Deuxième propriété des fondions r. La propriété que
nous allons établir permet de réduire à l’intervalle d’une
^ unité dans lequel il est nécessaire d’effectuer le calcul de la fonction r; ejle, donne, par exemple, les valeurs de cette
SUR LES IXTF.r.RALES EELÉRIENNES.
fonction comprises entre - et i lorsque l'on connaît les va-
leurs comprises entre o et -•
Remarquons d’abord que l’équation (6) donne sans difficulté la valeur de r 5 si en effet on pose p = y = on aura par les formules (6) et (3), en se rappelant que r(i) = i.
dx
V^jr(i -t- x)
ou, en changeant x en a’, dx en zxdx.
2 • — = TT , 2 ’
d'oti
li’Cf>t le résultat auquel Lacroix est arrivée par une voie différente au n“ 430 (pagje'jg), car, en faisant P~ ^ daus la formule (2) et écrivant a?’ au lieu de x, on a
r = ajf " dx = c-'Vx.
Mais la formule (11) n’est (|u’un cas partiailier de celle que nous nous proposons d’obtenir. Si dans la formule (6) on fait q z= I — p, P étant supposé ici compris entre o et i, il vient, à cause de r ( 1 ) = i ,
et à cause do la formule '4 '■> '
dXi
NOTE
Supposons que P soit une fraction ayanl pour dénominaleur ' • • • : I l’entier » et posons a: = a*", il viendra L .. ».'■
dz;
le produit np étant un entier, la quantité qui multiplie dz sous
le signe .y est une fraction rationnelle dont le dénominateur
a un degré supérieur à celui du numérateur;' en décompo- ^ ■ sanl cette fraction en fractions simples, il vient . ' , • . f'.
' f* , 4sin(2/-f-i)»7rsin^-^^^'7T
~ ^ I âT+nTy ■ .. - ’ ‘ ‘
.i=o / U— cos -77 -t-sin’ .7: .
^/o \ an / . an . ‘j ■
' posons ■ , .'V
* — cos -T777=sin TTtaneo, «z=sin^ k — L-,. / .
an.. ; ,an ; V m cos’® 7..;'
<f étant un angle qui croît de>
an 3 ■ . -an 3 '
. , • quand 2 croît de o à" i ; l’intégrale relative à 2 qui ligure sous " / ^ ' - le signe V deviendra , ,
f df ou ' 277 (
ÀH ' 2
et en écrivant n-;^ I — i au lieu de i, on aura . '
. .. r(p)r{i~p)'~^^ y (2 7-t-i)si'n(ai-+-i)/)77.
Cela posé, on connaît la formule ^qui donne la somme des .
■ • Q‘igifLZ;ea ^ Ï30 6gle
■■•nC.'» >.V7 •* .» . 'î ■
SrR LES IIVTEGRALES EULKRIENNES.
cosinus de n arcs en progression arithmétique, savoir :
sm — cos I rt H h ) . • \ ,,
sin -
2 cos<a-t-/7i)
(voir ma Trigonométrie, p. 2?.). En faisant /i = 2«, il viént .
VS / • . sln2«rt
2 sin a
formule qui, dlfféreniice par ràpport à a, donne
V • jv 7.'
2 , • I . , ■ . ■ ' cos2«rt sin2/irtcos«
{2/ -h I ) sm ( 2 1 -i- 1 )rt == /I
sin a
siiPrt
. ■ si l’on fait « = /7ir et qu’on observe que an/^ir est un multiple.
T ■ , entier de la circonférence, un verra que le second membre
ir • ’ n
. . . ' de la formule précédente se réduit à
r sm^;r
r.. , . ' ' sm/)T
on aura donc
^ ' • Telle est la formule qui exprimera deuxième propriété do la
rs-; r , fonction r et dont l’équation (11) sc tire immédiatement en
% ‘ faisant p = -•
^ démonstration que nous venons de présenter n’exige, liTT' , • . comme on le voit, que les principes los plus élémentaires; elle
suppose que p est un nombre commensurablc, mais la for- '*’* mule {12) s’étend naturellement à toutes les valeurs réelles et 1 positives de à cause de la continuité de la fonction r(/>); • ' on voit que cette formule donnera r (p) pour les valeurs de p
l-; • . comprises entre - et i si l’on connaît cette fonction pour les
valeurs de /» comprises entre o et -• ,
' : >rî
ms . ^ * 1 •• ' .-r. ■ ’i „
ri
‘ ‘ 5. Troisième propriété des fonctions r. Si l’on suppose, ’.
‘ 5 = />, la formule ( I ) donne ► . , , * , - <
-''T ' On voit que le coefOcient de dx sous le signe 1 prend des -
• r égales quand x reçoit les valeurs - -f- A et ‘ --7 k éga- • ,
. lëment distantes de il s]ensuit que dans la formule préce- 4 ’
, dente on pourra prendre - au lieu de i pour limite "supc- \.- •’J ■ rieure, pourvu qu’on double le résultat. On aura ainsi '• \ .
* ' ’ Si l’on fait maintenant ^ == - yr, dx=z — y -j=r les limites . ' - :
. ' de l’intégrale relative à j seront i et o; en renversant ces - <
' V . limites et changeant le signe' du résultat, on aura ^ ^
' c’est-à-dire
et si en faisant usage de la formule (6) on remplace les B par ■ ” leurs valeurs en r, puis qu’on se rappelle que r '
viendra
Cette équation (i4) exprime la troisième propriété des fonc- , ^
■' , < ' •• pigitjzèd^i); Gôogli'
Sl'R LES INTÉGRALES EITLÉRIENNES. 829
lions r; elle est contenue dans une autre beaucoup plus générale que nous établirons bientôt.
6. Représentation de la fonction log r(a;) par une intégrale définie. Si l’on différentie la formule
et qu’on représente par r'(a. ) la différentielle de r(ar) divisée par dx, il vient . ^
■.r'(x)= I a-'"' log « fi?a,
’ Jn
la caractéristique log désignant ici un logarithme népérien. La formule (5), où l’on fait p=i, donne
.si l’on multiplie cette formule par </a et qu’(»n l’intègre ensuite entredes limites i et a, on aura
en remplaçant log a par cette valeur dans l’expression précédente de r'(a;), il vient
le second membre de celle formule est une intégrale double; on peut intervertir l’ordre des intégrations et écrire
L;i première des intégrales qui tigureiit dans la parenthèse est r(a^); la deuxième a pour valeur, d’après la formule (5),
C* cui. 11. ^ 3’2
•El£)
