DES DIVERS SYSTÈMES DE LOGARITHMES
On sait que les logarithmes en général sont des cxposants en progression par différence (ou arithmétique) de termes en progression par quotient (ou géométrique).
Il suit de cette définition qu’il y a une infinité de systèmes de logarithmes. On emploie plus particulièrement les logarithmes ordinaires, et les logarithmes naturels.
Le système des logarithmes ordinaires ou de Briggs est celui dans lequel 10 a 1 pourlogarithme, ct dont 0,4342944819 &c. estle #odule. Ce sont ceux des tables de Lalande.
Le système des logarithmes naturels ou de Néper (Napicr) est celui dans lequel 10 a 2,30258509- 2994 &c. pour logarithme, et dont le module est 1. On appelle communément ces logarithmes Ayperboliques, à cause de lanalogie qu’ils ont avec les espaces compris, dans une hyperbole équilatère, entre l’asymptote et la courbe. (Voyez n°: 79).
Le module est le rapport qui existe entre les dif-
férents systèmes de logarithmes Le système que
l'on prend}: terme de comparaison est celui des logarithmes hyperboliques, qui a 1 pour module, Ainsi on trouvera le module de tout autre système en divisant le logarithme de 10 dans ce système, par 2,302585092994 &e., logarithme hyperbolique de 10. Par excmple, le module 0,4312914819 &c. des logarithmc® ordinaires s'obtient en divisant 1, logarithme tabulaire de 10, par 2,302585 &c.
On voit par là qu'ayant le logarithme hyperbolique d’un nombre, on doit, pour en avoir le logarithme ordinaire, multiplier le logarithme donné par 0,43429 &c., module des logarithmestabulaires.
PROBLÈME.— Trouver le logarithme de 1 + x.
(#) Soit log (1 +x) = Az + Bx?+ Ca + &e. … (1) SO CL DR Lan manne (2) Soit log (1 + +) = Az + B22+ C3 + &e. (3)
Mettant les logarithmes dans l’équation (2), on a log. (1+x)% ou m» log (1+x)=log(1+z) … (4) Donc, d’après les équations (1) et (3),
m Az +mBz? + m Cas + &e. — Az + Bz? + C2 + &ec. .. (b) Mais de l’équation (2)ontire encore 2 =(1 +x)*—1, eten développant (1 + x}* par le binome deNewton,
m (me — 1) m (me — 1) (m2 — 2) 2= MT + — 2 + —— 234 &e.
Substituant cette valeur de z dans l'équation (5), on a enfin
np pement tel este me pce à (*#) Voyez note C.
m Ar + m Br? + m Cri + &e. — m (nm — 1) mnm—1)(n--2) | m Az+ —— Ake2 + — - - Akr3 + &e.
Divisant tous les termes par #,
Ax + Ba? + Cri + &c. = m — 1 (on — 1) (7 — 2) Az + Az? + ——— Ah + &e.
2 2. 3 FA m B| + m(m—1)Bl + &c.
m— 1 Donc À = À … A+mB=B;.… donc.
— (m — 1) — ; donc b)
… On trouvera demmême
C =—.. Substituant ces valeurs dans l'équation (1),
Rue EE SG otre
Az? Ax log (1+ x) = Ar — — + — &c. = 2 3 a? x A(XT ——+— — &e).
A estle module. Si on le suppose égal à 1, onaura les logarithmes hyperboliques; si on le fait égal a 0,43429 &c., on aura les logarithmes ordinaires.
