t” * ^ ^ t < — cos3 d) i — t e’ C0*J A

,, I écos 3d "3

■ • v J cos3 (d -+- 5) J

• i — e1 cos 3 tf

Substituant ces deux quantités dans l’expression de sin «, aprèsavoir pris la racine carrée de la seconde, le produit sin (rf -+- 3)cos(d-M) devient facteur, commun du numérateur; et , en le séparant,

sain = sin(d+ i)cos(d -|-3) , T *

"l* * (i — e3cos3d)3'(l — c’e3)3

Le seul aspect de celte expression montre que le facteur du numérateur, qui est compris entre les parenthèses , est de l’ordre f. Si donc on consent à négliger les termes d’ordres supérieurs, dont l’effet déjà très-faible, meme sur la longueur totale des rayons terrestres, va se trouver encore ici atténué par le facteur sin’’ on pourra fairé e3 nul dans les facteurs du dénominateur ; et, en développant le nhmérateur seul , jusqu’aux quantités de l’ordre e inclusivement , il deviendra

* J , i e3 cos ‘‘d , c’fcos’ci— cos3 (rf+3)] ,

1 3 f 3 cos1 (d -+■ S) 1 cos1 [d ■+■ 3)t

f-, ’ » , e3 sin(2</ 3) sin 3 ,

Alors, en l’assofciant au facteur extérieur, on aura simplement

sin « — -j c3tang(rf -t- 3) sin (2 d -g- 3) sin 3.

* f Cette expression est exacte jusqu'aux quantités de l’ordre c’; ma'5 la petitesse de l’arc 3 permet encore habituellement d’v négliger les puissance* de 0 supérieures à la première, et de conclure « de sin u par simple proportionnalité. On a alors

h — 3 c3 sin1 d ;

rtnrSiQUK.

et par suite,

d' = d -+- S •+• Se* sin3 d ■= d - -+- e3 sin’rf).

Ainsi , lorsqu’on aura calculé la différence S des distances polaires , exprimée en parties de la graduation du cercle sur la sphère dont le rayon tst N, pour l’arc géodésique A que l’on aura considéré, il suffira de la multiplier parle facteur (i -4- e1 sin3 rf) pour avoir la différence correspondante sur l’ellipsoïde. Le produit sera additif à la distance polaire primitive d, si S est positif, c’està-dire si l’extrémité de l’arc géodésique considéré est plus australe que son origine. Il sera soustractif de la distance d dans le cas contraire, comme on l’aurait trouvé directement si l’on avait pris celui-ci pour type du calcul, ainsi que le représente la

fis- 39-

107. Afin d’apprécier la petitesse de cette correction, ce qui justifier^ les limites d’évaluation auxquelles nous l’avons restreinte, calculons la valeur de son coefficient e’o en donnant à l’arc « la valeur extrême de i° ou 36oo".’ Alors , en donnant à e' la valeur moyenne que nous lui avons trouvée page 221, nous aurons

logô"^ 3, 5563025

Toge1 ^ 3,8039924

1oge33" = i,36Ô2C)49 d’où c3 3'r = 22", $24.

La correction dont il s’agit sera donc toujours petile dans ce cas même, puisqu'elle doit être multipliée par le facteur sin’rf qui l’affaiblira généralement.- Fjle est toutefois bien loin d’être négligeable. On voit fpie sa valeur absolue dépend de èelle quë l’on attribue àe3, c’est-à-dire à 2« — c*,« étant l’aplatissement de l’ellipsoïde. Bile sera par conséquent afféctêo des incertitudes qui peuvent rester encore sur l’évaluation, moyenne- de oet élément ; mais elle le sera bien plus encore par lcs-accidents de localité qui peuvent le' rendre notablcaicnt différent de sa valeur générale, dans la région où l’on opère.

