C -4- log 4 ^pOUrÆT=c;iy

Si la quantité x se réduit à un nombre entier, la formule (3i) donne , .

d logr (x ]

dx

c’est-à-dire

«/logr(x

dx

la somme contenue dans le second membre de cette formule est connue sous le nom de suite harmonique.

10. Détermination du minimum de la fonction t'{x). L’équation (17) montre que la fonction posi-

Digilizedbv Uoogli

SUH LES INTÉtiRALES EITL^RIENNES. 337

tive pour toutes les valeurs de la variable x supposée réelle

d 1 o£ r ( JC ) i'^ f JC i •

et positive ; en conséquence, la fonction — - ou

est constamment croissante; d’ailleurs on voit par l'équation (i8) que cette dernière fonction est égale à — co pour X =o, et à -i- 00 pour a: = -(-«> . Il suit de là que la dérivée t'(x) ne peut s’annuler qu’une seule fois, et par suite que la fonction l'{x) n’offre qu’un seul minimum. Ce minimum a lieu nécessairement pour une valeur de x comprise entre i et 2, puisque l’on a r ( 25 = t'(i); quand x est infiniment petit, la

fonction r(o?)= ~ infinie; ‘quand x croît jus- ■

qu’à 00 , r(a;J décroît jusqu’à ce qu’elle ait atteint son mini- mum, et elle croît ensuite jusqu’à co ,

Si l’on veut obtenir la valeur de x qui répond au minimum . de r ( I ar), il suffira de déterminer la racine positive unique

, „ ' . ,, . rflogr(i -Ha,-) ^

de 1 équation r (i -h a) = 0 ou =0. Cette équation, d’après la formule (27), est ■' • .

0 = - ^h(,C)-h(S.— ija — {S,— ■

on reconnaît facilement que la racine est comprise entre 0,4 ' et 6,5, et l’on trouve par les méthodes d’approximation connues - . i

,1 -Ha; = 1 ,4616321

on obtient ensuite, en faisant usage de la formule (27) ou de la formule (28), ^ - ' .

logvulgr(i 4- x)= 1 ,9472892, .

d’où ’

11. Remarque sur l’interpolation de la fonction numérique 1.2.3. , .'(.r. — 1). ' ' ^

Puisque l’on a , '

quand x est un nombic entier, la fonction r(a-) peut servir.

aiasi que Lacroix en a fait la remarque ( n° p. 84), à rinterpolation de la suite dont le terme général est i .2.3. . . { — i). La formule précédente exprime en effet ce produit parle moyen d’une fonction continue de x dans laquelle la variable est sus-

cepüble de recevoir toutes les valeurs réelles positives et même toutes les valeurs imaginaires dont la partie réelle est posKive. Mais la formule ( a3 ) ou ( 25 ) fournit un mode d’interpolation beaucoup plus général, puisqu’elle permet d’exprimer le produit i .2.3. . . (x — i ) par une fonction continue dex, dans laquelle la variable peut recevoir une valeur réelle ou imaginaire quelconque. Comme ce résultat est d’une extrême importance, il n’est pas hors de propos de faire voir que les considérations les plus élémentaires conduisent immédiatement aux formules ( 23 ) et ( a5 ), lorsque l’on cherche à interpoler la fonction numérique i .2.3. . .(x — i)

. Soient donc x et m deux nombres entiers positifs, les x — r fractions , ,

, m -1- 1 ’ W-H2’ ’ OT-t-x — r’.

tendront vers l’unité si m tend vers l’infini, x restant constant; il en sera donc de même du produit de ces x — 1 früctipns, et l’on aura ' '

U étant une quantité qui s’annule pour m = 00 ; multipliant les deux termes de la fraction du premier membre par i . a . . m et chassant le dénominateur I il vient

et en multipliant les deux membres par i . 2 . 3 . . . ( x — t ), on a

Ou >

■ Digitizcd

SCR I.ES INTÉGRALES ECLÉRIENNES. 33p

C’est précisément la formule ( ^5 ) dans le cas dé x entier, et l’on en déduit sans difflculté la formule (23).

Dans les recherches qu’il a entreprises sur cet objet, Gauss a pris la formule (25) pour l’expression générale de la définition der(^), et M. Liouville, adoptant ensuite le même point de vue, est parvenu à plusieurs résultats intéressants (*); on voit, ‘ par ce qui précède, combien celte marche est naturelle. D’après l’analyse que nous avons développée, le second membre 'de la formule (aS) est une série qui reste convergente par toutes les valeurs positives de x, et par conséquent dans la même hypothèse le^second membre de la formule (aS) tend vers une limite déterminée. Mais pour justifier la nouvelle définition des fonctions r, il est nécessaire d’établir que la même chose a lieu pour toutes les valeurs négatives ou imaginaires de X. On voit d’abord sur la formule ( a5 ) que r ( x) est infinie lorsque x est égal à zéro ou à un nombre entier négatif quelconque; ce cas étant mis de côté, je dis que la série de la formule ( a3 ) est toujours convergente. En effet, le terme général dans lequel on suppose m supérieur au module Aq x — i , est

{x — i) {x — a) am’

Sm désignant une quantité qui s’annule pour m = % ; il résulte de là qu’à partir d’un rang suffisanament éloigné, les termes de

la série (a3) décroissent comme les termes de la série '

donc cette série est toujours convergente, et par suite le second membre de la formule ( a5) tend vers une limite finiejet déterminée. ■

12. Démonstrations nouvelles des propriétés de la fonction- '

(*) Voir stfr CCI objet mio Note de M. Liouville, insérce au tome XVll du Joavnal de HalKrmttiiiues parfi ft appliquée!. •'

