NQTE sur I-A formule de STIRLING, ETC
et en mulliplianl entre elles les deux équations précédentes,
on aura,, à cause de la fortaule ( 36),' - . ,
Le premier membre de cette formule est une fonction ,entière de e*; par conséquent, en effectuant le produit indiqué, dans le second membre, il ne restera que deè termes contenant des puissances positivesde e‘; en écrivant que les termes en sont égaux dans les deux membres, on trouve^ ••
el, pour les valeurs de (* supérieures à I ,
.U. — I 3tl<2ll— l),..(2n — ^-n) .
mais les formules ( 35) et- (36 ) donnent '
(- T V‘ ^ *. -B, == rAi -t- A,-t- Aad” An—, ^ — A„ p „
on aura donc ' ' ' •
•An ’ L ,
r . . . tl ,•<* 3«l3n— .2»— I 1
-(-■)" '[("-•)“ '-înfn-î) i.3 ..(n-2)““ J
enfin, si l’on réunit les termes en re“-‘, (n^i on aura
* an anfan — i) ran(2n — '0 (an — a)1,^ a^’**”*
formule dans laquelle la loi de succession des termes est évidente.
note'\' '
, • SDK LA .
Par M, HÉRMITE.
On donne, comme on sait, lenom de fonctions algébriques aux polynômes entiers par rapport à une variable, aux quotients de ces polynômes et aux façines des équations dont le premier membre est une fonction entière par. rapport à l’inconnue et à la variable. Les fonctions que l’on appelle transcendantes sont toutes celles qui ne rentrent pas dans la définition que rtous venons de rappeler, pair exemple les exponentielles et les logarithmes, Ip sinus, cosinus, tangentes d’un arc de cercle, ou les arcs sinus, arcs tangentes, etc. Les fonctions de fonctions que l’on obtiendra par des combinaisons algébriques de ces premières transcendantes seront encore évidemment des fonctions transcendantes, et l’on voit ainsi comment on peut, quoique sans ütilité,. en multiplier indéfiniment le nombre. C’est eh quittant le champ de l’algèbre et en quelque sorte dès l’abord du calcul intégral, qu’on est amené naturellement ef sans effort à l’origine véritablement féconde d’une infinité de fonctions nouvelles, distinctes essentiellement les unes des autres, offrant pour chacune d’elles un ordre de notions analytiques propres, en môme temps que des caractères communs qui les réunissent en grandes catégories, et dont l’étude approfondie est l’un des objets les plus intéressants de la science actuelle. Deux géomètres illustres, Abel et Jacobi, ont attaché les premiers la gloire de - leur nom à cette étude, en posant les fondements de la théorie
NOTE srn i,.\ théorie
rtos Irmi.ioendnnles à différentielles àlgébiiques, dont lesloga-,
— ol les arcs de cercle l » fornieiU lès
termes' les plus'simples et les plus élémentaires. Après les logarithmes et les ares de cercle, ce sont \es fonctiqns,elliptiques auxquelles donne 'naissance l’étude des intégrales
dx
1 qui ouvrent la série des npuvclles
lonctionset en présentent le premier terme. Ce seront celles auxquelles sera consacrée cette Note, et dont on va essayer de donner une première idée en présentant l’esquisse de leurs caractères les plus saillants- . ;
Propriétés communes anx-fonctious circulaires et elliptiques
■ En rappelartt tout a l’heure la définition des fonctions algébriques, nous avons dit qu’elles comprenaient d’une part les , pOlynôrn,esetles fractions rationnelles, et de l’autre les racines des équations F {y, a:) = o, dont le premier membre est rationnel et entier, par rapport à la variable et à l’inconnue y. Dans lé premier cas, les fonctions ne sont susceptibles que "• d’une seulé et unique valeur pôur toute valeur réelle ou imaginaire de X, tandis que dans le second elles offrent autant de déterminations qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation ' supposée irréductible et qui sert à les définir. Une différence du même genre se montre -entre les .transcendantes simples, sinx, cos a;, tangvr'et arc sinar, arc cos a;, arc tanga;, les premières ressemblant aux polynômes et aux fractions rationnelles, comme n’é'lant susceptibles que d’une seule et unique détermination ; les secondes au contraire, en admettant une infinité,'Sont à cet égard comme les racines d’une équation dont
, lé degré serait infini. Et il en est évidemment de même pour l’exponentielle' c' et le logarithme qu’on peut considérer comme défini par l’équation transcendante ou de degrc infini er=zx. Ce rapprochement, qui s’offre au premier aperçu, se confirme et se complète par les remarque.^ suivantes. Pour
DES POlMmOKS ÉLLIPTIQIJES. -
loulc valeur réelle ou imaginaire dé la variable; on a
sin X = JT —
cos XX= \ — ■ •
t:ingÆ-=