Pour cette évaluation, ^ahsiipposcM’arr S donné en secondes de degré; mais Je calcul géoijesique le donne en unités de Ion-

ASTKOXOMIF

gueur, sur la sphère dont le rayon est la normale N à l'origine de l’arc mesuré. Soit cette longueur A, on en déduira

en faisant

(1, — e’ cos ’dy

La petitesse du rapport - y rendra toujours très-peu sensible l’efa

fet des incertitudes qui peuvent exister dans l’évaluation du demigrand axe a de l’ellipsoïde qui s’adapterait le mieux à la configuration de la surface terrestre dans chaque localité considérée; mais elles pourront devenir sensibles, sur l’étendue d’un trèsgrand arc méridien , si après y avoir transporté de proche en proche la distance polaire d de son origine, en lui appliquant les corrections successives eJ<î"siu'</ qui servent à passer de la distance polaire sphérique à la distance polaire elliptique immédiatement consécutive, on compare cette distance polaire finale à celle que l’on peut déterminer astronomiquement par l’observation.

188. J'emploierai l’expression desin a, sous sa première forme moins restreinte, pour justifier l’énoncé numérique que j’ai donné dans la page tgG. Concevons une triangulation géodésique établie dans le sens d’un même méridien, et ayant son origine boréalesur le parallèle elliptique où la distance du pôle au zénith est 45®> k suppose que, par une exagération ayant seulement pour but une éprcuvc'fictive, on veuille appliquer sur la première sphère osculatriee, toute la longueur de l’arc conclu, que je ferai de i3°. On demande quel sera, à l’extrémité de l’arc, l’angle compris entre la normale réelle et la sécante menée du centre de la sphère à cette même extrémité ? .

D’après l’énptké qui précédé, 011 aura ici, pour données de calcul, ' * • • . * - •

drd.45“, . 3 ±=13»; ' ■ â -f J — 58°, *■ ?.d -h 3 = io3“.

Alors, en adoptant la /valeur do>e!, employée dans l'exemple

préfédent, la valeur de logsin« s'obtiendra de la manié» »*»*

vante »

MlYSlgtF..

log tan {? (d 4- 3) =' o ,204 2108 logsiu(2«/-t-><î) = 1 ,9994044 logsinJ = i,352o88o log 7^ = 3,5029824

r.. a >:^ Vr vi

jfi

^onc log siu u = 3, o586656 et, par suite, « = 3 '56", 1 % '

Rien ne saurait faire mieux sentir corallien peu l'ellipsoïde terrestre diffère d une sphère exacte , que la petitesse «le l’angle formé "ainsi , entre le rayon d’une de ses sphères originairement osculatrices, (et 4’’ 4 *

sa normale réelle à l'extrémité d’un si grand arc méridien .* , jk m

189. Revenons maintenant ;\ I tîjïg'. 36, et achevons de repor- *

1er sur I ellipsoïde l’angle au pôle p , ainsi que l’azimut /)S',S, * .**’*, . calcule sur la sphère du rayon N. Le premier de ces éléments n’a besoin d’aucune réduction-, puis«]ue les plans des deox inéri- % •

diens pS, pS\ de notre sphère coïncident rigoureusement avec- L •, •* ceux de l'ellipsoïde, auquel elle est transversalement «Mritlàfrioe v • . ^ en S. Mais l’azimut sphérique pS\ S sera mathématiquement «fif-, ’ férent de l’azimut elliptique PS,S : d’abord , "parce «pie le point •

d«j la sphère sera tant soit peu au-dessus du point S, de l'ellipsoïde • • situé sur le même rayon sphérique NS',; puis, parce que les tan* • * * gentes menées de ce dernier point an méridien elliptique, «t à l’arc: ’ ’

sphéroldique S,S, ne coïncideront pas exactement avec les tan- ' gentes menées de S', aux arcs sphériques S', /?, S',S.-" «

Toutefois , sans avoir besoin «le calculer Peffct de xes cireon-]t • stances sur l’évaluation de l’azimut elliptique PS,S , ori peut iiiscmeiit voir qu’il ne différera de l’a/.iinut sphéricpic pS\ S , que par «les quantités négligeables. Car d’abord nous pouvons négliger l’in-' tervalle d«s «lèjix points S,, S', que nous avons vu être «le l’ordrf? c’sin’î, et presque insensible dans ses, valeurs extrêmes. QuanV à 1 écart angulaire des tangentes, nous voyons, en premier lieu' que, dans le méridien terminal, il sera égal au petit angle u ou W! tiriW «pte nous venqns d évaluer. Dans la direction «le la ligné ggodésifpie

tracée- sur l’ellipsoïde. Cet «’cart sera .aussi '«le ’Cordfc >43. Cac d abord il deviendrait évidemment nul si d était ^n^,.^’est;à-«lire si

