MU

dos flegrêti', rapportées dans notre tableau de ta page 181, ■reprise nient autant de petits arcs du méridien terrestre , soutendant chacun un angle de j° au centre du cercle qui est osculatcur il ce méridien, même dans les lieux oit ils ont été individuellement mesurés. Mais ils ôntété conclus de triangulations dont nous avons considéré toutes les parties comme appliquées sur des sphères de rayons progressivement variables, et transversalement osculatrires au méridien terrestre , ce qui suppose ces rayons égaux aux segments N des normales, et non pas aux rayons oscillateurs 7 de l’ellipse, is’y a-t-il pas une contradiction logique entre ces deux manières d’envisager successivement les mêmes résultats?

Pour résoudre cette difficulté, qui n’est qu'apparente , il faut re- . vçtÿr un moment sur la marche descàlculs qui nous ont donné les longueurs des arcs. Nous avons d’abord l’arc de Pensylvanie, où elle a été déterminée par une mensuration immédiate. En divisant cette longueur par l’amplitude angulaire del’arc céleste compris entre ses normales extrêmes, nous avons, sans nous en rendre compte alors, obtenu le même résultat que si nous l’eussions placé sur le cercle osculatcur local de l’ellipse méridienne , puisque, en raison de sa petitesse , il aurait soutendu au centre de ce cercla le meme angle que nous avons employé. Quant aux longueurs des arcs méridiens qui ont été déduites des triangulations . si on les suppose calculées par le théorème de Legendre, la connaissance des rayons oscillateurs consecutifs sur le réseau des triangles ne devient nécessaire que pour évaluer la portion d’arc méridien comprise entre le dernier nœud de la méridienne , et le parallèle de la dernière station. JT Or, ce segment étant toujours très-petit, on peut placer indifféremment le triangle qui le donne , sur l’une ou 1 autre des sphères osculatrices extrêmes, en lui attribuant, meme pour son rayon, celui qui résulte de l’arc de Pensylvanie. En effet, l’erreur de cette évaluation ne pouvantétre que fort petite, puisque lesphcroïdecst presque sphérique, elle n’influera pas sensiblement sur la longueur absolue du segment très-restreint auquel on l’appliquera. L’arc total ainsi obtenu sera donc exact. S’il est peu étendu , en le divisant par 1 amplitude angulaire de l’arc céleste compris entre ses normales exhrê-

’ mes, amplitude donnée par les observations astronomiques’, on le

• .iia*

K JS

™g:t!£ed 1

# IHYSIQtl • |y5

place virtuellement «urlc cercle qui serait oscillateur à l'ellipse dans sa partie moyenne, et l’on obtient ainsi lu longueur de l’arc Df#), qui soutendrait au centçe de ce cercle un angle de t°. Si l’arc total parait trop grand pour pouvoir être légitimement appliqué sur un même cercle osculateur local de l’ellipse, on le subdivise en portions plus petites, aux extrémités desquelles on détermine astronomiquement les distances angulaires du pôle du zénith , comme on l’a fait dans l’opération de France et d’Espagne. On peut alors y cal culer séparément les longueurs du degré propres à chaque cercle osculateur de l’ellipse, qui aurait son point de contactai! milieu de leurs parties diverses. Ainsi ces déterminations atteignent , sans cercle vicieux logique, toute l’exactitude que l’on peut attendre d’opérations pratiquement réalisées.

Si nous considérons maintenant les longueurs d’arcs méridiens qui se déduisent des memes triangulations parla méthode de Delamhrc, les rayons des sphères sur lesquelles on applique successivement les côtes des triangles pour en déduire les segments de méridien compris entre les parallèles de deux stations consécutives , servent seulement pour l’évaluation des termes correctifs, où ils entrent cxplicitemeid avec leurs valeurs absolues, et aussi comme éléments de calcul, 'P pour transporter les azimuts d’une ^station à une autre; 2° pour obtenir les distances du pôle au zénith propres à chaque station dans le preiniermode de leur emploi. I,a petitesse des termes auxquels ils s’appliquent, permettrait de leur attribuer sans erreur appréciable, sur toute l’étendue de la triangulation , une longueur commune, par exemple celle qui résulte de l’arc de Pensylvanie. Quant à la correction que les azimuts exigent, nous avons montré qu’elle est rendue insensible par le sens d’osculation transversai attribue aux sphères Successives, jointe à la petitesse de l’angle formé à chaque station entre la normale vraie et le ravon de la sphère osculatrice précédente dans un ellipsoïde de révolution presque sphérique. A la vérité, ce meme angle entre avec toute sa valeur dans la réduction qu’il faut faire aux distances d' du pôle au zénith calculées sur la sphère, pour les rapporter à la normale réelle de la nouvelle station où on les transporte. Mais cette réduction est toujours si petite sur l’étendue ^restreinte d'une meme * . t * i’31 . ■

