SOTE
• On a donc
on, en divisant par r(ar),
d logr(jr) dx
Jo
si l’on multiplie les deux membres par dx et que fon in- tègre ensuite entre les limites i et x, il viendra, à cause de log r ( I ) = log I = O,
On peut simplifier cette expression de logr(a;) en opérant comme il suit : en faisant ar = 2, il vient, à cause de logr(2)= log I =o, ^ ,
"“Jo L 10g(. + 2)J 2 ’ , •
et si l’on multiplie cette équation par x — i, puis qu’on la retranche ensuite de la précédente, il viendra
(i-t-2)-'— (i-t-z)~n dz
logr(a:)3= J — i)(i-i-2)'
enfin, si l’on pose log{i-4-2) = «, 2 = e“— i, l’intégrale relative à a devra être prise entre les. mêmes limites o et ao , et l’on aura définitivement
(i5)^ logr(ar) = j. *
7. Développement de la fonction log r(a:) en série. Si I on différentie l’équation (i5), il vient , . ^
djogrii) ^ r ) d., ■
dx . f Jo \ « I — a “/
%^ti2ed by (Soogl
SCR LGS ISTIÈCRALES ECLéRIENNES.
ei en différontiant de nouveau,
</’ log r (
dx'
x) r* ae J
remplaçant le facteur — — — - par sa valeur I — e “
il vient
rfMogr(x) dx
r”e-“'arfa+ r T* +-*)*</=<
ou, en évaluant chaque terme au moyen de la formule (5), <f’logr(a:) I I I 1
dx'
x' ( a: -I- I )* {x -h 7.y ( ar -t- 3 )’
formule dont le second membre est une série qui reste convergente, quel que soit x.
Si l’on intègre les différents termes de la formule ( i 7 ) multipliée par dx entre les limites i et x, on aura
rflogr(a;)
dx
.c+L-l)+(^ — uU(: — !U,„, ,
\ xj \a x+\j \3 ar-(-a/
et la série qui figure dans le second membre sera convergente comme celle d’où elle est tirée par l’intégration; quant , à la quantité — C, elle est évidemment égale à la valeur que
. .... - </logr(a:) '
prend pour a; = i la denvee et I on aura, par le-
quation (16), • ' > '
cette quantité C est connue sous le nom de constante d’Euler; nous verrons tout à l’heure comment on peut calculer sa va- ' leur. ; '
NOTE
Si l’on inlcgre entre les limites i et x la l'orinule (i8) multipliée YOtvdxy il viendra, à cause de log r(i) = o, .
logr(a;)
^ C (.T - 1 ) -t- - log
j^(£^.og^).
-log
formule dont le second membre est une série convergente comme celle de la formule (i8). On peut se débarrasser aisément de la constante C; si en effet on pose ar == a dans la formule (ao), il vient
( O = - C -t- (^ - log 2) + (1 log -H ...
-i- I log .) -h.--,
\m ^ nt /
(ai)
et si l’on retranche de l’équation (ao) le produit de l’équation (ai) par ar — i , on aura
logr(a:) =
(ar— i)!og-— log
(a7-i)log - — log-^ |-l-...
^ — i)log iog
' f rn m
ou, pour abréger,
f7I = îO
(a3) logr(a:)=2)[(^—
Désignons par log (i + e„) la somme des termes qui suivent le ;n"”“ dans la série (aa) ou (a3); comme cette série est convergente, la quantité s„ s’annulera par m =c <x> , et l’on aura
logl'(.r)= |(a — ijlogi — log‘Yj + ..-
O't'g— 7^; : + log(r
SUR UES INFÉGRALES ElTUÉRIENNES. 33
OU, en revenant des logarithmes aux nombres,
comme le facteur ^1 + se réduit à i pour /n = 33 , on peut le supposer compris dans i + e,„ et écrire (1.2..
c’est-à-dire que l’on a
(25) r(ar) = litn
:> pour m= 00
Remarquons encore que la formule (2i)'donnc pour la constante d’Euler *
G=:lim , .4-^ — log/n^, pourm = co.
8- Développement de la fonction logT{ i ‘^-x) en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x poulies valeurs de x comprises entre — i c/ 4- i •' Si l’on change X en JT 4- t dans la formule (17), il vient
dx‘‘ (j7 4- i)’ (a?4-2)’ (jf 4-3)'
et, en drfférentiant n — 2 fois,
1 <f'’logr(i4-jr) f— 1)“