1 arc geodesique se réduisait à une longueur nulle, ou s*il.s’étcndXit

2^8 • y * *^iTUOhilII*

exactement sur le parhUcUs de son origine S; et il serait nul encore, quelle que fût sa longueur, si e1 était nul, ce qui ferait coincider l'ellipsoïde avec la sphère décrite du rayon N sur laquelle l'azimut spliérique.yjS'fS est calculé. Ceci reconnu , nommons Z V azimut elliptique , et Z', l'azimut sphérique , puis proposons-nous de déduire celui-ci du précédent. Ce Sera un problème de réduction h l’horizon, exactement pareil à celui que nous avons résolu, page ofj , pour avoir l’angle sphérique correspondant à un angle observe dans un plan oblique au rayon de la sphère. D’après b formule trouvée pour ce cas, la différence de l'angle oblique à l’angle sphérique se compose de deux termes, respectivement proportionnels aux. carrés des sinus de la demi-somme et de la deini-diffe ronce <}es deux de-pressions angulaires. Or, nous venons de reconnaître que ces de-pressions seront ici toutes deux de l’ordre c’J; lcsvçarrés dont il s’agitseront donc de tordre e* d1, conséquemment négligeables. Ainsi l’azimut elliptique Z, pourra toujours être pri< cqmmeégal à l'azimut sphérique Z’; , sans aucune réduction, dans les circonstances où les mensurations géodésiques sont toujours faitesiüO. Il ne rcüte pins qu’à résumer tous ces résultats, dans leur . application aux divers problèmes que nous avons résolus sur uue sphère rigoureuse, afin d’en conclure les formules qui résolvent les mêmes cas sur le sphénoïde terrestre réel, considéré comme un ellipsoïde de révolution , dont l’cxcentricite très-petite a son eam- Qxprimé par e*. C(;Ia n’exigera que quelques mollifications extrêmement faciles et simples, dans les formules [t], [a],* [3j otUh établies pages 1 58 et suivantes pour une sphère unique, eo traitant les diverses questioos graphiquement indiquées dans les fi g. ?4—îl7 -'Afin d'épargner ici des répétitions - inutiles, je srtpposterai que lo lecteur se reporte ;'i ces-antéeédents.

D’abord, le rayou R de nos sphères devra généralement être remplacé dans toutes ces formules par la longueur^N de la normale-locale, îuehécà l’origine de Taré A, où la distante /du pèle au. zénith elliptique est censec connue. L'expression de ce rayon sera donc • »

(i — c1 ms’ fi y

Digitize

• fuysiou*.

Il n'y aura pas d’autre modification à faire dans la formule [i] qui donne la portion d’arc méridien D' — D, comprise entre les deux parallèles menés aux deux extrémités boréale et australe de l’arc A. La longueur de ce segment sur le méridien elliptique, comme sur la sphère osculatrice à l’origine de l’arc, sera également

r,i n/ ~ . i A5 sinV

[ IJ D — D=rAcos/-f--

6N’\ ^tang’rfy

cosi sin’ i.

2 IV tangrf 6]

I. azimut,/ est supposé donné autour du méridien local mené par I origine de 1 arc A, et il est à peine nécessaire de rappeler quCla longueur A devra être exprimée en unités de longueur de même espece que celles qui sont employées pour cet arc.

D7 — D étant ainsi connu

sera la quantité angu-

laire qu’il faut ajouter à la distance polaire primitive d pour avoir, sur la sphère, la distance polaire de l’extrémité de l’arc A, comptée à partir du rayon central mené. à cette extrémité. Je la désignerai par d' , comme je l’ai fait précédemment. Mais, pour avoir la distance polaire de cette même extrémité comptée à partir de la normale elliptique qui y correspond , distance que je nommerai d!,, il faudra multiplier la différence précédente par le facteur i •+■ e’sin- d. On aura donc

Distance polaire de l’extrémité de l’arc A : * f

i°. Sur la sphère qui est osculatrice à l’origine de cet arcj

a". Sur Vellipsoïde , * • ’ ^ ^ *

en prenant , 'dans les deux formules,

U% R"= 5,3 1 <fÇa5 1 . 'f*

:.Digitlzed by Googl

200 A&MONOlUE •

Les quantités auditives à la distance polaire primitive* d, dansas formules, se trouveront ainsi exprimée^ en secondes de degré; etil faudra toujours les associer à d, avec Je signe propre que la différence l)' — Ü leur donnera.

