ar
ou le produit de cette expression par une exponentielle de la forme (f, a étant une constante quelconque; on pourra, donc poser, ea désignant par e la base des logarithmes népériens,
On lire de là
ï(ar-
1) e\ xJ ’ • ' , • ,
formule où la caractéristique fog' exprime un logarithme népérien. Or, tant que le nombre a; est plus grand que i, on a, en désignant par 0' et 0" des quantités comprises entre o et i ,
lOg I -4- - = ; ■3= : -4- ^ — : )
- ,, ".y. XJ. X zx\ X . 2X^ 3a;’
et, par conséquent, . ’ ‘
»Og (c -t- i) = . + p.= ' + I’
0 désignant une quantité comprise entre — 1 ôi -4- > ; donc
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‘ ; Sl’R LA FORMVI.F. DE STIRLIltC, ETE. 347,
on aura aussi, en changeant ar en .r 4- i, .r + t.x — i,
cl en désignant par 0,, Oj,.'. . , 9„, des quaniités comprises entre — i et -|- i , ‘ -
yÇjr4- i)^(x-n)’ f{x + 9.) '
En multipliant entre elles toutes ces équations et la précédente, et en observant que la Valeur absolue de la" somme
— -H; — -!-• • } r, esloioindrequc-: X x ou -,
oa pourra écrire • • '
e étant une quantité comprise entre — i et i; et si ^ devient infini, on aura , • '
—'t • ( pour ^ = a: ).
Si maintenant on divise l’équation (i) par l’équation (4), il
viendra ' , ,
(5) . ’ iji(a)=.i (pourar = oo),
c’est-à-dire,. a cause de la formule (2), • ■
■(6) \ .x.Z. . .X —\liTt e~^ X
en désignant par «, une quantité qui s’annule pour x — x>. 3.‘ Posons, comme’ dans la Note précédente, v r(x-f-i)==i.2.3...x, ,
un peut obtenir très-simplement l’expression complète du produit r(jc4-i), ou, ce qui revient au même, celle du loga-
NOTE
rilhmc népérien log r(,r-+-i). On a d’abord, par Ja fotmule(2), (7) lcrç;r(Æ.' + 0 — ^ iog27T — Æ -4- ^-*^"*"2) logar -4- log^f^r), ei l’on a ensuite rdcnUquemeni , , . .
mais si l’entier m croît indéfiniment, <f{x m-^\] tend vers l’unité, d’après Fa formule (5), et son logarithme tend vers zéro; on a donc , ^ '
iogî(^)=^ 2
m=so
'ou, d’après la formule (3),
(8) ' log<p(a;)= 2 [(•*■*■.'" + 9
el Ton aura i?n conséquence
/ log r.(ar + 1 )c= i log 2 TT — a: -1- -h - j log x
Cette formule, qui a été déjà rencontrée par Gudermann, se déduit presque immédiatement, comme 'on le voit, de la simple formule de Wallis.
' 4, Toute l’analyse précédente suppose que x est un entier -posiüf; mais le second membre de l’équation (9) est une fonction dans laquelle x est susceptible de recevoir une valeur quelconque; en exceptant le cas où x est un^ entier négatif, la série qui figure dans la formule (9) est toujours convergente; car ses termes, comme il est aisé de s’en assurer,
décroissent comme ceux de la sérié ^ j®
. SUR LA FORMULE DE STIRLISoj ETE. 3/|()
que la formule (9) subsiste, quel que soit x, on se conforT mant à la définition générale, que nous ?vons donnée tic h fonction r. Celte définition est exprimée par la formule {a3) de la Note précédente, qui donne, en remplaçant aT’par ar + > et
écrivant, soue le signe m -1- 1 au lieu de m,
m==co ^ '
(.0,) iogrcar+.)= 2 +
. ni «= O » • , ■ , ' *
Pour prou ver l’identité des valeurs de log r (a; 4- 1) données par les équations (9) et (10), il suffit de différcnlier deux fois ees équations; on tire de l’une et de l’autre ,
m=oo *
rf ’ log r ( a: -f- i-i I
dx'- ^ {a’-H ;/{ + 1)’’ ■ ' '
les seconds membres des formules (9) et (lo) ont donc leurs secondes dérivées égales; en conséquence ils ne peuvent différer que par une' fonction linéaire dè x; nwis comme ils sonl éggux pour les valeurs entières et positives de x, il s’en- ' suit que leur différence se réduit nécessairement à zéro.
5. Il est facile d’exprimer la fonction log f (x) par une inté- ' • grale définie. On trouve, «n différentianl la formule (8) deux fols de suite, * :
d là('<f{x) ' dx
m = oc
X + m } -r H- wi J,
- \ . ' m=cc
log y (y) ^ 1 J.JL V - ' .
dx' X 7X' ^ ( a; OT )*
fn ^ ô ^
Or on a, pour toute valeur positive de a.