ll>6 ASTllpSOMI»'. ,

triangulation, qu'on pourrait la négliger presque sans erreur clans les termeî correctifs qui seuls la contiennent. Pour le montrer , il suffira de dire paravance, que, sur l'arc total de France et d'Espagne qui embrasse une amplitude totale de l'angle forme par

la dernière normale avec la suçante menée du centre de la première sphère oscnlalcice, au point correspondant de la surface réelle, est moindre que Y' 5(Y' , comme je le prouverai plus tard. De sorte que l'on obtiendrait encore les valeurs individuelles des termes rorrectifs, avec des erreurs presque' nulles, ou même insensibles, en négligeant ses variations intermédiaires ,, ce qui reviendrait à calculer ces termes, comme si tout le réseau entier éjait appliqué sur la sphère localement ûsculatrice à la première station. Or la longueur totale de l’arc méridien comprise entre les parallèles des stations extrêmes étant ainsi obtenue exactement, son application sur les cercles localement osculateurs dans le sens de l’ellipse sc fait sans erreur en divisant sa totalité, ou ses diverses portions, par l'amplitude céleste qu’elles embrassent, et que l'observation donne, rapportées aux normales vraies de leurs points extrêmes. ■ démode de calcul, de même que le précédent, n’impliquent donc pas de cercle vicieux logique , mais seulement l’emploi%es approximations successives dont l’application est universelleflans l'astronomie. Même au point où se trouve aujourd'hui la géodésie, cos approximations peuvent être converties de prime abord en résultats définitifs, la forme générale de la surface terrestre étant assez bien connue pouf que l’on puisse, si on le juge convenable, calculer très- exactement toutesces petites réductions que j’ai suppose d'abord que l’on négligeait. Aussi la méthode de Delambïe et celle de Legendre , étant appliquées aux mêmes triangulations, ont-elles toujours donne des longueurs d’ares méridiens où l'on ne trouve que des différences négligeables.

Ilî7. Toute difficulté logique étant dissipée par ccttediscussion. les divers degrés du méridien rapportes dans notre tableau de la page 181 doivent être considérés connue autant de petits arcs so.utendanl un angle de i" au centre du cercle qui est oscillateur à l'ellipse des méridiens terrestres daus la partie moyenne de chacun d'eux. Soit donr généralement D "' la longueur d'un qucl-

Di.

- ^ . -9 f pnvsitjfCt. ^ ig^

conque île ces'arcs, exprime eu toises à l’emftoit de l'ellipse où Ja' distance angulaire du pôle céleste au zénith est d, et plaçons-le sur le cercle ijui est oscillateur à l’ellipse à ce même endroit, en désignant par 7 la longueur du rayon de ce cerclé exprime aussi en toises. Le contour de la circonférence osculatriee sera anry , et étant le rapport de la circonférence au diamètre ; et comme ce contour comprend 3Go" , la longueur 1)°' du degré considéré en devra cire Ta 3(k>' partie. Cela donnera l'égalité

• ‘JL ' :: ; . .y.

ioo . *

ou, en mettant pour y sa valeur analytique, propre la distanre polaire d, dans une ellipse ,

(t — ccos’Jf

115U. Lorsque c’ est une très-petite fraction de l’unité, comme on verra que c’est le cas de l'ellipsoïde terrestre, le facteur

— — — — peut se développer, par la formule du binôme ,

( i — c* CoîWJ^â

eu une série convergente qui est

-i — j = i -+- y ti’ cos1 d ih 'coK/ -h f>- e* cos- tl -P-jr'ft-*. cos1 d+ . . . ;

C' COSJ d j ' •$*

’iUbr . . . v* «

ce qui ilonue ^ t? 4d

J \âl jà jr

<i( i — e‘)( i rt- ’ c Vosv/ -i-c' cos' d -t- yjc*cosV -t- 777 c* cos* i/rf- . . .j?’

