Azimu* de S vi»*dt?S' . . Z' == 180" -t- é
Mais si S' était situe à. l'ouest du lnéridfen RS, romitre le représente
la fig. 26, il faudrait, pmir conserver le même mode de notatioo,
tr»
écrire ,.
SHSSlnr*.
Azimut de {>' vu de S. . . . Z a='36o° — i;
Azimut de S vu de S'. . . . . Z'=r 1 8o* — 7
D’après cela , quand l’aziniut Z sera 'donné seldn ces conventions s’il est moindre que i8o°, il faudra faire, dans notre for-
mule [2] , sin i= + sinZ, et appliquer la valeur résultante de/* à la première combinaison pour avoir Z'. Mais si Z surpasse i8o°\ il fou<lra faire sini=: — sinZ, et appliquer la vafé^ir de i’ à^a seconde forme de Z'. Dans tous les cas, ce serpnt ces valeurs, ainsi déduites du premier azimut de la chaîne des triangles, qu’on devra comparer aux azimuts qui auraient été dé-'
terminés astronomiquement, dans une ori plusieurs des stations
suivantes.
On obtiendrait des formules analogues si l’on voulait compter les azimuts en allant du sud vers l*ouest, comme on le fait souvent. Alors, en les désignant par [Z], [Z]', on aurait généralement
ce qui donnerait
• * - , « fie. z5 : ■ [Z] = 36o". — /, [Z]' = 180° —
fis-' 6:* . P*1~G V' [2f=>8o”.
* « 130. Enfin, après qu’on aura obtenu ces résultats, on pouirra
trouver directement Tangle au pôle p , par la proportionnalité des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, ce qui, en revenant à la donnera, poui ..in^, ces deux expressions équivalentes :
Sin p :
sintf
7 sin a ,
ou encore ,
, sim .
sin p = ~. ,sina.
sin il
On réduira donc ces équations en nombres, soit immédiatement, par les Tables de sinus, soit en faisant usage de Ifartificc auxiliaire, dont j’ai rappelé l’application à l’équation [2]. On obtiendra ainsi deux valeurs de p qui devront se trouver identiques; et leur accord servira de preuve pour assurer l’exactitude des calculs arithmétiques par lesquels on aura déterminé d'et L’angle dièdre p, ainsi calculé, sera commun au sphéroïde et à la sphère osculatrice, puisque, par les conditions de construction ussi-
i(>4 , Asun/rxoniir,
gnées-à celle dernière , Ips plans 'ries méridiens, vrais et sphériques, menés par h*» mêmes points, sont coïncidents. *■'
13! . Si l'on voulait obtenir les valeurs de l'angle p, par les séries, en se fondant sur la petitesse de l'arcx* , on y parviendrait avec facilité par le; procède de développement que j’ai appliqué lotit à l’heure à réquation [?,], et l’on trouvera,
/par la première équation , « " ,
sin d*
‘ par la deuxième
sin i'
Sin il
i sin /sin (d/-f-/)sin (H' — i)
> sin’rf'
sin / 'sin(f/4- /')sin ( d — i')
sin1//
Dans ces développements, les angles j> , a sotit censés exprimés en ares de la sphère centrale dont le rayon est r. Sous cette forme,
m est égal à — j A représentant haro de grand cercle compris sur la
sphère terrestre dont le rayon est R. Si l’on vent exprimer ce même arc en secondes de la division sexagésimale et le désigner pçf a", on aura
à'^R'^aR". i R «
Alors il conviendra d’exprimer l’anglcy/ sous une forme semblable , et , en l’y désignant par p", on aura pareillement
Tirant donc de ces relations a en a'' et p en p" pour le substituer dans nos développements, un des facteurs ^disparaîtra comme
commun aux deux membres de chaque équation , et il restera
„„sin/. ia"’ sin/ sin (7/' -M) sin (//'—*■ ij
ou encore, p
sin d' tiR"’ sin’//'
sin/' ta"’ sin/' sin (rf-f-i')sin (d — /')
sin d ti R"’ sin’rf
Quoique ces résultats fussent faciles à prévoir, d’après toutes
.PHkSUjiE.
lés transformations analogues que nous avons eu déjà l’occasîo» d’effectuer, j ai tint devoir les exposer en détail pour faire bien
sentir la double açception que prend lq rapport—, dans le second
membre, selon que l'on teut obteriiuï’augle*/» exprimé par un aré de la sphère centrale dont le rayon est i , ou en secondes de la graduation sexagésimale du cercle. •
!52. Revenant à la première forme , si l’on suppose le rapport a ou - assez petit pour que l’on puisse négliger jes «», la panière
des équations (3) donnera
• ' sin / «
' sinrr • »
Or, le développement qui donne i— -T étant restreint de même,
se réduit à . . ”
* • cos !(</'-+• rf)cos-VfU' -— d) .
. < sin d'
i> » l r . St Sin f . . ». w
Pienant le facteur ^ ^ dans la première, celle-ci devient
. ■ ' — ' ' —P cos I (d' 4-,f/) cos } {d' — d).
Multiplie» le second nombre par l’unité mise sous la forme
Vos ±(d'-d)
^■(rfér^j’celadonnera au numérateur le facteurros1 !(</'— ,i),
ou i — sin1! {<*'— rf),qui pourra être réduit à l’unité, à eau*- de la petitesse de d'— d qui rendra le produit p sin1 ! (d' — d) toujours négligeable, I angle y» étant déjà supposé très- petit par liff-inéme. Il en résu Itérait- donc
cos j ( d ' — d) ,
Je rapporte cette expression parce qu’elle a été présentée dans des ouvrages très-répandus, et qu’elle a été aussi fort généralement «Impliquée. Mais elle ne me parait avoir aucun avantage sur les expressions plus directes qutfj ai rapportées; et elle me semble même
ï(kV ASTRIIN^MIE*’
cqnser^r inutilement , non dénominateur, cosj(d^--t/)r qui uc diffère de l’unité que par des quantités de l'ordre sin'lfri' — d) qu’on a déjà supposées négligeables précédemment.
ISS. l.orsqu’on a trouvé, comme nous venons de le dire, Pangle au fiole ’/j , coin pris entre les "méridiens sphériques des deux s tâtions, S , S', ainsi que le distance polaire ri' de cette dernière, on peut aisément calculer l’arc de parallèle Sri , fig. a}, qui, partant de S, est compris entre ces memes méridiens. Pour cela, reportons notre triangle sphérique PSS' sur !a sphère, complète POEE', fig. '.»8, dont O est le centre, OP ou R le rayon polaire, Et’ le grand cercle- équStoriaFdéèrit du même ccDtre, avec le même rayon U , dans un plan perpendiculaire à OP. Si, par la station S, s on conçoijmi plan .S(T I) ; êgàleméht perpendiculaire à OP, la section sera un cercle parallèle au cercle équatorial, mais décrit du centre O'avec un rayon r moindre que R, et dont la longucursera R sin ri, ri étant la distance polaire POS de la station S. La portion SU de ce cercle compriseentre les deux méridiens PS, PS', est l’arc de parallèle que nous voulons évaluer, et il soutend au centre O7 le méinfe angle dièdre p que nous venons d’obtenir. Or, cet .angle exprimé en à représente l’arc équatorial ee' de la sphère centrale décrite du rayon 1, qui est intercepté entre les plans méridiens PSE, PS'E' de nos deux stations. Ainsi l’are SIT qui soutend le inêmaf angle à l’extrémité du rayon r aura proportionnellement pourloÉgheur pr ou />R sin ri.- Prenant donc la première expression de p en a , qui est
sine , sin / sin (ri'-+- V ) sin (ri' — 1)
nr ot— — - — — . . — S-.
sin ri
sin'ri'
et nous rappelant que o y représente le rapport — » qpas aurons ,
en la multipliant par R sin ri,
»• A sin'/ sin rf , sini sin ri sin (ri' +/)sin (ri' — i) A 1 " n~ sin ri' 7 sin’ ri' R*
Si l’on voulait obtenir l’arc de parallèle compris entre les mêmes méridiens sphériques PS, PS', à toiite autre distance polaire ri,, différente de ri, sur la même sphère, ee qui est souvent nécessaire ,
.ŸTfiçjîre, on le dcduifîiit' aisément de rv ■*
évidemment de lc'imfttîplier par le rapport*’*
rayon r, conséquemment p!tr le rapport
■BHuW.. i> . ..U
p paires qui .correspondent respectivement a r.
