h - e* COS e -+- rr e cos a o
ds—a(l — «•) ^
Je me borne à écrire les quatre premiers* termes , parce qu'ils suffisent toujours dans les applications* Mais les coefficients numériques, de la série peuvent s'écrire sous qne forme qui permet il en prolonger indéfiniment l'appréciation numérique, comme Dclambrc l'a fnohtrc dans le tome 11 de la Base du système métr ique, page T6j4* • »
225. Maintenant , dans le Traité de Calcul différentiel cl intégral de La-
PHYSIQUE. 2f) I
croix, Introduction, page go, on trouve les égalités suivantes, qui ont été établies par Euler:
a cos* v = cos 2»' Èf- i ,
8 cos4 v = cor 4^-+-4 cos at* •+• 3,
3acos‘i* = cos 6^-4- 6cos i5 cos 2»' îo.
Ces Iransformatiops peuvent être étendues indéfiniment suivant une loi généralode lqurs coefficients numériques , qui est rapportée dans l'ouvrage que je viens de citer. Je les borne ici & la puissance sixième de co&V , à laquelle nous avons arrêté notre développement; mais il est essentiel do remarquer que, qyelqpQ loin qu'on les prolonge, tous leurs termes demeurent constamment positif!*' ci ne contiennent jamais que <lcs multiples pairs de l'angle c, lorsqdo la puissance de cos v qu'elles remplacent est également paire, co qui aura toujours lieu dans notre expressiou de ds , quelque loin qu'on la suppose prolongée.
En substituant ces expressions des puissances de co> y, le second membre ne contiendra plus que des termes composés de ce genre de multiplet. Et si l'on fait, par abréviation ,
—r I + : c1 + p ^ H — rp r ,
' -sf •+■ r
-ig*.
Oïl trouveS*îci ,
di == a (i— (A -4- B cos 2e C cos \v -r- D cos 6e . .) t
224. Chaque terme de la série ainsi transformée peut être intégré immë diateincut ; et, co faisant commencer toutes les intégrales partielles, de manière que l'angla total, .rsoit nu] qua^i^ v est nul , sa longueur, depuis le pèle jusqu'à la distance polaire f 3 so trouve êtrç évidemment
i = a (t — e’) ^Ae -t- a B 6ih w-+- - C »in /je ^ L) sin 6v. .
Ut lettre r, qui entre hors dès Signes ,trigonométri<pi(,»i dans le premier terme,
représenté l’a^i cfc e escrimé en parties du rayon pris pour unité de longueur. Cela en fait un rapport abstrait , comme sont aussi les sinus qui entrent dans les termes suirnuts ; et, da celle manière , l'homogénéité des deux termes de l’équation se trouve conservée, l’ap exemple, si rel angle (levait être droit, la valeur de c serait A®, er étant le nombre 3, j^i^yaG..., qui expriibe la demi-circnnfércayce <Jont le rayon est i. Si sa valeur, exprimée en secondes
do degré , était e", il faudrait faire c égal à -jp-
22if. D'après la remarque faite tout à l'heure sur la forme des cosinus qui
composent la série avant l'intégratioD , tous les termes de l'expression de t qui suivent le premier Ae ne contiendront que des sinus de multiples pairs de l’angle e. Ainsi tou» ces termes s’évanouiront si l’on suppose cet angle égal n go°, auquel cas l'are total s deviendrait un quadrant de l’ellipse que je désignerai par Q. Alois la lettre e doit être remplacée par J u hors des signes trigonométriques , comme nous venons de le voir. Ou aura dune, par l'équation ainsi réduite ,
Q = î or aA (l — e*) j • . •
ce résultat nous servira dans la section Vil.
220. Noire expression générale de s nous donnera nüémcnt la longueur du segmentde l’ellipse qui serait compris entre deux points M*, , AI,, de son contour, dont les distances polaires respectives seraient v, , e,. Car, en évaluant.les longueurs de» arcs i, , i, compris depuis le pôlc jusqu’à chacnn de ces points, nous aurons évidemment
— r’) [Ae,-t-|B sinae.-f-j Csin 4*',-+- JD sin 6e,. . .3 ,
J,=a(l — e’) [Av,-t-{ B sin 3e,-t-^Csin4e,-h JDsin 6e,. . .].
En supposant e, plus grand que vt , j,—- sx sera la longueur du segment
cherché. On simplifiera son expression i>ar l'emploi de la relation générale
sin p — sin 7 == a sin } (p — q) cos { (p*+- q ), et l'on obtient alors #
A C‘'»f — B sinC^v — v.)