Le facteur commun -g- ( 1 — c’J représente la longueur du degré

lorsque cos1 d est nul, cp qui suppose d = ç)o". C’est donc le degré équatorial; je le désignerai par D". S i / est une fraction très-petite , le terme dépendant de sa première plaisance est beaucoup plus considérable qui* ceux qui le snivenï. Alors on voit que', •itos une ellipse ainsi constituée , les longueurs des.dégrés ^Snt en

Asmosuaiit

ic)t-> vH

croissant île l’cquatoifr au pôle, presque proportionnellement au carré du cosinus de la distance polaire.

En combinant des degrés mesures sur des parties des méridiens terrestres correspondantes à des distances polaires très-diflérentes, nous reconnaîtrons bientôt que , par les appréciations les plus exactes, on a à fort peu prés, en toises,

D,“ = 5674iT>22 loge* = 3, 80 3gy a4 .

Prenant donc le premier nombre comme représentant le facteur ^-,1(1 c') , on pourra évaluer tous les autres coefficients nu-

mériques des puissances de cos’ d, par les Tables de logarithmes, ordinaires à sept décimales, et l’on trouvera pour la valeur d’un degré quelconque correspondant à la distance polaire d ,

D(0)=5674iT,22-+-54iT,Ç)86cos’</-t-4T>3 >4 COi>f/

-+-ot,o32 coscd-HoT, 00023 cos *</-)-• . .

Les deux derniers termes de cette évaluation sont déjà si faibles, que l’on ne peut repondre de pareilles quantités dans des mesures effectives ; à peine peut-on espérer de reproduire celui qui les précède. Maintenant, si l’on a plusieurs mesures de degrés Lûtes à des distances polaires peu différentes les unes des autres , le terme 4T,3 1 4 *os* d y sera presque constant, et les petites variations qu’il éprouvera pourront être censées se confondre avec les erreurs des observations, ainsi qu’avec les irrégularités réelles du sphéroïde terrestre. On se donnera donc une chance de compensation très- présumable, en prenant la moyenne arithmétique de tous ces degrés, et l’affectant à une distance polaire moyenne D, telle que le carre de son cosinus soit aussi une moyenne entre les carrés des cosinus de toutes les distances, comme je l’ai fait pour l’arc de France et d’Espagne au commencement de cette section. »

ISO. Je vais maintenant exposer par quelle combinaison on peut déterminer les deux éléments caractéristiques de l'ellipse , n et <•’. A cet effet, jé prends deux degrés D-°\ D^, dont les longueurs ont éfé mesurées aux distnucesrespecljves, rf,, d, du pôle, d, clan», pmir fixer les idées, plus grand que <(, .ce qui, d apres

'mb *

pnvaQut-

•yy,

outre tableau de la paye t8i , suppt&ra. li;°- "thoinürc que D',';

l'équation generale étant appliquée successivement à ces deux ob-

servations, un aura

l8o( I — ï’c-os'i/,)' ,8o(.-1..c,».,/0'

et, en divisant la seconde de ces égalités par la première, il en résultera u - Jhî’l ... * -

D1"' / I — t:2 ci»’ </A ’ ■

D(°,“ \i — e’cos’rfj 7

par «onséquent ,

l — e* cos' fl, __ I I )'; \ 4 ‘ ( ' Sb

i — e’ cOsV, \ D<u>/ 7 $ ^ 4

Ceci détermine donc e’v car, en le dégageant, on a

c’I COS 'il, — CO

l4 /ÿV; '

Id*;0) -

rjplité dans laquelle tout est connu , excepte e2. f

Pour tirer parti de cette- relation , il faut remarquer que, d après

notre tableau delà page 181, le rapport— sera moindre que l’u

v. * jj • ' * fkiUiîi v

nité , mais n’en différera que par une très-petite fraction que je £

désigne par p ; on aura donc ,

;!i'XÂ, ’k. < •. . I ' ■*.