, 4b désignant généralement par SH* la longueur rj
du nouvel are de pardllèle ainsi défhii, on aurait
[4J su.
^ Asin / sinrf. , sin/ sin>/„sin (ri‘-
7)sip(//*— / A'
sii \ri'
sin-1 ri'
expression dans laquelle il faudrait toujours conserver aaix elo-%, ments i , ri’, A, les Valeurs propres aux deux stations primitives S, S', ainsi qu’à Parc intercepte. entre elles. sur la sphère d ijj rayon R. ' . . ,
*34. On emploie celte formule (unir tracer sur le sphéroïde
terrestre de grands airs de parallèles situés à une mèjjie dis tance polaire d ^ comme on y trace des arcs.de méridiens. Ijnui cela on établit une 'triangulation générait»-, dirigée approximativement dans le §cns du parallèle de la première station. On détermine, par l'observation , tous les angles sphériques des triangles qui la composent, et onia lie trigononiétriquenient à une <m plusieuiK* bases mesurées, d oiil’un déduit la longueur du côté qui s’y* rat tache, puis Successivement tous les autres, par l’intermediaire des côtés communs aux triangles consécutifs. Pour tout cela, les méthodes d’observation et les procédés de calcul sont les mêmes que dans les triangulations méridiennes. De même encore, à læ. première station, supposée S , fg. 27, on détermine astronomique- • ment la distance angulaire ri, du pôle an-zénith, et l’azimut 1 que le côté SS' ou A du premier triangle/orrne avec la direction de son .méridien PS/n. Considérant alors le triangle polaire ,PSS' comme é&Üffour la sphère qui est osculatrice en S, transversalement au méridien PS, orteil conclut, comme nous l’avons expFi-< que tout à l’heure, i°la longueur de l’arc SU, compris, sur le • pa allèle deS, entre les deux plans méridiens PS, PS’; V l'azimut 7 ' du côté A sur l’horizon sphérique de S’ ; 3" la dislanc.» ri
ll>8
i> S du
jmMm • . \ ^ •»
lii |»ùlcr.m'Vi7îiiUi tlti S'f cohqitpJ à partir dit i.iVoq mcur centre <!<■ la tyliwv Si. la it-ftjp «.tait exactement sphérique, ou ççulcttieui sLellé pouvait être suppçSeo telle darts unp petite étendue d'un même para 11 oie , le même ealcul pournût se'eontintier ultérienrenient sans modiücalion ; et les résultats obtenus dans le prcnper triangle polaire., étant successivement transportés à la station' S', puis aux suivantes, suffiraient pour obtenir fontes les portions de parallèles comprises en U* leurs méridiens propret, t lesquelles, transportée* par reductiou surie parallèle de S et ajoutées les- unes aux autres, composeraient l’arc total. Kn effet, si Jl’on désigne par S" la station qui suit immédiatement S', elle s’v int tacheté pail’arc‘5phcrique S'S" ou A' qtti esl connu par la résolution des triangles principaux. En outre, l’angle S"S'S , ayant etc préalablement détermine dans ces mêmes triangles, on en retran- .^•Ifrra i' qui vient detre obtenu ,.ct l’on aura rtuigic R'S'l», dont le, supplément S"S'/«' sera la/ainut du côté A' sur llibrizon spheriqne de S', compté dans le mélnc sens que /. Enfin on connaîtra aussi la distance angulaire du pôle an zénith en S', qui sera d'. On se trouvera donc dans, les thèmes conditions qu’en S , avec des données pareilles , d’où l’on dodu ira -des résultats analogues propres à la station S'; et de celle-ci ou passera de même à S", puis «-è toutes les autres progressivement. Mais la Surface terrestre nVtant pas exactement sphérique,- ce transport ne peut plus s'effectuer avec tant de simplicité. Pour faire neltemeDt comprendre les modifications qu’il exige, je nie borne-, comme précédemment, au cas rcel où la terre est assimilable à un sphéroïde très-peu différent d’une sphère et de révolution autour de l’axe qui passe par les pôles célestes. Alors la sphère , qui est transversalement osciilatrice en S , s’écartera en S' de la surface réelle régularisée. Si l’on ■ désigné par 2.9, le point decette surface qui constitue le vrai
sommet correspondant du premier triangle que l’on a formé, le point S' se trouvera à l’extrémité du rîfyon mené du centre C de : la sp.here par le point ï'. L’intervalle S'ï' décroîtra avec la distance mutuelle des deux stations S, ï.', proportionnellement au carre de cette distance, et, en les supposant suffisamment rappro- .<■ liées, sa dimension linéaire pourra devenir négligeable, comme
^HYSIOtit* 169
on verra qujelle l{fst effectivement dans 110s triangulations. Alors il n'eu résultera pas d’inegalilé sensible entre les longueu rs de l'are . firruliiirc SS’ -et «le l’açc Si' qui en .est la projection verticale sur le sphéroïde ; et. cette circonstance, jointe à la coïncidence de nos méridiens sphériques avec les méridiens vrais menés par les mêmes points, rendra aussi l’angle azimutal calcule.#', sensiblement égal à « valeur vraif, comme, nous l'avons déjà remarqué page i5o. Mais, pour transporter à la station S' de la £g- 27 le calcul qu'on a fait à la station S, il faut d'abord y concevoir une nouvelle sphère transversalement osculatrice au méridien PS’, laquelle devra généralement différer de la première, par la situation de %>n centre sur l’axe polaire, par l'inclinaison «le son rayon R' sur cet axe et par la longueur de ce rayon. Car ces trois éléments ne pourraient rester constants, sur tonte la ligne de l’opération rque dans le cas infiniment particulier, et jamais prattquementréalisuble, où tontes les stations seraient situées exactement Sur* le parallèle •„de la première station S. Il faudra, en outre, connaître la distance angulaire du pôle au zénith vrai de S', laquelle devant être .comptée à partir de la normale locale .ji' N', fig. 29, diffijiyra généralement la distance d' calculée dans le premier Iriangje polaire, puisque cdlc-oi.est évaluée à partir du rayon CS' ou Cï'. •Cela exigera donc une petite correction. .dépendante dtf’runglo Çi'N' compris entre ces deux .droites ; et l’on ne pourra l’obtenir qu’après avoir déterminé la con figuration, générale du sphéroïde avec assez d'approximation .pour pouvoir l’évaluer. Cette dot éliminât ton sera également necessaire pour donner aux rayons successifs R/R',^. des sphères osrnlairices leurs véritables valeurs. Enfin elle lt1, deviendra encore pour réduire à une même distance polaire vraie, sur te tpltçrqide, tou tes les portions d’arcs de parallèle, |épqrcrucnt évalués entre les piéridiens des stations consécutives. Nous rtablirons plus loin les focfnujes analytiqucs.de toutes ces correction». Mais.il ütail lisent tel d’etpfaire pressentir, ifèsï» présent, la nature et' l'emploi indispensable pour obtenir des
résultats définilivenient exacts.
lôÿ. Un raisonnement exactement pareil va nous luoatrcr comnicnl , ail moyen de corrections analogues,' les f^inulcsjTi Jet
Digiti
\STHONOMl*
ci-dessus établies, peuvent servir ^calculer, la longueur tqla^ d’un ar<* méridien, compris entre deux stations S, S,, liées entré elles par un reseau de triangle» sphériques', sans patoir besoin de subdiviser ce réseau en triangles partiels appuyés sur la méridienne prolopgee.de S, .comme nous l’avons (ait précédemment. Pour cela je reproduis, dans la fig. 3o, le même réseau que. nous avions déjà considère fig. 18. On suppose de même que.J’on connaît les angles sphériques de tous les triangles, les longueurs absolues de tous leurs rotes * l’angle a zi mutai Z que l’un de «es eûtes, par exemple SS', forme, en S,- avec la direction de la méridienne locale, enfin les distances angulaires d, rf,^lu ’pûle au zcnitli vrai des detix stations extrêmes S , S„. .Pour simplifier la première expoSitiop du raisonnement, supposons d’abord toute la chaîne des triangles çfablie sur ime nièinç sphère dont P soif le pôle et R le rayon, exprime dans [espèce d’unité de longueur qu'on aura choisie,, par exemple en toises. Il n’y aura plus aucune construction à faire. Car, connaissant la longueur de l'arc^S,. l’angle azimutal Z, et -la distance rf-..chi pôle au zénith observée err,&, la formule f t|, page 1 5p, donnera immédiatement lu longueur de l’are SM, ^compris sur le méridien de S entre les parallèles des deux stations S, 8f.‘ Soit (D), la longueur de cet.arc , exprime^çn unités de même nature» <pie R.; sa valeur angulaire, en "Secondes"
de degré, sera En rajoutant à d oui est conuu , fa
somme d, sera la distance angulaire du pô!e*i? au zénith de. la sta- , tion S,; Avér ces deux angles , et l’âre SS, ou A qui , réduit aussi et»
secondes, vaudra -R" ou a", la formule*??.], pagè t(io, fera con- R » u . . .
