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jJ3/

iui/V*

M — S'-Jcan. == i3o881,7«,

S»1- Jean — /« = ^19637,87

p — io83 ,g8

Ait méridien cherche MF = i 53675 ,o6 Par le premier système, on a MF = 1 53675 ,33

Moyenne... == i536']S ,2c)

Addition. i Sur quelques précautions qu’il faut prendre pour effectuer avec sûreté et simplicité les calculs numériques dans las applications de Géodésie et d' Astronomie, ou ils se répètent sous des formes analogiques pour une longue suite d’opérations.

Dans les applications isolées où les diverses phases du calcul numérique se suivent avec des formes progressivement différentes, il n y a pas d’autre recommandation à faire que celle de l'exactitude de chaque détail , qui s obtient, avec la plus grande probabilité, en réitérant au moins deux fois chaque operation partielle qui conduit au résultat final . Mais, lorsque le travail que l’on doit effiTtuer comprend une suite plus ou moins prolongée d'applications daine nature analogue, on trouve beaucoup d avantage à conserver, autant qu on le peut, cette analogie dans les opérations de détail, tant par la disposition qu’fln leui donne que par l’ordre suivant lequel on les accomplit; et l’on peut encore souvent Jes ohregbr, comme aussi les rendre plus sûres, en préparant des Tables au xi- v liai res qui s appliquent à toutes, ou en ealculant-d'avancelcs^uantit«-s constantes dont l'emploi doit s’y répéter.

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352 ASTHoMxriE

I, 'utilité de ce précepte sera facilement sentie dnns la pratique ; mais, comme on ne peut l'énoncer que d'nne manière générale , je le justilierai par un exemple pris parmi les questions mêmes qui viennent de nous occuper. y i.

Je suppose que, dans#he grande triangulation géoilèskpie, on ait obtenu tous les angles sphériques des triangles qui s'appuient les uns sur les autres, et qne l’on connaisse en outre, en toises, la longueur de l'arc <pii constitue le premier côté du réseau de ces triangles sur la sphère oseulatriee où on -veut -le placer. On demande de calculer les longueurs de tous les autres côtes sur la meme sphère, ou sur des sphères différentes, dont les rayons varient progressivement suivant une loi donnée. . . -

Ce calcul pourra s’effectuer, soit par le théorème d») if'gendre , soit par les formules que nous avons exposées pages 107 et 108,

§ 89. Si l’on emploie la première méthode, on transformera chaque angle donne en angle rectiligne, en retranchant de sa valeur le tiers de l'excès sphérique du triangle auquel il appartient. Alors la proportion s’établira entre les côtés et les sinus de ces angles réduits, et l’application immédiate des logarithmes à ces proportions donnera directement les longueurs cherchées les unes par les autres. Cette voie n’admet que le calcul successif, sans modification ni préparation.

Si, au contraire, ou veut employer les formules de la page 107, elles donneront d’abord les logarithmes des côtes Ci,C5 par la connaissance du côté C, à condition que l’on calcule les termes correctifs qui les complètent. Puis , ces côtés étant connus, on en déduira les suivants par une relation analogue appliquée aux angles des triangles dont ils font partie. Mais, connue ces angles entrent par couples dans chaque terme correctif , leur changement continuel exigera , pour chaque .côte , un calcul nouveau, composé de trois-, éléments, savoir, un côté et deux aDgles, dont il faudra ainsi renouveler continuellement les valeurs. Or, oaarrivera au même luit plus brièvement , et par des operations plus analogiques entre 3 elles, en décomposant le calcul des ternies correctifs de la manière

suivaAte^T JIU j- . -NÉfetS r v’ 4/-^ JH

Je considère d'abord nu des côté» cherché . par exemple C, . Sa,

»H YSIQUK.

