CHAPITRE IV

29. Définition du potentiel par l'électromètre. — Quand un conducteur électrisé d'une manière quelconque est mis en communication par un fil long et fin avec un électromètre, placé à une grande distance ou dans une salle voisine, de manière à être soustrait à toute influence directe, r écart des feuilles d'or reste le même^ quel que soit le point touché de la surface ou de Vintérieur du conducteur.

Ainsi, si le conducteur est un ellipsoïde allongé ou un cylindre, l'écart est le même, que la communication soit établie à l'extrémité du grand axe où la densité est maximum, ou sur l'équateur où elle est minimum, ou enfin avec un point quelconque de l'intérieur où la densité est nulle. Le signe des feuilles d'or est naturellement celui du conducteur. Si on double, triple... la charge du conducteur, l'écart de l'électromètre est celui qui correspond à une charge double, triple... des feuilles d'or.

Dans le cas d'un corps isolé soumis à l'influence, l'écart est également le même, que le point touché appartienne à la plage positive, à la plage négative, à la ligne neutre ou à la surface d'une cavité sans électricité. Si le corps influençant est positif, l'électricité qui fait diverger les feuilles est positive, ou, en termes plus brefs, la divergence est positive; s'il est négatif, la divergence est négative. La divergence est donc toujours de même signe que celle que donne le corps influençant, mais elle est moindre. Celle du corps influençant luimême est plus grande quand il est seul, que lorsqu'il est en

présence du corps influencé, bien que la charge n'ait pas varié. Si, toutes choses restant les mêmes, on double la charge du corps influençant, on double pour les deux corps les indications de l'électromètre.

Enfin, la déviation de l'électromètre est toujours nulle pour un corps en communication avec le sol, que ce corps soit soumis ou non à l'influence, qu'il soit chargé d'électricité positive ou d'électricité négative.

Ainsi l'indication de l'électromètre employé dans les conditions précitées est la même pour tous les points d'un conducteur donné dans des conditions données. Elle est indépendante de la grandeur et du signe delà charge au point touché; elle varie seulement avec les conditions électriques dans lesquelles se trouve le corps ; elle caractérise donc un état particulier du corps que nous appellerons son potentiel.

Le /50/e«^2e/ caractérise l'état électrique d'un corps, comme la température son état calorifique ; l'électromètre servira à définir numériquement le potentiel comme le thermomètre sert à définir la température. On prendra comme zéro le potentiel du sol qui donne toujours un écart nul ; prenant ensuite comme unité le potentiel qui correspond à un certain écart, on appellera potentiel 2, 3, 4... celui qui correspond à un écart de valeur double, triple, quadruple, et on le comptera positivement ou au-dessus de zéro, si la divergence est positive, négativement ou au-dessous de zéro, si la divergence est négative. L'échelle est d'ailleurs arbitraire comme celle du thermomètre.

30. Force électromotrice. — Considérons maintenant deux conducteurs A et B; s'ils donnent la même indication à l'électromètre, ils sont au même potentiel ; et si on établit entre eux une communication, rien n'est changé dans leur état respectif.

Si les deux conducteurs sont à des potentiels différents et qu'on les fasse communiquer, de l'électricité positive passe de celui qui a le potentiel le plus élevé en valeur absolue sur

celui qui a le potentiel le moins élevé, jusqu'à ce que les deux corps soient à un même potentiel intermédiaire entre les potentiels primitifs. Ce potentiel pourra être positif ou négatif suivant les valeurs des potentiels primitifs et suivant la forme et les dimensions des corps mis en communication.

Une différence de potentiel entre des corps mis en communication a toujours pour conséquence un mouvement d'électricité positive de l'un vers l'autre. Elle peut être considérée comme la cause qui produit ce mouvement ; on la désigne souvent sous le nom de force électj^omotj'ice .

De même, la chaleur tend à passer du corps qui a la température la plus élevée à celui qui a la température la plus basse ; mais l'analogie entre le potentiel et la température ne se poursuit pas dans tous les détails. Tandis que la température d'un corps ne dépend que de la quantité de chaleur qui lui a été donnée et nullement de sa situation relative par rapport aux autres corps, nous avons vu (29) que pour une même charge électrique le potentiel d'un conducteur dépend de l'état et de la situation des corps qui l'environnent.

