III
Sb— -i4 —
on aura, pour x ~o.
f/"log r( i 4-x)
dx'^
i-rl-
334 ' ®®te
si n est > I, el l’on a d’ailleurs, dans la même hypothèse,
d log r ( 1 -^x)
dx
-Cj logr(i+j:) = o;
la formule de Maclaurin donnera donc, pour les valeurs de x comprises entre — let-t-i, ‘ '
(26) Iogr(i-f-jc) = — -I- — Sj ~ —
cëtte formule n’est pas commode pour le calcul, parce que les sommes S décroissent peu rapidement, mais on peut obtenir des séries plus convergentes; si à la dernière équation .bn ajoute la suivante . '
O = — log(i -|-:r)-|-a; — - -f- ^ '
il viendra
logr(n-jr)= — Iog{i-i-x)-hri— G)i
les termes de cette série décroissent assez rapidement, mais, oii peut encore augmenter sa convergence. Si l’on change x en — X dans la formule précédente, il vient
tlogr(r — x)a= — iog(i — ir)— (i — C)x
Mais un u ,
r{i-\-x) = xr[x\, . r{jc)i'(i— .r) et, en multipliant.
sin rrx
sin nx
d’où
logr(i-f-^)H-logr{i — j;) = log^
Itx
sin nx
Ajoutant celle équation avec l’équation ( 27 ), relranchaiU en-
svn U<>i niTÉGBALKS KIILÉUIENNES. 335
suite l’équation (aft), et divisant le résultat par 2, il vient *
,Iogr(i-t-2.)=;ilog^
sinTT^t*
-log C)x
D’après les propriétés dénjontrées plus haut, la fonction r sera
connue pour toutes les valeurs positives de l’argument si l’o»
connaît cette fonction pour les valeurs comprises entre o et
~t ou entre - et 1, ou entre i et 1 H — j ou etc.; or 1 equa-
lion (25) permet do calculer très-rapidement logr(i-h,r)
pour les valeurs dex comprises entre o et Dans son Traité
des fonctions elliptiques, Legendre a donné avec seize décimales les valeurs de S, depuis « = 2 jusqu’à n = 35.
Si dans la formule (29) on fait ar = i et x = ce qui donne
r(2r-t-i).— t el r{x-+- 1) = ^ on aura deux équations
qui pourront servir au calcul de la constante C; on trouve.
en observant qqe log —
sinirj;
-l-log(i — x) = opour-2: = i,
I — C = -loga-H2(S.“i)'l-5(Si — — ']*!“•••»
. — C = log^+.^(S.- 1 )4-5^{S.- I )-i-^(S,— 1
quatorze soinmes S suffisent, par ces formules, pour obtenir C avec quinze décimales; on trouve ainsi
(3o) C = o, 57721 56649 oi53a 8;
nous ferons connaître, dans la Note suivante, un procédé plus expéditif piour calculer cette constante, procédé qui n’exige pas le calcul préalable des sommes S.
