De Au = e

i»e Au = e — lontiree =i-|-au; et si l’on prend les logarithmes de part et d’autre, il viendra

<. du, •

j^/l l(H-Au).

BT DES SUBIES.

ag.

en changeant Au*, au', etc. en a'u, a’u, etc., ou bien

sans rien changer dans le développement. ’

Il est visible que la question revient à déterminer les coefficients différentiels ^ > 4-^’ Glc., en fonction des différences

successives de u, et que pour cela on a des équations de la forme

Aaf‘ • da?*+' d**+*

'^•4-1 ^ etc.,

dar*^‘

a»+* U = . A“+* -(- etc. ,

da:*+*

etc.,

dans lesquelles les coefficients différentiels ne montent qu'au premier degré : on peut donc faire

A" = A" U -(- B'A"+' U -t- B" A"+* U 4^ B^A’^' U -h etc.

On obtiendrait facilement la valeur des coefficients inconnus B', B*, B*, etc., par l’élimination successive de

,A»+‘, A*+*, etc.;

dx*’’"'

mais puisque Téquation hypothétique doit avoir lieu, quel que soit U, elle subsistera encore lorsqu’on y fera u = e*, ce qui .donnera

•— j = ei A* w = iK

quelque valeur qu’ait le nombre entier i, et l’on trouvera par conséquent , , .

. A*= (e* — i)"4-B'(e* — i)*+'4-B'(«* — i)"**-f-etc.

Pour mettre en évidence l’identité des deux" membres de

■ 3o des différences

cette équation, il suffit d'observer que ... .

parce que le développement de 1 (i -H e* — i), ordonné suivant les puissances de e* — I, qui est

c*— {«*'— — i)* + etc,,

étant elevé a la puissance n, deviendra comparable à la série

(e* — -|-B"(e* — ly'+’ + etc.,

dont les coefficients numériques B', B", etc. seront par conséquent déterminés. Si l’on écrit Au à la place de e* — i,

cl" H d" U

et h" à celle de h", on aura l’équation = [ a]" u,

posée précédemment.

En faisant, pour abréger, e*— I = a, et développant '

-, , (^a--a>-4--a>-^a* + etC.j , ^

suivant les puissances de a, par la méthode du n“ 55, on obtiendra les valeurs de B', B", etc. . J ^ .

393. La formule du n“ 382 se déduit aussi du théorème de Taylor, qui devient une formule d’interpolation, lorsqu’on y remplace les coefficients différentiels par leur expression en différences, tirée du numéro précédent.

En effet l’équation

A' = A'V-i-A'A'+'u-h A"A'+*u -4- A"A'+*u -4- etc.,

donne

- — r = 1- ( A* « -I- A* U -}- A" A'*’'’ U H- etc.) .

Si l’on tirait successivement de cette équation les valeurs

de -j—j, -r— J, etc., pour les substituer dans la serie , . ,

- etc.,

BT DES- SÉRIE». '3l

qui exprime ce que devient u lorsque x devient x -l- A', on aurait un résultat de la forme

B', B", B' , B’ , B7, etc. étant, ainsi que A', A", etc., des coefficients numériques indépendants de A ; et désignant par i'« l’accroissement que reçoit la fonction «, dans le passage de x à *-+- A', il viendrait ’

M-i-A'« = M+.-^iia4:fB'-^-|-B"-^j A’M + etc.

Cette équation devant avoir lieu, quel que soit u, subsiste encore dans le cas où « = e*, et se change alors en

• e*' = i.-^ ^ (e* - . ) -i-' [b' ^ ( e* - i)» -t- etc. .

dont on ramène, par le développement, le prèmier membre à la

mêmeforme que le second, en observant que e*' = [ i -t- (e*— i et comme en remettant dans le second, u, am, a'u, etc., à la place des quantités i, {e* — i), (e*— i)’, etc., on retombe sur le développement de «-+- Â'«, 6n doit en conclure que

Ce résultat, -aussi simple qu’élégant, a été présenté par Lagrange, comme une conséquence de l’analogie que les différences ont avec les puissances. £n effet, il suit de l’équa-

du, du,'- h'

tione*'* = I -t- Am (392) que e“* = (1 4-'am) mais on »

d ir * . .

aussi = 1 -4- A'm : donc 1 -|-a'm = (1-4- A«) .

En développant le second membre de cette dernière équation, et transportant à la caractéristique -A, les exposants des

-etc..

3a DES DIFFÉHESCES .

puissances de au, on trouvera, comme ci-dessus,

h' h'ih'—h), h'[h'—h)[h'—ih)

A'u=-pAm — V'vr" ^ “H — ^ — t- ,V O f. ^A>u-+-eic.(*).

Du Calcul inverse des différences, par rapport aux fonctions expUcites d'une seule variable.

