangles précalculs nou#a déjà fait
coi, naître : r° la longnênr dn segment S„ ni* ) je la .désigné par A ;
l'élément d’arc méridien mjMi,\<mmprlfwfré le point et le pimftlilc dte S„; jelefemmen ;3rfenfin, l’angle arimAui < ou i, quéW-t élemeut fornTe en m„ , vers je' sud, arec le segment m„ S* On a mésuré astronoiniquetnerK. en S, , ou sur la verticale de S„, la distance angulaire du pèle 'au zénith ; elfe est obtenue en d<ftrés, miiUiles et secondes. Je la représente par 1 arc//', qu elle «Æmendrait au centfe'Æuu Cercle décrit avec un «rayon égal à ■ l’unité de longueur. Cela nmait-à diviser sa valeur angulaire par R'\ I^ayhnf mite sons Â-lle'f orme1,* si on la multiplie par le rayon R de rfUtrc sphère osculatricc, .exprimé jla/is la meme esjiéce d'unités, le produit R./' ou D' exprimera la longueur de l'arc méridien S„P, mené de S„ au’jïôle P surtstte-sphèrê , êt re sera aq-sî celle dé l’arr M„P: Mots, sij'oii désignepâr D l’arc analogue m»P, raene du point ni sx n même pdTé , sa longirt-ur sera I>' — Ü, et l’on aura ainsi sa v^eur. D’après ceja ,*si l’on shppose le rayon R donné- ou •dédoit d’une discussion générale de la figuPde la terre, avec une approximation suffisante yo^r les évaluations definitives auxquelles il devra ici. servir, .suffisance qu’il faudra ultérieurement constaté*, on connaîtra , dans le» trhnglc sphérique PS„ m„, les trois cètés, et l’angle en w.fqni est iSo” — I. C’est pins d’élemeitts qu’il n’est*
PHYSIQUE. * lij-
nécessaire pour calculer, dans ce même triangle, l’angle intérieur en S„, que je désigiW par i’j Ceîa permettra donc de choisir les combinaisons qui détermineront sa valeur «je la «lanière ld plus favorable; après quoi il restera^ examiner jusqîi’à quel point elle peut être identifiée avec Hpigle azimutal correspondant, bbservé en S„ , sur le sphéroïde réel.
Pour effectuer ce calcul, je rapporte tons nos arcs terrestres k la sphère qui serait décrite du même centre, avec un rayon égal à l’unité de lougèteur; et désignant par d', a, u, d les arcs de cette sphère, .qui sont respectivement homologues à D', A, U, D, j’obtiens évidemment
D' == R//' ; A = Ra ; U = R// : D =r R// ; d = d' — u.
Le triangle sphérique homologue à P/n «S,,, sur la sphère centrale,' • y sera ainsi semblablement déterminé par ses arcs correspondants , associés aux mêmes qngles dièdres i8o° — i et i'. Pour y calculer celu^-ci , je pose la condition générale qui, dans tout triangle sphérique, rend les sinus des angles proportionnels aux sinus des côtés opposés , et je pose aussi les équations qui donneraient h volonté les côtés d ou d' en fonction des deux côtés opposés et de l’angle compris entre eux. J’ai ainsi les trois relations suivantes : .
(i) sin « ' sin //' == sin i sin // ;
(aj • cos d' — — sin d sin a cos/ -f- cos d cos a ;
(3j . ' rosi/ = sin//' sin a cos/' -4- cos//' cos a.
L’arc a étant toujours fort petit dans nos opérations, i — 1 ' sera toujours un très-petit angle, et c’est, par conséquent , cette différence qu’il faut chercher à évaluer. Pour -cela, le premier-moyen «jui se présente h l’esprit serait de l’introduire directement comme inconnue dans quelqu’une de ces équations, et de la dégager par les séries générales, dont nou$ avons exposé lp formation dans la note de la page 87. Mais on arrive ainsi à Ides séries particulières dont le calcul numérique est fort pénible , et qui même ne "Sont pas toujours convergentes. Ce fait est facile à constater, et l’on
lient voir, dans le tome III de la Base du système 'métrique , que
Dclambre ne l’a éludé qu’en limitant l’approximation par des restrictions qui ne sont qu’incbmplctement justifiables. .Or, on évite tous ces inconvénients, par une combinaison de nos trois ‘équations, qui donne directement sin (t — «') par une expression finie, rigoureusement exacte , et toujours très-aisee à réduire en nombres. Pour cela, je déduis d’abord des équations (2) et (3) «les deux suivantes :
sin il sin a cos i = — cosrf'-P cosrf — 2 cotd sin’i a ;
Sin <V sin a cos i' = -t- cos d — cos d' -+- 2 cos d' sin ’ { a.