* 1 ^ ^ i*,)cosa;»’t-K\î-HïOsin3(w,— e,cos3(et-<-vï)...J
Üeîambro, dans son ouvrage intitulé: Basa du système métrique, s'est servi de cette formule, particulièrement tome II, page 677,01 tome 111, page i3<J,pour déterminer les éléments de l'ellipse terrestre par une sorte de régie de fausse position, en supposant ces éléments déjà Irès-approxiftalivomcnt connus, et cherchant les petites variations qu'il faut leur faire subir poursatisfaire le mieux possible aux mesures de segments de méridiens que l'on peut croire avoir été obtenues avec le plus de précision. Si ces mesures pouvaient 6tro employées comme des données rigoureuses, on réaliserait très-directement cette idée en employant^ valeur déjà approximativement connue de <?* pour calculeras termes de st^- sx qui cnntienncnf les puissances supérieures de cette quantité , et n'y laissant d’inconnue que la première seule/ Alors deux arcs mesurés donnant deux valeurs de on obtiendrait les deu* cléments at e* de l’ellipse, par la condition de reproduire exactement leurs valeurs. Mais nous avons trop évidemment reconnu quq les erreurs des observations, et les irrégularités totales de forme du sphéroïde terrestre, jettent, dans les mesures partielle», des discordances inévitables qui Otent toute possibilité d'en déduire des valeurs constantes, pour une quantité aussi petite que l'ellipticité des méridiens terrestres. La méthode approximative dont nous avons fait usage me paraît, par cette raison, suffire pour comparer de pareilles données, et pour en Tirer les résultats généraux les plus vraisemblables qu'elles puissent fournir.
3tp
Section VI. — Des grands nivellements géodésïçues.
227. "Lorsque j’ai exposé la théorie Mes réfractions atmosphériques dans le chapitre VII du tome I' r , j'ai annoncé , page s(>" (note), que, dans les grandes triangulations géodésiques , les«febservations de distances zénithales réciproques faisaient connaître les différences relatives de hauteur des stations au-dessus du sphéroïde formé par la continuation régulière de la surface des mers environnantes; d’où l'on déduit toutes leurs hauteurs absolues par une seule «l’entre elles directement mesurée. J’ai fait seulement pressentir alors le procédé général par lequel on réalisé cette importante application. levais maintenant l’expliquer dans ses détails.
2211. Relativement à une sphère, deux points sont de niveau quand ils sont à une égale distance de la surface sphérique , sur leurs sécantes propres menées à son centre. Relativement à un sphéroïde de forme quelconque, deux points sont de niveau lorsqu’ils sont à égale distance de la surface sphéroulale, slir leurs normales propres.
Dans l’application au .sphéroïde terrestre, l’operation se divise en deux parties. On détermine d’abord directement la hauteur absolue d’jine des stations au-dessus du niveau moyen de la mer la plus proche ; on détermine ensuite la différence successive de hauteur de toutes les autres stations sur leurs normales propres , audessus de l’ellipsoïde de révolution qui estîa continuation de cette mer. . r ' ' «i
229. Pour obtenir le premier résultat , on conduit le réseau «les triangles jusqu’à une station voisine du bord de la mer d’où l’on veut partir. Désignons cette station par S , 'fig. 46. On mesure, par un nivellement direct, les hauteurs absolues S/i,, S h,, ou/;, , h, du point S au-dessus du niveau de deux hantes mej-s consécutive*, et aussi sa hauteur absolue S h ou h au-dessus delà basse mer intermédiaire. ■’ donne la hauteur do* S aftrdessus de la haute
mer moyedne
t -h) ou , est sa hauteur au-
2 / 4 dessus du niveau moyen. On procède à ces observations par un temps calme, pour éviter les irrégularités accidentelles que les oscil-
talions périodiques de la mer éprouvent en vertu de l’action momentanée des vents; et on les compense, en prenant la moyenne totale de plusieurs déterminations obtenues à des jours différents.
230. Connaissant ainsi la hauteur absolue de la station S , on détermine successivement les hauteurs de toutes les autres relativement à celle-là, . par le procédé des distances zénithales réciproques. J'enai expliqué complètement l’application surune sphère dans le chapitre cité , pages 25 1 et suivantes. 11 s’agit maintenant de l’étendre à des stations réparties sur un ellipsoïde de révolution , dont la configuration est donnée conventionnellement; et je vais montrer qu’il s’y applique avec la plus grande facilité , presque sans modification de calcul.
231 . Pour le faire voir, je considère d’abord le cas simple où les deux stations , dont on veut connaître la hauteur relative, S, , S,, Jîg. 47, seraient comprises dans le plan d'un même méridien elliptique PM,M,A. On connaît, par la triangulation, les distances polaires c/y (/, de leurs normales propres, la position despoints M,, M„ où elles coupent le méridien elliptique, et la longueur de l’arc elliptique M,M, qui les sépare. En effet, dans le cas que nous-considérons, cet arc sera un cAté des triangles principaux; et, àcàuse du peu d'étendue qn’on leur donne, on pourra, sans erreur appréciable pour l’application actuelle, l’assimiler, quant à sa longueur, à un arc de cercle décrit du centre N, avec le rayon ISM, égal à la normale N, menée au point M, qui est intermédiaire entre M, et M,. La première idée qui se présente serait donc d’évaîuer d’abord , par les distances zénithales réciproques, la différence de hauteur des deux stations S,, S, , au-dessus du ctrcléainsi decrit, et de transporter le résultat à l'ellipse par quelque correction qui ne pourrait être que fort petite. Mais cette marcfie présenterait deux inconvénients graves. A la vérité, lesintervalles compris surchaque normale entre l’ellipse et le cercle tangent en M seront fort petits. Car, aux pages 2^ct a$t;(nole), nousavons trouvé que, dans les plus grandes amplitudes que-l’on donne à l’arc M,M„ ces intervalles n’excAderaient pas 3 toises; et la différence de leurs valeurs s’ajouterait seulcà la différence de niveau évaluée surlc cercle tangent. Mais la dissymétrie de l’ellipse autour du point M rendant çes valeurs
phymquk. . agS
inégales; diverse, lient sclgp sa position, il deviendrait necessaire de calculer Ta variation locale de leur inégalité, et il serait embarrassMnt de le faire. Ensuite , l’évaluation de la d.fférence de niveau, meme sdr la sphère r suppose que les distances zénithales y sont mesurées a partir des sécantes qui seraient ici NM, Xi , NM, Z, ; taudis qu’en réalité on les observe à partir des normales reelles ,, lesquelles font avec les sécantes des angles variables qu'on no peut pas négliger. Cela exigerait encore une autre réduction. Delambrc , qui a suivi cette voie dans son ouvrage sur la Base du système métrique, tome U, page 7 38 , a étécondujt ainsi a des calculs horriblement complexes, dont la conclusion finale a ete, que toutes ces corrections lui paraissent pouvoir être habituellement négligées ; et il a été imité en cela par la plupart des auteurs qui ont voulu traiter cette question après lui. Mais toutes ces difficultés disparaissent, comme par enchantement, quand on envisage le prublèmé sous un autre aspect , et qu’on y applique les formules tres-sim pies de la réfraction terrestre que j’ai exposées duns le tome Ier de cet ouvrage.