naître l’aziinut Z' de la stations sur llioritou de S', compté autour du méridien de celle-ci, dont leèercle aboutit aussi au'pôlcP*Aloi$, • en ajoutant à Z' les arides formes autour <le cette' Jt a tion par dés , 'sommets des triangles qui s v j'*ig nent , on obtfcndra l'azimut du côte S, S, ou S.S.'suiisoh horizon .4’jfcons-nous à cette dernière f'vntialinn.rLa longueur du cède S, S, est déjà connue par le calcul d<^ triaiijfies.SDu se1 /rootivera donc dans les mêmes conditions qnen S, système dé données pareilles. Ainsi , en leur
PHtSIyUE.
appliquant les mêmes formules^ on en conclura (le même l'arc S,f*v compris sur le méridien de S, entre les parallèles des stations S,, S,, plus l'a/imut de Si- vu de celle-ci. Or, ce parallèle çst ici supposé trace autour du même, pôle commun P. Donc, si on le-proloitge idéalement jusqu’au méridien primitif PS/h , qu’il rencontrera en M, , . l’arc M,M, sera égal à S,p, , puisque tous les méridiens sont pareils et partent du même pê»èe ; de sorte que l’on connaîtra ainsi tare total SM, compris entrç les parallèles de S et de S, sur ce premier méridien. On voit même, par la figure , qu’on aurait pu l'évaluer d’une autre manière, en prenant pour intermédiaire la station S,, ce, qui fournira une vérification des calculs par lesquels cet intervalle aura été conclu. Arrive ainsi à la station S, , on passera aux suivantes de la même mariiè+e, en calculant les différences d'arcs méridiens compris entre leurs parallèles successifs jusqu’à ce que l’on parvienne à la plus australe S„. Le parallèle de celle-ci, conduit jusqu’au méridien primitif PS/n, donnera la dernière portion d'arc méridien compris entre elle et la précédente. La somme de tous ces intervalles consécutifs composera Paré total du méridien primitif SM„, compris entre les parallèles extrêmes du É£Seau total. On pourra, en uiitnj', . déterminer, parla formule {3 j. les angles polaires compris entre les méridiens de toutes les stations uue l’on aura accouplées successivement; et la foruftile [41 donnera encore, -si f on veut, leS longueurs des arcs de parallèles (que CpS méridiens interceptent à partir de chacune des mêmes stations.
150. Dans la' série des opérations que je vieos.de décrire , le rayon R de la sphère qui porte les triangles sert d’abord pour réduire en secondes les portions successives^des intervalles méridiens/ donnes parla formule (a) , afin d’obtenir lu distance angulaire dupôle au zénith dans la statjpn suivante; et il sert encore pour opérer une conversjon.pareille sur les côtés mêmes des triangles, afin d’obterihr les azimuts de ces côtés «ur les horizons successifs des diverses Stations. Mais il importo-de remarque^ que, si l’orna porfr but unique ou principal d’obtenir la longueur de l’arc méridien compris entre les (larallèles des stations extrêmes £, S„ , la longueur absoluesiu rayon lt ri a pas besoin d’être connue avec la dernier»'
ASTBOXOMIK
ligueur. Car, si l’on examine la formule [ i j", nui donne les portions (D) d’arc méridien comprises entre, les parallèles des stations cprisécutives , on verra d’abord que les distances angulaires d du pôle an Zenith n’y entrent quedans les tennis correctifs toujours très-petits, do sorte qu’une légère erreur suroet élément n’aurait qu’une très-faible influence sur les valeurs totale^ de ( D). La même considération s’apjdtque aux valeurs des azimuts / qui entrent dans ces mêmes termes. Quant au terme principal de ( D)f qui est A<»os/,sion le décompose en A — 2Asin2£i, les petites erreurs qui pourraient affecter l'évaluation de / n’y auront qu’une influence très-atténuée. Donc, lorsqne le rayon R sera seulement connu avec une approximation qui ne laisse que très-peu d’incertitude sur les
rapports ^ et , les portions de l’arc méridien comprises entre
les parallèles des stations consécutives devront s’obtenir, ainsi trèsexactement. * ...» > A »i*«
137. Maintenant, si nous supposons le réseau des triangles établi sur un sphéroïde presque sphérique et de révolution autour de Uaxe polaire céleste , il faudra placer les stations sïiccessives sur > autant do sphères différentes, transversalement osculatrices à leurs méridiens propres, ayant ainsi toutes leurs centres placés sur ce même axe, et leurs rayons polaires coïncidents avec lui en direction. Commençant alors par la station S , où la distance vraie d du pôle au zénith a été observée, on la concevra établie sur une sphère pareille ayant pour rayon R , dont la valeur approximative devra être supposée connue. Alors, ayant aussi , comme précédemment, la longueur du côté SS, ou A, avec l’azimut Z de ce côté sur la méridienne de S, on en déduira de même, par- les formules [i jet [?.]« i° la portion d’arc méridien SM, , comprise entre les parallèles des deux stations ; au la distance angulaire du pôle au zénith sphérique de Si ; 3° l’azimut i' de S sur l’horizon sphérique de S,. Passant à cette deuxième station, il faudra la concevoir établie Sur la Sphère transversalement osculatrice qui lui est * propre, et dont le centre sera situe sur sa normale réelle. L’azimut précédemment calculé i' s’y transportera sans avoir besoin de correction, et l’on en conclura relui du côté S, S,, comme procédcm-
PHVSIQUK. |-3
ment. Mais la distance angulaire d' du pôle au zénith, qui a été donnée par le calcul à partir du rayon CS, de la sphère prcééderite , devra subir une petite correction pour être rapportée à la normale vraie de S, , laquelle formera généralement avéc ce rayon un petit angle qu’on devra évaluer d'après la connaissance générale du sphéroïde. Cette réduction étant supposée faite , on se retrouvera en S, , dans lés mêmes conditions où l’en était en S, avec des données pareilles. On y évaluera donc de la même manière 1 intervalle méridien S. p* , qui-se transportera encore sur le méridien primitif de S et s’y appliquera à la suite de SM,, avec sa vraie valeur, puisque tous les méridiens sont pareils , le sphéroïde étant supposé de révolution. En continuant ainsi progressivement jusqu à la dernière station S„, on connaîtra la longueur totale de l’arc méridien compris entre son parallèle et celui de la première station S d’où l’on est parti.
158. Les mêmes considérations que nous avons appliquées tout à I heure an cas d’une sphère unique montreront ici encore que les rayons oscillateurs successifs R, R„... n’ont besoin d’être connus qu approximativement, pour l’évaluation des termes correctifs où ils entrent comme dénominateurs, biais ils seront nécessaires , en outre, pour calculer, par déduction, les azimuts successifs i', dont 1 angle calculé d est aussi un clément. Heureusement,- dans ces applications, les rayons successifs R, R,,... ne varient que par des différences très-petites , que l’on peut toujours évaluer avec une approximation suffisante, d après la connaissance generale de la forme d» sphéroïde obtenue antérieurement.