Retranchant la première de la seconde, j obtiens (sin d' cosï — sin d cos-i ) sin a = ? (cos d -+- cos d') sin’-ja.
- Or, on a identiquement
sin a = 2 sin } a cos -j- a ,
et s
cos rf -t- cosrf' = 2 cos \{d' -+- d) COS7 {d1 — il)f.
Kn vertu de la première, 2 sin i a disparait une fois des deux membres, comme facteur commun ; et, en divisant le résidu par cos-ja sind'^on^a
s>n d fOS 2 co»! {d' + d) cos j {d' — d) | a cosi — -T— r,cos ' — sin<f' ■»>
sin d'
sin d
stn i sin i
Or, en vertu de l’équation (1), le rapport est égal à
substituant donc cette valeur, et multipliant les deux membres par sin i, on a finalement *
. . 2 cos^ [d' + d) cosi (d' — d) c.n . tanf> t a
[a] sin'i - * ) = ^7 b *
Lorsque la différence i — »' aura été cdfcnlée par cette expression , si on la désigne par p, on en tirera évidemment
et puisque l’angle i est connu par les déterminations irigonometriques précédentes, on connaîtra l’angle cherché ('.Mais, pour faire
PHïsrxirr. i4')
«m usage h'gitime (W'etUe valeur, il font préalablement examiner le degré de précision que pourront présenter les cléments nutfiériques d’où l’on déduit la différence fi.
If8. p est un angle que notre formule donnera et) parties de la graduation du cercle. C’est la forme sous laquelle l'angle /', qui en résulte, devra être comparé aux observations azimutales'faitesen S„. Mais pour l’obtenir ainsi exprimé, il faudra d’abord avoir l’arc a exprimé de la même manière. La valeurdecelui-ci, déduite de l’arc A, est
—R". Cette conversion exigera donc déjà que l’on connaisse le rayon R
R de la sphère qui est localement osculatrice au sphéroïde en S„ , dans le sens transversal au méridien , et qu’on le connaisse avec assez de précision pour que la réduction de A en secondes de degré’ ne puisse comporter que des erreurs négligeables, ou au moins du même ordre que celles qu’on est forcé de tolérer dans les mesures pratiques les plus précises. On ne saurait évidemment obtenir cette certitude qu'après une discussion générale de la figure de la tenre. Ainsi, par nécessité, l’application de la formule à la vérification délicate que nous nous sommes proposée, devra être reculée jusque- . là. On voit en outre qu’on accroîtra la probabilité de son exactitude, si l’on dispose les derniers triangles du réseau de manière que Té segment 'ànmn,fig. i8, approche d’être perpendiculaire au dernier élément ot,M„ du méridien primitif. Car alors il s’en faudra de peu qu’il ne le soit aussi au méridien S„P de la station S„. Et cette circonstance l’assimilera de plusprèsà la surface terrestre, en l’écartant moins du sens d’osculation transversal que nous avons a’dopté.
La connaissance du rayon R sera nécessaire encore pour convertir en secondes de degré l’élément de l’arc méridien ou
U, qui, ainsi exprimé, donnera u égal à ^ R";* d’où l’on déduira ,
sous la même forme, l’angle A, égal à A' — u. Ici le sens d’osculation transversal attribué à la sphère locaTe semble avoir un inconvénient grave, puisque l’élément m„M„ appartiendrait de plus près à la sur-^ face réelle, s’il était appliqué sur une sphère osculatrice suivant, le méridien même. Mais cet inconvénient sera considérablement affaibli par la précaution ci-dessus recommandée , de rendre le seg-
mcDt S„ //»„ presque perpen&culaiiv à cette dernière direction. Car alors, U ou »w„M, devenant fort petit , l’impropriété do sens d’osi cululion de la sphère stir laquelle on l’appliqué produira évidemment un effet absolu moindre, dans la valeur totale de d que u complète. Et comme les deux rayons d’osculation ektrcmes, situés sur une même normale , ont toujours des longueurs très-peu différentes dans l’ellipsoïde terrestre, comme nous le constaterons plus tard , leur inégalité pourra n'avoir qu’une influence insensible sur l’évaluation angulaire du petit elémetit /n„M„ ainsi atténué.