35o N«TK
si (lonr la variable r rosie positive, on aura
</Mogii.(Æ:)
mais la quanülé ^ e~ "* '-''est égale ii r '^ — t «lonf
logyÇj.-) I -«T
Jo ^ /
iolégrant deux fois et observant que les fanètiOHS log <f{^} et
d log ? ( -r ) pour = X , il vient . ■
dx
(iij logî(>)
En portant cette valeur de log 9 (x) dans l’équafion ^9), obtient une expression de lôg r(x+i) qui a été oblehUepAr, Cauchy et que j’ai donnée depuis dans là Note XIV de ntou' Algèbre supérieure. J . . . ■-/ ' t
6. On peut tirer de ce qui précède la formule deStTrfiog; niais ' 'il estnécessaire pour cet objet de transforrnor la forinule’fi v): nous .nous servirons à cet effet des résultats .obtenus dans jt
Note précédente. Nous avons trouvé l’équation ^ ^
sin 1TX
ldgr(i log 1(1 — jf)= log 7r.r — logsiqjTX,
et, en differentiant,.. , . -V •’ ’
,'</logr(i+x) <flogr(i— x) I cos^tx
dx . éx ' î ’^sinTra? .
==- — TT^— I — 7=r— -p=;
.•■X. . i.-'TTJV'— I
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8VB LA FORMUIf DE STIRLING,-^ ETC. 35 1
mais on a, par la formule (i8) de la Note précédente, ,
et en changeant a: en — x
rfIogr(i — x)
dx
Si donc on porte ces valeurs dans l’équation (laf, on aura
2x 2x , aar'. / i /
cette formule, n’est autre chose que celle qui donne la valeur de cotTrx en une série indéfinie de' fractions simples ; elle se trouve démontrée d’une manière élémentaire dans plusieurs ouvrages, et notamment dans ma Trigonométrie; nous aurions donc pu la prendre ici pour point de départ; mais, outre qu’elle est établie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de x, il n’était pas sans intérêt de la rattacher aux formules que nous avons données dans notre théorie des
• fonctions r. Si l'on pose x = devient .
la formule précédente
or bn a, par la division, .
4m’7r’-(-a’ (2mir)‘^ (amir)
+--..dT;
r=ce.
[2 «ITT J’"*
e* désignant, pour abréger, la quantité dont la valeur est comprise entre o et i . '
Donnons^ OT les valeurs i, 2, 3,... jusqu’à l’infini, ajou-
- NOTE
^ ions ensuite tous les résultats, et remarquons que si l’on pose ' . 1 •
• •• * m=Qc . * ’ . , ! ■
(,2OTr )’
2/mr)’"-*^’
0 sera nécessairement compris entre o et 1, on aura, à cause de la formule (i3), - ' •
a 2 y ^ ( 2 »I Jr )*
pt=l
m = cc -,
fi5)
< (2nf7r}”+’’
et si l’on fait .Z" . '
,.2.3". 2« = 2’-=‘ ' il viendra - . • "
•la\i '•* 1.2,3. 4 ■ i.2.„an
0 étant, nous le répétons, une quantité comprise entre o et il • Ce^ résultat remarquable est dû à Cauchy; la fonction de a, qui constitue lé premier membre de la formule (i5), ne devient infinie que pour les valeurs de a comprises dans la foN mule a = 2/1 n — I, h étant un entipr positif, ou négatif, mais différent de zéro; il en résulte que cette fonction est développable en série convergente, par la formule de Machiurin, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de a dont le module est inférieul' à 2tr, en sorte que l’on a, dans cette hypothèse,
(16) - ( )= ^ 3-7a“rt-...±
mais la formiilc ( t^)T subsiste pour toutes, les 'valeurs réelles^
Sl?B LA formule' DE STIRLINC, ETC. ^ 353
de a, et elle fait connaître' l’expression du resta de là série ( i6), * lorsque l'on s’arrête au terme du rang n. ' •
Les coefficients B, , B», Bj, qui figurent dans' Tes formules (i5) et (i6), sont connus sous le nom de nombres de fiemoMf//,*. l’équation («4) fail connattre l’expression générale du ft'™' nombre de Befnoulli; mais cette expression çontfent la transoendante ir et en outre la sqmme d’une série indéfinie/
• Il est facile de calculer successivement les nombres B qui sont tousrationnels; à cet clTet, considérons l’équation(i6)où nous supposerons <* <; 2« pour la convergence, de la série; si
l’on remplace ^ par la valeur égale -» il vient ;
a — « a I 1,2 1.2. 3. A . wi... .