relation rigoureuse avec le côté donné C est , page 107,

sin A,

i Ci = sin C

Sur A

Donc, en prenant les logarithmes tabulaires des deux membres,

, /sin A,\ ,

*S.(sïXt *

log sin C, = logsin C sinA

Le logarithme de se prend immédiatement, par différence

dans les Tables de sinus , puisque A et A, sont donnes en valeurs angulaires. Il n’y a de difficulté que pour obtenir log sinC d’après la valeur de l’arc C donné en toises. Mais, si R est le rayon de- la sphère osculatrice à laquelle appartient cet arc, on aura, sur cette même sphère , par les formules de la page 68,

log sin C = log C g rj ’

on en déduira donc

. • „ i /C sin AA /

IogsmC,= |os|-lrnA j-g

Si le réseau des triangles est assez restreint comparativement aux dimensions totales du sphéroïde terrestre, pour que l’on puisse , avec une suffisante exactitude , le supposer étendu sur une même sphère osculatrice au milieu de Sa longueur, la connaissance de log sin C, suffira pour obtenir immédiatement les logarithmes des sinus de tous les côtés suivants , puisque ces sinus sont lies entre eux par de simples proportionnalités ayant pour coefficients les rapports des sinus des angles opposés aux côtés que l’on compare. Or, d'après l’épreuve que nous avons faite pages togét i to, cette supposition d'identité pourra être toujours admise comme suffisamment exacte dans les plus grandes triangulations que l’on puisse effectuer sur la surface d’une même contrée. Car, si l’on suppose le côté C égal à i oooooT, puis, que l’on calcule le terme correctif

AC1 m

— - — avec les deux valeurs çxtrèmes de R rapportées page 1 09,

6KJ

et que l’onforme log sin C dans cès deux Supputions , les vXleùrs

T. III. f • 2$

ASTBOXOM1E

de sin C qui eu résulteront seront gg9()84T,53 dans la sphèra poiairc , et r)<nc)84T,43 dans l’équatoriale ; de sorte qu’elles différeront entre elles de quantités dont on ne saurait pratiquement répondre sur une svgraude longueur. Cette différence deviendra donc bien moindre et complètement négligeable sur l’étendue d’une même triangulation où le rayon oscillateur moyen se rapprochera toujours des rayons extrêmes bien plus que ceux que nous venons d'employer comparativement.

Le logarithme de sin C, , le premier de tous, étant ainsi obtenu numériquement par l’équation (2) , on formera de suite tous les autres parordre, d’après la condition de proportionnalité aux sinus des angles respectivement opposés. Il ne restera plus qu’à revenir de ces logarithmes à ceux des côtés C, , C,,... qui y correspondent. Cad* se fera encore par les formules de la page 68, qui donneront

* lie le, *S'nî6,

• I log C, = log sin C, g -^r- ;

^ ) I r 1 ■ * sin’C,

( log C, = log sin C, -f- g ~ ÿT~’ ‘ ‘ ' 5

et ainsi de suite, R étant toujours le rayon de la sphère oscuiatrice au milieu du réseau considéré.

En comparant les formules (2) et (3) , on voit que le facteur ^-1

des termes correctifs y sera le même dans toute la suite des calculs. On obtiendra donc facilement ces termes en formant le logarithme de efe facteur et l’associant à celui de C’, Cj, Cj,..., ou de sin’C, , sin’C,, sin’C, qui se trouveront déjà tout formés. Car, si on le désigne par log F, les logarithmes des termes correctifs seront

Pou r les cquat ions (2) , ( log F -+- 2 log C„) — ;

Pour les équations (3) , (log F 2.l0g sin Qh-0 ■+■ '

Les signes mis après ces deux expressions désignent ceux qu’il faudra, donner aux nombres qu’on en déduit.

Dans ces calculs, on devin prendre pour R la normale N qui est le rayon de la sphère transversalement oscuiatrice au milieu de l’are que la U iunguhiLuiu embrasse , puisque c'est sur IrS sphères osettlatrlres daris ré sens que les triangles sont censés appliqués. Profi-

tant donc , pour cela , île la connaissance déjà obtenue sur la forme générale du sphéroïde , on calculera log N par la série de la page 222 , en donnant à la distance polaire d la valeur moyenne qui convient au milieu , ou à peu près au milieu de la triangulation considérée.

