jo ASTRONOMIF

à nos arcs géodcsiques, l’intervalle S, S', sera négligeable, et que l’arc circulaire SS',, ou D' — D, sera aussi sensiblement égal en longueur à l’arc elliptique SS, compris entre les mêmes rayons menes du centre N.

184, I/extréme petitesse de l'intervalle J>, S', peut se pressentit presque' sans calcul , par bi seule considération des éléments dont il dépend. Et l'on en conclut avec évidence qu’il devra devenir insensible dans les operations geodesiques , en y restreignant la longueur des arcs A, comme on le pratique toujours. Car d'abord il serait rigoureusement nul si l’excentricité de l’ellipse était nulle, ce qui rendrait e* égal à zéro, et ferait coïncider tout l'ellipsoïde avec la sphère osculatrice dont le rayon est N. Ce même intervalle s’évanouirait encore quelle que fût la valeur dec5, si l’arc SS,, ou A', était nul, ce qui rendrait nulle la différence f des distance' polaires de ses extrémités, calculée sur la sphère où on le place. D’après ces deux considérations seulement, l’écartement des dcw points S,, S',, devrait déjà être très-petit de l’ordre e'sin I. Ma» la condition de tangence qui a lieu en S l’affaiblit encore davantage, et la rend de l’ordre c^sin’ J, comme on pourrait au bésoin le constater par un calcul direct, si la théorie générale des contact' ne montrait d’avance qu’il en doit être ainsi. Or, l’excentricitc < ayant une valeur très-petite dans les méridiens terrestres, et les arcs géodésiques SS, , lorsqu’ils leur sont obliques, étant toujours s petits que la différence S des distances polaires de leurs extrémités , calculée dans la sphère , ne s’élève presque jamais à t', une quantité de l’ordre e- sin: o est toujours négligeable dam les résultats qu’on en peut déduire, parce qu’elle s’y confond tant avec les erreurs inévitables des observations qu’avec les effets drf irrégularités locales qui rendent la portion de la surface terrestre, à laquelle les triangulations s’appliquent, toujours quelque pf" différente d'un ellipsoïde de révolution tout à fait rigoureux.

188. Maigre la certitude géométrique que présentent par ellesmêmes les considérations précédentes, les conséquences qu c'1' sont destinées à établir sont si importantes, que je crois utile d donner la preuve matérielle, pour le cas où la sphère tangentedécrite du rayon N S, s’écarte le plus rapidement possible de 1 1

pii vsiyuK.

Jipsoule, ce qui aura lieu lorsque le point de cou Uct se trouvera placé sur l’équateur même , puisque c’est là que la normale NS diffère le plus du rayon 7, qui est oscillateur au même point de l’ellipse génératrice. Tel est l’objet de la fig. 38. Elle est complètement analogue à la fig. 3 7 ; seulement le point de départ de l’arc SS, y est place en A, sur le contour de l’équateur à la distance polaire d=CfOa. Dans ce cas, la normale N a son origine au centre même de l'ellipsoïde, en O ; et sa longueur est égale au demi-grand axe OA, ou a, comme on le déduit de son expression générale. On suppose donc que l’arc géodésique considéré , partant de son origine équatoriale, suivant un azimut i quelconque, a embrassé , sur la sphère, une différence de distances polaires représentée par les portions ASj du cercle tangent. Alors, admettant que cette différence, de chaquccôlé île l'axe OA, sou tende, nu centre de ce cercle, un angle Sj OA, égal , par exemple, à 1 degré sexagésimal, on demande quelle sera la distance des points S', de la sphère aux points S, de l’ellipsoïde qui sont situés sur le même rayon sphérique; et aussi, quel sera l’excès de longueur des arcs circulaires AS',, sur les arcs elliptiques AS,, rectifiés rigoureusement? Or, par un calcul très-simple que j’expose dans une Note à la fin de la présente section, on trouve que sur la terre, dans les suppositions précédentes, l’intervalle S', S,, exprimé en toises, sera 3T, 173; et que l’arc circulaire AS', excédera l’arc elliptique AS, de oT,oi85 ou moins de de toise. De telles quantités sont bien légitimement négligeables dans des évaluations pareilles; et comme elles sont les plus grandes qui puissent se réaliser dans les applications, tant à cause de l’étendue attribuée ici à la différence des distances polaires extrêmes, qu’à cause de la localité 0(1 nous la supposons exister, on doiten conclure, en toute assurance: i°que, pointons les arcs géodésiques compris entre des parallèles dont l’écart sera au plus de 1 degré, les points S',, où ils se terminent sur la sphère transversalement osculatrice à leur origine, se confondront sensiblement avec les points S, de l’ellipsoïde situés sur les mêmes rayons sphériques; 2° que la différence des distances polaires extrêmes, évaluée en arts de lu sphère, égalera sensiblement en longueur l’arc du méridien elliptique, compris entre ce* mêmes rayons.

