COS7T

1 m COS 0

Si l’on développe ri’ — ir' par les séries, comme nous l’avons lait alors, en négligeant les (piatrièmcs puissances de l’are 0 qui, d’après son expression trouvée tout à l’heure, sont de l’ordre a* que notre approximation actuelle n’embrasse point, on aura, comme dans les pages 80 et i/j?- (note) , .

•/* 2 tangr/'

Si l’on y remplace If par son expression trouvée tout à l’heure, il faudra la borner à son premier terme a sin»; car le suivant donnerait dans des termes de l’ordre a‘ que nous négligeons/ Ainsi , en restant dans le nié me ordre d’approximation , on aura

ri'— T

sin'i

2tangrf'

Par la station S' de la fig. 24 , menons, sur la même sphère, Tare de petit cercle S'M' qui soit le parallèle de cette station. Alors M'.N sera D' — II', et conséquemment r/'l— ici trouvé, séra l’arc homologue à M'N sur la sphère centrale. Si on l’ajoute à ri, homologue

PHYSIQI'K.

de PS, qui est suppose connu, et à a! homologue de SN ou A’, trouvé tout à l’heure, la somme formera l’arc total, rf' homologue à PS' ou PM' que nous voulons obtenir. On aura donc sur cette sphère

,, i . sin’t

rf — d + <x cos f i ad cos t sin1* -t- - — a1.

• 1 ftang d'

A la vérité le second membre contient encore le facteur — * —

, » tangrf'

qui est inconnu. Mais, comme le terme que ce facteur affecte est déjà multiplié par a1, nous pouvons y remplacer d’ par sa valeur approchée rf-t-acos/, laquelle diffère seulemertt de la véritable par des termes de l’ordre a1 et a3, qui en donneraient de l’ordre a* dans l’évaluation de ce dernier terme, si on les conservait. Appliquant donc à cette expression approchée la formule qui développe la tangente de la somme de deux arcs, en fonction de. leurs tangentes particulières, nous aurons, avec le degré d’approximation nécessaire pour notre but,

tangrf'

ou , en renversant.

tang rf + a eps i i — a cos / tangrf’

tangrf' tangrf

'i — a cos i tangrf' a cos / tangrf t

En formant tangrf', j’ai dû écrire a cos i au lieu de tang (a cos/) , parce que la différence ne donnerait que des termes d’ordres supérieurs qu’il faut ici négliger. Il ne reste plus qu’à développer, par la division , le facteur qui contient a, sous forme complexe, en sc bornant toujours à la première puissance de a , comme précédemment. Cela donnera

tang rf'

tang rf L

liï (

ta ngrf \

tang rf -+-

tang

tarig rf

a cosr

a COS /

Cette expression de — — — , substituée dans le dernier terme v ' tang/'

de d’, en produit un de l'ordre a’ et un de l’ordre a3. Ce dernier se réunit à celui du même ordre qui existait déjà parmi les précédents , et, après les àvoir réduits entre eux, on trouve finale ment (*)•. * ■ -

d ' — d -4- a cosi sk- -j- a ’

sin’»' tan" d

tang'rf

cos i sirt - r.

123. Les arcs d , d1, a de la sphcre centrale , qui apparaissent ici hors des signes trigonométriqucs, sont exprimés en parties du rayon de cette sphère pris pour imité d« longueur, SiJ’on veut les exprimer en secondes de 1« graduation sexagésimale du cercle , il faudra exprimer le. rayon de la sphère centrale par cette même espèce d’unité , en fonctiôn desquelles sa valeur sera R". On devra

(*) La formule [i] a été donnée par Doiambredans le tome 111 delà Date du système métrique , pages ao et 21 ; mata il y est parvenu diflérem ment. Considérant le triangle PSS' de la fig. il pose d'abord la relation generale

, cos d' = ~ sin d sin a cos i-f- cos dcos a ;

puis d ’ devant être peu different de 4, il fait d' = d x, et il obtient z en série ordonner suivant les puissances ascendantes de a, par le second mode de développement que j’ai Cf posé dans la note de la page 87. La voie que j'ai suivie m’a semblé préférable, d'abord comme plus simple, puis comme mettant mieux en évidence le principe et le degré d'exactitude de l’approximation. Ln effet, si i'on sé reporte à la fig. a.}, qui nous a servi de type, la première partie de**' — df qui est a', homologue & A', s’obtient d’abord, ainsique £, arec U môine approximation que si pgu résolvait le triangle sphérique SS' M parle théorème de Legendre, comine nous l’avons établi généralement, page 119. pour cette/orme dé développement. Puis, 0 étant obtenu , Parc complemen taire m'n de la sphère centrale, qui est homologue à M'N , se calcule avec un degré d’approximation égal, dont la sûreté est évidente. Le résultat, quoique le même, sc trouve donc bien plus clairement et plus rapidement établi. Or. le tirerait cncoro très-aisément de cos d’ en réduisant Pcxpression d« Parc d1 en série, suivant les puissances de a par le théorème de Taylor. Mais, outre que ce mode de ‘déduction est moins élémentaire, l’emploi abstrait qu<? l’on y fait de l’analyse littérale ue rend pas sensiblejç peu d’importance de* quantités que Pon néglige, a usai évidemment que le calcul, direct fonde sur PévaluatiotiJparliclle des arcs qui composent le résultat cherché.