L’azimut transporté /', et l’angle polaire p, se calculeront par les formules Ja] et [3] qui les donnent sur la sphère avec les valeurs de i, de</ et de d' . Seulement l’arc a qui , dans ces formules,

représente devra être remplacé par \ si on l’exprime en par

lies du rayon de la sphère centrale pris pour unité, et par ^ R", si

on veut l’exprimer en secondes de degro. Faisant donc généralement

“ = ct * = >

on aura d’abord, sans autre modification, par la formule [a] de Ij page 160,

[2] sin 0 - i'- ) = 2 ”»r(d'+d)w Ud'-d)

1 J 1 ' sin d'

sin /tangua-

Quand la différence / — i ' sera ainsi obtenue en secondes de de-1* gré, on en conclura

v = / — (/ — - r r ; ? • r'sStt

alors’/' étant ronnu, on aura l’angle polaire p, par l’une ou l’autre des formules j3], page t63, lesquelles donneront' t*

Sin P :

sin/

sinrf'

sin«, ou encore sin/> =

sinr sin d

sm a. ’

Si , au lieu de ces formules finies, on veut employer leurs devloppemeuts, on les en déduira sous la même forme où nous te avons obtenues pour la sphère, puisqu’elles n’offrent de differente «pte dans la spécification du rayon R( qui s’y trouve remplacé par sa valeflr locale N. , ^

Il 11 ’f a pas plus de difficulté ]x>ur adapter à l’ellipsoïde la formule [4] de là page 1G6, qui donne les portions d’arcs de parallèle, ct que nous avions établie sur le type, dé la fig. 27. Reportant donc les* éléments du même* problème sur la fi g. 36 relative i

i-àityuuk. * . . a5i

l'ellipsoïde , j’y trace «l'nbçrd , à partir de l’origine S de l’are, le segment de jMirallèle Sri, limité au méridien final Hjs,’. Se trouvant ainsi placé sur- notré sphère osculatrice^on' l'obtiendra immédiatement par la formule citée, en se bornant y remplacer le rayon U delà sphère par sa valeur actuelle N. On aura donc ainsi :

Longueur du segment de parallèle, compris sur l’ellipsoïde, entre les méridiens extrêmes de l’arc A, cette longueur étant mesurée k la distance polaire d de son origine S, '

f/1 c Asinfsinrf i simsinr/sin^/' -+- i)sïn(d ' — /) A'

S" siïü/^ ~ 6 sin

» est l’azimut initial de l’arc A, compté de l’éqnateur vers le pôle , et d' est la distance polaire de son extrémité, calculée sur la sphère par l’expression rappelée ci-dessus.

Soient r le rayon de la circonférence qui constitue un parallèle de notre ellipsoïde à la distance polaire f/; r„ lé rayon analogue pour toute autre distance polaire d„. Les arcs interceptés sur ces circonférences par deux méridiens donnés , seront proportionnels en longueur à ces rayons , puisqu'ils devront soutendre le même . angle au centre de chacune d’elles. En conséquence, si l’on désigne • par S„ n„ ce que deviendrait ici Sri étant mesuré sur l'ellipsoïde, à la distance polaire d„, on aura s V ■ * t

S„ n. = sn "•

Maintenant, plaçons notre ellipse génératrice dans le plan <je la fig- 4o; et, ayant marqué sur son contour deux points S, S„, sitinh aux distances polaires respectives d, d„, menons' en ces |>oiuts deux normales terminées à l’axe polaire ; elles formeront respecti vemcnl avec lui ces mêmes angles, par définition^ fit, tn nommant

N, N„ leurs longueurs, on aura ,

(i — eJcosï./J» ■ . •(!.— c’cos’rf,)1' ’»

N ssJL.