. 158. Delambre considérait lamelhode precedente comme la plus simple et lu plus directûque 1 on pût employer pour trouver l’arc total SM„, fig. 3 o, et il la preférait, à cause de la régularité de sonappli«ation,à celle qui fait obtenir les mêmes résultats eu proton-, ,m les côtés des triangles successifs jusqu’au méridien primitif PS/» , comme je l'ai expose d’abord sur la fig. t8. En supposant que l’on calcule les azimuts succeajifcet les angles polaires par les formules ( t] eLia], il est évident que les deux méthodes doivent conduire à (b*s résultats identiques si on les applique exactement. Car les distances successives du pôle au zénith , dont on fait usagç dans la dernière
| \STRONOM IF.
méthode que je viens d’exposer, s'obtiennent avec un «lÿgré d'approximation exactement égal à celui que donne lafféglede Legendre pour résoudre les triangles sphériques primitifs on auxiliaires que l’on emploie dans la première; et tous les autres éléments des calculs successifsrésultcnt rigoureusement des formules[2]et[3], d'après cette uûique évaluation. Chacun pourra donc employer celui des deux procédés qui Ini paraîtra le plus commode; et, en "effet , l’application qui en a été souvent faite à un même réseau de triangles a donné des résultats -Complètement pareils quand les calculs ont été exactement effectués.
140. M. Largeteau a judicieusement combiné l'emploi des «leux méthode» pour calculer le plus simplement possible l’arc de moridien compris, dans la triangulation d’Espagne , entre les parallèles de Montjouy et de Formentera. Le réseau qui lie ses stations extrêmes est représenté fig. 5o et 5i, avec deux systèmes differents de constructions géométriques, par lesquelles M. Largeteau a déterminé concurremment l’arc méridien intercepté. Ces deux systèmes partent d’une origine commune que j’indiquerai d’abord. En jetant les yeux sur ces figures, on voit que les deux stations extrêmes, Montjouy et Formentera, sont situées sur des méridiens peu différents. Mais la nécessité de traverser la mer qui les sépare a forcé de rejeter d’abord le réseau «les triangles vers l'ouest , puis de le ramener vers l’est sur cette «lernière station , par des côtés d’une étendue considérable. C’est pourquoi , si l’on voulait déterminer les intervalle méridiens «les stations les plus écartées vers l'ouest, par la première méthode , en prolongeant les constructions géométriqu«*sauxiliaires jusqu’au méridien «leMontjouy, on aurait à évaluer des côtés bien plus longs encore, cequi exigerait des prérantionsde calcul particulières pourobtenir l«*s dernîcrsclnffres de leurs expressions. Afin d’éviter cette difficulté, M. Largeteau prend pour méridien primitif une des stations intermédiaires, située vers l’origine boréale du réseau , mais déjà notablement rejetée vers l’ouest, U-lle que celle de Saint-Jean. Au moyen Ut's triangles, qui la lient ii Montjou/, oùTohn déterminé astronomiquement la distante et du pôle au zénith, ainsi que l’azimut i d'un des côtés du rés«?an, Montjouy-Watas , il détenifbie- : i° l’arc méridien compris entre
Piit4jycr.
le, paialMes de Montjouy et de Saint-Jean ; a- la distance du pôle au iynUi dans cette dernière staüon ; 3“ enfin , l'azimut d’un des cote, du reseau , par exemple du côté Saint-Jean-Montagut sur son horizon. Il a donc ainsi toutes les données nécessaires pour calculer trigonométriquement l’arc méridien compris entre Saim- ■iean, comme point de départ, et Formentera , en conduisant seulement les arcs des triangles auxiliaires Jusqu’au méridien de cette
première station, ce qu’il fait de deux manières differentes renrésenteesdan, les fig. 5o et 5i . Ayant obtenu ainsi des résultats qui concordait, ,1 ajoute à cet intervalle la première portion d’arc merKlien intercepté entre les parallèles de Saint-Jean et de Monliouv ce qu, hn donne l’interéalle compris entre ceux de Montjouy et de Formentera. Jerapporteen.notecedoublecalc.il à la suite du présent chapitre , ne pouvant offrir une application plus complète ou plus probante, des procèdes employés pour ce genrede détermmaüon. Mais je le renvoie jusque-là pour y introduire les petites corrections qu’il faut y faire lorsqu’on veut assimiler la surface terrestre a un ellipsoïde de révolution légèrement aplati à ses pôles < c qm est plus exact que de la -Supposer tout à fait sphérique quoique cette hypothèse plus complet ne la représente pas encore avec une complété rigueur, ainsi qu’on le verra bientôt
Hl Po,lr I,rolncr 'exactitude des formules , tant rigoureuses qu approximatives, que je vîéus d’établir dans la présenté section, je les appliquerai a un cas numérique que Delambrc a aussi choisi comme exemple, pour le même but, dans le tome III de sou ouvrage intitulée Musc du sjrstri/ie metm/uc, page 34. j*
Reprenant le triangle spherique P8S',>*. 4, on ^ donne lé, trois cotes du triangle homologue de la sphère centrale, et l’on p l'end , pour leurs valeurs angulaires,
conséquemment
, 1,1 * f*r leS Annules finies^' la U-igonometrie spherique, ou l,r,
les valeurs Pactes des trois atigfcs de ce triaigle , et l’on prend le supplément de l'angle S pour exprimer I angle, employa dans
notre
1^6 ASTROtâ-MlE
notation. En faisant ce calcul avec les Tables ordinaires de sinus à sept décimales, et bornant les évaluations aux centièmes de seconde , on trouve
consequemment
i — i ' o”55'55",oo.
Maintenant, de ces résultats extrayons seulement d, qui sont les données admises dans nos formules, et cherchons les valeurs que celles-ci assignent , en conséquence , aux trois antres éléments d\ i', p.
Je calcule d’abord la différence d' — d par son expression approximative [i]de la page 1 5g qui, en supposant l’arc a exprimé en secondes, est
, ,, f as *in!J la*/ 3‘‘ \
\d-d) =«cosr+ijF—
où il faut mettre pour données
cos i siiv »,
..a = f° = 36oo", ’ » = 76° 59' 45", 07, d 3= 45*’ 10',
çt ' logR" a* 5,3»442 5t-.f
Et, en me bornant, comme ci-dessus, aux centièmes de seconde, limite que nous avons adoptée dans les évaluations rigoureuses, je trouve , par les différents termes de cette expression ,
Cè résultat coïncide jusque dans les centièmes de seconde avec l’évaluation exacte ; les valeurs Calculées de » — ï ' et p coïncideront par conséquent aussi avec leurs analogues dans les mêmes limites, puisque nos formules [2] et [3] Tes dérivent en tonte rigueur du résultat précédent, combiné avec les valeurs données de a, j, d. C’est en effet ce que le calcul confirme , et je ne rapporte point ici ces déductions, en raison de leur identité absolue avec les valeurs rigoureuses. Je vais seulement soumettre à cetteopreuve les expressions approchées de » — »' et de p que nous avons développées en puissances de l’arc a dans les pages i 62 et 164. r 'r '
Je commence parcelle vie i — i'\ qn»y énoncée en secorsdçs de
degré, est
PHYSIÇ'.IK.
en faisant
cos- (d' ■+■ d ) cos-j (d' — d) sin i sin d'
Réduite en nombres avec les éléments ici adoptés , elle donne (i — «')"•= o" 55' 54", 76 4- o",23 = o" 55' 54", 99.
Elle diffère donc seulement de o",o i de la valeur exacte que donne notre formule rigoureuse, dont le calcul est tout aussi facile. On voit que les termes en a' ne peuvent pas y être négligés.
Je passe aux deux expressions analogues de l’angle p qui, exprimées aussi en secondes , sont
sin < sin d'
"J . sin [d' 1 ) sin (d' — i)
sin 1
sin1 d'
sin d
1a"1 . ; sin-W-M'lsin (rf — i') 6 R"1 S‘n'
Elles s’accordent toutes deux h donner
elles reproduisent donc la valeur exacte de p", et l’on voit encore que les ternies en a5 n’y sont pas négligeables.
