cos ^ H- ^1 — ‘afÿ'cos

• 'f ' ri

lïX

q' cos H- q'‘^- ■ • •

Or il suffit que le module de q soit inférieur à Tunité pour que ce produit représente une fonction complètement définie etdélerminéc, car la dérivée logarithmique donne cette série

4>' (a:) 2ir . vx

■■7^-r'- = Sin -p- i

^{df) K K

• fz X fz X "

J — 2 ^ cos -^jT- -H I— 29’cos + 9'

■ , TZX

I— 7q^cos + q'"

qui dans ce cas est toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de la vatiable x.

En introduisant en facteur une constante A, nous poserons

avec Jacobi ^ '

«(ar) = A.4>(x), ...

oit bien - j’ . ' •

, xfi— sç'cosaa: + ç“) . . . .

C’est la première des fonctions que nous voulions définir; elle vérifie les relations

Ie (x H- 2 K) = et ( ar) ,

ft (.r -t- 2»K') = — Q (.r) e qui servent de base à la théorie;

'fi

DES FOMCriONS ELLIPTIQUES..

Eli second lieu, soit -

on trouve immédiatement les relations toutes semblables aux précédentes : •

(2)“ 'I ^(x-HiK')

* H 2iK') = — H(x)e ,

et pour l’expression développée,- la formule

H .\.2'v^7sin2r(i — 2ç*cos22:+^){i — iq' cosix-\-g*} '

X (i — ^q' cos2x-h q'^) ' .

C’est la secondé de nos fonctions fondamentales; en la divisant par la première, on obtient une fonction à double période,

‘ - H (xl

car, à cause des' relations (i^ et (2), le quotient — ) — ( satisfait aux conditions ‘ '

Faisons enfin

c’est-à-dire

01 =A(l-4-2ÇCOS22r-|-Ç’) (l-f^ 2 g* cos 2X -t- Ç')

X (i-t-2g‘ cos 22:4- g'*). . . ,

V gcos2:(H-2g ’cos22:-4-g*) { I -4-ag* cos 2x+q*) X (1 -I- 2g” cos 22:.- 1- g”) • • • •

384 ItOTE SUR LA THÉORIE

Ces deux nouvelles fonctions conduisent aux relations :

/ 0, (ar+aK) =0, (a;),

( 0, (a:-{-2iK') =0, (ar) e ,

(H,(x+2K) = — H.(ar),

(H. (ar-|-2/K') = II.(x)e

• , . Hi (ar) 0i(a:) ' ' .

de sorte que les quotients — 7^— ri> — seront encore des

fonctions à double période qui se lient chacune à la précédente à peu près comme le sinus au cosinus, et complètent le système des trois nouvelles transcendantes dont l’étude constitue la théorie des fonctions elliptiques. Nous allons les retrouver sous une forme analytique différente, qui les rattache aux transcendantes ultra-elliptiques à plusieurs variables et à périodicité multiple. Mais cette première méthode a l’avantage de donner immédiatement les racines en nombre infini des équations transcendantes qu’on obtient en égalant à zéro chacune de ces fonctions, savoir:

|0 (x)=o, a: = 2/mK -H (a/w'-t- i)iK' , lH(a:) = o, x = 2mK.-\-zm'iK' , j0i(ar) = o, a:= (2/w-f. i)K-h (2/n'-t-i)iK',

\Hi(a:) = o, a: = (2/n-f-i)K-+-(am'-t-i)/K',

m et m' désignant des nombres entiers quelconques. Aux diverses relations fondamentales que nous' venons de donner, nous joindrons encore celles-ci, dont il est souvent fait usage:

0 (ar+VK') = iH (x) e

] U (a:-)- iK') = 10 (a:) e ,

I0, (a:-l-iK') = lI, (ar) e

II,(ar + i‘K') = 0, (x) e lialin nous loaiaïqiicroasquc ces fonctions ne changent point

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DES FONCTIOKS ELLIPTIQUES.

en y remplaçant x par K et K' par XK et XK', de sorte qu’on peut particulariser l’une des périodes, prendre par exemple K = i , car de ce cas spécial on reviendra immédiatement à nos expressions générales. Mais c’est une particularisation différente de celle-là que nous aurons à mettre en usage, et dont nous parlerons lorsqu’elle viendra naturellement s’offrir.