Par les points S, S„ menons à l’axe polaire deux perpepdi«ulaq;es, que nous terjninc(piis.p cetjaxe ; et Seroj^ les.fcfyons r, rm îles pp-

rallèltrs de rôrsdeux points. Or, leu r relalionde position' «vec les normales donne évidemment

r} = N sin </,

expressions dans lesquelles cl et cl„ sont des distances polaires elliptiques. Multipliant donc l’arc SH par le rapport de ces valeurs, nous aurons :

Longueur du segment de parallèle, compris sur l'cllipipük entre les méridiens extrêmes de l’arc A, cette longueur étant mesurée à la distaucc polaire elliptique <■/„,

r/i (. n ^ N„sin / sinrf„ i sin/sinrf„sin(rf'H-/}sin(d'— ilA’S,

lr " "T~,> *aNsinrf' • tj , , stVrf' V * '

, / est toujours l*aamut initial de'l’arc A, et ci' est la distance polaire de son extrémité calculée sur la sphère osculatrice à son origine, comme précédemment. Sur une sphétc, les normales >, S, aéraient tontes dcitx égales an rayon R,’ ce qui reproduirait la formule de transport établie pour ce cas , page 167. Mais , surl’eKpsoïde,' leurs longueurs changent avec la distance polaire, et le segment de parallèle , intercepté entre les mêmes méridiens, se triant modifié par ces variations.

1 !) I . Les formules [ 1 ] , [a], [3], [4], transportées ainsi à l’eHip- ■ solde, donnent tous les résultats que l’on y petit déduire d’un seul arc géodésique dont on connaît la distance polaire initiale vraie rf. (.azimut initial /* et la longueur A. Potin les appliquer aux côtes consécutifs d’une triangulation continue, il faut se procurer le mêmes éléments (k’ calcul propres à chacun d’eux. Désignons 1« stations consécutives' par S, S,, S,,.-. ., et nommons A, A„ A •• les longueurs des arcs sphériques intercepté»» entre elles, - loo- , g non rs qui sont connues par la résolution des triangles priacijau*- On a d’abSAl déterminé astronomiquement en S la distance </dn pôle au /.«inith, et l’azimut r j mais, parvenu en S,, il faut y obtenir les clbiyt, cléments analogues par doduçtjoji. Le premier sera la distance polaire elliptique-/, rapportée.. h la normale réelle de S,; elk sc. enrichit ^des éléments A, i, cl, eombim* 'avec 'la correction d'ellipticité depehdantjdc e*'. Le secpnd cstVa/imut initial de Part A,, cobipté du méritfien propre *de S,. Poîrt- l'ohtenR-, ônYalrule d'a-

lyiïSKiuK. - 253

boi-d l'azimut de S sur l'horizon de S,, en le déduisant de l’angle (/, * déterminé Sur la sphère osculatrice précédente, cet angle pouvant ctre transporté en S„ et appliqué sur l’ellipsoïde sans aucune cor rection. Ce résultat, combiné avec l’angle sphériqn'e SS, S, qui a été observé en S,, donne l'azimut du côté S, S,, ou A, , autour dn méridien de cette station. La longueur A, est connue. On se retrouve donc en S, avec. le même système de données qu’on avait en % et on les combine, par les formules , de la même manière. Cela conduit la station suivante S„ puis à S„ et ainsi indéfiniment sur toute l’étendue de la triangulation. Le transport des cleineqts astronomiques primitifs el, », ne souffre d’incertitude que dans I emploi qu’on y fait de la petite correction dépendante der’, par laquelle on rapporte les distances polaires sphériques anx normales vraies , en passant de chaque station à la station suivante. Car, cette correction étant calculée d’après la valeur de t:’’ i qui convient à la configuration générale dn sphéroïde terrestre,

