BERNOULLI

I. L» formule de Stirling exprimCj comme on sait, la somme des logarithmes des x premiers nombres entiers, ou plus gcnéralemenV le logarithme de l’intégrale culérienne de seconde' espèce r(x-+- i), par le moyen d’une série essentiellement divergente, et qui cependant peut être employée avec avantage pour le calcul numérique. Cette formule remarquable a fait dans ces dernières années l’objet des recherches de plusieurs géomètres, parmi lesquels on doit citer Cauchy, Binet, M. Malmsten et M. Liouville.

Les démonstrations les plus simples de la formule de Stirling reposent sur la détermination préalable de la dérivée

rflogr(ar-)- 1) .

" en sorte que 1 intégration introduit une constante arbitraire dans l’expression de la fonction logr(ar-t- 1). Pour déterminer cotte constantê, on peut employer divers procédés, et l’on y parvient, en particulier, en se servant de la formule connue de Wallis, comme l’ont fait Lacroix (p. 86fet M. Liouville.' Or cette simple formule de Wallis suffit à elle seule pour établir complètement celle de Stirling, et la déduction est si facile, que la deuxième formule peut être regardée avec raison comme une transformée de la première; c’ést ce que je me propose de faire voir dans cette Note.

( * ) j'ai commüniquc à l'Académie des Science^» dans la séance du a avril 1 8Go, les résultats que renferme la première partie de eetle Note.

O'éd. U. , 23

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