On a vu. (27) que

+ etc.,

et il suit de cette formule que

du h

dn*' A* .

* * dar I

dar’

'duA

dii’

dK’ .A’ . ‘

. dar I

dar’

* dar* 1.2.3*

Si maintenant on transporte les exposants des puissances de d« à la caractéristique d, le second membre de l’équation précédente deviendra - . .

du h ‘ di‘ a h' d’n '

-H etc.,

dx I , do:' 1.3 d 1 . 2 . 3 et sera ^a même chose que. Am; on aura donc

' ■ ‘ I * du , . * • »

pourvu que dans le développement du second membre, on transporte à la caractéristique d les exposants des puissances de du.

D’après ce résultat, Lagrange a remarqué le premier qu’on avait en général

en observant tpujours de transporter à la caractéristique d les exposants des puissances de du.*

Depuis, on a simplifié cette manière d’écrire, en posant

. Au= \e“ — i/M, A"« = — 1/ U ; . ' .

car il n’y a plus rien à changer dans le développement; mais* il faut bien se rappeler que la lettre d exprimant une caractéristique et non pas une quantité, les équations ci-dessus ne deviennent effectives que par le développement de leur second ■ membre. Voici comment Laplace a démontré ce beau résultat.

Il est évident, par ce qui a été dit dans le numéro précédent, que, quelle que soit j’expression de A" «, on doit avoir

'i" + A' ^ -H A'; A-» H- etc.,

A', A", etc. désignant des coefficients qui ne dépendent que de n. Cette équation devant subsister pour toutes les formes que peut prendre la fonction u, conviendra nécessairement au

cas où M= e*; mais alors

Hu =e*+*— e*=e*(e*— i), A»M=(e«^e*)(e*— i)=e»(e*— 1)‘, AV< = e*(«!^ — A"Mz=e*(e*— i)«.

Substituant cette valeur de A"m dans le premier membre de

l’équation posée plus haut, et celles de etc., dans le

dx dx\ ’

second, il viendra

(e*— i)» = A-+ A7j'+' -f- A‘'A*+*+etc.,

d’où il suit que les coefficients A', A", etc. doivent être les mêmes que ceux du développement de (e^ — i)", puisque l’accroissement h doit demeurer indéterminé. Il ne peut d’ailleurs exister aucune difficulté à l’égard des coefficienu différentiels de U, qui se déduisent tous des puissances de d m par le changement indiqué dans les exposants.'

La même relation entre les puissances et les différences seretrouve dans les fonctions d’un nombre quelconque de varia-

Lagrangc a encore reconnu que cette équation serait' vraie, si dans le développement de l(i-t-A«) on transportait à la’ , caractéristique A les exposants des puissances de Am; on au- ' rait par ce moyen '

Au lieu de m’arrêter à démon'trér ce cas particulier, je vais prouver qu’en général r-

blés, et se prouve d’une manière analogue.