H 9. Les précautions précédentes étant admises, la différence ; — /' sera reductible^en nombres, puisque les autres éléments angulaires », sont donnes immédiatement par l’observation, en parties de la graduation du cercle; et la valeur de i' qyt’on * en déduira, présentera toutes les chances présumables d exactitude. Mais, pOuv la pouvoir comparer au relèvement azimutal ♦ du segment S„mu i *il faut examiner si ces deux" angles »', l’un observé, l’autre déduit des triangles sphériques , devront ici présenter des valeurs mathématiquement égales, ou ne différant de l’égalité que par des quantités insensibles dans l’hypothèse des méridiens plans que nous considérons. Or, d’abord, la branche xfCci les limite daDs le sens du méridien sera commune, puisque la spîière, qui est ôscnlatrice transversalement à ce plan en S., est • tangente au sphéroïde' dans tous lesjmtres sens ; de sorte que la droite qui touche la section du méridien vrai en ce point, y touche aussi le cercle méridien de la sphère. L’autre côté de l’angle observé i' se- trouvera, sur le sphéroïde, dans le plan vertical mené par la normale en S„ et par le signal S„,, situé sur le prolongement du segment S „mn. Ce vertical est aussi un plan diamétral de lasphère, qui est osculatrice au point S„. Donc , le côté dont il s’agit pourra être assimile à un arc de grand cercle de cette même sphère, d’autant plus approximativement que sa direction s’approchera davantage du sens d’osculation transversale établi en S.. Maintenant, le côté analogue de l’angle calculé i 'partant de S„, , est antérieurement "établi sur une sphère osculatrice différente. Il ne rejoint donc pas mathématiquement le point S„, à cause de l’écart progressif qui s'opère entre le sphéroïde et rette sphère, à mesure qu’on s’éloigne
Digiti
mjjsjyyy* . • t5i
du point d'osculation. Mpis il c5t iacifc:tlc prévoir (]up les différences
d’incertitude « crainOre dans la longueur âMfihncè , sur cçt arc, au segment S„ mm , et dans l'évaluation de l’angle azimutal i, c^iii entrent totre deux dans lu calcul de l’angle i'$ çar ces deux éléments sont affectés, par les erreurs de toutps les osculations antérieures qui y conduisent. Mais l’effet de cotl& transmission devra jdcore étçc très-faillie lorsque , comme dans nos opérations, le sphéroïde sera si peu différent d’une sphère, et le réseau des. triangles comparativement si restreint, quel’on puissedéjà, presque sans erreur, le calculer to.ut entier comme appliqué sur une sphoçe osculatricc commune, au([uel cas toutes les coïncidences supposées deviendraient r jgo pré Uses, ^es conditions étant adiuisés, les valcurs^talculées et observées de l’angle azimutal .«'.devront se trouver égalés entre elles, ouà|*ïnc différentes daçs les limites d’eijreurs^ue lit. observations même; comportent , si les méridiens terrestres sont dis lignes exactement plaues , ou si lcilr double courbure est ^mjppre ciable dans la portion de leur longueur-que le réseau des triangles a embrasséç; gt l’expression rigoureuse que nous avons donnée de si;i (/ — i ' ) sCrvirtt.pour décider cette alternative,
120. Dans le» applications l’arc a on ^ R" n’ütteindra jarffnis
2" de la graduation .sexagésimale du cercle. En epuséqueupc., comme la. comparaison h laquelle on veut ici l’employer doit Mrè très-précis^, au* lieu de le mettre sous cette dernière forme,, pour prendre le logarithme de tangua dans les Tables^usuelles, il vaudra mieux calculer directement ce logarithmp par les séries de la page Gi, qui , étant restreintes à leurs deux premiers termes, don neront ici
logtangi« = log(^) + ^.^).V; ;
h étant le module direct des Tables logarithmiques ordinaires pour lequel on a . .
log h = 1,63778431 13. *
Digitizec
1STRO.NO MI K
Alors, quand ou aura obtenu, par la formule, le logarithme de . sin (i — P), conuAe l’arc i — /' est aussi toujours très-petit , on le conclura immédiatement en secondes de degré , par les mêmes séries, qui donneront, «omnte dans la page 64 ,
log (/—/')" p log R" -h log sin(/ — i') -h jj sin’ (i — i ), * où l’on a log R"=; 5,3i442 5i . * ,
•Sr j. * »
On. voit que le rayon & de la sphère osculatriçe entre, par nécessité, dans la première de ces expressions, et que son influante subsiste tout entière dans l’expression angulaire de (< — i'). .Mais on constatera plus loin que , dans l’état actuel déjà géodésie, ce rayon local lï peut toujours être évalué avec une approximation suffisante pour le calcul de i — i'.
