LL. t=y— 9 +9 — ÿt + &e

yÀ

trouver y en puissances de x.

LIT, Démonstration générale du Binome de Newton.

n Soit (14+ 2x) = 1 + Ax+ Bz2 + Crs + Dau+ &e. (1)

n et(1+y) =1 + Ay + By? + Cf + Dyf + &ec. (2) 1 ] n n Soit encore (1 + x) = …et (1+y) = »

m n Doncun=(1+x) =1+Az:+Br2+ Czr3+Dzri+&c.(4) Mm ete (1+7) =1+Ay+By2+Cy3+ Dyi+&e.(5) Donc um — et = À (x — y) + B (x? — y) + C{a3 — ÿS)+D (rt — yt) + &c. (6)

n Deplus(3)..ut=(1+x) =1+z..etet=1+7;(7) donc Ut — D = D —Y nn nr ere (8) Donc, en divisant l'équation (6) par l'équation (8),

QU mm UN

= A+B(:+7) +C (22 + xy + y) +

un — Un

D (23 + 227 + 29? + y3) + Re. (9) Divisant les deux termes de la fraction par # —+, on à un Lun-2 » + um 2 …. Lu vm—2 LE om—l

url + un—2 y + uns 02 . + uw vn—2 + vn-1l

(#) En divisant u° — v? par u — vw, on trouve u + v pour quotient 3 .... 3 — y3,paru — v, on à d? + uv + u? ;

= A+B(Tc+y)+C (x? + œy +?) +

D (28 + 22y + 292 + y5) + Re. nr, (10) Dans les égalités (3), soit æ = y, alorsu=v. Dans cette supposition, l'équation (10) devient

mu] | mum = A +9 Br +3 Cr2+14 Das + &e.= nun—l nur

(en multipliant par « les deux termes de la fraction

mum-1l \

nun—1

——————————2——— mm

U+ — vi

= I Hu? o L uv? + vs,

Chaque quotient contient autant de termes qu’il y a d’unités dans le degré du dividende ; de plus l’exposant de , dans chaque terme du quotient, est égal à ce degré du dividende, moins le rang du terme ; et celuide vest égal à ce rang diminué d’une unité.

Mm M Donc sil’on divise uw —v paruwu—v, on aura un nombre m de EL

termes ; l’avant dernier, ou leterme m — ], sera donc

Mm—mMm+]1 m—1—1 m—2 MM Mm—]1 u () = uv , et le dernier m sera u v = m—1

v . Donc enfin

On a encore, en faisant disparaître le facteur un du dénominateur de la dernière fraction (11),

m — un zur (A +2 Bz +38 Cr + 4 Dr + &e.) … (12) ñ

Substituant les valeurs de w" et de un, tirées des équations (4) et (7), on obtient

m M m m —+—A z+—B 2+—0C 23+&c. = ñn n n n A+2Blx+3C|22+4D | 23+ &c.

m D'où A =—.

m \ mm ter == (= h L 2 n n mm 1 m{m, n | B'= ———

m m | 8C+2B=—B..3C=—-B—-2B—- À n ñn

—— 9 pt rm ñn 2 m (2 \ (» | mnt che NE Code n Ln (7 J C = —— .

ñn n

2 fa) (£a) (2 J

C [— D nue

mfm \[m \(m —|-—-1| [——-2| | ——3] n {n J Un JU J

Substituant enfin ces valeurs des coefficients … À, B, C, D, dans l'équation (1),

n mn (A+) =1+—2+

ES RESTE RETTR tm

RTE EPA LÉRENER

À ÿ ë Ÿ 1] 0 AE ÿ3

= RS ec AA à 2 A SE mg ET D ee ‘

= RAD BST:

CPR qe SES a Songe ms or acte

nanas

DCE de Canne

EV. Problèmes de Trigonométrie.

PROBLÈME 1er— Trouver la valeur du sinus d'un arc en fonction de cet arc.

Solution.—Soit larc da =s; (Fig. 5e) soit le sinus ap =zx, alors ai = ds, et io= dx : soit encore le rayon = 1. Les deux triangles acp, aio, semblables parce que leurs côtés correspondants sont perpendiculaires, donnent la proportion ca: ai:: cp: io, oul: ds:: cos s: dx = cos s. ds.

Or cos s = VI — sin? s— VT —%2. Donc dx = V1 x2 x ds, et da? = (1 — 22) ds? … (R)

Soit maintenant

z=As+Bs +Cs3i + Dst +Es5+ F6+ Gs7 + &ec.

Différentiant, dr = (A+ 2 Bs+3Cs2+4Ds3+ 5 Est+6 F5 +7 GS + Re.) ds.

(R), et divisant chaque membre par ds?, on

quation

obtient

membre.

1er.

Q9nd. membre.

Ter

[A2+9 ABs +3 AC) 4 4 ADI + 5 AElst+ 6 AFS + 7 AG64 &c.

+2 AB L4 À + 6BC| +8BD | +3 AC +6BC +9 ce