Lorsque f(ar) est rationnelle et entière, l’expression
Tle Un, en se terminant, en donne l'integraie exacte. En effet, si m désigne l’ordre auquel les différences de cette fonctiqn sont consumes (380), comme de S'Un = t{x] , il suit û"f(4?) = et que cette dernière différence est constante, on a sur-le-champ '
' Un U “H ^ A W H” ’ • U • • » f '
n(n — i). . .(n — r — nM-i)
M, A U, A’ M, etc. répondant à a: = « ; et si l’on fait a -|- nA = x, Un se changera en «,. ' •
. En posam, pour abréger i f (x) v,, il viendra
A'U^v, A'-*-' U ~ Am, . . . , = A"v;
U et ses différences jusqu'à l’ordre r — i inclusivement demeurent arbitraires, ainsi qu’on l’a déjà vu. . -,
Soit pour exemple^
. I AMi = x*— 5x’-(-6x— J, -•
l’accroissement de x étant i ; on aura r= i, m = 3, A= i, et si l’on suppose a = o, on trouvera '
d’où
-= M — I. - H-2. — ^ -J —4.— i LA- —
3x^ — 26x’-4- 6qx’ — '58x = 2 const.
La formule générale de cet article comprend le cas dans lequel la valeur donnée pour Au, serait constante : on aurait, alors A’u ou av = o. ' ~ »
On voit immédiatement aussi que
ax-^ ah — ax
à.ax
donne, en intégrant le premier et le dernier membre, • '
la = -T- contt., ‘
d’où
fl ' .
398. Quoique la formule précédente suffise pour toutes les fonctions rationnelles et eiftières , il est à propos de faire cop*nattre quelques autres expressions qui ont aussi des avantages qui leur sont propres; et pou^ commencer par celles qui sont les plus simples, je m’occuperai d’abord des produits composés de facteurs équidifférents.
' Soit • ^ ,
M = ar (ar-t- A) (ar + 2 A), . (m— i) A] ;
si l’on en prend la différence, on obtiendra
AM=(x-+-A)(x-i-2A)(a; + 3A). ,.{x-\-mh)
— a:(a:-t- A) (ar+ 2 A) . . . [a:4- (w — i)A] - ' = («-(- A) (a?-t-2A). . .[a:-f-(/w— i)A]mA; •
Au 2A U et comme ï — r = — rmn mh
on aura
■ ) p^rrif.
Si, pour ramener à m le nombre des facteurs affectés du signe 2, on écrit maintenant a: — A au lieu de x, et m + i au lieu de m, il viendra '
Zar (ar+ A) (a: 4- 2 A [a;-i-{m — >)^]
[x — h) X [x h) (ar-4-2A) . . .[x-\-[m — >) A ]
ET des' séries.
t>n voil [ci que dans l’intégrale, le nombre des facteurs surpasse de l’unité celui des facteurs de la différence, et que le diviseur est m -H i, ce qui est bien analogue à la formule
' ■ fx"dx= im).
On intègre aussi la fraction . . ^
x[x + /i) . .[ar-f-(OT — i)A]*‘
parce qu’en prenant la différence, on trouve
^ (ar-l-A) [x-\- *A) (x-t-3A)...(x-t^/n/t)
x[x~hh][x->r^h)..\x-\r[ni— i) h]
X (a?-i- A) (jc.-i- 2/1). . . [x-^mh] ’ ,t repassant aux intégrales et mettant pour u sa valeur, il vient
x{x + h) (a: -+-2 A). , ffiA) mh
mAr (a?-f-‘A) (a: -t-2 A) . . .[x-H (m — i) A] ’ et si l’on écrit w — i au lieu de m, on obtiendra
£ x(x-\-h) (ar-l- 2A) — [x-{-[m — i)A]
(w — 1) Ax [x-{-h) (ar-f- 2 A).. (/n — 2) A ] ,,
399. Les formules ci-dessus peuvent servir aussi à l’intégration des fonctions de la forme
A Bx® -4- G X'' -h etc.,
parce que ces fonctions se transforment en produits de facieprs dont les différences sont constantes- Pour le. faire voir, je
choisis cel exemple irès-simple : x*, el je fais • *
ic’ = (a? -h A) (a? -)-2 A) {a?+ 3 A)
-H A (ar+A) (a:+’aA)-i- B(a:-f-A) + C,
en supposant que A désigne l’accroissement de x. Si l’on développe, et qu’on ordonne suivant les puissances de x, on aura .
' ■ x’ = a:*-|-6Aa?’ + 1 1 A’a; -)-6A*
+ \x’ + ik/tx -{-2A.h^ ;
Bar -(- B A ,
ri"(C ;
et comparant entre eux lés termes affectés de la même puissance de X, on formera les équations ^
Il A’-+- 3 A A + B = O, .
. 6A^ -1- 2 AA’ -t- B A + C = O,
desquelles on tirera . - ' '
A=— 6Ar B=7A’, — A’, ^ ^
ei
a’ = (ar-t-A)(a:-|-2A)(a:-i-3A) — 6A(a?-i-A)(a:-t-?A)
