Tubes de force. Flux de force. — Soit Aune surface de

niveau et c? A * un élément de cette surface au point P [fig. 26) .

Les lignes de force qui passent par le contour de l'élément

forment une espèce de canal, normal en chaque point aux

surfaces de niveau qu'il rencontre,

et que nous appellerons un tube de

force.

Si F est l'intensité du champ en P, le produit ¥dk de la force par la section normale du tube au point P est ce que nous appellerons le flux de force compris dans ce tube au point considéré.

Ce tube découpe un élément c?S'

Fier. 26. sur une surface quelconque S menée

par le point P; le flux s'exprimera

simplement en fonction de la surface d'è. En effet, .si « est

l'angle des normales aux deux éléments, on a c?A=ic?Sco&a,

et par suite,

Ydk = FrfScosa = Fcosa.t/S = FndS,

en désignant par F„ la projection de la force sur la normale

I. Nous ferons fréquemment usage de la caractéristique d pour représenter un élément ou une partie infiniment petite d'une grandeur quelconque. Ainsi dk représente une portion infiniment petite de la surface A.

à l'élément ou la composante de la force normale à cet élément. Par suite, le flux de force relatif à un élément f/S quelconque est égal au produit F>//S de Vêlement par la composante normale de la force.

Le flux total de force qui traverse une surface quelconque est la somme des flux relatifs aux divers éléments.

42. Théorème de Green. — Pour toute surface fermée tracée d'une manière quelconque dans un champ électrique^ le flux total de force qui traverse la surface est égal à la quantité d'électricité comprise dans la surface multipliée par 47: .

Remarquons d'abord que si on a une masse m placée au point 0 [flg. 27) et qu'on considère un cône infiniment délié;, d'ouverture 6?o3, à partir de ce point, °' le flux compris dans ce tube est constant. En eff'et, en un point A situé à une distance r, considérons deux sections, l'une normale dk, l'autre quelconque â?S, on a

Ynd^ = ¥d\] mais d'ailleurs

F=:-, dX = 7^Mo,; r-

le flux est donc

F„<iS = rndbi,

et on voit qu'il est indépendant de la distance r, c'est- à-dire de la position du point A.

Traçons maintenant dans le champ une surface idéale quelconque, entièrement convexe {flg. 28) et considérons une masse électrique m placée en un point extérieur 0. Le cône infiniment délié découpe deux éléments f/S etc^S' pour lesquels les flux F„f/S et F',iC?S' sont égaux, mais doivent être pris de signes contraires puisque Cun entre dans la surface et que

Vautre en sort; nous conviendrons de prendre positif celui qui sort, c'est-à-dire celui pour lequel la composante normale est dirigée vers l'extérieur. On a donc

Fig. 28.

Toute la surface se trouve ainsi décomposée en couples d'éléments qui s'annulent deux à deux. Si la surface présente des parties concaves et que le cône considéré la coupe plus de deux fois, il la coupe un nombre pair de fois; les flux élémentaires toujours égaux, mais alternativement de sens contraires, donnent toujours une somme nulle. Ainsi le flux qui traverse une surface fermée est nul, quand le flux émane d'une masse extérieure à la surface.

Fig. 29.

Soit maintenant une masse m {fig. 29) située à l'intérieur de la surface. Les deux éléments f?S et û?S' découpés par le cône infiniment mince donnent toujours

Ynd^ = Y'nd'è' — mdo),

mais les deux flux élémentaires sont de même signe, positifs

THEOREMES GENERAUX.

,mi

Fier 3o.

si la masse est positive, négatifs si la masse est négative; et pour obtenir le flux total il faudra multiplier la masse m par la somme des ouvertures de tous les cônes, c'est-à-dire par la surface de la sphère décrite du point m avec un rayon égal à l'unité, ou 4?:. Le flux émané cVune masse intérieure m et qui traverse la surface est égal à 47rm.

Considérons maintenant des masses quelconques m, m\ m"..., m^, m^, m^... {fig. 3o) situées les unes à l'intérieur, les autres à l'extérieur de la surface. Sur un élément fi?S, les masses extérieures donnent une composante normale qui est la somme des composantes normales relatives à chaque masse; de même pour les masses intérieures. La somme totale des flux élémentaires se compose donc de deux termes, l'un relatif aux masses extérieures qui sera identiquement nul, l'autre relatif aux masses intérieures et qui sera égal au produit de 4?: par la somme algébrique de toutes les masses intérieures, ce qui est le théorème de Green.

Réciproquement, pour connaître la masse électrique comprise dans une surface fermée, il suffira de déterminer en chaque point la composante normale F„, de faire la somme de tous les produits F^^/S et de la diviser par 4?:.

43. Propriétés de tubes de force. — Considérons un tube de force [fig. 3i) terminé par deux surfaces quelconques S et S' et appliquons au volume ainsi défini le théorème de Green. S'il ne renferme aucune masse agissante, le flux total qui traverse sa surface est nul; or, la surface latérale ne donnant

rien dans la somme puisqu'on chaque point la composante normale est nulle, celle-ci se réduit aux flux des deux bases qui doivent être dès lors égaux et de signes contraires.

Si le tube est infiniment étroit et les surfaces terminales normales, on a

et par suite, la forée en chaque point de tube est en raison inverse de la section.