Supposons, par exemple, que cette triangulation s’étende sur l’arc méridien compris entre les stations extrêmes de Greetvwich et de Formentera. D’après le tableau de la page 17g, les valeurs extrêmes de d seront 38° 3 1' 20" et 5 1° 20' 7", ce qui donnera pour moyenne 44°55'43", 5. On pourra doné, sans difficulté , prendre d égal à 45° en nombres ronds. Alors, cos!<7 étant -J , la valeur de log N en toises, calculée, par la série de la page 222, avec sept décimales exactes, se composera des ternies suivants:

log a = 6,5147957 . .

log N = 6^54882

Il est évident, par les considérations précédentes , que l’évaluation avec sept décimales sera parfaitement suffisante pour le calcul des termes correctifs. On a , d’ailleurs, dans le même ordre de décimales ,

log = 5,85963 3. ’ v

log N5 = .3,0309764 . /

11 en résultera donc log F = .5,8286567

Alors on devra ajouter à ce logarithme 2logC„, on 2 log sinC„ , ,, selon que l’on voudra employer les équations (2) ou les équations (3). Mais, d’apres ce que nous avons reconnu, le premier mode de correction ne servira qu’une seule fois pour transformer en sinus le premier côté C, base de la triangulation. La petitesse de la caractéristique i5 ne rend pas le terme correctif insensible dans la seconde conversion , parce que les sinus ne sont pas évalués, ici , en parties du rayon de la sphère osculatrice pris pour unité , mais

AS'iiü.xouir. »

en toises, dont re rayon contient toujours un grand nombre. Cela donne aux loearithmc^j|eS «arrés des sinus une caractéristique positive de nithne ordre que celle des arcs.

Au tome II de la Basertu fy sterne métrique, page 698, Delambre a prusenté le calcul des^tennés correctifs sons celte forme logarithmique , niais avec une petite inadvertance théorique qui , heureusement, ne Saurait avyir qu’ilne influence négligeable sur les résultats qu’il en déduit. Pour coficevoirj.cn quoi elle consiste , il faulse rappblqr queJe êaloid des triangles s'effectue, dans ce pro- * rude, en les supposant places sur la sphère transversalement oscilla* iricc au méridien. C’est donc évidemment la normale moyenne K qu'il faut prendre eorome rayon de cette sphère jjottr calculer les ternies correctifs, Comme je l’ai fait ici. Au lieu de cela , Delambre forme le facteur F en employant pour R le rayon du cercle qui est oscu lAteur d.-fnsie" serfs du méridien , raril Iç déduit du degré moyen mcsurc-dans ce sens. C’est sur ce principe qu’il a calculé les Tables numériques de réduction Jet II, rapportées pages ^83 et 789 «lu même volume , Tables dbnt je parlerai dans un moment. Mais, sans doute, cette inadvertance théorique lui a çchappé , paire qu’elle itîa pas, dans les applications, de conséquence appréciable. En effet , en calculant log F par le rayon oscillateur elliptique , comme iVHc fait à la page G98 du tome II , il trouve

log F t5, 83 1 33 33700.

Le degré du Aéiidien- qu’il y emploie répond à peu près, dans ses hypotlk'ses, à larlistancc polaire 43° 3o'. Maintenant, si l’on vent trouver la valeur de log F correspondant à celte même distance polaire, snr la sphère transversalement osculatrice à l’ellipsoïde que* Delambre a adopté., il faut d’abord prendre au tome III , page 291, le logarithme de la normale |>onr la distance polaire précédente, en supposant le demi-grand axe égal à l’unité, puis y ajouter le logarithme de ce demi-axe en toises'tcl que je l’ai donné page 342. On a ainsi le logarithme de la normale en toises dans cette hypothèse, lequel est

log N = f., 5 1353 58338.

SI

nmsufliu.