D’après cela, on doit s’attendre à obtenir moins de précision pâlies formules plus restreintes que l’on a introduites dans l’usage habituel , et qui sont
„ a" sin i „ a" sin i'
^ sin </' ’ ^ sin d
En effet , celles-ci donnent
cos 7 (</'•+• d) cos : \d'— d)
L’évaluation de p" présente une erreur égale à o",i83; relie de (1 — /')" est en erreur de o",2i, c’est l’effet des ternies qu’on y a
T. III. 13
négligés. Ces expressions nedevraient donc pas être employées pour calculer des opérations d'où l’on veut déduire des résultats précis , surtout si les valeurs qu’on en lire se transportent successivement à de longues chaînes de triangles. Car l’erreur des azimuts calcules tend alors à s'accroître progressivement par son accumulation. Il me semblerait donc préférable de calculer seulement les valeurs Je d' d par la formule approximative dont l’exactitude est assu-
rée jusque dans les termes en a3 qu’elle renferme, et d’en conclure l’angle polaire p, ainsi que la différence /' — i' par les formules rigoureuses dont l’emploi est presque aussi simple que celui des approximations imparfaites qu’on leur a substituées.
Section IV. — Preuves de la non-sphéricité de In terre. Sa forme s'assimile à celle d'un ellipsoïde de révolution légèrement renflé à l’équateur et aplati aux pôles.
142. La non-sphéricité de la terre se manifeste par l’inégale longueur des degrés du méridien, mesurés à differentes distances angulaires du même pôle céleste. Sur une sphère, ces longueurs devraient être égales , tandis qu’en réalité on trouve qu’elles décroissent en allant des pôles vers l’équateur, suivant une proportion peu différente de celle du carré dn cosinus de la distance polaire C’est ce que prouveront les mesures que nous allons rapporter.
Le plus grand arc d’un même méridien que l’on ait jamais mesuré, est celui qui, parlant du parallèle de l’observatoire de Greenwich, traverse la France, l’est de l’Espagne, et se termine dans la petite île de Fermentera, l’une des Pylhiuses. Les distances du pôle au zénith ont été astronomiquement observées, non pas seulement aux extrémités boréale et australe de cet arc, mais encore dans cinq stations intermédiaires, ce qui a fourni six mesures distinctes du degré terrestre dans les diverses parties de son amplitude. Tous les résultats de cette grande opération se trouvent rassemblés dans le tableau placé ici en regard de la page suivante. Je l'extrais de l’ouvrage deDelambre, intitulé : I)nse du Système
• •• tiijrff* *
, page 179.
MIYStQlIE,
métrique , tome ITT, page 549, en )' faisant quelques rectifications de détail devenues nécessaires , par un calcul plus exact de l’arc d’Espagne, et par une nouvelle détermination de la distance du pôle au zénith Formentera, plus sûre que celle qu'on avait faite primitivement. Toutes les longueurs sont exprimées en toises de l’ancien étalon de l’Académie des Sciences, qui avait servi aux premières opérations des académiciens français au Pérou, et auquel on avait soigneusement comparé les règles de platine employées dans l’opération nouvelle. Cet étalon, qui est en fer, est suppose représenter exactement 2 toises, à la température centésimale de i6°|. C’était la véritable unité scientifique de longueur adoptée en France avant qu’on y eût substitué le mètre dont nous parle-' rons plus loin (*). " 4
145. Ce tableau suggère plusieurs réflexions. D’abord on y voit qu’en effet les longueurs des degrés partiels y vont .toutes en croissant , à mesure que le pôle céleste se rapproche davantage du zénith des lieux où ils sont mesurés. Mais si l’on compare les différences successives de ces longueurs aux différences des distances polaires moyeunes qui y correspondent, et ^ que l’on peut tirer de la troisième colonne , on reconnaîtra aisément que la diminution ne suit pas une marche exactement régulière. Car, j>ar exemple, entre les deux premiers, elle est de ioT pour une variation de distance polaire moyenne égale à i° 19', tandis qu’entre les deux derniers, elle n’est que de 5T pour une différence de 2ui6'3o" en nombres ronds. Cela provient très- vraisemblablement de deux causes: d’abord d’irregularités réelles, existantes sur les diverses parties de cet arc terrestre, comme il s’en manifeste entre les longrteurs du pendule (ju’on y a mesurées, ainsi que cela a été établi, tome II, pages 472 et suivantes; puis des' légères inexactitudes qui ont pu être commises dans l’évaluation trigonométrique des longueurs, et dans les déterminations des distances polaires <7, la dernière colonne du tableau montrant qu’une erreur de 1" sur cette der-
(*) Le détail de ces comparaisons est consigné dans le tome lit de la Date du tystinu métrique , page 401; et leur résultat final est exprimé tri que je viens de te dire, ï la page 6i3.
^ fl
nière détermination équivaut à une erreur de i5T,8 sur la longueur de l'arc d’où chaque degré partiel est conclu. Or, à l'époque où l’opération fut faite, les cercles répétiteurs français présentaient des imperfections qui permettaient difficilement de repondre de quantités angulaires aussi petites; et la distance polaire du zénith à Fermentera, qui a été reprise en i8a5, est peutêtre la seule où l'on puisse espérer d’avoir obtenu la précision de i". Le moven le plus naturel de compenser ces incertitudes consiste à prendre une évaluation moyenne du degré terrestre entre toutes eellos-l.V Mais, pour le faire judicieusement, il faut employer ici un artifice pareil à celui que nous avons applique au* mesures du pendule, tome Tl, page 47 * - Car sachant, comme cela sera prouvé plus tard, que l’expression générale d'un degré terrestre D(°> est trés-apprnximativemcnt de la forme
D(”i = A B cos’rf, •
A et B étant deux coefficients sensiblement constants pour une série de degrés qui se suivent sur une même portion de méridien de peu d’étendue, on en conclura, par le raisonnement dont nous avons fait alors usage, que la moyenne arithmétique entre les longueurs de ces degrés devra, abstraction faite de leurs irrégularités, répondre.! une distance moyenne D du pôle au zénith, telle qu’on ait
cos’ D — - I cos V/, n
ri étant le nombre total des degres dont on fait la somme. J'ai rapporté le résultat de ce calcul dans les deux dernières lignes placées au bas du tableau, et je le prendrai comme un élément unique, déduit de toute l'opération.
HA. Maintenant, pour en tirer parti , je l’associerai à diverses autres mesures de degrés de méridiens qui ont été effectuées avec le plus de soin , en des lieux de la terre où les distances du même pôle céleste au zénith sont très-différentes. Pour que cette association fût complètement rigoureuse, il faudrait que ces degrés appartinssent tous à un même méridien. Mais, quoique les operations
PUYSIQD&. | 8 I
effectuées jusqu'ici n offrent pas uu pareil caractère d’identité , cela n’aura qu’une influence très-secondaire sur les résultats généraux que nous en pourrons déduire, parce qu’à des distances égales du pôle céleste au zénith , les longueurs des degrés mesurées sur des méridiens divers approchent tellement de l’égalité, qu’on n’a pu encore y constater de différences générales. De sorte que la forme de la surface terrestre , dans ce qu’elle a de régulier, parait être, sinon rigoureusement, du moins très-approximativement assimilable à un sphéroïde de révolution, dont l’axe coïncide en direction avec l’axe polaire céleste, et dont tous les méridiens sont sensiblement pareils. Cette hypothèse est donc, du moins, la première qu’il faille essayer de lui adapter , et le tableau suivant nous fournira les éléments nécessaires pour en faire l’épreuve :
LltlK
ou le* defrét ont été mesurés.
DISTASCKS
moyenne* du xénitb *u pôle boréal observée*.
LOKVIVRS
corresp.
du degré terrestre en toises de l'étalon de l'Acad.
Le» Andes du Pérou.
Wttrv
Inde
France et Espagne. .
Angleterre
Laponie
Ici , nous voyons
sc réalise
r avec t
obsehvatki.vs
Opération de Bougucr et la Condainine, recalculée par Delambre, Il aie du système métrique , tome lit.
Opérât, du colonel Lamblon.
Opération française.
(Opération du général Madge, recalculée, pour L’amplitude terrestre, par Rodriguès, l’h.