5t,T = ','-fx* par conséquent

Or, pétant une petite fraction qui sera ici toujours positive, on

pourra 'développer (1 — • jx)’ en une série convergente par le moyen de la formule du biuôine, qui donnera

üi 1 * d

•* C* JBk -<'•%

■% % * «a.. .. «. • 'jF ,!*■’ *1

^ • Étf # Dl9^j^d by Æooglc

USTAONOMlt

-= yp -*-rf f*’ +TT {*!,+> -ÎTT V'-'v » I ‘r<1

\ig/

tel

/ 'BoA • fi — c’cosJ</H

a = I 1 D J-ttS

Ou potufciif portsser plus loin ce dé^doppotnnt; mai* ou verra tout 5 l'heure <jne cela serait inutile. Pour en abriter l'expression, je fais

Ceci utaut substitué dans le premier membre de notre équation, il s’y forme la différence cos’ d, — cosVJ, qui se peut transformer en sin (d, -h d,) sin (d, — d, ), ' produit qui sera toujours positif , puisque d, est supposé plus grand que d, . Cette réunion étant faite, l’équation prendra cette forme :

c’jsin (d, -+-</,) sin (<■/,' — «/,) -t- ï cos’<f,]= 2.

Il ne restera doue plus qu’à en tirer numériquement c\ Or, cela sera facilité par "cette circonstance, que 1 se trouvera toujours être une fraction trcs-pelite, non pas seulement en comparaison de l’unité, mais en comparaison du produit des deux sinus qui forme la première partie du coefficient de e1. Cela permettra d’effectuer ce calcul par les Tables ordinaires de logarithmes à sept décimales, comme on va tout à l'heure s’en convaincre. Seulement, pour n'avoir pas à opérer sur de trop petits nombres , et aussi pour obtenir des valeurs de r 1 qui ne soient pas trop fortement affectées par les erreurs qui ont pu être commises dans les évaluations des deux degrés compares , il faudra les prendre à des distances polaires d{ , d, différentes l’une de l’autre, ce qui rendra le rapport u notablement plus assuré.

ttîO. Lorsque l’on connaîtra c\ on mettrasa valeur dans les deux équations primitives fîYpour en déduire le demi-graud axe a. Kn effet, en considérant ces équations sous leur forme générale , chacune d’elles donne

■mais r’ entrant au numérateur et au dénominateur du Second mcmhrdf cchu-ci' ne se développerait- pas commodément eu une 'Série régulière* ctj en outre, coinmc o doit être un grand nomlu e,

v . * ♦^*£Sn • y ffV. v - |C

I'HTStQl'El

■y.ixx •

les différents produits dont ce dévclopitemenl se composent, devraient être évalués avec des soins fatigants de précision. Ces difficultés s éludent en cherchant d’abord à obtenir log a , au lieu de <i. En effet, si l’on prend les logarithmes tabulaires îles deux, membres de l’équation, il en résulte

log <t=log D{°'-t-log ( I -f- i log( i — e* cos1 il )— log ( t — e’ ); .

le rapport t — - s’est déjà présenté fréquemment dans nos calculs.

C’est celui que nous avons nommé par abréviation w, et , en bornant l’évaluation de son logarithme à dix décimales, nous avons trouvé *

log ! = 1,7581226324.

Je suppose que l’on prenne le logD(°> dans les mêmes limites de précision : ce sera le seul de la formule qui exigera ce soin. Car, pour les autres qui contiennent e\ on les obtiendra, par le développement de leur expression logarithmique, en sériés régulières , ilont tous les termes seront très-aisément calculables. En effet, si l’on nomme k le module direct des Tables ordinaires pour lequel on a

log ^ l,8l387 557o4,

- x) donnera ici

log k= I,6377843t I 3, et le développement connu de logfi

i/=log D<‘,14-îog — j — \k (c* cos1 rf-t- j c' cos' >?-Hj C'cos' d -t- -c’cos'i/. . .)

expression trt-s-simple dont la loi est évidente, et dans laquelle tous les termes dépendants de c ’ pourront se calculer par lcsTables ordinaires, à Sept décimales, avec une suffisante précision. Si ron ..voulait prétendre à un peu plus de rigueur numérique, il faudrait calculer, avec dix décimales seulement , les deux termes qui dépendent ïlc fa première puissaoçr de c', auquel cas iL faudrait

\STIUiNOMlü

avoir obtenu son logarithme dans les inclues limites. Mais cela supposerait qu’on évalue aussi logcosV/ avec une exactitude de même ordre , ce qui exigerait des Tables dont I usage est jusqu ici peu commun. Au reste, cette recherche serait pratiquement superflue et illusoire, parce que les erreurs que comportent les mesures des degrés D'°> dépasseraient les limites de précision numériques qu’on obtiendrait ainsi péniblement sur les derniers chiffres des termes en e’.

