Généralisation de la formule de Laplace. — Si l'on
7n remarque que, dans l'expression de <^, — est la valeur F du
Fis-. i86.
champ magnétique au point 0, milieu de l'élément et que
Fci?ssina est l'aire dK du parallélogramme construit sur l'élément ds et la force F, on peut écrire, en représentant par I l'intensité exprimée en fonction de l'unité qui rend k^ i et qu'on appelle Ihinité électromagnétique, unité qui, comme nous le verrons (323) équivaut à lo ampères,
(j> r=: IF ds sin a =: IdA,
et énoncer comme il suit la loi de Laplace :
L'action qui s'exerce sur un élément de courant placé dans un champ magnétique est égale au produit de l'intensité électromagnétique ducourant par l'aire du parallélogramme construit sur lélément et sur l'intensité du champ. Cette force est normale au plan du parallélogramme et dirigée vers la gauche de V observateur placé dans le courant et qui regarde dans la direction du champ.
221. Action d'un courant circulaire sur son axe. — Gomme application de la formule de Laplace, calculons l'action d'un courant circulaire sur un pôle égal k Tunité placé en un point P de l'axe [flg. 187), Soit a le rayon et r la distance d'un point de la circonférence au point P. L'angle a d'un élé-
TT
ment avec la distance r est - ;
la formule se réduit donc pour l'unité de courant à
ds
Nous pouvons considérer cette force comme appliquée au point P, perpendiculairement au plan rds. On aura sa composante suivant l'axe en multipliant cp par le cosinus de l'angle
^ . ^ a . , ads
PAO ou -, ce qui donne -^ •
240 ÉLEGTROMAGNÉTISME.
Pour avoir l'action totale de courant, il faut donc multiplier — par la somme des éléments ds, c'est-à-dire par la circonférence i-KŒ, ce qui donne
iTza'
S étant la surface du cercle. Au centre, on a r=ra et par suite
222. — Abstraction faite des difficultés de calcul, on pourra delà même manière calculer, au moyen de la formule de
Fig. I
Laplace, l'intensité du champ en chaque point. La figure i88 représente le champ d'un courant circulaire. Les lignes pointillées représentent les lignes de force dans un plan passant par l'axe du courant. Ceshgnes traversent le cercle de droite
CHAMP DES GOURANTS.
Champ magnétique de deux courants circulaires.
JouBERT. — Électricité.
ELECTROMAGNÉTISME.
et gauche pour un observateur couché dans le courant et qui regarde vers l'intérieur. C'est cette direction que nous prendrons comme le sens positif de l'axe du courant. Les lignes pleines qui coupent orthogonalement les premières sont les intersections des surfaces de niveau par le plan de la figure.
La figure 189 représente les lignes de force et les surfaces de niveau pour le cas de deux courants circulaires parallèles, ayant leurs plans situés à une distance égale au rayon. Dans une grande étendue, les lignes de force sont très sensiblement parallèles à l'axe commun des deux courants et les surfaces de niveau sont équidistantes; par suite, le champ peut être considéré comme uniforme.
223. Loi d'Ampère. — Ampère admet que l'action de deux éléments de courants est dirigée suivant la droite qui joint leurs milieux.
Il remarque que, par raison de symétrie, l'action qui s'exerce entre deux éléments de courant dont l'un est situé dans un
Fig. 190.
plan perpendiculaire à l'autre et passant par son milieu est nécessairement nulle. Autrement quand on changerait le sens de ce dernier, l'action qui est toujours dirigée suivant la droite qui joint les deux éléments, ne pourrait à la fois changer de signe et rester symétrique par rapport au plan.
Enfin, il conclut de la loi des courants sinueux que l'action d'un élément peut être remplacée par celle de ses projections sur trois axes rectangulaires.
Considérons deux éléments ds.ds' [fig. 190); soient a ei b leurs grandeurs, i et i' leurs intensités exprimées au moyen d'une unité quelconque, 6 et 6' les angles qu'ils font avec la
CHAMP DES GOURANTS. 243
droite 00' qui joint leurs milieux, enfin oi l'angle des deux plans menés par 00' et les deux éléments. Nous prendrons comme axes la ligne 00' et deux perpendiculaires l'une dans le plan «00', l'autre normale à ce plan. L'élément ds = a n'a que deux projections
a' = dscosd, a" = ds sin 9 ;
les trois projections de l'élément b sont
b' = ds' cos^',
b" = ds's'mQ' cosoi,
//" = f/s'sinô'sinw.
L'action totale se compose des actions de chacun des éléments a' et «" sur chacun des éléments b', b", b'".
De ces six actions, quatre sont nulles en vertu du principe de symétrie, celles de a' sur b" et sur b'" et celles de a" sur b' et sur b"\
Il n'y a donc à tenir compte que de l'action de a" sur b" et de a" sur b".
La première s'exerce entre deux éléments parallèles ec perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux. Elle est proportionnelle à la longueur et à l'intensité de chacun des deux éléments et à une certaine fonction de la distance qui les sépare ; on peut la représenter par
ii'dsds' sin 9 sin 6' cos w /"(r),
r désignant la distance 00'.