I elle ne tient pas compte des anomalies qui pourraient occasionnellement écarter les normales locales de la direction régulière I qu on leur attribue. Lorsqu’il s’agit d’un arc méridien, ces acrii dents ne sauraient produire que des différences très-faibles, ou insensibles, dans l’évaluation de sa longueur. Car, d'abord, dans i l’expression des segments consécutifs, le terme principal A cos» pouvant se mettre sons la forme A'— ?.A sin’f », les petites variations supposables de l’angle » changeront à peine sa valeur, d’autant que, dans un tel cas, la direction générale «lu céseap permet • toujours d’y choisir des 'côtes médiocrement inclinés sur le méril dicn. Après celui-là, les éléments transportés//, »', n’entrent plus que dans les termes, correctifs qui le complètent , et qui , étant toujours très-petits, seront très-peu modifié» par de faibles variations qui s’y iutroduiraient. Or, la somme de ces 'segments qui compose l’arc total , est le résultat spécial, et presque unique , que 1 on veut alors conclure des formules, pour le comparer' à la différence des distances polaires , comprises entre les stations extrêmes, laquelle se détermine toujours par observation. L’influence de l’angle » est plus grande sur ua arc dç parallèle, où i! entre dans chaque segment par le facteur principal A sin», indépendamment

• • . ' * ASTap^OM».

des termes correctifs qui le contiennent encore. Mais c’est surtnm

dans les valeurs absolues <le /, obtenues à l’extrémité d’un Ion. réseau de triangles , que l'existence des irrégularités locales peut sc manifester le plus évidemment. Car le transport qu’on y fait <k i’a/.imut initial / s'opère an moyen des évaluations successives r distaneqs polaires <1‘ et d\ , transportées de chaque station à suivante avec la correction d’ellîpticité régulière qui dépend A latptelle entre t(ju.it entière dans' ces évaluations. Il pourrait donc en résulter que l’azimnt final du dernier côte d’une chaîne de triangles, dirigée suivantun méridien ou un parallèle, étant calculé par nos formules, se trouvât différer sensiblement de la valeur réelle que l’observation lui assigne; et cette différence décèlerait l’existence d’irrégularités locales entre les deux stations extrêmes pour lesquelles le dernier nzimut aurait été .conclu du premier. Pour une pareille épreuve, les valeurs successivesde i— i devraient être évaluées entre chaque couple de stations consecutives au moyen delà formule rigoureuse qui donne sin(/ — i')i ,.et il ne serait pas , je crois, avantageux de chercher, par des développements , la relation immédiate du premier au dernier aiinint, parce qu’U serait difficile, dans une transmission un peu prolongée d’approximations, d’apprécier l’influence relative des termes que l’on conserve et de ,ceux que l’on néglige , aussi bien qu’o® peut le faire successivement sur chacune des sphères oscuJatrice auxquelles on n’appirque qu’un seul arc toujours très-petit.

192. Lorsqu’on a obtenu, par la formule [4], tous les segment interceptés dans une triangulation dirigée à peu près sur nu ntérw parallèle,- et qu’on lésa transportés tous sur un parallèle conimm .situé à la distance polaire çlliptique d„ peu distante de leur dirrtùw générale, leur somme , que je désignerai par n„, donne l’arc total >î ce parallèle qui est compris entre les méridiens des stations extrême F.n le divisant par le rayon elliptique du même parallèle, qui»1

N sin dn , le' quotient rf-rr-y exprime l’arc, soutendu à son centn

PI Slll

C„ fig. 4p, sur une circonférence d’un rayon égal à l’unité df longueur. Donc, si l’on nomme I" l’amplitude angulaire de cet ire

II

central , exprimé en secondes de degré, on aura

N sin rl„ '

I" représente alors l’angle dièdre compris entre les méridiens des stations extrêmes, exprimé en parties de la même graduation. Or cet angle, conclu des mesures géodésiques, peut être soumis à une comparaison astronomique , analogue à celle qu’on applique aux arcs méridiens, mais qui, malheureusement, comporte beaucoup moins de précision.

