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les coefficients de .*’”,, il vicnl

-i.a./. (an-M) »i.a...an i.a.,.(in— i) i.j- i .2...(an-.-3^ i .3.3.4

l.i...(an — Sfi-i-l) Î.1...1/J. g

équation qui déterminera B„ si, l’on connaît B„ Bf, . . B„i,î en y faisant successivement n'= i , a, 3, . . . , il vient

I I 6 6 . 5 . 4 ti n ' . * •

* ^ — ’Bi 5— 7 B» -h Bj — O,

équations qui donnent' '

QO/ 2730

La suite des nornbrês de Bernd,ulli est, connue oh le voit, d’àbord décroissante, mais à partir de B, elle -devient indéfiniment croissante. ' . . . ' • • • ' .

7. Revenons maintenant à la formule ( i i J qui donne l’expression de log <f{x). Cette formule Sé réduit, en faisant usage de l’équation (i5),, à

f- *■ ' CC • > oc

' : SÜR I,A FORMITLR DE ST1RMN6, BT»;. . ' 355

Or on a (t/à/r fa Note précédcntô) ■ ‘ . ' * /

JC^ ’’ . ' I.2--3. (fi — i) ■ »,

" - •' •*■ . . ^ ■ |K>ur toute valeur dé l’enUe^^f*; en Outre, comme la quatuitée

rèsie comprise entre O et i', rinlégrale Ç ee““' «’"</« est-

positive et inférieure à J x'-dx, c’est-à-dire inférlcûre

< à — — ’ — » on pourra donc la représenter par 9 — »

' en désignant par 9 une quantité comprise entre o et i. D’après

• cela, la valeur précédente de log<(> (ar) devient , . . ■

et, en' portant cette valeur dans l’équation ( 7 on aura, pour ; i toute valeur positive de ar,

1’ Iogr(x-t-t) = ilo(}ï7r-,.r-(- + logi ’ V • .

■^1.2* 3.ix*, . f-' ^ ^ (in— , {2n+-i)(in-(-a)

la quantité 9 qui multiplie le dernier terme étant, nous devons , le redire, toujours comprise entre o et i,^ , ' ' • • •

Si l’On prolonge à l’infini la série du second membre,* on a • .la formule de Stirling, savoir: . ‘ ,

!log r {*•-(- 1) = jloc 2^ — *-+l ^X-(- log X

•* li, r ' n, t • ■ ■ , „i I ,

’ ' Mais il est facile de voir que cette série est divergente, quel- .

que grande que soit la valeur attribuée à a;; en effet, la valeur ,,

absolue du terme général t — — 'urf, est égale,' ■

d’ajirès la formule (i'4i,^au produit des deux quantités •

ârra ’ 2 W.V ■i jc .t '." -lux \ 3?^- * '}

NOTK

La seconde de ces expressions lend vers isj limite

quand n augmente indérinimcnl ; la première expression, aù contraire, augmente au delà de toute limite, car clic est un produit dont les facteurs inférieurs à l'sOnl en nombre limité, tandis que le nombre de ceux qui sont supérieurs à i , et même à telle quantité que l’on voudra, peut devenir plus grand que tout nombre donné. Il résulte de là que les termes de la série (20) croissent, à partir d’un certain rang, au delà dc.toutc limite, et en conséquence cette série est divergente.

8. Mais 11 est très-remarquable que la série de Stirling, malgré sa divergence, fournisse un procédé très-exact et trèscommode pour calculer logr (jr -i-i), et l’approximation que 1 on peut obtenir par cette voie est d'autant plus grande que x est -plus considérable. Effectivement, si a: est supérieur à i, les termes multipliés par les nombres B dans là formqlc de -Stirling vont d’abord en décroissant, et l’on voit par la formule •( i q)’ * que l’erreur commise en faisant usage de la formùle (aô) est toujours moindre en-raleur absolue que le premier des termes négligés. On aura donc la plus grande approximation possible en s’arrêtant au terme qui précède le terme minimum, et ce ternie minimum lui-même donnera une limite supérieure de. l’erreur que l’on aura commise, Par exemple, si l’on néglige complètement, dans la formule (20), les termes multipliés par les coefiieients B, l’erreur cornmise sera positive et inférieure

Br 1 , I . , • . .