■JT’ ^ , cr‘ . ■ .. .r'
et du fait même de la convergence des séries résulte qu’én les arrêtant à un terme sufïis’ammen't éloigné, les transcendantes se trouvent avec autant d’approximation qu’on le veut remplacées par des polynômes et des fractions. Tout au contraire, les développements : • • - ■ ■
log(.i-t-,r) =
arc sin/r = a -t- — -
arc lang a: = ar — - -- ^ — ,
ne subsistent qu’en supposant la variable moindre que l’unité, et l’assimilation approximative avec des polynômes n’ëst possible que dans un intervalle fort restreint. Enfin, et ceci est le point qu’il importe surtout de remarquer, par une seule valeur donnée, soit 'de l’exponentielle ou des fonctions circulaires, on en peut obtenir algébriquement ou môme rationnellement une infinité d’autres. C’est ainsi qu’en trigonométrie rectiligne on calcule en partant de l’arc de îo" toutes les valeurs dusinus, du cosinus et de la tangente qui figurentdanslès tables, propriété aussi remarquable qu’importante de ces fonc-
368 • NOTE SCR t.A THÉORIE . '
Uotrs, et qui découle de cés relations : , ■ i •
• ■ ' er^ = e».e-r, " •
' sin (^ +/) =^sin X coSj^'-*- sin^-'cosÆ’,
cos (a: + /) = cosar cos/— sin sin Tî.' ■
lang (x+/) :
lang:i; -Htangj
I — langariang/ •
dont les seconds membres sont composés algébriquement avec les fonctions relatives à l’arguménla?’ et à l’argument/. Cés mêmes' propriétés nous les trouverons dans les fonctions elliptiques dont elles constituent les caractères les plu^ essentiels, et nous les résumerons en disant des nouvelles transcendantes, i\\x' elles sont des fonctions uniformes,'^ déterihinalion unique, analogues à des fractions Irationnelles, auxquelles on peut les assimiler avec autant d’approximation, et dans une aussi grande étendue quon le veut, des valeurs de la variable, et de plus ‘que les fonctions relatives à. la somme de deux arguments x et y s'exprimènt algébriquement par lés fonctions relatives à l’argument x et à l’argunient y. Enfin et de même qu’à l’expo-' nentielle et au sinus répondent les 'expressions inverses, loga^ 'rdx -r dx
J ^ J fl f-^x''-
une infinité de déterminations, .s’offrir comme inverse dés
fonctions elliptiques, l’iafégrale d’une nature plus élevée .
' ' dx '
et arcsina: ou
zf nous verrons, avec
où la quantité placée sous le radical est du quatrième degré eu x.
'De la périodicité dans les fonétions circnlaires et elliptiques.
Cette propriété' importante manifeste d’une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent avec les fonctions algébriques rationnelles dont nous les avons tout à l’heure rapiprochées, et leur imprime leur caractère le plus appa>ent en quelque sorte'de fonétions transcendantes. C’est d'ailleurs , par la périodicité que les sinus et cosinus iiilervicniienl 'dans presque. toutes les questions do
DlgitiJ' ;‘.by Googic
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.' 36y
l’analyse, depuis les études qui ont pour objet les propriétés abstraites des-'nombres entiers, jusqu’aux applications du calcul à la physique et à l’astronomie. Aussi est-il bieii digne ^ . d'intérêt d’étudier à ce point de vue, dans la longue chaîne .des nouvelles transcendantes,, celle qui s’offre à son commence,-' • ment et se joint imniédiatement aux fonctions circulaires, les seules connues, pendant si longtemps. C’est au début de leurs '' travaux qu’Abel et Jaeobi ürent simultanément la découverte capitale que tes fonctions elliptiqûés possèdent deux périodes, une première qu’on péui toujours supposer réelle, et une autre qui est nécessaFrement imaginaire. Jaeobi démontra en outre qu’une fonction unifornje d’une variable ne pouvait posséder plus de deux périodes, et M. Liouville après lui, embrassant dans toute sa généralité . la théorie des fonctions rfowèfemenr périodiques, fit voir qu’elles se réduisaient aüx seules fonctions elliptiques, et rail hors de doute la '"prévision de, Jaeobi, que ces fonctions résumaient èii elles tout ce que pouvait présenter l’analyse à l’égard'de la périodicité envisagée dans le sens le plus étendu. J^ous allons dans ce qui suit nous occu|)er , du mode d’après'lcquel se manifeste analytiquement ce fait si remarquable de la double périodicité, en çommençant par étudier sous ce point de,, vue la périodicité' simple dans les fonctions circulaires. Mais en premier lieu et en raison de son caractère élémentaire et purement'arithraétique, nous' donnerons la démonstration de Jaeobi sur l’impossibilité, d’une fonction à plus de déux périodes'. • .