191. Pour n’avoir plus à revenir sur cette formule, je ferai remarquer que l’expression de sin (i — i') ne contient les arcs fi- d), J- [d' — d) que sous des signes de cosinus. Elle donne donc toujours! — i' positif, soit que le sommet S„, extérieur au méridien primitif, auquel appartient l’azimut se trouve plus éloigné du pôle que le point m„ auquel appartient l’azimut / , comme le représente la fig. a?. , qui nous a servi de type, soit qu’il s’en trouve le plus rapproché, comme lereprésentela fig. 23. Cela tient à ce que, dans les deux cas, l’angle extérieur i , compte à partir du prolongement du méridien primitif, est toujours plus gf*nd que son opposé intérieur i ', à cause de l’angle également intérieur p qui ferme le triangle polaire auquel appartiennent ces éléments.
199. La comparaison des angles i', calculés et observés, u’a malheureusement pas été faite sur le grand arc méridien de France et d’Espagne , avec toutes les précautions que je viens de spécifier pour la rendre rigoureuse. Cela est venu probablement du peu d’usage qu’on faisait alors de l’instrument des passages pour déterminer les azimuts successifs , et des incertitudes que comportaient les autres, procédés par lesquels on les mesurait habituellement. On y employait, pour l’ordinai(e, des observations- du soleil levant et du soleil couchant qui , dans un même lieu et pour un même obser-
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vatt-ur, présentaient des différences s'élevant jttst] u’A 4° el*5o secondes de degré; de sorte qu’une répétition excessive de résultats individuellement si imparfaits pouvait à peine faire espérer qu’ils si' rectifiassent suffisamment par des compensations mutuelles. Neanmoins, les incertitudes finales que l’on peut supposer dans les déterminations ainsi obtenues 'ne semblent pas assez forlés'pour expliquer les écarts d’un ordre, parfois presque.égal, et dépourvu de toute loi , que l’on découvre sur plusieurs points de ce grand arc entre les azimuts i' calculés et déduits. C’est ce qti’à fait remarquer Delambre, en rapportant les éléments de cette comparaison dans sou ouvrage intitulé: Bàsc du système métrique décimal, tome III, page 85. Il est difficile de ne pas croire, avec lui, que des discordances, à la fois si fortes et si capricieuses, ne résultent pas , au moins en partie , d’irrégularités locales réellement existantes dans la configuration du sphéroïde terrestre. Cette cùttléquence a été confirmée par les écarts du même ordre que d’autres observateurs ont constatés dans des .opérations geodesiques faites avec toutes les précautions imaginables, où les azimuts ont été observes avec des instruments de passage soigneusement réglés ; et l’on verra plus loin que les longueurs des degrés du meridicit présentent aussi des anomalies pareilles dont la réalité ne saurait litre mise en doute.
1 25. La formule [aj, que nous venons d’établir pàge 1 48, peut servirgénéralement pour calculer, par déduction, les azimuts de tous les côtés d’un réseau de triangles, autour du méridien de la station qui Ç, constitue cliaque Sommet. Et-, en la combinant avec celles'qudmous avons formées dans la page 108, pour la résolution directe des triangles splieriqttes par approximation ,' on peut en conclure Immcdiaicment toutes les portions successives de l’àrc méridien qîii traverse un même réseau de triafiglcs, sans avoir besoin de décomposer ce «seau ai triangles partiels , connue nous l’avons jusqu’ici supposé. Avant d'exposer cette impOrt.-fhtc application, je Simplifierai l’énoncé de toutes les questions. analogues que nous aurons à résoudre, par un changement de dénomination qne*je n’ai pas-trù devoir y introduire plus tôt. En considérant les sommets S, S,,v S, S. de nos triangles sphériques établis sur le spheronle terrestre
Digiti;
régularise , je les ai toujours soigneusement distingues des slaliou» ï,ïïa2„..., ï„ situées sur le prolongement îles mêmes normales ou des mêmes sécantes sphériques , dans lesquelles l’observateur a dû effectivement établir, ses instruments pour mesurer Tes angles dièdres, et les distances du pôle au zénith, que Ton transporte à ces sommets. Mais maintenant que cette distinction doit être suffisamment comprise, je me bornerai à la sous-entendre , comme on a coutume de de faire dans tous les ouvrages qui traitent des opérations géodésiques ; et, conformément à l’usage, je donnerai indifféremment aux sommcls;S,'S', S",..., S(,), le nom de stations, comme si les éléments d'observation qu’on -y transporte y avaient pie effectivement obtenus# De sorte que Jes points ainsi désignes devront toujours être «en se s situes sur la surface régularisée qui coïncide avec de prolongement continu des iners.