394. Le Calcul inverse des différences est, à l’égard du Calcul direct, ce qu’est le Calcul intégral, par rapport au Calcul différentiel : il a pour objet de rennonter des différences aux fonctions primitives. Je m’occuperai d’abord des différences qui sont exprimées immédiatement par la variable indépendante, c’est-à-dire où l’on a pour déterminer u, , une équation de la forme

l’accroissement de a; étant constante! donné: je le représenterai à l’ordinaire par h.

Soit premièrement r= i, d’où Au*=f('a?); pour'indiquer l’opération qui doit faire revenir de Au,àu,, on emploie ta caractéristique 2, et l’on écrit en conséquence , ‘ ^

■ . 2Au, = U,= 2f(x),

les caractéristiques A et 2 indiquant des opérations contraires, qui se détruisent lorsqu’on les effectue l’une après l’autre sur la même fonction.

L’opération indiquée par le signe 2 s’appelle aussi intégration', car 2 f(ar) désigne' une véritable somme. En effet, si l’on ajoute les équations (i) du n” 375, il yiendra

k,==k4-Am-1-Am,-(-Am,. ..-(-Am„,;' et si l'on représente par a la première valeur de a?, et par u

( *) Ces curieuses analogies des puissances avec l^es différences et les différentielles Sont développées avec beaucoup d'étendue dans le 3* volume du Traite in-4^* J'y si indiqué plusieurs Mémoires insérés sur ce sujet, dans les Transmet tiens philosophiques, et quelques remarques de M. Herscbel, dans l’Appendice qu’il a mis à la traduction qu'U a bien voulu faire, conjointement avec MM. bab- • bagebt Peacock, de la a* édition du présent Traité élémentaire.

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celle de u«, qui s’y rapporte, on aura, pour une valeur quelconque a; = a + «A, . . '

sf(d?) = M-}-f(a) + f (a-f-A) 4-f(a-<-2A)...-|-f[a-H{n — i) A].'

Cette expression, qui augmenterait def(a-4-nA) ou de f (ar), si l’on ajoutait A à la dernière valeur attribuée à x, et qui a par conséquent pour différence f(a;), se compose ainsi de la sommé de toutes les valeurs que prend f(a:) depuis a: = a inclusivement jusqu’à xz=a-h(n — i) A, plus de la première valeur de a qui est indéterminée, et qui tient ici la place de la constante arbitraire que le passage de a* à Aa^ a pu faire disparaître.

Pour revenir de A’’a, = f(x) à a^, il est évident qu’il faut effectuer autant d’intégrations qu’il y a eu de différentiations, ce qu’on indiquerait ainsi :

'.w . , z'A’-al = a,= z'-f(x).

A chacune de ces opérations, il faudrait ajouter une nouvelle constante, ce qu’on peut voir aussi en observant que l’équation A'^ax = f(x), ne donnant les différences de la fonction qu’à commencer de l’ordre r, laisse indéterminées les r quantités

et par conséquent les r premiers termes de l’expression

= iSw-)- — (377),

au moyen de laquelle on passe de la valeur a relative à x = a, à celle qui se rapporte à x = a-hnh.

395. On voit donc qu’ici, comme pour les différentielles, l’intégration introduit un nombre de constantes arbitraires égal à l’exposant de l’ordre; mais il y a cette différence, que les quantités qui disparaissent quand on passe aux différentielles, sont absolument constantes , au lieu que, pour se détruire quand on prend les différences, il suffit qu’une quantité demeure la même lorsqu’on passe de x à x A : et il en existe G‘éd. II. , 3

de leVIes ; car il est visible que l’expression

(' . 2 nx 2 TT X \

qui devient alors ? [sin ^

2irx

COS “t" , *■ ' '

jôuit de celte propriété, quelle que soit la forme delà fonction y. , ' . -

On fait entrer en même temps le sinus et le cosinus dans la" fonction, afin qu’elle ne redevienne la même que par le chanr' gemenl de xen x±/i, ce qui n’aurait pas lieu pour une fonction qui ne contiendrait que l’un ou l’autre, puisque

(I 27rx\ . / I 2irx\

/ 27rx\ / . 2irx\

' . COS I ir ^ 1 = cos I '

nous donnerons dans la suite la construction géométrique de - ces fonctions.

396. 11 est à propos de remarquer qu’en prenant l’intégrale de chaque membre de l’équation

Am-I-AV AtV = A(«-|-('':— iv) (376),

il vient

Z(A«-t-A(/ — AM')'=«-(-V — tl’ = îAt<-|-IAv — ïAtV,

ce qui ramène l’intégration des différences polynômes à celle des différences monômes. . ' .

De même l’équation , . '

«Am = a.«m ' ■ ■ ■

donne

2;aAM = aM=:a2AM, ’

par où l’on voit que les facteurs constants passent, comme on veut, sous le signe 2 ou hors de ce signe!