232 • Pour Cf,la . continuant à considérer d'abord le cas de deux stations situées dans un même méridien elliptique , fig. q8 , je les rapporte, non pas à la sphère tangente qui serait décrite du centre .N avec le rayon NM, comme dans la fig. 4?, mais à la sphère osculatnce dans le sens du méridien même, qui serait décrite du centre C, avec le rayon osçulateur elliptique y. Cela aura deux avantages.’
D abord , l’intervalle Compris sur les normales de chaque station entre Ellipsoïde et cette sphère, sera beaucoup moindre que pour la sphère tangente décrite du centre N; et, dans son excessive petitesse, il sera, en outre, égal pour les. deux stations, de sorte que leur différence de niveau, mesurée sur cette sphère, sera exactement la même que sur l’ellipsoïde. Ensuite, dans les plus grandes amplitudes queTon donneà l’arc M,M„ les rayons osculateurssphériqucsCM, , CM, no feront que des angles de quelques dixièmes de seconde, avec les normales menues des deux stations S„ S, , comme nous l’avons démontré pages 189 et 23a. Par conséquent, si l'on emploie les distances zénithales observées à partir de-s normales , comme partant des prolongements M, C, M,C de ces deux .avons .
le résultat sera absolument le même que si l'on supposait une erreur <lu même ordre dans les réfractions qui affectent ces distances , lesquelles comportent toujours individuellement des variafions'et des altérations physiques incomparablement plus considérables, que l’on est forcé de négliger. Le calcul se fera donc ainsi très-exactement avec l’emploi du rayon osculatcur au milieu M defarcM.M,, rayon dont la longueur y peut toujours être évaluée en nombres sur l’ellipsoïde adopté, puisque les positions absolues des points
M,,M,surle contour de l’ellipse sorft connues.
233. Venant alors au cas où les deux stations S,,S2 ne sont pas
comprises dans un même méridien, je les rapporte de même à la sphère qui serait osculatricc à l’ellipsoïde dans le sens de l’arc de plus courte distance mené par les pieds de leurs normales propres, fig. 49- Soient C le centre de cette sphère, p la longueurde son rayon qui peut toujours se calculer. Les résultats de cette construction seront les mêmes que tout à l’heure. Car d’abord , les intervalles compris sur chaque normale entre l’ellipsoïde et la sphère étant encore excessivement petits et sensiblement égaux , la différence de niveau des deux stations, au-dessus de la sphère , sera la même qu’au-dessus de l’ellipsoïde. Quant aux angles formés par chaque rayotl CM, , CM, avec les normales, ils seraient rigoureusement nuis si les deux stations étaient situées sur un même parallèle, puisqu’alors le centre de la sphère coïnciderait avec le point de rencontre des deux normales sur l’axe polaire. A partir de ce cas d’exacte nullité, ces deux angles croissent à mesure que les deux stations se rapprochent d’un même méridien. Mais puisqu’alors , à cet état de maximum , leurs valeurs sont négligeables dans l’application actuelle, comme nous venons de le voir, elles le seront toujours à plus forte raison dans les azimuts intermédiaires. Ainsi , les distances zénithales observées à partir des normales réelles, pourront encore être censées mesurées à partir du rayon de la sphère qui est osculatrice au milieu M deVàrc M,M„ dans le sens de cet arc , comme, dans le cas précédent.
234. Il ne reste donc qu’à transporter ici •les formules générales «pie nous avons établies dans le tome I"r, pages 265 et suivantes , pour calculer les différences de niveau par l’observation des dis—
PHYSIol L.
tances zénithales réciproques , ou non réciproques, sur une sphère d’un rayon donné. Nous pourrons ensuite examiner jusqu'à quel ilegré de précision la connaissance et l'emploi spécialrdu rayon oscillateur p sont nécessaires pour !es réduire en nombres, quand on connaît la longueur de l’arc circulaire M,M, ou A qui joint les pieds des normales sur la sphère considérée. Car .cjt afc est toujours donné par la triangulation dans les circonstances actuelles , puisqu'il est un des côtés des triangles principaux.