Trans., 181a, part. II, p. 33x ^Opération de Clairaut , Outiller e! Manpertuis. effectuée de nouveau et rectiliéc par Swanberg.
mode de variation ijue l'arc de France et d’Espagne nous avait déjà présenté. Les longueurs des degrés vont en croissant à mesure que la distance du pôle céleste au zénith du lieu devient moindre, par conséquent à mesure que les normales de la surface sphéroïdale se rapprochent de son axe de révolution. Les incertitudes que l’on peut supposer dans les déterminations de ces longueurs seraient tout à fait insuffisantes pour y produire des différences si grandes , et si continûment progressives. La surface terrestre, corrigée de ses inégalités locales, et ramenée au niveau régulier des mers, n’est donc pas exactement sphérique. Scs méridiens, supposés pareils, ne sont pas des cprcles parfaits. Mais la différence est petite, à en juger par le peu de variation totale des degrés comparativement à leur longueur absolue. Le sphéroïde doit donc être, relativement, un peu aplati à ses pôles où les degrés sont les plus longs , et légèrement renflé à son équateur où ils sont les plus courts. La courbe génératrice qui représente les méridiens doit ainsi différer trèslieu d’un cercle, et reproduire ces inégalités relatives de configuration , dans les points correspondants de son contour. L’idée la plus naturelle, et qui devra déjà en fournir une représentation, au moins très-approchée, c’est de l’assimiler à une ellipse, ayant son axe polaire PP, un peu plus court que l’équatorial AA, , comme le représente la fig. 3i. Mais, pour réaliser cette assimilation, et même pour savoir si elle est admissible , il faut d’abord assigner généralement les lois suivant lesquelles les longueurs des degrés varient sur le contour d’une ellipse en raison de l'inégalité de ses axes, puis chercher par le calcul, jusqu'à quel point d’exactitude on peut représenter ainsi les variations îles longueurs exprimées dans le tableau précédent. L'établissement des lois mathématiques doit donc nécessairement précéder ici toute application.
I AS. Afin de rendre bien sensibles les conséquences qui résultent de l’inégalité des axes, je prends pour type la Jig. 32, où elle est représentée comme très-considérable, comparativement à leur longueur absolue. O est lccentrc de l’ellipse; OA, ou OA,, son demiaxe équatorial, que je désigne para; OP, ou OP,, son demi-axe polaire, que je nomme b. Nous savons déjà que celui-ci devra être plus
VHVSUjUI .
court que l’autre. Faisons généralement
t = - -> ce qui donnera 6 = a(i- — *)•
La lettre i représente ce que l’on appelle d’ordinaire V aplatissement de l’ellipse , par conséquent aussi celui de l'ellipsoïde qu’elle devra engendrer en tournant autour de son axe polaire PP, (*}•
raisons encore =
Le radical :fc y/ a1 — b 1 est l’excentricité OF ou OF, de l’ellipse. La lettre e représente donc ici le rapport de cette excentricité au demi-grand axe a.
Si l'on prend la valeur de b en a et t, puisqu’on la substitue
(*) C’est la définition établie par Delambre, Base du système métrique , tome II , page 66a, et il s'y est conformé dans tous les calculs de ce même ouvrage. Il l’a reproduite dans son Traité d' Astronomie, tome III, page 555. Elle a été adoptée par les auteurs qui ont écrit apres lui sur la Géodésie; en conséquence, j’ai cru devoir m'y assujeltir dans un ouvrage destiné aux applications pratiques. Mais je dois cependant avertir que cette définition tle l’aplatissement n'est pas celle qu'ont employée les géomètres théoriciens, par exemple Laplacc et Legendre. Lo premier dans YExpusilion du f\ystèmc du monde, cliap. XIV, le second dans ses recherches sur la Trigonométrie sphéroîdique, Mémoires de l'Institut pour 1806, page i.ju, appellent aplati&ae-
— ■ — . Si l’on désigne celni-ci par en continuant de re-
tnent le rapport a — b
présenter par t, la condition d’égalité des valeurs de a et de t, tirées
le ccs deux notations, donnera
conséquemment
On voit ainsi que «' surpasse «, et que la différence est de l’ordre r‘. Or, les termes de cet ordre, quoique très -fui blés, ne sont pas toujours négligeables dans les opérations geodésiques, de sorte qu’il est bien essentiel d’y distinguer celle des deux définitions de l'aplatissement que l’on veut adopter pour l’énonce des résultats.
184 ASTBONOMIK
dans l’expression de e7, a disparait, et il reste
les deux quantités e, t sont donc toujours liées l'une à l’autre par cette relation.
Pour rendre sensibles les détails de notre figure type, j’y ai représenté le demi-axe a comme beaucoup plus long que le demi- axe polaire b. Mais, dans l'ellipse que nous voulons adapter aux méridiens terrestres, ces deux axes différeront très-peu l’un de l’autre, relativement à leur valeur totale, ce qui fait que les rapports s, e 1 y seront exprimés par de très-petites fractions. Cela permet de calculer très-exactement et très-simplement e, quand on connaît c1 qui, ainsi qu’on le verra tout à l’heure, est donné immédiatement par la comparaison des différents degrés. En effet, si l’on tire s de la relation précédente, en ne prenant que celle des deux racines qui lui donne une valeur très-petite de l’ordre c% on a
la petitesse de e’, relativement à l’unité, permet de développer l’expression radicale en une série très-convergente, par la formule du binôme; et comme on a, en général ,
(' — «)T= i — i« — l"1 — tî"1 — rfr"'---,
en remplaçant a par il en résultera
* = T^ + ic‘-t-Tîc*-i-Tfrc*-
Ou pourrait prolonger le second membre indéfiniment. Mais, dans aucune application à la figure de la terre, on n’a besoin de dépasser les e"; et, en particulier, pour obtenir e dans les limites d’exactitude dont les observations permettent de répondre, il n’est pas besoin d’aller jusque-là.
140. Prenons maintenant sur ün même quadrant de notre ellipse un nombre quelconque de points M„ M„ M,,..., et menons, par chacun d’eux, autant de normales à cette courbe, que nous prolongerons dans son plan, jusqu’à ce qu’elles coupent le petit
axe aux points N,, N„ N,,.... Je désignerai généralement par N les longueurs M,N,, M,N„ M,N5,... des portions de chaque normale ainsi limitées. Tout cercle, qui a son centre sur ces normales, et qui aboutit à leur point de départ, est tangent à la courbe en ce point-là. Mais, pour chaque normale, il y en a un dans le nombre, dont le contact avec la courbe est plus spécialement intime , parce qu’il s’y prolonge jusque sur les deux éléments infiniment petits, situés immédiatement de part et d’autre du point de tangence. Celui-là se caractérise, en géométrie , par la dénomination trés-expressive de cercle oscillateur île la courbe, au point considéré. L’intimité particulière de son contact donne lien au résultat suivant qui la rend sensible, et qui est représenté graphiquement, fig. 33. Soient LML une courbe plane quelconque, et, dans son plan, la droite TMT qui la touche en M. Par ce point, perpendiculairement à la tangente, menons dans le même plau la normale indéfinie MN, et plaçons sur elle , en C , le centre du cercle qui est oscillateur en M. Si, par tout autre point C., C,, pris sur la même normale, on décrit des cercles dont les rayons soient C,M, ou CiH, ces cercles toucheront encore la courbe en M. Mais tous ceux dont le centre C, sera situé entre le point C et le point M, seront intérieurs à la courbe autour du point de tangence comme AMA ; et tous ceux dont le centre C, sera situé au delà du point C relativement à M, lui seront extérieurs comme B.MB. Ceux-ci , dans le voisinage du point M, passeront toujours entre la courbe LML et sa tangente rectiligne, dont ils se rapprocheront sans cesse à mesure que leur rayon s’allongera ; de sorte qu elle sera leur limite extrême. Le cercle oscillateur, décrit du point C, se maintiendra pins près de la courbe et la suivra plus longtemps qu'aucun de ceux-là.