7*^ t. 2 - — -■> “ pausc'de-B, ^ on aura donc

l0gr(x-J-l)>-l0g2 7r-:-a:-fr logx, .

lüg r (a? 1 )<[ - log 2 7t — A- + log ^ -h '

ou, en revenant des logarithmes aux nombres, .1

r(jc-

■ r (x 1 j^< v/?. TT e-* a: ( :• • . • . • . '

Jîn parlnni d'o cos foriifuîcs, on peut obioiiir-doux limites 'du

, Qigittzed ïy f ifioglf

. 51T. I,A FOB!illII.R lïE 'sTIRI.INS^ ETC.' 357

nombre de Bernoulli B„, dont l’une nous sera utile, dans ce qui va suivre. En posant, pour abroger, ■ . . • •

on.a, par la formule (^4), • ' . ' ■ ' ■ - .

15„ — — &2fl/ — — » . * -

frpù ron lire /. * .

■ ,1. -h- ^-) Sw B» i.à.3>.*^n.

B„- 4tp’ S,„- B, 2"-.'7r’"^' S,

mais, comrne décroît quand, (t augmente, on a • ■ (7.n + i){7.'n 4- a) - iX'^ i .2.3. ■ .?./t ■■: •;

' ' . B„ "~J7- B, 2>"''rt’'-î ’ .< ,.•

ou, à cause de B, = ^)

"■Ji"

là formule ( 24) donne une lirjaite supérieure de B„, on aura une' limite inférieure .du même nônibr» en remplaçant s,,, par I,' dans son expression exacte ; ü vient ainsi i' '

Si l’on remplace,!' (2 n-f-i) par sa limite supérieurei tirée des inégalités (a:!), dans la formule ( 2.47, et par sa limite inl'éricure, dans la formule ( aS), on aiira

(2ij )

le rapport de cos de.ux limites de B, est ~

,358 ' ;\oTK • ■ »

Les formules que'nous venons d'élalHir ont été données par . Cauchy ; elles permettent de déterminer facilenicin l’approxi- ^ mation avec laquelle ou peut calculer log r (a: 4-1 ) par la formule de Stirling. ■' . ‘ '

- Désignons par u„ la valeur absolue du terme de cette série qui dépend du coefficient B„, 01I aura \ ^

-1)2/1 ar”

Bn+i (2h— -.l)2j// •

la seconde de’ ces deux formules donne, à cause de. l’inégalité (23), . -

et l’on aura, à plus forte raison, • ‘ , ’ , •

. Donc «»+.i sera inférieur à u„ tant qu’on aura ;t < 3 a: ou /« = 3a-. Ainsi quand sc esi> i, la série de Stirling est décroissante ' dans les premiers termes, et si or est un nombre entier, ce décroissement aura certainement lieu jusqu’au terme’ de ’ rang 3a:, lequel sera luMneme plus petit que le terme suivant.

, Cola posé, désignons par t„ la valeur absolue de l’erreur commise en s'arrêtant; dans la série de Stirling, au terme multiplié par B,, on aura,“conime on l’a vu, ' .

■ (2 n 4- I ) (2 « 4- :») A-”**' ^ et, à plus forte raison, à cause de l’inégalité ( 23),

'/t *în+-l

et enfin, à cause de la première des inégalités ('îfi j,

• (» .r \tfnxj , ,,■ ■

limite qu’il est facile dé calculer par logarithmesj . 4

Nous .avons vu* que si x est entier, le décroissement des" ‘ . • *

Diétti.:ecl by tiijoglf

' srn |.A fOhmule de srutuNe, etc. . 35^

terme» de- notre série a toujours liea, jusqu’à oe que 9 soit •égal à 3a?; si l’on fait n = 3 jp, la formule (*7) devient ■

et parce que x est au moins égal à i, on aura à plus forte raison, ^ ^

■ SJ.

mais on ' . . . • ‘ , . - , , - • ■ -