253. Dans les formules citées, on a désigné par r', r" les distances respectives des deux stations S,, S, au centre de la sphère. L indice' s’applique aux éléments de celle pour laquelle cette dist:nce est connue, sans s’inquiéter si elle est la pins haute ou la plus hisse, le jeu des signes algébriques décidant cette alternative dans le résultat. Soit donc //, fig. 49» la hauteur absolue delà station S, au-dessus de l'ellipsoïde, hauteur que l’on devra supposer connue par les opérations antécédentes. On aura alors r'=p + //,
et r" — r' sera la différence de niveau , qui se trouvera positive si S, est plus élevée que S, , et négative dans le cas contraire.
Les formules contiennent l’angle au centre S, CS, ou v compris entre les sécantes menées aux deux stations. L’arc M, MM, étant donné, on en pourra toujours déduire la valeur de cet angle. Si on veut l’exprimer par l’arc qui le mesure dans un cercle dont le rayon est i, on aura
Si on veut l’exprimer en secondes de degré , et le désigner sous cette forme par v" , on aura
Nous aurons aussi besoin de connaître la longueur de la corde rectiligne M,M,. ’En la désignant par C, les expressions établies page G8 donneront , avec une exactitude toujours suffisante,
Il faut sè' rappeler, d'ailleurs , que la corde C et l’angle au centré v
sont liés l’un à l’autre, par la relation rigoureuse
C=i^p smje. . ,
L’expression précédente de C n’est que le développement de celleci , limitée aujt troisièmes puissances 3u rapport - •
250. Maintenant, conformement à la notation adoptée dans'le tome I , page 265, soient Z', Z" les deux distances zénithales apparentes, observées ou observables en S, et S,; et nommons -4- é', — I— <?", les rétractions locales, connues ou inconnues, qu’il faudrait ajouter respectivement à chacune d’elles , pour avoir les distances zénithales vraies, rapportées à la corde rectiligne que l’on mènerait de S, à S,. Le triangle rectiligne S, CS, établira d’abord entre cellesci la relation générale
Z' -g Zv -+- 3' 4- 3" = 1 80» -f- <* ;
prenant ensuite une quantité auxiliaire x telle qu’on ait x = tang je tangj(Z" — Z' 4- 0* — 3'), l’expression de la différence dç niveau cherchée sera
Cette expression est générale : elle ne spécifie nullement si les distances zénithales apparentes on^ été observées simultanément sur la même trajectoire lumineuse , ou à des époques différentes et sur des trajectoires lumineuses diverses. Elle suppose seulement que les réfractions locales 3', 3" sont évaluées, théoriquement ou pratiquement, telles qu’elles ont dû se produire dans la trajectoire spéciale sur laquelle chaque signal a été observé.
La corde C peut s’introduire dans l’expression de x, par sa relation avec l’angle e au moyen de la transformation suivante :
:?Æii'tangi(z"- z'+ y-y j = Ct3-gügl~ z>. s"~3' >
2pCOSjr 2p COS , e
257. Dans les applications, x est toujours une fraction très-
PHYSIQUE. ’ 3gy
petite : d’abord, parce que la corde G est toujours très-petite comparativement au. rayon oscillateur p ; puis, les triangulations s’appliquant a Ja convexité delà surface terrestre, deux sommets de triangles «réciproquement visibles l’fin de l’autre ont toujours une différence de niveau très-petite comparativement à la longueur de l'arc qui les sépare. Cela fait que l’angle contenu sous Iè signe tangente dans l’autre facteur de x est habituellement trèspeu different de zéro, qui serait sa valeur si la différence de niveau était nulle ainsi que les réfractions; et, par suite, la tangente de cet angle, qui forme le second facteur de x , n’a jamais qu’une très-petite valeur. Profitant donc de cette circonstance, je développe en série le facteur qui entre clans l’expression de
r" — r7 ; ce qui donne ,
r" — r = ar7x(l 4-x -f-x’ . . . );
alors, remplaçant r' dans le second membre par sa Valeur p 4- h', ’ et mettant pour x son expression en C (fue nous venons de-former, on a
r'=cfj I <'\lan8î(Z,-Z,+r-
^ C tangy (Z77- Z'-4-o"- S' ) |
2p COS-j P
/ 0"tnng’|(Z,/-Z,-f-<r-<î') |
4P1 cos’ip
etc.
258. Examinons d’abord la imposition du facteur qui précède la parenthèse. Le rayon oscillateur p ne s’v montre expUcitc- * . v
ment que connue diviseur de h' . Or le rapport — sera toujours
excessivement petit, même quand la triangulation traverserait les plus hautes chaînes de montagnes du globe ; et, hors de ces circonstances exceptionnelles , il sera habituellement négligeable. L’emploi précis du rayon local p ne sera donc jamais nécessaire pour évaluer ce rapport avec une suffisante précision, et l’on pourra v substituer toutcautre quelconque de ses valeurs. La longueur decc rayon entre aussi implicitement dans l’évaluation de la corde C, comme on
Di
ASnnoNOMiP.