1 W. Revenantu notre ellipse, représentée fig. 3?., j’y définirai la direction de chaque normale, par l’angle M,N,P, M.-NjP, M,iN,P,..V qu’elles forment avec l’axe polaire OP, et je nommerai généralement cet angle il, en le comptant, comme je viens de le dire , vers le pèle P, que je désignerai comme boréal. On verra tout à l’heure que cet angle il est réellement la distance angulaire du pôle au zénith, telle qu'on l’observerait sur l'ellipsoïde à partir du pib-
longeaient extérieur (Je la normale de l'ellipse, laquelle devient aussi la normale de la surface en chaque point. Mais je me borne à faire pressentir cette application ; et , considérant seulement ici les particularités propres à l’ellipse génératrice, j’y désignerai généralement par 7 la longueur du rayon osculatcur pour la distance angulaire d. J’appellerai aussi N la longueur de la normale correspondante, limitée à la rencontre de l’axe polaire. On démontre, dans les Traités de calcul différentiel, que N et 7 ont les expressions suivantes (*) :
(1— e’cos 'd)'
De là, on tire généralement
— JL*
(1 — c’ cos V/)1
(t — e3 cos3 fl) f r3 1
N = 7 - - = 7 1 H stn3 d •
148. Dans toutes les ellipses que nous voulons considérer, a est plus grand que b, et le carré c3 est une quantité positive trèspetite comparativement à l’unité. Ainsi, dans ces ellipses, la normale N terminée au petit axe, comme nous l’avons admis, est toujours un peu plus grande que le rayon osculatcur 7 qui y correspond. C’est aussi ce que représente notre figure type, où les centres d’osculation propres à chaque normale sont désignés par C,, C„ C,,.... Seulement, la nécessité où l’on s’est trouvé d’y mettre une grande disproportion entre les deux axes pour rendre ses détails perceptibles, fait que l’excès de N sur 7 y est plus grand qu’il ne le serait dans une ellipse où e' serait moindre; mais cet excès est toujours de l’ordre de c3, d’après l’expression que je viens d’en donner.
140. Le plus grand de tous les rayons oscillateurs d’une pareille ellipse est celui qui coïncide avec la direction du petit axe polaire pour lequel on a d = o, et sa longueur est représentée par PC,,
(*) Os expressions seront rappelées dans une Note analytique placée à la tin de In présente section, où j’expose plusieurs applications qui en dépendent. . -
dans la ligure. Le plus petit est celui qui coïncide avec la direction du grand axe , |x>ur lequel d — yo°; et sa longueur est représentée par AC». En donnant successivement à d ce s deux valeurs dans les expressions précédentes, on trouve:
Pour le premier cas,
rf = o, N = 7 ; pour le deuxième ,
d — go", N = « ; 7 = a(i — c’)= — •
Dans les ellipses que nous considérons, le demi-axe équatorial a est plus grand que le demi-axe polaire b ; ainsi le plus grand rayon osculateur qui correspond à d = o est plus long que b , et le plus |>etit correspondant à d — go" est moindre que a. On a marqué ces deux centres de courbures extrêmes, aux points C,, et C« de la figure , d’après les valeurs des deux rayons qui convenaient à ses dimensions.
IlîO. Si , dans un même quadrant PA de l’ellipse , on conçoit, à partir du pôle P, une série de normales infiniment voisines, elles se couperont successivement, puisqu’elles auront des directions différentes et qu’elles sont dans un meme plan. Leurs points d'intersection, supposés ainsi infiniment proches, seront les centres d’osculation successifs ; et la série de cescentres formera une courbe continue C^, Ci C, C,C„ que l’on appelle la développée du quadrant considéré. Ce tt£ dénomination est fondée surce que, si l’on conçoit un fil parfaitement flexible et inextensible, qui, partant du sommet équatorial A, s’enroule sur cette courbe et se termine en C,,, puis, que L’on développe graduellement ce fil en le tenant toujours tendu sur la courbe, son extrémité A décrirait le quadrant AP de l’ellipse, «•n lui restant toujours normal. Une conséquence évidente de cette génération, c’est que toutes les normales menées dans un même quadrant de l’ellipse sont successivement tangentes à sa développée dans les centres d’osculation propre à chaque normale.
T, a grande différence de longueur relative que l’on a donnée
uS8
aux axes a et b tic notre ligure type, fait c|ue la développée dtr quadrant PA a une étendue considérable et s’éloigne beaucoup du centre O. Cela était nécessaire pour rendre ces deuils sensibles. Mais, dans les ellipses des méridiens terrestres, où b diffère très-peu de « , l’étendue de la développée est relativement beaucoup moindre et se rapproche beaucoup plus du centre O, dans lequel elle se rassemblerait tout entière si l’on faisait b — a , c’est-à-dire si l’ellipse devenait un cercle. En ce sens, on peut donc dire que la développée du cercle se réduit à un point unique qui est le centre même O (*).
loi. Ceci va nous servir pour éclaircir une difficulté qui se présenté continuellement dans le calcul des arcs méridiens, et à laquelle, je crois, on n'avait jamais fait attention. Soit M, M un très-petit arc de méridien , dont M, N, , M., N, représentent les normales extrêmes , et M,TV, la normale au point moyen. Supposons cet arc assez restreint pour qu’on puisse le considérer comme se confondant sensiblement avec le contour du cercle qui serait osculateur en M», ce qui sera l’assimilation la plus exacte qu'on en puisse faire. C’eât aussi celle que l’on emploie généralement |>our évaluer les amplitudes angulaires des petits arcs de méridien, mesurés sur la surface terrestre. Nommons A la longueur de cet arc exprimé en toises, et p la longueur du rayon osculatcur en Mi, exprimé dans la même espèce d’unités. L’angle M, IM,, ou I, compris entre les deux normales extrêmes , est donné par les observations astronomiques. C’est la différence des distances angulaires du pèle au zénith qui s’observent en M, et en M,. Car les normales déterminent le point zénithal de chaque station , par leur prolongement extérieur. Lorsque l’angle I est donné par l’observation, en degrés delà graduation sexagésimale du cercle, et que l’on connaît aussi la longueur du rayon p en toises, on en conclut la longueur A de l’arc que cet angle embrasse sur la circonférence osculatrice, par sa valeur proportionnelle
(*) Pour ne pas interrompre le» raisonnements, je rejette à la fin do celte section une Note analytique hurles rayons oscillateurs cl la développée de l'ellipse, qui justifiera toute* Ica notions dont je fais usage ici.
Digil
A = 2 of Si , au contraire , l’arc A est donné en toises, ainsi
que p, on en conclut l’angle au centre I par l’expression inverse
I — 36o°j— • Mais cela suppose, ou semble supposer, que les
deux rayons menés du centre d’osculation moyen C5, aux points extrêmes de l’arc, coïncident sensiblement avec les deux normales extrêmes , ou s en écartent de quantités angulaires si petites, qu’on peut légitimement les négliger. Or, d’abord , la coïncidence dont il s’agit ne peut pas exister rigoureusement si le méridien n'est pas exactement circulaire ; et pour les méridiens elliptiques, cela se voit par notre figure même. Car le centre d’osculation moyen C, étant nécessairement placé entre les centres d’osculation extrêmes, par la nature de la développée qui est convexe vers le centre O, les deux rayons C,M, , C.M„ menés de ce centre moyen aux deux points extrêmes de l’arc M,M,, diffèrent évidemment des deux normales correspondantes. Reste donc à examiner s’ils formeraient avec ces normales des angles négligeables. Mais ceci n’aurait lieu , même pour des méridiens aussi peu différents du cercle que ceux de la terre, qu’en restreignant l’arc M,M. auquel on applique ces conversions beaucoup plus qu’on ne le lait habituellement. En effet, si l’on suppose que l’angle I, compris entre les normales, soit seulement de a°, on trouve que les angles C,M,I , C,M,I seraient de o",3oo, ce qui est loin d’être une quantité négligeable dans des calculs précis. Toutefois, le résultat de la conversion effectuée comme je l’ai dit tout à l’heure devient exact, par un effet de compensation que l’on peut concevoir sur notre figure. Car, d après la forme convexe de la développée , les deux rayons d’osculation extrêmes C,M,, .C.M.,, s’écartent dans un même sens des normales correspondantes; et dans une ellipse très-peu aplatie, comme celle des méridiens terrestres, les valeurs angulaires de ces deux écarts sont sensiblement égales jusque dans les millièmes de seconde, pour un angle total I de 20, en quelque point du quadrant de l’ellipse qu’on le suppose formé. Ainsi , en n’appliquant pas la formule de conversion à des angles plus grands que cette amplitude, et c’est ce qu’on
ASTRONOME
est bien loin de faire, l’angle M,C,M,, soutendu par l’arc A au centre du cercïe oscillateur, se trouve, en somme, égal à l’angle des deux normales, jusque dans les dernières limites d’évaluation appréciables, comme on l’avait toujours supposé, sans en avoir, je crois , la démonstration. Ce résultat sera établi dans une Note qui fait suite à la section présente. Le calcul, et la fie. 3a eUe-méme , s’accordent, en outre, à montrer que, pour des relations de position pareilles , les segments M,I , MJ des deux normales extrêmes sont sensiblement égaux entre eux, ainsi qu’au rayon oscillateur moyen M,C,.