T. III

186. Revenant dont' aux j ïg . 36 et 3^, négligeons-y le petit intervalle S.S', , compris entre l’ellipsoïde et la sphère, sur le rayon sphérique extrême NS1,. Alors le rayon vecteur NS,, mem du point N à l’extrémité de l’arc SS,, devra être considéré comme égal en longueur à la normale N. Mais ce rayon, ainsi dirigé, ne sera plus normal à l’ellipse en S,. 11 y aura en ce point une autre normale elliptique S, N, , formant avec l’axe polaire un angle d', lequel, d’après la forme de la développée de l’ellipse, devra être plus grand que d + 3 , si ce point extrême S, de l’arc géodésique est plus austral que le point de tangence primitifs, comme le représentent nos fig. 36 et 37, mais qui sera, au contraire, moindre que d, et même que d — 3, si ce point extrême est plus boréal que S, comme le représente la fig. 3g. Ainsi, lorsqu’on aura calculé , sur lu sphère, la différence 3 des distances polaires comprises entre les deux extrémités de l’arc géodésique considéré, il faudra déterminer d' en d et 8 pour avoir la différence correspondante des distances polaires sur le méridien elliptique terminal. C’est ce que je vais faire, en prenant pour type le fig. 36, ou la fig. 37 qui n’en est que le rabattement.

D’abord S, N, ou N, devant être la longueur de la normale à l’ellipse, pour la distance polaire elliptique d\ comme SN ou > l’est pour la distance polaire d, ces deux longueurs auront les expressions générales suivantes :

il , — , , ü — v

(1 — e'cos’c/')’ (t — e’cos’c/)’

Maintenant, dans la fig. 37, qui nous sert de type , N et N, sont les côtés d’un même triangle rectiligne où N, est opposé à l’angle d-\-S-, on aura donc la condition

N, sin d' = N sin (d -4- ô) ,

ou , en remplaçant N et N, par leurs expressions analytiques,

sine/' sin{c/-(-J)

( I — c’eos’e/' )’ (l — e~ cos’ d) ’

Reste à déduire d' (je cette relation. C'est u quoi l’on parvient avec iaeilité en se guidant sur la remarque suivante ;

Si l'arc géodésique considéré avait une longueur nulle, ou s’il s’étendait sur un même parallèle, Userait nul; et alors, d’après notre équation, d' serait égal à d. Si c* était nid, quelle que fét la longueur de l’arc, l'équation donnerait d' égal à d -+. S comme sur la sphère. Ces deux conditions étant indépendantes l’une de l’autre, il n’y a qu’à faire t en général,

et la quantité complémentaire u sera nécessairement de l’ordre

/•’ sin Ainsi, en l’introduisant comme inconnue,' il devra être facile de l’obtenir par les séries, à cause de la petitesse du facteur dont elle dépend. * ■ >

Pour cela je fais, par abréviation , ‘ ,

sin (d-t-3) * *

* . , , (i — e’cos’rf)7 ’ . ;

puis, élevant les deux membres de l’équation au carré, j'en dégage successivement sin’ d' et cos’ d' sous ces deux formes

• ut c’(' — e’)

sin’rf = —2 -■

ros’ d — «

'TÏf . »

Or, puisque u est égal à d' — (d+3)ton aura

* . * ^ • '• ' sin « = sin d' cos (d+ S) — cos d' sin <î), •*' .

ou , en mettant pour sin d ’ et cos //'leurs valeurs»

«in f, c ( ' 1 ~ c'ï ‘ f 1 08 (d + *) — ( 1 — c’V sinà// J)

Mais, d après la convention faite tout à l’heure, on a * ”

« 4 sin (d •+■ S) é

(t — «’cos ’//) ’

i — r3 cos3 rf — * sin3 (d -4- 3) cos3 (d ■+■$) — e' cos1 d