II. — Z)c la périodicité dans '/es fonctions circulaires

La notion géométrique de ces fonctions, ,^lèur déPinition dans le cercle, met en évidence immédiatement tout ce qui concerne la périodicité, tandis qu’au point de vue de l’analyse pure, en prenant par exemple pour défînitioo les déveioppements : ' : . ■ ' v

ar’

sin a: = ar —

cos a: = I

ce caractère si important semble beaucoup plus caché. 11 n’en est pas autrement à l’égard de l’exponentielle considérée

comme la limite d’ùn polÿhônje entier > ou comme

. . Mais lès fonctions cir-

la série i H —

■ ItïTs

culaires sont susceptibles d’autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu’en géométrie, et qu’il est d’autant plus intéressant d’étudier que d’ellesmèmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux - fonctions plus élevées qui possèdent deux périodes différentes. Pour premier exemple, jé prendrai le développement en produit infini . • ' . •

^ • • qu’on peut Considérer comme la limite, pour m infini, du

[lolynôme • . ^ ,

Or on voit tout de suite qu’on a

ce qui donne, en supposant m infini, ^(x-i-i) = — f{x), d’où l’on conclut sin (îrar-hir) = — sinnx, et en remplaçant wæ: par ÆT, sin (jt + re) — — sina:, et par suite sin(a; + 2ir) = sina;.

Nous serons conduit à un second exemple, en prenant la dérivée logarithmique des -deux, membres de l’équation, (i)7 savoir . , -

7t COt 1tX =

En changeant ar en x-t-i, le second niembre devient

x-hl X X — 1 X 2

x+i ^ ar-t-3

et par suite se reproduit, car les fractions -iiartielles n’ont fait que changer de place en s’avançant chacune d’un rang. C’est ici qu’on voit s’offrir par une généralisation facile la manière suivante de représenter une fonction ayant pour période une quantité quelconque, à savoir '

Ÿ (x) f (x ^ ft) — 2«] (f (ar — 3rt] , . . ' ç (a:4-rt) <j)(ar-i- 2«) ? (ar 4- 3«) . . .

ip (a;)-4-Ÿ(a: — a) 4- ?(ar — 2a)-^f(x — 3a)-h...

-hif(x-ha)^y'(x-h2a) -hf (x-{- 3a) -h. ■ ■

La condition de convergence du produit ou dé la série infinie est seule à remplir, et si l’on peut y satisfaire en choisissant pour y (a;) une fonction qui soit clle-inèine périodique, on se trouve imené à l’expression d’une fonction à double

374 note sim i.a THÉoniE ^

période. Tel serait, par exemple, iedévoliT}tpcmém

sin.*: sin(o? — a) sin (.r — ao) sin(x— -3rtj

■ ' . ’sin (a- -f-« ) ^ sin (a: 4- 2rt) sja'(jr-f- 3a) ’

qui s'offre précisément dans la théorie des fonctions cllipti- ' ques, et qu’on prouvera facilement être convergent lorsque la quantité a sera imaginaire. Si l’on supposait a réel, les termes successifs de la série ne tendant pas Vers zéro, la divergence serait manifeste, ce qui s’accorde bien avec ce qui a été dit pré- ■ cédeminent de l’impossibilité d’une fonction à deux périodes réelles- *

Mais on peut ne pas employer l’intermédiaire d’une fonction déjà périodique, et parvenir à l’expression d’une série doublement périodique par ce développement doublement înilni— . ■

2 <p(Æ--t-aia -(-«/>), ■

a et é désignant les pé.riodes, «i et n des nombres entiers variables auxquels on attribuera toutes les valeurs de T- 00 à 4-00 . Et de même au point de vue des produits infinis, une analogie immédiate conduit à envisager des expressions de la forme

JTx 4 à) ’

Ai V ma 4- no/

m et n recevant encore toutes les v aleurs entières, en n’exceptant que la combinaison m = o, n — o. Mais l’étude approfondie de ces, expressions a révélé une circonstance importante autant que singulière. M. Cajley, dans un Mémoire sur les fonctions doublement périodiques publié dans le Journal de M. Liouville, t. "X, a fait voir que leur valeur dépendait ’ essentiellement de la loi suivant laquelle on fait croître simultanément jusqu’à l’infini les nombres m et n. Par exemple^ on obtient une expression analytique parfaitement définie ét déterminée, en admettant la condition que m et h soient les

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DES PrtjrcriONS ELI.IPT|QCE.S. 375 •

coordopnces d’un point eontonu dans l'intériéur d’un cercle' •r’ -H = R’ dont on augmente indéfinimênl le rayon. Mais en remplaçiint le cercle par une autre courbç, ce sera une autre fonction qui s’offrira à la limite, et au lieu de réaliser de' la sorte des fonctions doublement périodiques, qui se reproduisent èn changeant x en x + a -Gt x + b, on parvient à des fonctions qui se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel. Ces fonctions présentent en effet l’élément analytique fondamental sur lequel repose, comme- nous le Verrons, toute' la théorie des fonctions elliptiques. Mais on remarquera que la prévision fondée sur Tanalogie des expressions / -

nx { ^

• nb J

ne se trouve pas justifiée, et que les secondes rie sont pas précisément les fonctions à deux périodes, bien qu'elles en ■ ' fournissent les éléments essentiels. Ne pouvant exposer dams toute leur étendue ces considérations délicates et intéressantes, ' nous allons toutefois en donner l’idée en nous bornant aux produits simplement infinis qui conduisent aux fonctions circulaires.