Il faudra effectuer successivement le calcul de loga avec les deux degrés D(,0), D'o), qui ont servi à déterminer e\ afin de constater que les deux résultats s’accordent, dans les très-petites limites d’erreur que comportent les dernières décimales négligées;

*' et cela servira pour constater l’exactitude des opérations numériques desquelles ces résultats sont déduits.

ICI. Enfin, lorsque cette vérification sera faite, on calculera l’aplatissement e d’après son expression en ç* qui , d apres la page 184, est

Le premier terme s’évaluera directement en prenant la moitié de t , et les suivants se calculeront avec les Tables de logarithmes a sept décimales. Connaissant ainsi s, on en déduira la longueur du deuiiaxe polaire

b — a — ai,

* le terme correctif ai se calculant par les mêmes labiés, soit en une seule fois, soit par l’évaluation de ses parties correspondantes aux différents termes dont t est composé.

162. Les deux éléments a, e de l’ellipse méridienne étant ainsi déterminés, on en pourra déduire les longueurs qu elle donne aux degrés L> u\ correspondants à des distances polaires (T quelconques; car, en retournant l’équation (3), on en tirera

logl)(°)=:logu — log|— - — k (e* -f-jê* : ■+"}&

- : / i <l+-\ C‘ cos‘</ H*/ coVV/4-f cos* *

MITS1UUB. 2(j3 4 1

Si (Lins celte lonnule on luit d = 90“, elle donnera le degré équalorial1’; je le représente par D*o). Si l’un y (ail (l — o, elle donnera le degte polaire; je le représente par ; on aura ainsi

log D?ü = log a — log -^(cI + 7f' + T +■ 7t'*- • •)>

log D^" = log a — log -f- !*(«?(+ T «H- -I- .. . ),

et généralement

log D(0} = log D^o) -+• j k (c’ cos’ d ■+■ -j e* cos' </ -4— j é" cos c </ -|- •}■ c” cos ’ d...). *

Ainsi, lorsqu’on aura calculé le logarithme du degré équatorial dans l’ellipse obtenue, on aura celui qu’elle assigne pour toute autre dis- ’ tance polaire donnée d, en calculant la partie corrective quis’ajoutc à ce premier résultat. On verra tout à l’heure que, dans l’ellipse terrestre , la petitesse do cl fait que les trois premiers termes suffisent toujours. Ce développement équivaut à celui que nous avons dér . duit dans la page 197 de l’expression explicite de Dt°), en y supposant connue la longueur du degré équatorial , qui est un de ses facteurs.

165. .T’emploierai d’abord ces formules pour combiner le degré du Pérou avec le degré moyen de France et d'Espagne. D’après notre tableau de la page 181, les données du calcul seront

Di0)=56736T,8i; d, = 88° 28' 69';

D<°>= 57oa4T,64; (/1<f43<’5i'54";

de la on tire — 1 — ■£ ,.-r = 1 — uj

et, eu calculant p par les Tables de logarithmes à sept décimales , avec le seul soin d’évaluer directement les parties proportionnelles par division ou multiplication des différences totales, on trouve

' log fi A 3,7o3ov 35 : 71 — ^oô W( 74674 .

Ht-

■Mf - J

wfj.f

•ffw

ao4 \*TRosoa»t

Si l’on avait évalué p par la division arithmétique rigoureuse , on aurait trouvé- seulement a unités de moins sur la dernière décimale. Or, déjà une unité de l’ordre 0,00060001, dans le rapport p, ne donnerait pour résultat, dans la reproduction

de D[“^ que oT,ooo57 064 , c’est-à-dire des demi-millièmes de toise , fraction bien inférieure à celles dont on peut répondre suide semblables mesures. L’évaluation de log p et de p par les Tables de logarithmes à sept décimales est donc ici parfaitement suffisante pour représenter les résultats réels des observations , et je n’aurai plus besoin de répéter cette remarque dans les autres cas pareils. . .

p étant connu , il faut former la fonction 2 par son expression

Le premier s’évaluera directement, et les suivants se calculeront par les logarithmes ordinaires. On aura ainsi, eu exagérant l'appréciation des décimales, pour ce premier exemple:

. f ï ~ 0,00000 28307 7 li

p1 = 0,00000 ooo63 5