Des considérations d'un autre ordre vont nous permettre d'étendre et de préciser cette définition purement empirique du potentiel.

31. Lignes de force. — On donne le nom de champ électrique à toute l'étendue de l'espace où se fait sentir l'action du système électrique que l'on considère. Ce champ peut être indéfini ; il peut être aussi limité comme dans le cas où le système est compris dans un conducteur fermé en communication avec le sol (20).

En chaque point du champ, la force électrique (13), c'està-dire la résultante de toutes les actions exercées par les masses en présence sur une unité d'électricité placée en ce point, a une grandeur et une direction déterminées. Cette direction est celle que prendrait, au point considéré, par suite de l'influence, une très petite aiguille conductrice suspendue librement par son centre de gravité. On appelle ligne de

force une ligne qui reste tangente en chaque point à la direction de la force. La force électrique étant nulle à l'intérieur du conducteur et normale à la surface, les lignes de force s'arrêtent aux conducteurs et y aboutissent normalement.

32. Travail électrique. — En général on ne pourra déplacer une masse électrique dans le champ sans que les forces électriques donnent un travail positif ou négatif.

Il est évident que le travail correspondant au déplacement de la masse électrique d'un point A à un autre point B du champ est indépendant du chemin suivi pour aller de A en B. C'est une conséquence du principe de la conservation de l'énergie : autrement on pourrait, en faisant circuler une masse électrique par deux chemins convenablement choisis entre A et B, produire une quantité indéfinie de travail sans dépense équivalente; ce serait la réalisation du mouvement perpétuel.

Comme le travail correspondant au déplacement d'une masse électrique à l'intérieur ou le long de la surface d'un conducteur est nul, puisqu'à l'intérieur la force est toujours ^^^^ nulle et, le long de la surface,

^^ \^ toujours normale au chemin par-

/ \ couru, il résulte de la remarque

1 B f-, <î^i précède que le travail cor-

respondant au déplacement d'une masse électrique depuis un point A du champ [flg. 23) jusqu'à un point quelconque d'un conducteur est toujours le même, puisqu'il doit être le même, qu'on aille du point A au point B directement ou en suivant le chemin ACB et que de G en B le travail est toujours nul.

33. Définition du potentiel par le travail. — Le sol est un conducteur. Le travail correspondant au transport d'une unité d'électricité" positive, par exemple, depuis un point donné A, pris n'importe où dans le champ, jusqu'à un point quelconque du sol, est constant.

POTENTIEL ÉLECTRIQUE. 3:j

Ce travail varie avec la position du point A, mais il est le même pour tous les points d'un conducteur.

Il devient 2, 3, 4... fois plus grand quand on rend toutes les masses électriques du système 2, 3, 4... fois plus grandes.

Il varie donc de la même manière que l'indication de l'électromètre et, par suite, définit au même titre l'état électrique du corps que nous avons désigné sous le nom de potentiel ; mais d'une manière plus générale et plus complète, puisqu'il définit non seulement le potentiel des conducteurs^ mais le potentiel d'un point quelconque du champ et qu'il le définit non plus d'après une échelle arbitraire, mais par une mesure absolue. Nous dirons donc :

La valeur numérique du potentiel en un point quelconque est le nombre d'unités de travail qui correspond au déplacement d'une unité d'électricité positive depuis ce point jusqu'au sol par un chemin quelconque.

Le signe du potentiel est celui du travail des forces électriques dans ce déplacement.

34. Surfaces de niveau. — On appelle surface de niveau le lieu des points du champ qui ont un même potentiel. Une surface de niveau coupe normalement les lignes de force, puisque le travail est toujours nul quand on déplace une masse électrique le long de la surface.

