I. Décomposition des fractions

PROBLÈME. — Soit proposé de décomposer la

fraction

en la somme de deux autres (&@— a) (x —b)

fractions telles que chacune ait pour dénominateur lun des farteurs du dénominateur de la fraction donnée.

Faisons

en réduisant au même dénominateur,

Az — Ab+ Br — Ba

= ———— —: etôtant le dénominateur (æ — a) (x — 5)

commun,

2 = Az — Ab + Br — Ba= (A+ B) z — A6 — Pa.

Donc A +B=3z; … et — Ab— Ba = 0. De la première équation, on tire À =æ— B 3 substituant dans la seconde, — &x + BB — Ba — 0; donc

ba BB (b—a)=bx; donc B = .

bx LT — ax —bx Donc À =2 — B=1— RER ” b— a b— a

ax bx

a—b b—a = — + (@——a)(t—Ù0) v—a zx—Ù

ax bx

On peut s'assurer de l'exactitude de ce résultat, en réduisant le tout au même dénominateur.

Problèmes à& résoudre.—Décomposer les fractions

IE. J'Iéthode inverse des séries ou retour des suites.

Quand la valeur d’une quantité æ est exprimée en une série des puissances d’une autre y, il est sou-

vent nécessaire de trouver la valeur de la seconde quantité y en une série des puissances de la première , et c’est ce que l’on appelle Retour des Séres.

On peut pour cela employer la Méthode des Coefficients indéterminés. Voici la manière d'opérer.

Supposons que l'on ait une série exprimant la valeur de x en puissances de y.

1°: On égale y à une série des puissances de x, multipliées par des coefficients indéterminés.

20. On substitue cette valeur de æ&, et celle de ses différentes puissances dans la série proposée.

3° On en déduit la valeur des divers coefficients indéterminés, et on substitue cette valeur dans l’équation exprimant y en puissances de +.

Exemple.—Soit x = ay + by? + cy3 + dyt + &e:

(R), trouver y en une série des puissances de +. e

Solution.—Faisons y = Ar + Blz? + Cix3 + Dix! + &e. On aura donc y = A‘ +2AB + B°

+2 AC| + &e.

ÿ = Ai] + &ec.

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on à

x=uAx+ aBlxt+ aClrs + a Dis' + &ec.

+ b A1 +2bAB| + b B:

+2 bAC| + ke.

+ cA! +3 cA'B) + &e.

+d A"+ ke.

D'où a A =1.... A

b a B+b A7=0....aB=——,.., B =

at & . af

a C=—92 6 AB —c A3

aD=—bhB?—92pAC—3c A2B — d A4= Bi 4B3— 9 abc 3 be d

E D — 9 abc — 3 abc + ad

aÿ

5 D — 5 abc + «2d D=—

Substituant enfin ces valeurs de À, B, C, D, dans l'équation (R),

1 b 203 — ac Yu — Te DD + mn LS — a ai a 5 3 — 5 abc + a?d ad + &e, a?

Problèmes à résoudre.--Supposint