«H — I costsinV.

tang-r//

alors .remplacer les expressions abstraites des arcs par les rap- Ü d '■ d' a

ports -|pi |p, dans les ternies qui les contiennent explicitement. Cela rendra la première puissance du facteur ~ commune . • t • , : " *

à tous pés ternies , et , après l’avoir fait disparaître , il restera

ri,,, '.i </ • ta”1' sin’t i a"1 /

il [d — r/r=a"cosH : — r-J

1 J 1 ‘ 2R"tangd CR"1^

il faut se rappeler que, selon l’évajuatiôn rapportée page 6a, on a , en se bornant à sept décimales ,

log R" — 5,3i4425i ; conséquemment, log — 6,6855749-

Si, au contraire, on veut obtenir la relation semblable qui existe entre les arcs D, D', A de la sphère terrestre, il faudra éliminer les arcs d , d', a. de la sphère centrale par leurs rapports de proportionnalité avec ceux-là , c'est-à-dire les remplacer par leurs valeurs D D' A ' '

équivalentes -i-i j-i dans les termes où iis se trouvent explici- R R R .u

tement. Alors une des puissances de - disparaît encore comme

facteur commun , et il reste’ .

tan-

cos< sin- 1.

r , U* „ -iA’ sm’/ iA»7

[i] D — T)= Acos/ -4- -=r

. - a , fangi/ 6R \

L’arc terrestre D'— D , ou SM ', sera ainsi CQnnuen unités

de longueur de la même espèce que celles que l'on aura employées pour exprimer l’arc A ; et le rayon local R , qui devra être exprime aussi flans cette' même 'espèce d’unités, n’entrera que dans l’évaluatîon Ses termes correctifs associes à la partie principale A pos i. Ainsi, enufaison de"leur petitesse, il n'aura besoin d’être connu qu’.ijiproximativHnent, comme nous l’avons prouvé page m o. Poui obtenir cOfnmodement et avec exactitude la valeur du produit A cos î , |l conviendra de remplacer le second facteur par soti expression équrràlentê*! — 2sin’-j/*, ce qui le changera en

ASTRONOMIF

A — ?. A sin : i ; , dont la première partie sera toute donnée , et la seconde s’évaluera facilement, par les Tables logarithmiques ordinaires, avec une précision toujours suffisante.

I2G. Dans la fig. 24, qui nous a servi pour établir cette formule , fa station extra-méridienne S' est représentée comme plus éloignée du pôle que la station S; et l'a/imut donné i est figuré comme moindre qu’un angle droit. Quand cette dernière circonstance aura lieu en effet, cos i sera positif; et la formule donnera d' — d positif, comme la figure type le représente. Mais si l’angle i se trouvait obtus, son cosinus deviendrait négatif; et s’il était assez grand dans ce sens pour que le produita cos /, devenu négatif, l’emportât

, • . . . .- , , sin5 i ,

sur le terme toujours positif - a1 ^ ^ - 1 et sur le suivant, ou seulement fût égal à leur somme , la formule donnerait d' — d négatif ou nul , conséquemment d' moindre que d ou égal à d. Cest-à-dire que la station S' se trouverait plus rapprochée du pôle que la station S, ou s’en trouverait à une même distance. Ainsi, quoique établie sur un type particulier de construction , la formule [1] s’appliquera également ü toutes les relations de distances polaires des stations S, S', pourvu que l’on donne fidèlement â cos i le signe algébrique que lui assigne l’amplitude de l’angle auquel il appartient.

IÏ7. Lorsqu’on aura trouvé ainsi la valeur de l’angle d’’ d’après les données d , a , i , qui ont servi de base à notre calcul , on obtiendra l’azimut réciproque »' de notre fig. 2.4, pat la formule rigoureuse

[2] sin (/—/')

2COSj(d'+d]c.os-~(d' — d) sin d'

sin/tang-! a.

Mais ici l’application de cette formule a besoin d’être préalablement légitimée dans un de scs détails. La sphère, qui est transversalement osculatrice en S, ne l’est plus en S'; et la sécante, menée de son centre à ce point ..diffère de la normale réelle qui lui est propre. Si l’intervalle de la surface sphérique k la surface réelle peut y être négligé , à cause de la petitesse de l’arc A , ja sécante et la normale n’en restent pas moins distinctes eh direction ; ce qui produit une différence du même ordre entre les deux tangentes

mentes de» ii'l.vcoui-bc du méridien réel, et au cercle StV Or, les angle* formes par ces deux tangentes aéce lare S' S , supposé commun au sphéroïde et à la sphère, constituent l azimut mi et l'azimut sphériquej ' de cet arc , lesquels ont ainsi mathématique - ‘ *

meut d’inégales Valeurs. Mais, quand nous auronsétudic IVnsemble • du sphéroïde terrestre, on verra qu’en vertu de la petitesse des arcs A, et de |a sphéricité presque* xâcte de la terre , l'angle compris entre les deux tangente* que nous venons de considérer est toujours restreint à un petit nombre de secondes /de sorte qiièl’a-

rirmit vrai i' rapporte à l’horizon du sphéroïde, et l'azimut analogue du même arc rapporté à l’horizon de la sphère, ne peuvent différer entre eux que par des quantités angulaires inappréciables , ** en vertu de la formule de reductiondérhôntréepage 06. On pourra ^ donc toujours, dans de telles circonstances, employer "ces ari- * umts comme égaux entre eux sans aucune réduction. . * ,

Ceci éunt admis, l’équation [a] se réduira-, ai nAmbrSs, soi/ immédiatement par les Tables de sinus, soit par le détour arithmétique expliqué dans la page tij ; ,-e .pii exigera de meme la * connaissance suffisamment exacte du rayon os. ulaiem R p,,ui

calculer le rapport a ou — qui est an de ses élemeiiis

ti i\ v '. t : * * r*

t2«. La petitesse habituelle de l’angle i — if. peut faite souvent désirer der -l’obtenir par les sériés. Gela, sera très-facile ; .-ai-, en supposant, par abréviation ,

•ÏP

l fOsj(r/' +<■/) 1-os jfré'l-rl)

sin {F—

wilre^L

ar t-mg ^ a.

.elle deviendrait