Supposons qu'on trace les surfaces de niveau correspondant à des valeurs du potentiel égales à i, 2, 3... unités de travail ; on divisera le champ par une série de surfaces s'enveloppant successivement. Deux surfaces de potentiels différents ne peuvent évidemment se couper; autrement le travail pour aller d'un point A quelconque du champ à un point B de l'intersection serait différent (32) suivant qu'on considérerait le point B comme appartenant à la première surface ou à la seconde; mais une même surface équipotentielle peut se composer de deux ou plusieurs nappes. Les surfaces des conducteurs et celle du sol font évidemment JouBERT. — Électricité. 3

partie du système des surfaces de niveau. Celle du sol est la surface de potentiel zéro.

35. Expression du travail électrique. — Considérons deux surfaces de niveau de potentiels Vj et Vg, Yi étant plus grand que Y 2- Le travail correspondant au transport d'une masse positive égale à l'unité d'un point de la première à un point de la seconde a pour valeur Y^ — Y2 ; il est indépendant du chemin suivi et de la position du point de départ et du point d'arrivée sur chacune des surfaces.

Pour une masse M passant d'un point quelconque de la première surface h un point quelconque de la seconde, le travail T des forces électriques aura pour expression

et on voit que ce travail, comme celui de la pesanteur sur un corps qui tombe, se présente sous la forme de deux facteurs : l'un M, la masse électrique, correspond au poids de la masse qui tombe, l'autre Y^ — Yg, ou la différence de potentiel, à la hauteur de chute.

36. Expression de la force en fonction du potentiel. — / Soient Y et Y' deux surfaces de ni-

veau très voisines {fig.. 24). Supposons qu'on déplace l'unité de masse de la première à la seconde

en suivant la ligne de force MM' ;

Fig. 24. ^

si on désigne par e la longueur de

cette ligne comprise entre les deux surfaces et par F^ la valeur moyenne de la force de M en M', on a, par définition,

F,nXe = Y-r,

d'où

La valeur moyenne F„j s'approchera d'autant plus de la

POTENTIEL ÉLECTRIQUE. 3f)

valeur F de la force en M, que la seconde surface se rapprochera plus de la première; on pourra donc écrire

F = lim. .

La valeur de la force au point M est donc la limite vers la-

quelle tend le rapport quand la distance e tend vers

zéro \

Il résulte de cette expression qu'aux différents points de la surface Y la force varie en raison inverse de la distance e qui la sépare de la surface infiniment voisine Y. Si les deux surfaces étaient parallèles, la force serait constante d'intensité ; si de plus elles étaient planes, la force serait partout constante d'intensité et de direction et le champ serait uniforme.

Si dans un espace donné le potentiel est constant, la force est nulle et réciproquement. Tel est le cas d'un conducteur en équilibre. La condition d'équilibre pourra donc s'exprimer indifféremment de l'une ou de l'autre manière.

37. Expression du potentiel en fonction des masses. — Soient m, m', m"... les masses électriques qui donnent le champ. Le potentiel en un point M, c'est-à-dire le travail des forces électriques quand on transporte une unité d'électricité de ce point jusqu'à un point quelconque du sol, ou, ce qui revient au même, jusqu'à un point quelconque situé à l'infini, est la somme algébrique des travaux partiels relatifs à chacune des masses en particulier. Mais le travail relatif à chacune des masses est le même quel que soit le chemin suivi depuis un point quelconque jusqu'à l'infini, et par suite celui qui aurait été produit si l'on s'était éloigné de cette masse en ligne droite. Or le calcul de ce dernier travail est très simple.

I. Cette limite n'est autre chose que la dérivée, changée de signe, du potentiel, cette dérivée étant prise par rapport à la normale à la surface de niveau qui passe par le point considéré.

La masse m étant placée en 0, on déplace l'unité de M en M', M et M' étant deux points très voisins pris sur la droite OM aux distances r et r' . En appelant f la valeur moyenne de la force due à la masse m entre les deux points M et M', le tra-

Tïl IIX

vail est/*XMM' ; mais /"étant compris entre - et — peut être

ïïi pris égal à — et on a par suite en désignant par clT le travail élémentaire

rfT = -,(r'-r) = m(i-4 77"' \r r'

En décomposant ainsi en intervalles successifs MM', M'M", M''M'"... la distance comprise entre deux points M et M^, on aura pour le travail final

Si le point M. est à l'infini, on a — = o et il reste

Chaque masse donnera un terme analogue; le travail total sera la somme algébrique de tous ces termes et, par suite, on aura

La valeur du potentiel en un point est égale à la somme algébrique des quotients obtenus en divisant chacune des masses agissantes par sa distance au point considéré.