, l. — Proposition de Jaeobi, ^
En désignant par a cl A deux quantités dont le rapport soit
réel et incommensurable, on sait par la théorie des fractions con- . ■ .
tinues qu’il est-possible d'approcher de “tie infinité de ..
. fractions ralionn’ellés — de manière à vérifier la 'condition
3^0 NOTE SUH LA THEORIE
i étant nioÿldre que l’iinitc. De là on tire^
nn —ml}
Or une fonction ayant pour périodes a et fc ne changera -jias en ajoutant à la variable une somme de multiples de ces quantités par des nombres entiers, telle que nâ — mb. Comme le
nombre n peut être pris aussi grand qu’on veut, 'sans quoi ^ ne serait pas incommensurable, la nouvelle pérfode na — mb= —
peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, et par là nous reconnaissons déjà qu’il ne peut exister ’de fonction doublement périodique où le rapport des deux périodes serait réel et incommensurable." , . - , „ •
C’est^à cette même .conclusion d’une période infiniment petite, ou du moins dont le module est infiniment petit, que nous allons parvenir en supposant trois périodes imaginaires :
if = 7-t->/y'— 1, ' .
Je dis en effet qu’on peut déterminer une infinité de nombres entiers, m, n, '/>, tels que le inodule xle am + Im -f- r/i soit moindre que toute quantité donnée.
Considérez pour cela la fbrme quadratiijue ternaire
(=é{ax ^- p v-t- 7 )» rf- ( a' X -t- P'j -t- 7' « ) ’ H-
où X est une quantité réelle arbitraire et dont le déterminani ' sera .
Le minimum de f, pour des valeurs entières des indétermiuées,aura,-rommc on sait, poul limite supérieure , de soric
^ DES POMCnONS EIxiPTIQCES. , ^7‘
<|iren désignant par m', n, p ces valeurs, on aura ;
cl a plus forte riiison
{'xiit -h^n +ypy -i-'(x'm + ^n-\-'t'pY
S’if est donc impossibletl’atoir à la fois ' ' . •
ïOî P« -l- 77' — n, .
, x' ni ^'n -h y' p =
ou bien (iiti + b/i -hep ^ n, • •
c’est-à-dire si a, b,c, sont trois périodes réellement distinctes, on reconnaît que X croissant, a peut devenir aussi petit qu’on veut et qu’on parvient à des périodes dont le module, ainsi que nous l’avons annoncé, est indéfiniment décroissanlT Toutefois nous supposons que le déterminant de la forhie quadratique ne soit pas nul. Mais dans ce cas particulier, au lieu de la forme ternaire, on considérera la forme binaire . ' :
( “ -i- Pr )’ -f- r ■
Sous. la condition ap' — pa‘^ O, son déterminjint sera — — >
et ne pourra plus jamais s’évanouir. Or, en supposant que le minimum soit donné pour a: = w, >•= n,' on aura
[a. ni -h et à füi tiori
• ( a m Tt- P «j’ -h ( a' ni 4- P' »• )’ < y/ ’ '•
de sorte qu’on pourra raisonner comme précédemment et parveliir à une période ani-hbn dont le ^module sera (t’une petitesse arbitraire. Ce cas parlicidier rentre d'ailleurs dans celui dont nous nouslSommes occupé en premier, lieu, car la con-
P « ( «' ni -h 6' n Y 4-
37a NOTE-'ïüB-liJk THEORIE
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dition aS' -^pa' = o, exprime que le rapport — — ^ est réel. , •
