n Sur l'expression JJ

Le fait principal sur lequel nous voulons appeler l’attention, ' consiste en ce que ce produit n’est périodique qu’aulant qu’on l’envisage comme la limite déjà considérée, savoir

3^6 ■ KOTF, .SUR LA TUÉORIÉ

p6ur m in(iniment grand. Faisons on, effet

et concevons qu’on ungoiente indéfiniment m et n en posant la condition ' ’ • ‘ .

«désignant une constante désignée à l’avance; nous allons montrer que pour n infini la limite de f(x^) dépend de «, et n’est périodique qu’en supposant «= I .

Soit, pour abréger, ^ .. .

. - *^x-h^i îT 7^^ I . ^ .a? -t- 2 ;

l’équation (i) donne, en prenant la dérivée logarithmique. des ’ deux membres,

ür on a identiquement

2 iiir. = 2 - i) 2s 7 2 sdpsi + 2s ’

de sorte qu’en faisant encore

on peut écrire

Digitiz^ tjyCpogle

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3j7

et il s’agit d'obtenir la limite du second membre lorsque m-

et n croissent jusqu’à l’infini. Or les séries V — — - ?

'* ^ nx — n’

> J sont l’une et l’autre convergentes, ont séparé-

^ mx 4- m’ O I

ment des sommes finies et donnent lieu par conséquent à des

limites parfaitement déterminées, où la condition n = w/i ne

peut jouer un rôle. Mais il n’en est plus de même à l’égard

des séries y* — > ^ > dont les sommes croissent indéfini-

ment avec th et n, d’où résulte que X se présente comme la différence indéterminée de deux infini et il s’agit d’en obtenir la valeur.

Nous représenterons à cet effet, par une intégrale définie, la

serie - H h

— ) en partant de la relation m

X flfx = — (*

On aura effectivement

et il en résulte que la différence des deux séries semblables

2 ^ ^ ’ s’exprime par

et il s’agit de trouver ce que donne cette intégrale en posant m = un , et faisant n infiniment grand. On y parvient aisément par cette transformation très-simple

6*éd. II. 25

378 ,NUTK SUK LA TUÉOHIL

On a en effet

fw L").

et par conséquent, pour n infini, riniégrale bien connue

cz /ai.

La quantité désignée par X ayant ainsi pour valeur lu, no s’évanouit qu’en supposant w = i, et dans ce cas l’équation (2) devient

l' ar I I I I

et il est visible qu’on peut remplacer les deux séries infinies par cette seule série convergente

yX X X’ — I x’ — 4

dont la somme est n cot rx. Mais en général, et en laissant entre m et « le rapport arbitraire w, on aura

d’où

— r! J= TT cot RX -t- /w ,

ç(x) r ' 9'ix)

I f/x i-i— f = / sin RX + const.,

et par suite

ij>(x) = Ce'^^"sinRX,

C étant une constante.

Ce résultat met en évidence le genre particulier d’indeter-

DES FONCTIONS KLLIPTIOCES.

minaiion que comporte l’expression

‘servir à faire comprendre le fait analogue relatif au produit ' doublement infini n X ^ ’~1~ ^ dont la valeur géné-

rale s’obtient en multipliant par une exponentielle de la forme une valeur particulière, déterminée en dé-

finissant par une courbe, comme nous l’avons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les nombres entiers m et n, en les faisant croître indéfiniment. Mais, sous un point de vue plus général,’ on peut se^ demander s’il existe des fonctions uniformes et entières qui aient deux périodes. Tel est l’objet de la proposition suivante, due à M. Liouville, et dont l’illustre géomètre a fait la base d’une théorie complète des fonctions doublement périodiques (*).

IV’. — Proposition de M. Liouville.

Elle consiste en ce que toute fonction uniforme f(x), possédant deux périodes a et- 6, se réduit nécessairement à une constante si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Partons en effet de l’expression suivante, de toute fonction entière, uniforme, ayant pour période a, savoir :

La condition f(a: -i-6) = f (.r) donnera l’égalité

xb 2i7T^

— *im

^ ifn '

et si l’on multiplie les deux membres par e, " ,.on trouve, en intégrant entre les limites zéro et a,

ITtb 1m

(*) On pourra consulter sur ce sujet l'ouvracu de MM. Briot et Bouquet^ intitulé : Théorie des fonctions doublement périodu/ues et en particulier des fonctions elliptiques. Paris, MancUBachHier.

' 38o i^OTF. SUR I.A THÉORIE

On en conclut que A» est nul, car en supposant imaginaire, ainsi qu’on le doit, le rapport des deux périodes ^ , on ne peut

inb am — r

avoir e “ = i que pour la seule valeur m = o. A„ devant être supposé nul pour toute valeur de ni, sauf ni = o, on voit que.f (j;) se réduit à la constante A». ,

Cette proposition aussi simple qu’importante nous fait voir que les fonctions à deux périodes seront nécessairement des transcendantes fractionnaires; elle rend compte à priori des singularités que présente la nature des produits doublement

infinis j|^ x ^ r+ l’impossibilité de

donner pour origine aux fonctions à deux périodes, l’expression plus générale

f{x)f{.T — a)y(jr — — 3a)...

<^[x-\- a) <f[x -‘ro.n) tj(x -\-ia) . . . ,

en prenant pour f{x) une fonction périodique entière. Mais ces expressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double période, nous amènent à celles qui leur servent do numérateur et de dénominateur, et c’est à ce moment qu’à proprement parler nous entrons dans l’étude des fonctions elliptiques.

Définition des fonctions e (x), II (.r), lenr expression en produits et en séries.

Hien n’est plus important ni plus digne d’intérêt que l’étude attentive des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, on parvient à la connaissance d’une ■ fonction nouvelle qui devient l’origine d’un nouvel ordre de notions analytiques, et un traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait omettre aucune des méthodes découvertes et suivies à l’égard des fonctions s{x) et II {x). Mais ici nous n’en indiquerons que deux, la première se liant naturellement à ce qui précède, et la seconde devant nous permettre de

Djæ FONCTIONS ELLIPTIOCES. 38 1

donner un aperçu sur les fonctions analogues, mais à plusieurs variables et d’un ordre plus élevé qu’on nomme fonctipns ab’éliennes oU ultra^elliptiques. ■ ■ '