lo2. Notre ellipse génératrice étant ainsi bien étudiée, faisons-la tourner autour de son axe polaire PP, pour former l’ellipsoïde de révolution «pie nous voulons assimiler à la surface terrestre. Dans ce mouvement, tous les points de l’ellipse décriront simultanément des circonférences de cercle dont les rayons seront, leurs distances respectives à l’axe polaire. Conséquemment, l’ellipsoïde ainsi constitué aura pour méridiens l’ellipse génératrice ellemême. Or, les normales de cette ellipse deviendront les normales de l’ellipsoïde en chaque point que l’on voudra considérer. Car, d’abord elles seront perpendiculaires à la tangente de l’ellipse en ce point, et elles seront ainsi perpendiculaires A la tangente transversale du cercle, mené en ce même point perpendiculairement au plan de rotation. Étant perpendiculaires A ces deux droites, ellcsle seront aussi au plan qui les contient , lequel sera tangent à l’ellipsoïde dans le point spécifié. D’après cela, les points situés dans îles méridiens différents, A une même distance angulaire du pôle, auront leurs normales propres dirigées vers un même point de l’axe polaire où elles s’entrecouperont mutuellement; et, pour chaque distance polaire assignée, ils se trouveront eux-mêmes situés sur une circonférence de cercle dont le plan sera perpendiculaire à l’axe de rotation , de sorte qu’elle sera un parallèle de l'ellipsoïde. Mais si l’on choisit, dans les méridiens différents, deux points placés A des distances polaires inégales, leurs normales iront couper l’axe polaire en des points distincts; et , comme les plans méridiens qui contiennent res normales n’ont que cet axe
PHYSHJUK. ' IQI
de commun, elles y poursuivront leur marche indéfinie, sans se rencontrer jamais.
185. Ici j’ai besoin île rappeler un résultat géométrique, commun à toutes les surfaces dont la convexité est continue. Si , en un point quelconque d’une telle surface , on mène une normale au plan tangent, il y aura sur cette normale une longueur finie, dont chaque point pourra être le centre d’une sphère osculatrice au sphéroïde dans le lieu considéré. Mais le sens d’osculation de ces sphères , c’est-à-dire celui où elles ont avec la surface du sphéroïde un contact du second ordre, sera différent, selon le point où l’on aura placé leur centre. Dans l’intervalle de la normale cidessus spécifié, il y a toujours deux de ces sens, rectangulaires entre eux, pour l’un desquels le rayon de courbure est le plus grand, et l'autre le moindre de tous ceux qui aboutissent au meme point de la surface. Si, autour de ce point, on cherche la suite des cen très de courbure qui ont cette propriété de maximum ou de minimum , on les trouve placées sur deux surfaces réglées, qui se croisent rectangulairement au point désigné. Ces deux surfaces sont formées par la série des normales infiniment voisines, qui se coupent mutuellement, d’abord avec la normale primitive, puis chacune successivement, avec une des normales suivantes. Leur intersection avec le sphéroïde considéré y trace deux lignes courbes, que l’on appelle ses lignes de plus grande ou de moindre courbure, selon qu’elles contiennent le système de rayons oscillateurs maximum ou minimum autour du point de départ. Et on les reconnaît sur chaque sphéroïde par la géométrie ou par le calcul, d’après ce caractère d’intersections mutuelles, propre au système des normales qui les composent; car il leur est spécial.
181. Cela va nous les faire aisément apercevoir dans notre ellipsoïde de révolution. D’abord, l’ellipse génératrice est évidemment une de ces lignes. En effet, sur chaque méridien, les normales successives menées en ses divers points s’entrecoupent nécessairement dans son plan, puisqu’elles y ont des directions diverses. Les circonférences des parallèles nous offriront l’autre ligne de courbure. Car les normales menées aux divers points d’un même parallèle sont les arêtes rectilignes d’un cône droit ayant son centre sur
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l’axe polaire, où elles s’entrecoupent ainsi mutuellement. Les portions de chaque normale comprises entre chaque point «le l'ellipsoïde, et leur point d’intersection de l’axe polaire, constituent donc les rayons oscillateurs propres à ce second système de courbure. Aussi est-il rectangulaire à l’autre, conformément à la règle générale, en chaque point de l’ellipsoïde que l’ou veut considérer. il ne reste plus qu’à savoir sur lequel des deux systèmes se trouvent les plus grands ou les plus petits rayons oscillateurs propres à chaque point. Or cela est encore très-facile. En effet, si l’on désigne par N les longueurs des segments de chaque normale terminés à l’axe polaire, et par 7 le rayon oscillateur de l’ellipse, pour une même distance polaire d, nous avons trouvé généralement, page 186,
N = 7 ^iH — ; sinvj .
Dans notre ellipsoïde, e1 étant une fraction positive moindre que t , N est toujours plus grand que 7 pour un même point. Ainsi, sur chaque normale, le plus petit de tous les rayons oscillateurs de l’ellipsoïde est 7 ; le plus grand est N. Leur différence N — 7, ou
■pi — sin1 d, exprime la longueur du segment de la normale qui
contient tous les centres d’osculation divers, propres à un même point; et cet intervalle, pour chaque distance polaire donnée, est une fraction de 7 d’autant plus petite que e’ est moindre, de sorte que sur une sphère rigoureuse il devient nul avec c \ Ce sont les conséquences particulières de la proposition générale énoncée plus haut , page 188, § ISO.
IlliS. Quand on connaît, dans une surface quelconque, le plus petit rayon de courbure p, et le plus grand p„ situés sur les deux systèmes de lignes que nous venons de définir, on peut facilement trouver le rayon de courbure p qui est oscillateur à la surface suivant un plan formant un angle quelconque i avec le plan de la moindre courbure. Car on démontre, dans la théorie des surfaces, que l’on a toujours la relation suivante trouvée par Euler :
Tl I .
- = - cos- 1 h — ain’ «.
It
nHk 1^3
Dans notre eMipsmdt, le ravou p, est cehii-dc l’ellipse génératrice, que nous avons nommé y,-ct le rayon p, est la normale prolongée jusqu’à l’axe polaire, que nous avons nommed N; d'après les expressions quenonsavons données <le res deux quantités (page i8i>), on aura donc ici
pi =7
n il
(i — e' ros5 d-U
(f — e5 co
Ainsi, quand l’oscillation devra avoir lien dans l’azitriut*), compté autour du méridien elliptique, on aura le rayon oscillateur n par cette formule « rV ‘V* * H,"*
i (t '■ — e’.’cos' r/ ■ (i— e'cos’rf)’ . *
- — ; — ^-eos’i -t,' — — — sjn1 /, . %
qui peut se mettre sous cette forme
* UMV * i ♦
sin- tl cos5 /
en faisant comiiÿ1 ci-dessus
"{l — r’cos ’zf)J
jül < r ■
'Tl
Nous discuterons plus loin l’emploi de cette formule, dans son ap^ plication aux arcs terrestres pour lesquels l’angle i a une valeur intermédiaire entre ses limites extrêmes i == o et i = 90°. Mais auparavant il faut procéder à la comparaison des degrés du niriidieu » mesurés à diverses distances du pôle, pour en déduire la valeur de e5, ainsi que la longueur des demi-axes terrestres a et b, en toises. Car l’accord plus ou moins approché de ces résultats obtenus par les differentes mesures dont nous avons donné le tableau page 181 , est la première epreuve qu’il faut faire pour savoir si un ellipsoïde de révolution quelconque peut être employé avec une suffisante exactitude à la représentation de la ligure de la terre.
IdC. Mais, avant de procéder à celte recherche, il est essentiel de lever un doute qui pourrait $e présenter à Fesprit. Les longueurs*
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