3oo
l’a vu toùtà l'heure; mais son carre y sert seulement île diviseur au terme correctif en A3, de sorte qu’on pourrait encore l’v remplacer par quelque longueur qui en serait peii différente. Enfin, ce rayon dttre aussi implicitement *dans ' l’évaluation de l’arc v. Mais cet .. angle ne pSraît ici que par le eoSinus de sa moitié, qui peut être mis lions la forme i — asin’-j-e. Or, t> étant toujours fort petit dans les applications , où il ne dépasse jamais i°3o', limite qu’il est même bien loin d’atteindre habituellement, le terme qui en provientseraau plus i — 2sin12i'3o"ou i — 0,000040918%. Ainsi, dans ce cas même, il produirailseulemcnt4centimètressurune différence de niveau de 1000 mètres. Ce terme correctif serait donc encore très-suffisamment exactsi l’on y évaluait v avec une valeurdep qui ne serait pas absolument rigoureuse. La même remarque s’ap- . plique, à plus forte raison, à tous les termes compris dans la grande pür, ■ntlièse qur proviennent des puissances supérieures de x. Ainsi, en supposant que l’on connut d’ailleurs exactement les deux distances zénithales Z', Z" et les réfractions 3', 3" qui les affectent , une erreur d’application'Tocale , sur l’évaluation précise du rayon p, n’aurait qu’uud influence insensible ou à peine sensible sur r" — r'. Voilà pourquoi Delambre trouvait, qu’en définitive, les corrections dépendantes de l’ellipticité du sphéroïde terrestre devenaient à peu près négligeables dans l’évaluation des différences de niveau ; et voilà pourquoi aussi tous ceux qui l’ont suivi ont pu obtenir ces différences avec assez d’exactitude , en prenant comme rayon de la sphère la normale N menée du milieu de l’arc à l’axe polaire, en remplacement du rayon p qui est oscillateur dans le sens spécial dé l’arc A. Mais ils n’ont pas aperçu plus que lui le véritable principe qui rend cette substitution sans inconvénient. Lorsque nous arriverons tout à l’heure aux applications numériques , nous examinerons les limites de choix auxquelles on peut l’étendre.
Îiô9. Quand les deux distances zénithales réciproques Z', Z", sont toutes deux observées au même instant physique , les rayons visuels qui les donnent sont tangents à la trajectoire commune que la disposition actuelle de la couche d’air, intermédiaire entre les deux stations , fait alors décrire aux éléments lumineux qui la traversent, en allant de l’une à l’autre. Dans un tel cas, on sup-
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MUSIQUE. 3oi
pose généralement que les deux réfractions locales 3', 3" sont égales entre clics et de même signe , ce qui les fait disparaître dans ' les symboles trigonométriques, et ramène la différence de niveau r" — r' à contenir, sous çes symboles, les senlqs distances zénithales observées, j’ai "discuté la réalité de cette hypothèse dans un Mémoire spécial, sur les réfractions terrestres, lu à" l’Académie des. Sciences le 19 novembre i838, et inséré dans les Auditions h la Connaissance des. Temps pour l’année r84^. J’ai prouvé ÿ lors que, meme dans le cas d’un équilibre régulier, oit la densité des couches d’air décroît également sur toutes les sécantes menées du centre de la sphère que l’atmosphère recouvre, les réfractions’qui affectent deux distances zénithales .réciproques, prises sur une même trajectoire lumineuse, sont inégalés. Celle qui appartient à la station la plus basse est plus forte que celle qui appartient à la station la plus élevée , et leur inégalité croît à mesure que l’angle au centre augmente. Mais, lorsque cet angle est borné aux ampli tudes restreintes qu’on lui donne dans les operations géodésiques, la différence des deux réfractions s’affaiblit au point de pouvoir être négligée, sans qu’il en résulte une erreur sensible. Ainsi, dans les circonstances météorologiques sur lesquelles j’ai établi mes calculs, et qui représentaient l’état de l'atmosphère lors de l’ascension de M. Gay-Lussac, l’excès de la réfraction inférieure sur la supérieure s’est trouvé être 19", G8 pour un angle au centre de i03o'. En négligeant cet excès, et supposant les deux réfractions égales, aux deux points de la trajectoire compris entre cet angle et ses rayons vecteurs, la différence de niveau obtenue entre les deux pointsacté i854“,,oi7 au lieu de i846m)o6o, qui était sa valeur rigoureuse , ce qui fait seulement une erreur de 70*, 957 sur une mesure totalqsi grande. Cette erreur décroît rapidement à mesure que l’angle ail centre devient moindre. Car en le réduisant, patexemple, à 3o', ce qui est encore une amplitude peu commune dans les opérations géodésiques , la différence des deux réfractions n’a plus été que et 11e pouvait plus produire qu’une er-
reur insensible dans la différence de niveau , devenue aussi considérablement moindre que dans le cas précédent.