lîbi. Cette convention étant admise, je considère dans la fig. *4 deux stations pareilles &, S', jointes par l’arc de grand cercle SS', appartenant à une sphère du rayoq R, qui est osculatrifc en S, dans le sens transversal au méridien de ce point, lequel est représente |qir l’arc PSM' de celte même filière. Le Centre de celle-osist place sur l’.ixe même du sphéroïde, que l’on suppose presque sphérique et de révolution autour de la droite paaslint par les pôles célestes, connue précédemment. Alors le plan diamétral qui contient l’arc PSM' coïncide avec le plan méridien réel mené dans le sphéroïde par- le oiOqie point S. Ou est suppose connaître la' distance angulaire. d du pôle au zénitben S , soit qu’elle ait été obtenue par l’obft.T vation immédiate, ou par déduction , cuitmiojc le dirai ultérieurement. On connaît aussi la longueur de l’arq SS', ou A, obtomie liai* la résolution des triangles principaux rattache» à tme ou plusieurs bases mesurées, et qui doit toujours occuper, Çqrla sphère : “ ’ 1 J ' J inné
du
été paa'qilleuiQliL ohscHôc en S', c Suites pour ta le ni ii' 1 angle intérieur <’ du triangle polaiie PSS' par la f&rraule «que nous venons d’établir; et cet angle, ou son supplément à jp6o° . sciait l'azimut du point S sur l'horizon de S'. Or,
PHTSIQUI. l55
je disque, d’après la condition de petitesse attribuée à l’arc A, ‘l’observation immédiate deV' n’est pas nécessaire pour obtenir l’angle Carmen restant d;tns les limites d’approximation permises par cette circonstançe , nous pouvons, avec les seules données il, A, i, calculer l’kngjçi', ainsi que la portion SM' d’arc méridien comprise sur notre sphère, entre le point S et l’aro-de parallèle S'M', mené par la station S'.
424. A cet effet, il nous suffira de reproduire un calcul que nous avons déjà fait précédemment, avec la seule précaution d’en rassembler les résultats sous une forme plus explicite. Par la station S' je mène d’abord un arc de grand cercle S' N perpendiculaire au méridien primitif. Je forme ainsi un triartgle sphérique SS'N, rectangle en N, dans lequel on connaît l’hypoténuse SS' ou A et l’angle i. On peut donc en conclure, iu le côté SN, projection de A sur la méridienne primitive; -je Je- nomme A' ; i° l’arc perpendiculaire S'N; je le nomme A. Nous avons déjà fait un calcul pareil , page 7 1 , à propos de l’opération de Pensylvania; et je l’ai reproduit , , sous une forme '"générale , dans la note de la page 1 4 1 • Transportons donc nos-calculs trigonométriquc.s’Sur la sphère centrale, dont le rayon est 1,, comme nous l’avons • fait alors, ftous y construirons tin système- d’arcs, semblable à celui que la yîg. ?4 nous représente sur la sphère transversalement osculatrice, à la surface terrestre, dans la région S'SM'; et, les y désignant par des lettres analogues, conformément à la notation dont nous avons toujours fait usagé, leur proportionnalité avec ceux
qui v correspondent sur la sphère réelle dont 4e ravoa est don-
nera respectivement
D = Rr/, D'=Rrf'; A = Ra; A'=Ra'; A = R<î.
Alors dans le triangre central, homologue à S’SN , on aura rigoureusement, comme dans la page 73,
tanga'= tanga cos /; sin 3= sin a sin i.
Ce sont les mêmes équations q*ve nous avons déjà ctnployées dans cette •premièi'e application. En les développant en séries, fondées suri la petitesse de l'arc a , nous on tirerons, comme nous
l’avons fait alors.
ASTIWIMIMIS
a!— a. cysi -+- 7®' vos isin’i ; ^ = asi ni — ja’.sin /cos'/:
Les termes qui seraient affectés par les puissances supérieures de a, dans ce développement, y seront toujours insensibles, à cause de la petitesse supposée de cet arc , comme nous l’avons constaté page 6 1 .
Maintenant, selon le mode de notation employé page 78, nommons II' l’arc PN compris entre le pôle et le point N sur le méridien priiriitif. Si l’on désigne par n' son homologue sur la sphère centrale, on aura par proportionnalité
• * ‘ n'= Rrr'. •
Le triangle polaire rentrai , homologue à PS' N , sera comme lui rectangle, et il donnera, comme dans la page 78,
, cos ri
