PAPETERIE

Soit maintenant la capacité donnée = cs: cetie capacité étant égale au produit de la hauteur 2 par

c° 4 «3 la surface de la base, on aura 2 = = , Ha Max

Donc la surface latérale intérieure, qui est égale au produit de la hauteur par la circonférence de la

4 c3 Allxe 46 base, égalera x Tax =——— (2) TI 2 Ta x

La surface intérieure totale sera donc égale à (1) + (2), ou

Ta? À + . En différentiant, on aura 4 æ

2TIxdx 4 ct dx ——— —————=0. Muiltipliant parzx?et di-

à rè IT ,3 visant par dx, … — 4c3=0,; donc [2]

8 c3 2 c I aæ=8c; donc «= : donc x =——-- VTT 4 c 4 c? c

Donc À = —, Donc la sur-

ee .

Me:

PR no D ÉD AEs | rr :

cetie A par

le à

di-

MS ae Pe

face intérieure sera un #éxémum, quand la hauteur sera la moitié du diamètre intérieur de la base.

GO. PROBLÈME 10€-— De tous les cylindres inscrèts dans un cône droit, déterminer celui qui a le plus grand volume. (Fig. 6°)

Solution.—Soit la hauteur SC du cône = x ; le rayon AC de sa base = 4; soit encore SD = ; donc DC = a — +. Les deux triangles semblables SCA, SDE donnent la proportion SC: AC :: SD:

ba

DE, ou «a: b:: x: —.

Soit 1 : [le rapport du diamètre à la circonférence : on aura la circonférence de la base supé-

2 dx rieure du cylindre, en disant 1: T::——: C = a

2 11 bx bx . La multipliant par la moitié du rayon —, œ a

TI D? x° on a la surface de cette base = ——, Multipliant cette surface par la hauteur CD du cylindre = & — x ) IT 2

on a enfin pour la solidité S = (ax? — 3).

Différentiant cette équation, on obtient

[IT p2 —— (2 atdx — 3 x*dx)= 0. Divisant par a I 2 dx, … 2 ax — 32? = 0 ; donc 2 « =3 x ; donc d?

24 24 «a æœ=—, Donc DC=a—x=«4— —-——:0cest- 3 3 8

à-dire que de tous les cylindres inscrits dans un cône droit, celui qui a le plus grand volume a pour hauteur le tiers de celle du cône.

G. Remarque.—Pour s'assurer qu'une quantité y est un maximum où un »inimum, lorsque la

quantité >, dont elle est une fonction, à une : certaine valeur, on augmente ou l’on diminue x d’une quantité très petite, & par exemple, et l’on voit alors si par là y est augmentée ou diminuée.

Ainsi dans le 1° Problème, n°: 41, on a trouvé que y est un m#avimum, quand x = a, et qu'alors ÿ? = a. Pour s'en assurer, soitz= at 4. Alors p=2ar— 2 = +2 ab—@ F2 ab— =

a? — b?, quantité plus petite que a? ; par conséquent 7 = « est un maxümum.

Se Te LR red

0060 mme

| RnB D , ; c'est- |