2rt0. Cette hypothèse d’égalité ne peut toutefois être admise ,
VSTFWiNOU I K
même par approximation, qu'à condition que la densité des couches réfringentes décroît suivant une meme loi sur toutes les sécantes de la sphère, dans la portion de l’atmosphère qui sépare les stations considérées. Heureusement c'est là l'état habituel-, et ainsi, l’on peut en compenser les petites yàriations accidentelles en réitérant plusieurs fois les observations à différents jours, par des temps calmes. Maïs, en outre, il faut toujours que les distances 7-éuitliales réciproque?, qû’oij veut assembler par couples, aient été observées aux mêmes instants physiques, pour qu’elles puissent appartenir à une même trajectoire lumineuse. Car, sans celte condition, comme elles devront presque infailliblement appartenir à des trajectoires lumineuses differentes, on ne pourrait plus admettre, avec aucune vraisemblancç, l’égalité, même approximative, des deux réfractions extrêmes. C’est cependant ce qu’ont fait, pendant longtemps , tous lesobservateurs, et en particulier Dclambre, qui a combiné, comme physiquement réciproques, des distances zénithales observées à des jours differents", entre les sommets consécutifs du réseau de triangles qui s’étend des bords de l’Océan, à Dunkerque, jusqu’aux bords de la Méditerranée, à Barcelone. A la vérité, le défaut de simultanéité s’affaiblit, quand on combine ainsi beaucoup de séries d’observations réitérées à chaque station , pendant des jours calmes, à des époques de l’année peu différentes pour toutes deux, ce qui y ramèqe , à peu près, l’atmosphère à un état moven commun. Et c’est probablement pour cela que la différence totale de niveau obtenue ainsi par Dclambre , entre l’Océan et la Méditerranée, à ses deux stations extrêmes, s’est trouvée nulle, ou de l’ordre des erreurs que ses observations comportaient.
SH. Toutefois, lorsque les distances zénithales réciproques VJ, Z" n’ont pas é{é observées simultanément, il serait beaucoup plus exact d’évaluer, pour chacune d’elles, la réfraction actuelle qui l’afTecte , laquelle peut se Conclure des circonstances météorologiques existantes au moment où on l’a mesurée, comme je l’ai expliqué aux pages 262 et 266 du tome 1. Dans de tels cas, si la stratification des couches d’air satisfait aux conditions de sphéricité, on peut très-approxiinativement-admettrc qu’entre les intervalles restreints qu’occupent les arcs géodésiques , la somme
PIIYS1QUK.
&' -)- S" des deux réfractions est proportionnelle à l’angle au centre *». Le coefficient c de la proportionnalité, propre à chaque distance Z' ou Z", se déduit d’observations barométriques et thermométriques, faites à disperses hauteurs, au moment où on la mesure: et on le calcule en nombres par la formule que j’ai rapportée alors page 262. Quand il est connu, on suppose, comme précédemment , que les réfractions o', S” qui existaient au même instant , aux deux extrémités de la trajectoire lumineuse, étaient égales entre elles; et prenant la moitié de leur somme ce, c’est-à-dire ■j-ce pour leur valeur individuelle , on l’applique à la distance zénithale observée, qui se change ainsi en distance vraie. Mais, pour conclure de cet élément unique la différence de niveau r" — r' , il faut, dans l’expression analytique de celle-ci, modifier le facteur
tangi(Z"-Z'+a"-<n.
de manière à ce qu’il ne contienne plus que la seule distance zénithale Z' ou Z" que l’on a observée. On y parvient en se servant delà relation générale
Lorsque nous avons établi cette relation dans le tome I , page 254» nous avons remarqué que l’égalité qu’elle exprime s’applique à tous les couples de distances zénithales apparentes et réciproques, qui sont accompagnées de la réfraction -actuelle qui les affecte, soit qu’on les ait observées simultanément ou non simultanément. On peut donc l’appKquer ici à la trajectoire lumineuse qui existait au moment où une seule des deux distances zénithales a été observée , et en conclure l’autre. Alors , si l’on a observé , par exemple , Z', on exclura 'Z"-+-<î" de dessous le signe tangente, en tirant de l’équation précédente
+ a ) = 9oo + |e-i(z'-w'), *
ce qui donnera
£(Z"— Z'+ S"— S') = 90"+ ie- i (Z' + 5') — j(Z' 4- = 90° — (Z'-f- 3< — Y l>),
et par fuite
3o4 ASTRONOMIE
si , au contraire, on a observé Z", on exclura Z', en prenant * 7 (Z' + <î') = 900 -t- 7V — T (Z" + *")« ce qui donnera
- » =— gof-HZ
et par suite tang t(Z" — Z' 4- 3" — S' ) =—
Alors si l’on a trouve, par les circonstances météorologiques, le coefficient c de la proportionnalité, égal, dans le premier cas, àc' ,dans le second à r", on fera (T égal à i c'a, ou 3 " égal à i c"a, et l’on aura Parla seule distance zénithale Z',
•*»6 «r- z'+ J" - i'> =u^tz--»(-^r
Par fa seule distance zénithale Z",
J’y mets les’ coefficients de a sous cette forme, parce que les valeurs du coefficient c sont habituellement peu différentes de 0,1 5, ce qui rend 1 — c' et 1 — c" positifs. Quoique les tangentes se trouvent maintenant en dénominateur, les termes où elles se trouvent ne cesseront pas d’être très-petits, parce que, dans les applications , Z' et Z" sont toujours peu différentes de 90°. Ces expressions, substituées dans le développement de r" — r', lui laisseront donc encore sa rapide convergence , et l’on aura :
Par la seule distance zénithale Z',
(l+jT ) cos-y«>tang{Z'— -j(i — c')e] - Par la seule distance zénithale Z",
y p cos | étang [Z' — 7(1 — c' <• C»
4 p cos^vtang’jZ" — ÿ( 1 — c')»
etc.
apcos-jclangJZ" — 7(1 — c r C?
