MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS
On sait qu’une série ou une suite est un assemblage de termes qui vont en augmentant ou en di-
minuant de valeur, selon une certaine loi.
e } La série dont les termes vont en augmentant de valeur se nomme divergente, et celle dont les termes à décroissent s'appelle convergente. Une suite diverge ou converge d'autant plus rapidement, que chaque terme croît ou décroît plus sensiblement à l'égard decelui qui le précède.
La Méthode des Cocffcients indéterminés a pour but de réduire certaines fonctions algébrique: en séries.
1 Exemple.—Soit proposé de trouver en série la
valeur de ———.
Faisons = À + Br + Cr?+ Das + &c. (0); 1— x
À, B, C, D, &ec. étant des coefficients dont la valeur soit indéterminée, et tels qu'ils ne renferment pas t.
Otons le dénominateur du premier membre; alors
1=A+B|x+Cla+D|:$+ ke.
Transposons 1 ; ….
O0 = A+Blz+Claæ +D | 23+ ke.
(x est sous-entendu après A; +2, après ——B, &c.)
Puisque tout le second membre se réduit à 0, éga-
lons chaque colonne de coefficients à0; nousaurons A--1=0; doncA=l; B--A=0; don B=A=l;
C — B=0; donc C=B=l; D—C=-0; donc D=C=1; et ainsi de suite.
Substituons ces valeurs dans l'équation (0):
= l+r+ a+ us + &c
Let
Remarque.—Voici comment on peut démontrer que dans l'équation 0 = A + Bx + Cr?+ Dx3+ &e. chacun des coefficients À, B, C, D, &c. est nul.
En effet, cette équation devant avoir lieu, quelle que soit la valeur de x, supposons æ =0. Elle se réduit alors à 0 = A: et comme À est indépendant de +, ce terme sera donc encore nul, lorsque x rn’égalera pas 0. L’équation ‘se réduit donc à
0=Bxr + Ca? + Das + &ec.
Maintenant supprimons le facteur commun x ;
il reste 0= B + Cr + Da? + &c.
Appliquant à cette équation le raisonnement précédent, nous trouverons B —0 ; et ainsi de suite. and. Exemple.— Réduire en série V1 + x, Soit V1 + x = À + Br + Cr2+ Das + Ext + &e.
Elevant les deux membres au carré, l+æ=A+2ABz+ Biz +2BOirs+ Cat +2AC| +2AD| +220 +2 AE! + &c.
Egalant les coeflicients des mêmes puissances de
x dans les deux membres, … A?2= 1; donc A= 1.
2 AB = 1; donc B = jé 2 A
2 AC + B2=0; donc C =
BC 1 2 AD +2BC=0; donc D=———=—, A 16
2 AE +2BD+C2=0; donc2 AE= —2 BD —
a +9 ax — x?