XOTK

r(a:). Les propriétés de la fonction rétablies plus haut découlent initnédiatemeiit comme on va voir de la formule (aS). '

Première propriété. On a

a- ( JT I ) . . . ( Æ' -f- -

, , { 1 . 2 . . . ni I ni” . ,

r(ai -4- I )= P ; : ; 1 1 -I-

d’où, en divisant, .

et, en faisant w = 00 , il vient '■ " '

r(ic4- i) = ^r|x),

ce f|ui est la première propriété do la fonction r. • ^

rfc • ' ** t ' i J'

Deuxième propriété. Si l’on multiplie entré elles les deux équations ‘ -

( 1 . 2 ... ni) m~”

( I + Sin ) >

il vient

^ l'on fait m — CO , le numérateur se réduit à i et le dénomi-

nateur à - sinTr,^:, à cause de la formule connue

sin^

on a donc

SniTr^-

SITR L|;H l\TÉ<iR AI.es KULéniENNES. 34 1

ou, en niullipliant les deux membres de cette formule par x,

ITX

sinTTjr

Troisième propriété. La troisième propriété de la fonction r n’a été démontrée au n° 5 que dans un cas particulier, nous allons rétablir ici dans toute sa généralité.

Soient x une quantité réelle ou imaginaire quelconque, n et i deux entiers positifs; si dans la formule (24) on remplace X par il vient

si l’on donne à i les n valeurs o, i , 2, . . . , n — i, et que l’on multiplie entre elles les égalités résultantes, il vient

■ ' fi4-l

r{j:)r (x-i — ) r ( r (xh )= J : r(n-e«i),

désignant toujours une quantité qui s’annule pour m —<x> . Mais l’équation (24) donne aussi, en remplaçant x par nx, et écrivant mn au lieu de m, ,

nx{nx ->r \). ..(nx + mn — 1) des deux équations précédentes on tire

r(x)r(x-^^)r(x+2)..r(xH-V)

n“"*r(nx) ÏZH

( I -f-xiB ),

£„ désignant encore une quantité qui s’annule pour m = oc . l.a limite du second membre de cette formule est une fonction de n indépendante de x\ en la désignant par y (rt), on aura .

NOTE

la foncliori ff/i) étant dcfioie par la formule ' - . ,

®(n) = lim — — ; — : (pour/»i = oo). •

Si l’on fait

(i. a. . . mn)m ’

on pourra écrire aussi

y (n) = v'» lira = v'oA, en posant, pour abréger, ,

on a aussi, en changeant m en 2 w,'

A„ = limtiiîiîî4',

puis

A«=^«=lim

A« • i|((2/n/t)' - ’|<(amre)

mais les quantités lim^li^îLll gj sont égales à A,;

iJ»(2ot) , i)/(2/nre)

donc on a • ‘

- A„^AÎ~' et .*ç(n) — ^nA?“'; quant à là constante A] , sa valeur est

îm — î

am — I i

d’après le théorème de Wallis [voir page 78) la quantité sous le radical a pour limite 4^ ou 2»r; on a donc -

" ■ f . Aj— :v^, ^

par suite

SCB LES imrÉGRALES ectlérieknks . ' 343

(35) r(j7)r^a: + ^j---r^a;-t7 (2«r) « *r(na:).

Telle est l’équation qui exprime la troisième propriété de ta fonclion r; en y faisant n = 2, il vient -

r(a;')r^ar4-'^^ =«^a~“^.'r(2r),

ce qui s’accorde avec le résultat que nous avons obtenu au n®5. ' '

La démonstration que nous venons de présenter de la formulé { 35 ) est directé et ihdépendante des autres propriétés de ,1a fonction r. Pour déterminer la constante Â>, on aurait pu se

servir utilement de’ la relation = ainsi en faisant

^ z= - éi n = 2 dans la formulé ( 34 ), on aurait eu ^ ^

. . V^ — -T(2) = -^Aj,’ d’où Aj = V^27T, i

comme nous' l'avons trouvé, autrement. Enfin on peut obtenir très-simplement la fonction f(n) comme le fait Legendre, en se servant de la deuxième propriété deS fonctions r; posons en effet x=o dans la formule ( 34), après avoir'remplacé r (a;) par

r(ar-+-i) X{itr -l-i) . . ■ *

-J-' ' et v{nx) par ■> il viendra

> X ^ Ttx ^ " • .

ou, en renversant les facteurs, , / ‘ J,. ' ;

NOTE I.ES INTEORALES EEEEBiBNIlE».

inuUiplianl ces deux valeurs de ~ <f{n), el observanv que

-» on aura

fr n‘

. TT . STT . (n — Ott’

sin - sin — • • • sin ^ —

mais on sait que le dénominateur de celte expression est égal à donc '

(j>’(n) = H (2 7r)"-' Cl <f{n,) — \/n{7.v) ’ ,

■ , ' ' . ’ comme nous l’avons trouve plus haut.

Pour compléter l’exposition de la théorie des intégrales . eulériennes, il nous reste à faire connaître la formule de Stir~ ' ling, par laquelle on peut évaluer le produit i.2.3. . .a: ou la fonction ,r (2: + 1) quand x est un très-grand nombre. Cette importante question fera l’objet de la Note suivante. ..

SUR L’ÉVALUATION APPROCHÉE DU PRODUIT i '2.3. ..x, . ' |

LORSQUE a: EST UN TRÈS-GRAND NOMBRE, SUR LA 1

, FORMULE DE STIRLING ET SUR LES NOMBRES DE - ’i