V tang[Z" 7(1 C''M I + 4p«COs'4toug‘tZ"— t -c’ <■]' ” etc.
PHYSIQUE. 3q5
Dans les applications habituelles, le facteur qui, précède la parenthèse, sera fctpffcinent le'seul, «îifde ^expression générale , soit cl e . Vea rjprmgres ,* auqi/et iCfajlle avojr égard { et l’on aura tout au' phis nesoutde calculer fè’ terme de l’autreTacteur qui 'contient
la première puissance da-oa. C’esJ,ce que le calcul même montrera
pour chaque càs. Mais, dans leS expressions où l'on n’emploie qu’utje seuIe dîâSnce zcmtliîde, l’angle v entrant sous le signe tangéntê i. cm peut erptre que son évaluation nécessitera plus spé*cialement l’emploi^ dtp ngjfon ^oscillateur exact p, que l’expression générale »i» cet -angle entre seulement par le cosinus de la moitié dé sà 'veleitK. O’ est pe que nous apptendront les Applications numerjffTies qu/vnQjps aN^rdpaire. Les calculs qu'elles" exigent s*atiie&anfjén «yidence la dépendance mutuelle des termes dont senompSent les formules que nous venons de préparer? Tel esïVoi^dà^n tités auxiliaires que je vais y introduire.
j'r c.*s > Çes'<fèqx diitaflWi*zénithales réciproques Z', Z", ont été obscAée5%imS5|6i#fffejfrt^ •
Forme/,ld,*quïmtitè. àxiliaire.. . ... * x' ys- J^)-
^ cos é v
Vousaure* la différence de niveau :
.A . ; : . jl »V :* 2p 4P v X ,
si' c*s ! Z ' senl observé. *e' le coefficient de proportionnalité actuel, ou $' -h S" — c'r.,* • , -
Quantité auxiliaire. ..... v x' —
DifFemnco de niveau’:
r . » -JL * ■
iiU
co<j-j-ytang|Z' — j( i — c')e]
r — r sx I t+- j'( H Hy-q-J.)-
V A p / A 2f 4pr, { l
' ' ■ ; • ..'.'et ^ k
3* css.: Z" Seulobservé. ,e" le cocffieientde proportionnalité ac-
-I, ou 0 -+•« . =c r. « • Y > ,
T. III
ASlBUNOWlf
QiiiUitlti1 îliïïlAin • ■ j j • ^ A ■ — *• jij : — r>a }f • i « -, *
' v { <• •*< .T ^ ' . . ço§yi'l9n£(4' — *(t — c
Différence de niveau :
La Tnarchc à'suivrc <1nm fc£ détails .lju calcul sera toujours la
jHiriftc. On formera d’abord pffis ou .en déduira les diverses
’ puissances de— i le tout pactes Tables de logarithme^ à sept déci-
malçs. Dans ces formules , les éléments affectés d’un seul, acoent appartiminept f/ivnriab/rnii*if à la-statjon'S, * dont les opérations t a.iôeeédente^soot ceasees avoir fait rononiiré Ja haUlepr absolue h' au-dessus <le la surface de l'ellipsoïde, p;u‘ eonsdipu'pt au-dés^Bs dé fa sphère osciilàtrice dont le rayon est p: <‘t la cqrdeC est toujours prise dans cette sphère même. On va Voir tout à l'heure que, danMcs applications pratiques, 'Tin n’aWra jenfl ‘besoin ilW poussé iVè va -
luation de la série au delà de son premier torui£r-, lâ dates
étant Toujours insensibles. Je nedesai iudupiés qne pour rappeler l'expression finie dont ils dérivent par développetrtent,. 'k .
il dû. Pour compléter l'exposition de ^ês formules par nn exemple numérique, je choisis nu systètnfr «le données qui dépassera toutes! les limites d’amplitude «[lie les operations-géddésiqnes pett- ^6^ jjréseiUbr. -Je l'extrais draofj Mémoire sur les frfractiens Ityvestres, annexe à la Cé/inaiss^hre ttrs Temps de 1 8q?- , en y faisant quehtaes tpodifications nécessaires à noire but actuel , comme jéi’expliquerai dans une. Note à, la suite de. là présente' section. Les
e • ■ 'Lk£‘-u ‘ — i-
dtm^utt^tnAdt __ ^ ^ ^
tion actuelle , «pii suppose les téfractipns égales dans h-s distances
“iRÆ^dhi
«livulm‘llesA-P.y lé njéine motif, je laissqj aà res lofl {$£«*# les frac
PHYS4JUF. 30^
lions dfe piètre qui les complètent, èf j’y joindrai leurs logarithmes à dix décimale*. Cette rigueur numérique, qui serait aussi exagérée qu’inntile dans une application réelle, aura ici l'avantage de nous reproduire exactement lés données angulaires sur lesquelles
les calculs du Mémoiré* ont été fondés. Qeci convenu , voici les élé-
nipnk rnrrp«tvttunnk anv /louv , ictonoc » l. .. 1 ... ~ *
ments correspondants aux deux distances zénithales apparentes pôsccs observées simultanément , avec les vàleurs'de ces
Z', Z" suppc
distances zénithales ellcs-mèmcs.