105. Pour cela, il faut se rappeler les notions établies dans les chapitres XI et XV du volume précédent , sur l’uniformité du mouvement diurne de la sphère céleste , ainsi que l’emploi de sa révolution pour constituer l’unité de temps que l’on appelle le jour sidéral. Si l’on définit, dans chaque lieu, l’origine de ce temps par le passage méridien d’une étoile absolument fixe, ou rendue idéalement telle par les petites corrections que j’ai annoncées, pages 327, sous les noms de procession, d’ aberration et de nutation, l’angle dièdre décrit par le cercle horaire de cette même étoile mesurera , pour chaque observateur, les parties du temps écoulées depuis son passage méridien ; et cet angle lui sera indiqué à chaque instant, par son horloge, s’il a déterminé soigneusement la marche de celle-ci , en la comparant au mouvement du ciel par des observations de passages, comme cela a été expliqué au chapitre XI. Concevons maintenant deux observateurs établis aux deux stations extrêmes SD, S„ du parallèle calculé, munis tous deux d’horloges exactement réglées comme je viens de le dire , et comptant tous deux le temps sidéral à partir du passage de la même étoile à leur méridien. Désignons par I" le nombre de secondes de degré qui exprime l’angle dièdre compris entre ces plans , et supposons S„ plus occidental que S0. Lorsque l’étoile prise pour signal céleste, passera au méridien de S„, elle se trouvera à l’occident du méridien de S„, et son cercle horaire s’en sera éloigné , dans ce sens , d’un nombre de secondes de temps sidéral

égal à — = , puisque la vitesso de son mouvement uniforme lui fait

décrire les 36o° de sa révolution entière en vingt-quatre heures de

ASTROKOMIF.

ce incme temps. Donc, en général, si l’on nomme H„, II„ les temps absolus que les deux observateurs comptent simultanément sur leur propre horloge , a un même instant physique, on aura toujours

D’après cela, si l’on pouvait connaître , pour un même instant quelconque , la différence H0 — H„ , l’angle I" se déduirait de cette égalité. C’est à quoi l’on parvient en faisant apparaître entre les deux stations un signal soudain, visible de l’une et de l’autre , tel que le produit l’inflammation d’une petite quantité de poudre. Car l’instant de l’apparition étant noté par chaque observateur sur sa propre horloge , la différence de ces indications donne H„— H,. Si ces identifications pouvaient se faire avec une parfaite rigueur, une seule suffirait. Mais, comme elles comportent inévitablement quelque incertitude , on réitère la même épreuve un grand nombre de fois , à des instants fixés , en les espaçant par des intervalles de temps convenus d’avance, et l’on atténue, par compensations, les erreurs partielles , en prenant la moyenne de tous les résultats ainsi obtenus. Ayant donc ainsi H„ — H„ , on en conclut

Cette évaluation astronomique de I" peut alors être comparée àson évaluation géodésique (*). Or, celle-ci est déduite de la longueur de l’arc mesuré , combinée avec sa distance polaire observée et avec les éléments a, e3, de l’ellipse qui représente la forme generale des méridiens terrestres. L’accord ou la discordance des deux résultats apprend donc si , sur le segment de parallèle où l'on a open\ la configuration de la surface terrestre s'identifie exactement Jt* l’ellipsoïde régulier de révolution qui représente son ensemble, 0° «i elle en diffère localement. Mais', pour bien apprécier l'étendue <b ces écarts , lorsque le calcul les accuse , et même en constater su* rement la réalité, il faut discuter l'influence des erreurs de deuu

(*) Dans Ica pages suivantes, on a imprimé par erreur H„ — II0, au K"1 de H0 — H* ; il faut intervertir les indices pour avoir cette différence comme on l'a supposer.

qui pourraient fausser la comparaison , en altérant les valeurs îles éléments observés sur lesquelles on l’établit.

*94. L’évaluation géodésiquc de I" 'offre peu d’incertitude. Ses éléments sont, i“ les distances polaires des stations extrêmes qui se déterminent astronomiquement avec beaucoup de précision; a° la longueur de l'arc. Elle se conclut d’mje triangulation , ordi- I nairement appuyée sur plusieurs bases qui donnent la. longueur | absolue de ses côtés principaux , qu’elles vérifient par Jenr dé-

I duction mutuelle. Les segments du parallèle qui la traversent se

I calculent avec exactitude d’après ces éléments, au moyen des for-

l mules que nous avons établies, en supposant qu’on ne les tronque

l point par des simplifications hasardées, qui pourraient diminuer

leur précision ; 3° enfin, les éléments n, e" de l’ellipse générale (. soiït connus, avec une approximation qui suffit certainement pour assurer les petites corrections quièn dépendent. La valeur de I",

I obtenue ainsi, représente donc bien l'amplitude vraie que devrait , occuper l’arc mesuré du pagallèle, enl’appliqiiant sur l’ellipsoïde I • terrestre, considéré dans la régularité abstraite de sa configura - I tion générale. On peut donc légitimement l’employer comme premier terme de la comparaison.