38. Application. — Soient, par exemple, deux masses de signes contraires -)-m et — m', situées en des points A et A' (fig. 25) ; le potentiel est un point P situé à des distances des deux points respectivement égales à r et r', a pour valeur

Si on donne à V une valeur constante, l'équation est celle d'une surface de niveau. La figure i5 représente l'intersection des surfaces de niveau par un plan passant par l'axe, dans le cas de m = + 20 et m' = — 5. La surface de potentiel zéro est une sphère S entourant le point A'. A l'intérieur de cette sphère, le potentiel est négatif; il est positif partout ailleurs.

Fig. 25.

Parmi les surfaces de niveau, il en est une Si formée de deux nappes qui se coupent au point I où la force est nulle , c'est-à-dire au point pour lequel on a

Dans le cas de la figure, ce point est symétrique de A par rapport à A' et comme on a pris AA' := 2%5, il est facile de voir que la surface S, correspond au potentiel 2, Toutes les surfaces à potentiel plus grand que 2 sont des surfaces

fermées entourant seulement le point A ; les surfaces à potentiel plus petit que 2 sont également fermées; elles entourent les deux points et sont extérieures à la surface S/; aucune d'elles n'entre dans le cadre de la figure.

La figure aS représente aussi les lignes de forces. Le quart du flux de force émis par A vient aboutir en A', le reste va se perdre à l'infini.

39. Potentiel d'une sphère. — Supposons une sphère isolée chargée d'une masse M en équihbre; en tout point intérieur le potentiel a la même valeur qu'au centre, et pour le centre on a, en appelant R le rayon,

Si la sphère est isolée dans l'espace et qu'il n'y ait pas d'autres masses agissantes, le potentiel à une distance r du centre a pour valeur

il est le même que si toute la masse était concentrée au centre, et toutes les surfaces de niveau sont des sphères concentriques. Les rayons des sphères qui correspondent à des potentiels i, 2, 3 sont entre eux comme les inverses de ces nombres.

Le voisinage d'un corps électrisé ou d'un simple conducteur, chargé seulement par influence, trouble la symétrie des surfaces de niveau et il serait le plus souvent impossible de calculer leur forme exacte.

Dans le cas où la sphère se trouve en présence d'un cylindre isolé, comme dans la figure 19, la surface du cylindre forme une des nappes d'une surface de niveau V, dont l'autre nappe correspondant à une des sphères déformées coupe à angle droit la surface du cylindre suivant la hgne neutre. Toutes les autres surfaces contournent le cylindre ; celles dont le potentiel est supérieur à V passen

entre la sphère et le cylindre, celles dont le potentiel est inférieur à V, en arrière du cylindre.

40. Unités employées. — Dans les formules qui précèdent, si on emploie le système G. G. S., le travail est exprimé en ergs, les masses et le potentiel en unités électrostatiques G.G.S.

Dans la pratique on emploie généralement comme unité de masse le coulomb, qui correspond à 3. lo^ unités électrostatiques G.G.S. et comme unité de potentiel ou de force

électromotrice leî;o/^, qui correspond à ou unités

électrostatiques G.G.S. de potentiel *. Le travail représenté par le produit d'un volt par un coulomb vaut donc lo'' ergs. Comme cette quantité se représente h chaque instant dans les calculs, nous en ferons une nouvelle unité qui sera Vunité pratique de travail et que nous appellerons un watt.

Le watt valant lo'' ergs vaut — kilogrammètres ou, comme

g est égal à 981, environ — de kilogrammètre ^ Ainsi, dans la formule fondamentale

si M et Vj — V2 sont exprimés en unités électrostatiques G.G.S., T est exprimé en ergs; si M est exprimé en coulombs et Vj — V, en volts, T est exprimé en watts.