44. Théorème de Coulomb. — Sur un conducteur électrisé en équilibre en présence de masses électriques quelconques, prenons un élément de surface ^ZS; terminons le tube de force correspondant à cet élément, àl'eKtérieur du conducteur par une surface de niveau infiniment voisine Sj, et à l'intérieur par une surface arbitraire S,. La force est nulle en tout point de la surface S^ ; la composante normale est nulle sur la surface latérale du tube; il n'y a de flux que pour la surface extérieure G^Sj. Si on appelle F la force électrique au voisinage Immédiat de l'élément et a la densité sur la surface f/S, le théorème de Green donne

Ff/S^ =: 47rarfS et comme à la limite, 6/S,==f/S,

F = \TZ(j.

Ainsi, la force électrique en un point infiniment voisin de la surface d'un conducteur en équilibre, quelles que soient d'ailleurs les masses agissantes^ est égale au produit par 47: de la densité électrique dans le voisinage de ce point.

Sa direction est d'aille^urs normale à la surface.

45. Pression électrostatique. — Sur un point M infiniment voisin de l'élément <iS (fig. Sa), l'action totale F se compose de l'action /"de l'élément lui-même et de l'action f de toutes les autres masses, et on a

Sur le point M' symétrique du premier et situé à l'intérieur du conducteur l'action totale est nulle; d'ailleurs l'action /' des masses extérieures est la même que sur M et l'action f de l'élément a seulement changé de signe; on a donc

par suite

Ainsi l'action de toutes les masses en dehors de l'élément est égale à 271(7. Sur la masse électrique contenue dans l'élément dS cette action sera a-Tra. adS^ et pour l'unité de surface 27r(7^ Cette action est toujours dirigée vers l'extérieur, quel que soit le signe de a. C'est elle que nous avons appelée la pression électrostatique.

46. Éléments correspondants. — Considérons un tube de force compris entre deux conducteurs auxquels il aboutit normalement [fig. 33), et terminons ce tube dans chaque conducteur par une surface arbitraire ; le flux est nul pour toute la surface du volume ainsi limité. Si (7 et a' sont les densités sur les élé- ^^°" ^^'

ments rfS et ^/S', la somme af/S+d'c^S' doit être nulle (41), et on a

c'est-à-dire que les deux éléments correspondants contiennent des quantités d'électricité égales et de signes contraires.

Si les deux éléments sont égaux, ce qui serait le cas pour deux conducteurs plans et parallèles, ou même deux conducteurs quelconques parallèles et infiniment voisins, il reste

On peut dire que le flux émis par l'électricité positive de

l'élément dS est absorbé par l'électricité négative de l'élément correspondant t/S.

Une ligne de force qui va d'un conducteur à un autre rencontre donc toujours des électricités de signes contraires à ses deux extrémités. Par suite il ne peut exister de lignes de force entre deux points chargés de même électricité. De même, aucune ligne de force ne peut aboutir à un point d'un conducteur où la densité est nulle.

47. Application à l'influence. — Soient m, m' , nf ... des masses électriques quelconques situées à l'intérieur d'un conducteur fermé A (fig. 34) et M la masse développée par

influence sur la surface intérieure. Si on applique le théorème de Green à une surface S^ quelconque tracée dans le conducteur et sur laquelle la force est nulle en chaque point, on a

La couche M développée par influence sur la surface intérieure est donc égale et de signe contraire à la somme algébrique de toutes les masses com- . prises dans la cavité (16).

Toutes les hgnes de force émises par les masses intérieures sont donc absorbées par la surface intérieure S du conducteur. L'action de l'ensemble de ces masses est donc nulle pour tous les points situés en dehors de cette surface.

Une charge quelconque communiquée au conducteur A isolé prendra sur la surface extérieure S' une distribution indépendante des masses intérieures et dépendant seulement de la forme de la surface S' et des masses agissantes à l'extérieur. Si cette couche est en équilibre d'elle-même, elle n'exerce aucune action sur les masses intérieures. Sinon il y a des masses extérieures, et son action annule pour

tous les points intérieurs celles des masses extérieures. Dans le cas où, à l'intérieur du conducteur fermé, un corps isolé G se trouve en présence du corps électrisé A (16, /"), une partie du flux de force émise par A vient aboutir à la plage négative de G ; mais un flux égal émane de la plage positive et aboutit finalement au conducteur fermé, de sorte qu'il y a toujours la même quantité d'électricité négative sur la surface intérieure, ce qui résulte d'ailleurs de l'équation qui précède. 48. Théorème de Poisson. — L'action que des masses électriques données exercent à Vextérieur d'une surface fermée quelconque est la même que celle d'une couche de même masse répandue sur cette surface suivant une certaine loi.

En efl'et, soient m, m', m"... ou I,m les masses intérieures que nous supposerons fixes comme si elles appartenaient à des corps non conducteurs, et S une surface idéale quelconque qui les renferme. Si cette surface était conductrice, elle se recouvrirait intérieurement d'une masse M=:r — 2m dont l'action pour tous les points extérieurs serait égale et de signe contraire à celle des masses données. Une couche +M distribuée sur la surface S suivant la même loi exercera donc sur tous les points extérieurs la même action que les masses l7n et pourra leur être substituée. Il faut remarquer qu'en général cette couche ne sera pas en équilibre d'elle-même.