Maisl’évaluationastronomiquedeJ", par les différences des temps absolus, ne comporte pas, à beaucoup près, autant de srïrote. D'a- I bord son expression montre qu’ufie erreurde l’de temps , commise I dans l’appréciation de H„ — H„, en produit unc.de i5" de degré sur I sa valeur. Or, les erreurs de cette appréciation, se cômpo^nt, i » de | celles qu’on.peut commettre sfir l’évaluation dA temps absolu dans I chaque station où les signaux instantanés s’ôhservdht* a® de l’appli-

cation qu’on fait à chaque horloge du phénomène perçu, soit qu’on I l'effectue directement, ou en y transpqrtantfépoqnedHa perception | par l’intermédiaire d’un chronomètre* 3° de l’inégalité qui. existe i entre le jugement que charpie observateur porte sur l’époque comp-

i tée du phénomène perçu. Car, dans les observations qui se font par exemple, avec l’instrument des passages, on a remarqué que l’occultation des étoiles, par chaque fil du réticule, est rapportée, par différents observateurs, à des temps quelque peu différents de l’horloge qu’ils écoutent; ce qui produit une inégalité d’identificat. ni. n

lion à laquelle il devient necessaire d’avoir egard, dans des déterminations précises de tçmps absolu. Cette circonstance affectera donc l'intei vaJIc H„ — lf„ , d’une erreur constante pour chaque couple d observateurs , si on ne l’a pas spécialement mesurée pour ru. v, par des expériences préalables, ou si l’on n’a pas constaté que son résultat devient insensible par opposition , dans leurs observations simultanées du signal intermédiaire. Les effets des trois causes d errqur que nous venons d’énutnérer, devenant quinze fois plus grands dans l’évaluation astronomique de I", elle est nécessairement beaucoup moins sûre que l’évaluation géodésiqne; et il faut apprécier, avec une sévère critique , la part qu’elles peuvent avoir dans les différences que ces deux'détcrminations présentent, avant d'en conclure qu’elles dégèlent des anomalies locales réelles dans la configuration du parallèle mesuré.

t !)i>. Peut-être améliorerait-on les observations du signal instantané, en substituant aux feux de poudre, les éclipses réciproques de lampes à courant d’air, munies de réflecteurs, qui seraient •. fixement établies dans chaque station. Elles seraient occultées par la chute d’un écran métallique, tombant d’une hauteur suffisante pour donner à leur disparition "une durée sensiblement nulle, ou que sa constance permettrait d’évaluer. L’observation se ferait (à chaque station, avec une lunette fixe dirigée vers l’autre. Le si gna! serait successivement donné et reçu, dans toutes deux, à des époques fixées, se .succédant par des intervalles de temps convenus d'avance, ce qui permettrait de réunir un très-grand nombre d’observations. réciproques en fort peu de jours. Le mode d’identification. de Ta perception et du temps, propre à chaque observateur, et" qu'on appelle son rq nation personnelle, se conclurait d’expérience» préalables’, faites simultanément partons deux dans une même station, où ils observeraient et reporteraient à la même horloge les éclipses soudaines qu’un aide opérerait dans l’autre.

190. Supposant l’amplitude astronomique I" déterminée [iar ce procédé ou par d’autres analogues , soit pour l’étendue totale de l’arc mesuré, soit pour les divers segments dans lesquels on subdiviserait sa longueur par des stations intermédiaires, on en pourra conclure proportionnellement la longueur d’un degré du

NUMÉROS d’ordre des segments consécutifs.

L1MITF.S * DES

Marennes-Saint-Pr

Sairit-Pretiil - Sauva

Sauvagnar-Isson. .

Isson-Genève. . .

Genève-Milan. . .

Milan-Padoue. . .

Padoue-Fitime (Jar

Éléments relatifs à l’arc total. .