Longueur do l’arc compris entre- les pieds dgs normales des deux stations, î ♦
A = iét>664m, io83 , logA = 5)'a2|^4 20®?9-
•lu«
rf). r- *
ur
Hauteur absolue dé la statipn S, au-dessus de la surface de l’ellipsoïde, identifiée avec la surface1 de la sphère rîsculatnce danajef
sensde i*at;c A ,
* A =93^00» » . log U ^ t*9piA$f, - , * .
Longueur du rayon oscillateur dans lé sens de l’air A,*** /v*?-
t*(f — 6à§6ioom,oo, hjg'p = 8,8o38734563. * "*»
Distances, zénithales apparentes observées simultanément dans les de^stSg*, ^ ^
29t=^o.°p%*,. s7Téz 9i0i6'a7",oo.
• Avec CCS données, je cherche d’abord ^longueur de la corde
de l’arc A par son expression » , t * «
et je trouve » ^
C == ifi6664m,io83 — 4‘5,7S|5^^^665p"',348n , » * ’
'j?-. ♦, -x « ■WVè* * • *
<-d où 1 on dédnit-v • ! ^ V-
m» > h)aC,=;5, 22*182 068^2. ^f* •
. japy * # * e »
Je chécèteensnité l’angle au centre e par son exprewion en sea
lu . .
astronomie
Le ralcnl s’effectue comme il suit :
log A=5, 22184 20829 • log 0 =6,80387 34563
' ;• IogRw=5,3i44a 5 1 332.
»logr"=3, 732.39 37598, d'où »"=54oo"= i°3o'o" Conséquemment, ^ ,, • % V • .l
A 41’" =o°45'; logcos-jc— 1 ,9999628'.’ '■'
Les deux distances Zénithales apparentes Z', Z''„rtànt supposées observées simultanément, ce sera le cas de la formule (-1). Consi- 1 dérant d’abord le facteur extérieur à la païen thèse, j’ai pour . données ; .* t « . • , „
A(Z’'eV?)afct»038,i3",95; ' « ■•'h'ï= t)8m. ;
Alors j’achève le.calcul roinme il suit, en restreignant désormais J es logarithme» à sçpt décimale»; . ^ v
lJ» N|ogC=5,aai8a97 log tang4(Z"— Z') = 2.,o46i 767
log
Facteur extérieur. K *=j853»',7464
log F =3,2.68o5o3
•/éimMSÂ. . • ' a4 «at1 HoK
Voilà la partie principale de rv — r'. Les termes de la sérié qui se combinent avec F, par multiplication, çe calculent comme il suit. Je jne borne aux doux premiers, car on Va voir que le second est déjà inuiHe, ne produisant que.des confiâmes de millimè-
trc, qu'on est bien daigne, .djit(eiiidrc jiai^rc genre "d’obset
Uonb' *♦.*** ‘>L
• ', , lognp "=7»lo49°34
jt/V»
* logF = 3,a68o5o3
•rf-'
“^»p).:T8;3,,r28oA
I og*F =i- 3 , 2< >8o5« 3
Vjr'\ * /xf\. 3J»» *W
r^-îjF^: -.H o™, 2698g ( — ) F= ô%onoo3 929Ô ’ •
negligeab^
Somme* r"-y-t'z
Diyeau, évaluée clans l'hypothèse d’égalitc des deux: réfràctiorts 0',’ 0". La différence rigoureuse, c«l culée avec leurs valÿjirs individuelles , est i846ra,o£>, eomuiWni peut le voir dans le Mémoirt^cito, page 41- 6a‘ supposition île leur égalité, ne' produit donc ici qu'une erreur do 7*, ^56. Étant slî faible ponr un sj graudmrc, on cirîu-oit'qu’eUe dctâctidraÿ (tfomptement négligeable popr des arcs moindres. OVsT en effet*<cè que le calcul confirme; car lu différence des deux réfractions,'1 qui èlaii ici iy",68, ne serait déjà plus q'utTo' ,658 pour lin angle au Rentre de 3o', comme on le voit , pagej <>l 4^ <^11 Mcnnure-cite. Or, ce Sera là déjà line amplitude peu commune ‘ dans les opérations géodesiques; et, pour un nivéllement que l’on voudrait rendre très-exqct , on pourrait aisément procéder par des intervalles d’une amplitude moindrç.. * .
U43. Dans ce calcul, la station dont la bailleur ^absolue etail^. donnée se trouve cire l'infcrieuriT. Supposons, au contraire, que cette hauteur eut été^donnée pour la^ supérieure , les deux distances zénithales observées restant d’ailleurs lés inémes que précédemment. Cela intervertira seulement le signe de leitj différence Z" — Z' qui deviendra — 1 4 1 6^7 ",90. Pour obtenir la nouvelle valeur de h', en conservant 1c même système de données physiques, rit faudra ajouter 98'" à la différence relative exacte
1 846"' i°6.* Cela donnaraJ^fe 4' égal a ^e‘
Viendra négative’, en conservant d'ailleurs la même valeur absolue
qug précédemment. Mais la valeu*, dé — , qui se combinera avec
elle, iî^iemira plus grande que tout à l’heure^ et, en concluant le calci^ gu ffl^quC'JfeJa {MES maniène^pbi^oblgniijj, d’abord Jefacdffi •*--J** f-iF- ■
■ extérieur
on aura :
«f- logp =6,8o38735