La seconde qui s'exerce entre deux éléments dirigés suivant une même droite, pourra se représenter de même par
mii'dsds' cos 9 cos 9' f[r),
m étant le rapport des actions qui s'exercent entre les éléments, à une même distance, dans la deuxième situation et dans la première. Ces deux actions dirigées suivant la
244 ÉLECTROMâGNÉTISME.
droite 00' s'ajoutent, et on a pour expression de l'action totale
^|; = ii'dsd^' (sin 6 sin 6' cos oj -]- m cos G cos 6') /"(r) ;
en appelant s l'angle que font entre eux les deux éléments, on a, en vertu d'un théorème connu,
cos e = COS 6 cos 6' + sin 6 sin 6' cos w,
et par suite,
^ =: ii'd-ds' [cos B-\-{m — i ) cos 6 cos 6'] /"(r).
Deux expériences vont servir à déterminer f{r) et m. Dans la première. Ampère fait agir un courant rectiligne indéfini MN (fig. iql) sur deux portions verticales et parai-
Fig. 191
Fig. 192.
lèles AB et CD d'un cadre mobile, et constate que l'équilibre a lieu quand les distances du courant aux deux lignes AB et CD sont proportionnelles aux longueurs de ces lignes. Il en résulte que l'action du courant indéfini sur un élément parallèle varie en raison inverse de la distance, comme l'action du même courant indéfini sur un pôle (217) ; l'action
élémentaire est donc, comme dans ce dernier cas, en raison inverse du carré de la distance et l'on peut poser, en désignant par n une constante dépendant de l'unité choisie pour l'intensité,
La seconde expérience consiste à montrer qu'un courant circulaire est sans action sur un courant mobile autour d'un axe perpendiculaire au plan du courant circulaire et passant par son centre {fig. 192). quand les deux extrémités du courant mobile aboutissent à l'axe. L'expression de cette condition que nous ne pouvons développer ici, conduit comme conséquence à la relation
On a donc finalement pour la loi de l'action réciproque de deux éléments de courant
nii'ds/s' , 3
(coss cosôcosô'j.
Pour deux éléments parallèles et perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux, on a s = o, 6 = 6'= - et par suite
nii'ds'h'
pour deux éléments dirigés suivant la droite qui joint leurs milieux, e = 6:=ô' = o; par suite
nu'dsds'
le signe — indiquant qu'il s'agit d'une répulsion. Ampère en avait conclu que deux éléments consécutifs d'un même courant se repoussent et avait cherché à vérifier le fait par une
246 ELECTROMAGNÉTISME.
expérience [fig. 193) qu'on ne peut considérer comme tout à fait démonstrative, le fait pouvant recevoir une autre interprétation (235). Deux masses de mercure séparées par une cloison isolante sont reliées par un fil de fer contourné de manière à former deux branches horizontales parallèles n/9 et r^ et une
Fig. 193.
partie transversale, en forme de pont pq, qui relie les deux premières. Au moment où l'on établit la communication avec la pile, on voit le fil glisser à la surface du mercure et s'éloigner des points par lesquels arrive le courant.
224. Identité d'un courant et d'un aimant infiniment petits. Théorème d'Ampère. — Considérons au point 0 un courant infiniment petit de surface ^S, et calculons ^'of5 par la formule de Laplace l'action qu'il exerce sur un pôle égal à l'unité placé en P [fig. 194). On trouve que l'action F est indépendante de la forme de la courbe qui limite la surface d^ et qu'elle est proportionnelle au produit kid^ de l'intensité par la surface du courant.
D'autre part, soit NS un aimant infiniment petit, de moment cr, perpendiculaire à la surface du courant et en son milieu, le pôle nord étant à la gauche du courant; faction au point P (154) est
CHAMP DES GOURANTS. 247
exprimée par la même formule que celle du courant, avec cette seule différence que le facteur kid^ dans le premier cas est remplacé par le facteur u dans le second. Les deux actions seront donc identiques pour une valeur de l'intensité telle que
Jcid^ = u,
ou si l'on prend comme unité d'intensité celle qui rend k=n, c'est-à-dire l'unité électromagnétique,
Sous cette condition, le champ du courant et de l'aimant tous deux infiniment petits, sont identiques vis-à-vis d'un pôle. Reste à démontrer qu'ils sont identiques vis-à-vis d'un élément de courant.
Plaçons au point P un élément de courant Vds. L'action qui résulte de l'intensité F du champ dit à V aimant est donnée par la formule de Laplace (220)
(Q=iV¥ds sino:.
Calculons maintenant par la formule d'Ampère l'action du courant fermé sur l'élément; on trouve, tout calcul fait, une force cp' de même direction que la précédente et ayant pour expression
(b' ^z-nYYdssina.
Les deux actions cp et cp' ont même direction et leurs expressions ne diffèrent que par un facteur resté indéterminé ; elles sont donc proportionnelles.
Si on admet, comme le vérifie d'ailleurs l'expérience, qu'elles sont identiques, on en conclut w = 2.