Alors , en calculant lot; F avec cette valeur, comme je l'ai lait plus haut , on trouve

lo- F = 1 5, «>856 > 3y34 'i|\[ * #• y» V

Cette évaluation s’écarte à ]>eine de celle rJpVnous âVons obtenu»»

sur notre ellipsoïde pour une distance polaire presque égale. Telle est donc la valeur de log F que Delambrc aurait dû adopter pour être conséquent avec ses constructions. Mais , pour. vdir que I4 différence dtf ces deux évaluarions n’a eu qu’une influence ffeSiçeaMe sur ses résultats, il n’y a qu’à les employer successiveméht pour convertir en sinus la base de Melun , dont'la longueur C, exprimée en arc et en toises , tome II , page 6y8, a pour logarithme.,

log C = 3,78261 067.34 » ^ •*

' car on en déduit ainsi :

Par le facteur elliptique de .Delambrc,

logsinC =: 3,78361 0372! ;

Par le facteur normal,

logsinC = 3,78361 037 36. ^ V

Or, en repassant aux nombres , on trouve que ces deux sinti» tit, furent seulement de de ligne , quantité dont il était ïmpos sible de répondre dans les mesures de l’arc C. Ainsi, lés sinus detous les autres côtés de la chaîne se déduisant de celui-là par simple proportion, les erreurs que leur évaluation comportait ont dû ctre pareillement insensibles.

Dans le calcul de sa triangulation, Delambrc n'a~ pas employé les termes correctifs sous leur forme logarithmique , comme je lés ai donnés plus haut. lien a formé deux Tailles auxiliaires, rapportées an tome II, pages J&3 et 7 ou les corrections sont calculées numériquement pour des valeurs de C ou de sin Q, procédant par des intervalles de 1000 toises pour toutes les grandeurs que sa triangulation embrassait; et il ^ prenait leurs valpurs précises, par proportionnalité, entre lus nombres les pins voisins de ces ‘fables, . Mais', ainsi qu’on petit le voit par un exemple qu’il en

«tonne lui-même au tome II, page 698, l’évaluation de ces proportionnelle# est aussi pénible et beaucoup plus sujette h erreur, que le calcul direct effectué, pour chaque cas, par les expressions logarithmiques mises sous les formes simples que je leur ai données plus haut. Cette manière de procéder, qu’il a préférée, était appropriée à l'habitude qu’on a eue trop longtemps, à mon avis , dans les calculs astronomiques et géodésiqitcs, d’épargner, autant «ju’oti le pouvait, l'emploi immédiat des Tables de logarithmes, comme s’il y avait quelque intérêt à exempter de l’usage de celte invention admirable les personnes auxquelles ces calculs étaient confiés. Il me Semble , au contraire, très-essentiel, pour la sûreté des résultats , de recourir immédiatement aux Tables logarithmiques pour lu traduction des formules en nombres lorsqu’elles se présentent ainsi exprimées, afin de laisser toujours subsister la trace de leur origine; sauf à réduire, autant que possible , les lo- ‘ garithmes variables- qu’il faut y introduire dans chaque application particulière , connue nous l’avons fait ici.

Je- terminerai ce que j’ai à dire sur cette partie importante de l’Astronomie qui concerne les opérations géodésiques, en mentionnant, avéc de justes éloges, un Abrégé de Géodésie h l'usage des marins , qui a été composé par M. liegat, ingénieur-hydrographe de la Marine française. Toutes les questions que les marins peuvent avoir besoin de résoudre pour effectuer les relèvements des cèles , ou pour des nivellements astronomiques, ou même pour des motifs purement scientifiques, y sont exposées avec toute la clarté désirable , et traitées avec la plus grande simplicité. Si les mélbodcs que j’ai présentées peuvent , connue je l’espère, ajouter éncorc quelque chose ù ces deux qualités, qHesne feront qu'accroître l'appropriation de Y Abrégfi\c M. Begat aux usages nautiques, pour, lesquels il l’avait spécialement préparé.

puïsÎ^ue. . • * • H ici .